Dpto. de Dibujo y Artes Plásticas / Ángel M. Mateos

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Tema 2: ---TRAZADOS DE FORMAS POLIGONALES

1.- TRIÁNGULOS: - CLASIFICACIÓN Y PUNTOS NOTABLES 2.- CUADRILÁTEROS: PROPIEDADES Y CLASIFICACIÓN 3.- POLÍGONOS REGULARES: CLASIFICACIÓN Y CONSTRUCCIÓN

Ø INTRODUCCIÓN: Circunferencias inscr i ta y c ircunscr i ta

Son aquellas que: a) contienen a todos los vértices de cualquier polígono

b) es tangente a todos los lados del polígono:

a) Cir. Inscrita / Polígono Circunscrito b) Cir. Circunscrita / Polígono Inscrito

1.- TRIÁNGULOS

Ø -Definic ión y nomenclatura

Triángulo es toda superficie plana y cerrada limitada por tres líneas que se cortan dos a dos en tres puntos llamados vértices y donde la suma de sus tres ángulos interiores tiene un valor constante de 180º.

La designación de sus elementos será de la siguiente forma: - vért ices: con letras mayúsculas y en sentido anti-horario - ángulos: con la misma letra que su vértice pero con el símbolo - lados : cada lado con la letra de su vértice opuesto en

minúscula

Ø Propiedades fundamentales:

1. La suma de sus ángulos siempre es de 180º 2. El lado mayor será menor que la suma de los otros dos lados y mayor que su diferencia 3. Cuánto mayor es un lado, mayor es su ángulo correspondiente

Ø Clasif icación

Según sus lados: según sus ángulos:

EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO ACUTÁNGULO RECTÁNGULO OBTUSÁNGULO

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1.1.- L ÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES BISECTRIZ / INCENTRO

4 La bisectriz divide al ángulo en dos partes iguales, se designa con la letra”b” y el subíndice correspondiente al ángulo. 4 El incentro, “Ic”, equidista de los lados del triángulo y es el centro de la circunf. inscrita en él.

MEDIATRIZ / CIRCUNCENTRO

4 La mediatr iz es la perpendicular por el punto medio de cada lado. 4 El c ircuncentro “Cc” es el centro de la circunf.,que circunscribe al triángulo y viene dado por las mediatrices de los lados, que son cuerdas de circunferencia. Si el triángulo fuese obtusángulo, el Oc. quedaría fuera de él.

MEDIANA / BARICENTRO

4 La mediana es la recta que une cada vértice con el punto medio del lado opuesto. 4 El baricentro, “Bc”, es el punto centro de gravedad del triángulo., y está situado, sobre cada mediana, a 2/3 de la distancia a su vértice.

ALTURA / ORTOCENTRO

4 La altura de un vértice del triángulo es la recta perpendicular al lado opuesto al vértice. 4 El Ortocentro, Oc, es el punto en común de las tres alturas del triángulo.

SEGMENTO Y CIRCUNFERENCIA DE EULER

4 El segmento de Euler es aquel que une el ortocentro, Oc, y el circuncentro, Cc, de un triángulo. En él están contenidos además el baricentro, Bc, y el centro de la circunferencia de Euler (punto medio de dicho segmento) - Realizar la LÁMINA 2.3.

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2.- CUADRILÁTEROS

Definic ión: Son figuras planas poligonales limitadas por cuatro rectas que se cortan dos a dos y

donde la suma de sus ángulos internos es 360º.Si tienen lados paralelos dos a dos se llaman paralelogramos, si tienen sólo dos lados paralelos se llaman t rapecios y si no tienen ningún lado paralelo se llaman trapezoides. Se nombran con letras mayúsculas por orden alfabético: A, B, C y D;

Caracter ís t icas de los cadri láteros paralelogramos:

1ª- Los lados paralelos son iguales (de cualquier cuadrilátero) 2ª- Los ángulos opuestos son iguales y la suma de todos es 360º. 3ª- Las diagonales se bisecan (se cortan en su punto medio)

Clasif icación de los cuadri láteros:

1 .- PARALELOGRAMOS 2,- TRAPECIOS 3.- TRAPEZOIDES

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Pol. irregular circunscrito

Pol. regular inscrito

Polígonos Convexos Polígonos Cóncavos

3.- POLÍGONOS REGULARES

Definic ión Polígono regular es toda superficie plana limitada por una línea quebrada y cerrada, donde cada segmento de la misma es un lado, siendo todos iguales y en la que los ángulos también son todos iguales, teniendo igual número de lados y vértices o ángulos.

Clasificación: Si unimos todos los vértices del polígono, de forma consecutiva, dando una sola vuelta a la circunferencia, el polígono obtenido se denomina convexo. Si la unión de los vértices se realiza de forma alterna se denomina estrellado.

En todos los casos, el polígono está inscrito dentro de la circunferencia, y la circunferencia envuelve al polígono, lo circunscribe.

Elementos.  F Cualquier polígono reg.r podrá inscribirse en una circunferencia, donde los lados serán cuerdas de dicha circunf. F Diagonal: cualquier línea que une un vértice con otro no consecutivo F se denomina apotema a la distancia del centro del polígono al punto medio de cada lado (ver figura). F En un polígono regular convexo, se denomina perímetro a la suma de la longitud de todos sus lados. F Circunferencias inscrita y circunscrita: son aquellas tangentes a todos los lados del polígono y aquellas que

contienen a todos los vértices del polígono respectivamente. Nomenclatura: El polígono de tres lados se llama triángulo, el de cuatro cuadrilátero, y a partir de cinco, se

denomina n-ágono al polígono de n lados hasta diez lados, y n-decágono a partir de 10 lados:

5. -- 6. - 7. - 8. -

9. – 10. - 11. - 12. -

13. - 14. – 15. - 16. –

17. 18. - 19. - 20.

Polígonos estrel lados o cóncavos .

Son aquellos en que la unión de los vértices se realiza, de forma que el polígono cierra después de dar varias vueltas a la circunferencia, se denomina estrellado.

Polígono curvilíneo pentágono cóncavo hexadecágono cóncavo

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Construye un polígono regular de 7 lados inscrito en una circ. de radio 35mm

3.1.- CONSTRUCCIÓN DE POL. REG. DADA LA CIRCUNFERENCIA .

La construcción de polígonos inscritos en una circunferencia dada, se basan en la división de dicha

circunferencia en un número partes iguales. Cuando en una construcción obtenemos el lado del polígono, y hemos de llevarlo sucesivas veces a lo largo de

la circunferencia, se aconseja no llevar todos los lados sucesivamente en un solo sentido de la circunferencia, sino, que partiendo de un vértice se lleve la mitad de los lados en una dirección y la otra mitad en sentido contrario, con objeto de minimizar los errores de construcción, inherentes al instrumental o al procedimiento.

3 . 1 . A . - M É T O D O G E N E R A L

Independientemente del nº de lados que deba tener el polígono, se seguirá el mismo proceso:: Dividimos el diámetro en tantas partes como lados tenga que tener el polígono aplicando el teorema de Tales; luego obtenemos los puntos P y los unimos con las divisiones pares para obtener el lado.

PASOS:

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3 . 1 . B . - C A S O S P A R T I C U L A R E S

- Si lo que queremos es dibujar un polígono concreto a partir de la medida de sus lados, dependerá del nº de lados que deba tener el polígono. Así podemos construir cada uno de diferente forma:

- División de la circunf. En 2, 4, 8, 16... 2n, partes iguales (construcción exacta)

Se divide la circunferencia en dos partes iguales y se van realizando, de forma sucesiva, la bisectrices del ángulo central resultante. Así dividimos la circunferencia en 2,4,8... partes iguales de forma consecutiva.

- Triángulo, hexágono y dodecágono (construcción exacta)

- División de la circunf. en 5 y 10 partes iguales (construcción exacta)

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3.2.- CONSTUCCIÓN DE POLÍGONOS REG. A PARTIR DEL LADO .

3 . 2 . 1 . Construcción del pentágono (construcción exacta) Pasos: 1º.-lavantamos una ∟ por un extremo, B, y llevamos la medida AB = 35mm 2º.-Hallamos el punto medio de AB y hacemos centro en él para abatir sobre el lado la medida A1 (hipotenusa del triáng. Rectángulo), obteniendo el punto 2. 3º.-Con centro en A y radio A2, obtenemos el vértice C sobre el arco de radio AB y el punto D sobre la mediatriz es un vértice del polígono solución

3.2.2.- Construcción de políg. Entre 6 y 12 lados

Para construir polígonos regulares entre seis y doce lados conociendo la medida de sus lados, emplearemos el siguiente método:

A B

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