Tema 3: Álgebra. -...
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Tema 3: Álgebra.
Ejercicio 1. Descomponer en factores irreducibles el siguiente polinomio: 2346 404215 xxxx Solución:
404215404215 2422346 xxxxxxxx
Ya hemos extraído el factor x dos veces. Ahora busquemos las raíces enteras de 404215 24 xxx
)40,20
aplicando la regla de Ruffini y probando con los divisores de 40 ,10,8,5,4,2,1( . Comprobamos
que 1, -1 y 2 no son raíces (hazlo).
-2 si es raíz. Por tanto: )2011)(2(404215 2324 xxxxxxx
0201121 4022422
40421501
Buscamos las raíces enteras de . Probamos con los divisores de 20 (ya no hemos de probar con
1, -1 y 2). Comprobamos que -2 no es raíz (hazlo).
201123 xxx
)43)(5(2011 223 xxxxxx
0431
201555
201121
Como el factor que queda es de segundo grado, comprobamos si tiene raíces resolviendo la ecuación
correspondiente: no tiene raíces. Por tanto, es irreducible. La descomposición queda así: 0432 xx
23 40 xx
432 xx
246 4215 xxx )5()2( xx ).43( 2 xx
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 1.
MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 2.
Efectuar: 1
12
)1(
27
x
x
xx
x
x
x
Solución:
Hallamos el m.c.m. de los denominadores: m.c.m. )1()]1(),1(,[ xxxxxx
Reducimos las fracciones a común denominador y operamos:
)1(
2277
)1(
)12()2()1)(7(
1
12
)1(
2
)1(
17 22
xx
xxxxxx
xx
xxxxx
xx
xx
xx
x
xx
xx
.510
2
2
xx
xx
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 2.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 3.
Calcular: 3
1
2
3)
2
x
x
x
xa
2
2 23:
1
22)
x
x
x
xxb
2
RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 3. Álgebra.
Solución:
6
33
623
33
)3)(2(
)1)(3(
3
1
2
3)
2
23
2
2322
xx
xxx
xxx
xxx
xx
xx
x
x
x
xa
253
22
2323
22
)23)(1(
)22(
231
2223:
1
22)
2
234
2
2342222
2
2
xx
xxx
xxx
xxx
xx
xxx
x
x
x
xx
x
x
x
xxb
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 3.
Figura 4.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 4.
Efectuar:
3
1:
1
1
2
2 x
x
x
Solución: Hacemos la división del paréntesis y después multiplicamos:
3
MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS
22
3
)1(2
3
)1)(1(2
3
)1)(1(
3
21
3:
1
12
2
2
222
x
x
x
x
xx
x
xx
x
xx
23
1:
1
1
2
22 xx
x
x
Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 5.
-
nlace con el ejercicio resuelto en la Web: E
jercicio 5.
esolver las siguientes ecuaciones:
olución:
E
R 0910) 24 xxa 032) 24 xxb 05) 24 xxc S
09100910) 224 2
yyxxa yx
399
111
2
810
2
3610010
x
xy Soluciones: -1, 1. -3, 3.
032032) 224 2
yyxx yx b
33
1
2
42
2
1242
x
xparasolucióndaNoy Soluciones: 3,3
0505) 224 2
yyxxc yx
55
000)5(
xy
xyyy Soluciones: 5,5,0
4
RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 3. Álgebra.
5
Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 6.
-
nlace con el ejercicio resuelto en la Web: E
jercicio 6.
esolver las siguientes ecuaciones:
E
xxa 132)R 4732) xxb
Solución:
xxa 132)
132 xx Elevamos al cuadrado ambos miembros:
omprobación:
2:0441232 22 xSoluciónxxxxx
2111322 C la solución es válida.
4732) xxb
espejamos una de las dos raíces: 7432 xx D elevamos al cuadrado ambos miembros:
78)7(163 7826 xx xxx Aislamos en un miembro el término en el que está la raíz:2
levamos al cuadrado ambos miembros:
omprobación:
E 114,20228116)7(6467652 2122 xxxxxxx
C
.4111571143142114
.43191723222
22
11
válidaesnoxx
válidaesxx La solución de la ecuación es x = 2 (única).
MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS
6
Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 7.
-
nlace con el ejercicio resuelto en la Web: E
jercicio 7.
a)
E
62
16
x
x
x Resolver estas ecuaciones: b)
4
34
5
322
x
x
xx
x
Solución:
) Para eliminar los denominadores de la ecuación multiplicamos ambos miembros por:
012195)2(6)1()2(6 2 xxxxxxx Operando
).2( xx
a
5
4
3
10
24036119
x
s las soluciones sobre la ecuación inicial, se ve que ambas son válidas. Soluciones:Comprobada5
4,3 21 xx
b) Para suprimir los denominadores de la ecuación multiplicamos ambos miembros por
09219)5(3)5)(4(4)32(4 22 xxxxxxx Operando
).5(4)5(4 2 xxxx
4
23
2
2719
2
36836119
x
omprobadas las soluciones sobre la ecuación inicial, se ve que ambas son válidas. Soluciones:C 4,23 21 xx
RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 3. Álgebra.
7
Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 8.
-
nlace con el ejercicio resuelto en la Web: E
jercicio 8.
ecuaciones:
E
27
13)
21 xa 15) 652
xxb Resolver las siguientes
olución:
esamos
23)21 xc 1222) 1 xxd
S
27
1 a) Expr como potencia de base 3: 3
33
3
1
27
1
24313327
13 22311 22
xxxxx Soluciones:
) Expresamos el segundo miembro como potencia de base 5:
2,2 21 xx
b 051
3
2
2
2425506555 20652
xxxxx Soluciones:
) Puesto que el segundo miembro no se puede poner como potencia entera de base 3, hemos de tomar
3,2 21 xx
c
logaritmos y recurrir a la calculadora:
3690702,06309298,013log/2log16309298,03log/2log12log3log) 222 xxx1(
Soluciones:607,0x 6075,0,6075,0 21 xx
) Hacemos el siguiente cambio de variable: Por tanto,
Solución:
.1222 1 xx .2 yx yxx 2222 1
d
2424123122 xyyyy x
2x
MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS
8
Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 9.
-
Figura 10.
Figura 11.
Figura 12.
nlace con el ejercicio resuelto en la Web: E
jercicio 9.
esolver:
E R 350loglog) xa 32log)3(log) 2
52 xb )310(loglog2) xxc
Solución:
) tendremos en cuenta que: a
202050
1000100051000log)50log(
1000log3
)(logloglog
loglog 10
xsoluciónx
xxBABA
significa
) Tendremos en cuenta que:
b aBBa 22 loglog
11232log)3(log 52
52 xsolucionxxx
RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 3. Álgebra.
9
c) Utilizando las propiedades de los logaritmos:
Posibles soluciones:
a solución no es válida por que en la ecuación original aparece y no se puede hallar el logaritmo
222 0103310)310(log xxxxxx 5,2 21 xx log
L 52 x
o negati
xlog
de un númer vo. Por tanto la solución única es .21 x
(Si la ecuación inicial fuera , serían válidas las dos soluciones).
Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 13.
ecuación inicial fuera , serían válidas las dos soluciones).
Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 13.
)310(loglog 2 xx )310(loglog 2 xx - -
nlace con el ejercicio resuelto en la Web: E
jercicio 10.
sistemas de ecuaciones:
E
xyyx
yxa
92) Resolver los siguientes
Solución:
oslo por el método de sustitución. Despejamos y en la 1ª ecuación:
4)log(
5loglog2)
xy
yxb
) Resolvám .92 xya
Sustituimos en la 2ª: xxxxxx 9939292
15,609021188193)9(93 21222 xxxxxxxxx Elevamos al cuadrado ambos miembros:
Soluciones:
21,15 22 yx
3,6 yx 11
MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS
10
Comprobadas sobre el sistema inicial, vemos que la primera solución es válida, pero la segunda no.
)
Solución
b
4loglog4)log( yxxy
5loglog25loglog2 loglog)(log yxyx BABA
Aplicamos el método de reducción. Sumamos, miembro a miembro, laecuaciones:
s dos
1log
3log
134log4log3
3log9log3
y
x
xyx
xx 10,1000 yx
log:
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 14.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 11.
te sistema:
)18(208,4
1 2
te
te Resolver es
Solución:
Este sistema describe los movimientos de dos móviles, uno con aceleración uniforme y otro con velocidad
o resolvemos por el método de igualación:
constante.
La solución buscada es el lugar y el momento de encuentro de ambos móviles (e en metros y t en segundos).
L
241 t 12024 et
72
0172896)18(208,4)18(202
1222 tttttt 108072 22
11
et
8,4 t
RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 3. Álgebra.
11
Los dos móviles coinciden en dos momentos: a los 24 s están ambos a 120 m de la salida, y a los 72 s, a 180
de la salida.
Figura 15.
0 m
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 12.
esolver el siguiente sistema:
01
2
y
x
x
xy R
Solución:
Sustituimos la 1ª ecuación en la 2ª: 02
1
x
x
x multiplicamos por )2( xx :
020)2( 2 xxxxx
42
2 12 x
x
11
,122
11 y
yxx
Comprobamos en el sistema inicial, ambas soluciones son válidas
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 16.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS
12
Ejercicio 13.
esolver este sistema:
Solución:
Transformaremos la ecuación intentando que desaparezcan los logaritmos y las potencias.
:
yx
yxyx
242
5log)log()(log R
yxyxyxyxyx
yx
yx
yx32645555loglog
1ª ecuación
2ª ecuación: yxyxyx 222222 22
El sistema queda así: sustituimos la 2ª en la 1ª:
yx
yx
2
32 643)2(2 xyyy solución: 4,6 yx
Figura 17.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 18.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 3. Álgebra.
E
13
2x
3x
jercicio 14.
Solución:
Las soluciones del sistema son las comunes a las dos inecuaciones:
042
093
x
x Resolver:
2
3
42
93
042
093
x
x
x
x
x
x
2x 3x
)3,2[32/23/ xxxyxx
Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 19.
-
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 15.
esolver las inecuaciones:
Solución:
a parábola corta al eje X en 1 y en 4.
alo toma valores negativos o nulos. Por tanto:
R
045) 2 xxa 045) 2 xxb 045) 2 xxc
045) xx 2 d
L 452 xxy En el interv 4,1
-2 30
y
MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS
Las soluciones de la inecuación a) son los puntos del intervalo
Las soluciones de b) son los puntos del intervalo
4,1 .
.4,1 Las soluciones de c) y d) son los valores de x para los cuales la parábola
está encima del eje X. Por tanto:
s con Wi
Figura 20.
Soluciones de c): ).,4[]1,(
Soluciones de d): ]1,( ).,4[ - Ahora lo resolveremo ris:
Figura 21.
14
RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS TEMA 3. Álgebra.
E
15
nlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 16. Resolver las inecuaciones:
parábola queda toda ella por encima del eje X.
or tanto, la inecuación a) no tiene solución, y cualquier número real es solución de la inecuación b).
Figura 22.
Ahora lo resolveremos con Wiris:
Figura 23.
075) 2 xxa 075) 2 xxb
Solución: La P
-
MATEMATICAS I EDUCANDO CON WIRIS
16
Figura 24.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 17.
Resolver el sistema:
Solución:
Soluciones de la primera inecuación:
Soluciones de la segunda inecuación:
Soluciones comunes:
Figura 25.
093
0452
x
xx
4,1
3,
)3,1[ 0
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
4 2 1 3