Tema 3. El estadístico Chi-cuadrado y contrastes asociados

RONALD AYLMER FISHER

¿Qué vamos hacer ahora?

Veamos un estadístico para ver si dos variables están o no asociadas

Hay variables {- Muy relacionadas - Muy poco relacionadas

El estadístico Chi-cuadrado

El estadístico Chi-cuadrado

H0: Las variables en filas y columnas no están asociadas

H1: Las variables en filas y columnas están asociadas

Las hipótesis son:

Necesitamos “frecuencias esperadas”

n

ffe jiji

..,

EJEMPLO (supervivencia en el Titanic)

Sobrevive No sobrevive Total

Primera clase 194 128 322

Segunda clase 119 161 280

Tercera clase 138 573 711

Total 451 862 1313

Frecuencias esperadas

6,1101313

4513221..111

x

n

ffe

2,961313

4512801..221

x

n

ffe

Frecuencias esperadasSobrevive No sobrevive Total

Primera clase 110,6 211,4 322

Segunda clase 96,2 183,8 280

Tercera clase 244,2 466,8 711

Total 451 862 1313

Calculemos Chi-cuadrado

i j ij

ijij

e

ef 22exp

)(

Ya vuelven los matemáticos a complicar las cosas

Traducción

Tenemos dos tablas (sin totales): Frecuencias absolutas Frecuencias esperadas

1) Hagamos otra tabla, donde restamos a la primera la segunda

Sobrevive No sobrevive

Primera clase 194 128

Segunda clase 119 161

Tercera clase 138 573

Sobrevive No sobrevive

Primera clase 110,6 211,4

Segunda clase 96,2 183,8

Tercera clase 244,2 466,8

Sobrevive No sobrevive

Primera clase (194-110,6) (128-211,4)

Segunda clase (119-96,2) (161-183,8)

Tercera clase (138-244,2) (573-466,8)

3) Dividido por el valor que tengamos en la segunda tabla

2) Este valor elevado al cuadrado

Sobrevive No sobrevive

Primera clase (194-110,6)^2 (128-211,4)^2

Segunda clase (119-96,2)^2 (161-183,8)^2

Tercera clase (138-244,2)^2 (573-466,8)^2

Sobrevive No sobrevive

Primera clase (194-110,6)^2/110,6 (128-211,4)^2/211,4

Segunda clase (119-96,2)^2/96,2 (161-183,8)^2/183,8

Tercera clase (138-244,2)^2/244,2 (573-466,8)^2/466,8

Obtenemos la siguiente tabla en nuestro ejemplo

9,626,110

)6,110194( 2

9,324,211

)4,211128( 2

4,52,96

)2,96119( 2

8,28,183

)8,183181( 2

2,462,244

)2,244138( 2

2,248,466

)8,466573( 2

Sobrevive No sobrevive

Primera clase

Segunda clase

Tercera clase

4,1742,242,468,24,59,329,62)( 2

2exp

i j ij

ijij

e

ef

 Probabilidad de un valor superior

- Alfa (α)

Grados libertad 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005

1 2,71 3,84 5,02 6,63 7,88

2 4,61 5,99 7,38 9,21 10,60

3 6,25 7,81 9,35 11,34 12,84

4 7,78 9,49 11,14 13,28 14,86

5 9,24 11,07 12,83 15,09 16,75

6 10,64 12,59 14,45 16,81 18,55

4,1742exp Tenemos:

1) grados de libertad, son:

K = (número de fila-1)x(número de columnas-1) = (3-1)x(2-1) = 2

Ahora calculemos el valor de la tabla Chi-cuadrado

2) El valor alfa (0,05 si no se dice).

3) El valor que buscamos

99,5205,0;2

2.;. lg

SIGNIFICADO: La probabilidad de obtener un valor mayor que 5,99 es 0,05

4,1742exp Tenemos:

Por tanto:

99,5205,0;2

2.;. lg

SIGNIFICADO: Las variables no son independientes

205,0;2

2exp

SIGNIFICADO en el ejemplo: El salvamento de los viajeros

en el Titanic no fue independiente de su clase social.

Hemos hecho un contraste de hipótesis

Los pasos en un contraste son:

1) Fijar las hipótesis que se quieren contrastar: 0H

2) Fijar el nivel de significación:

1H

3) Elegir un estadístico de contraste:

2);1()1(

22exp

)(

columnasxfilask

i j ij

ijij

e

ef

4) Se toma la decisión de rechazar o no la hipótesis:

2;

2exp k

2;

2exp k

Aceptar

Rechazar 0H

0H Independientes

Dependientes

Contraste de homogeneidad

1) Fijar las hipótesis que se quieren contrastar:

0H

2) Fijar el nivel de significación:

1H

la distribución de la variable Y en alguna de estas subpoblaciones es diferente

Las subpoblaciones tienen idéntica distribución para la variable Y.

3) Elegir un estadístico de contraste:

2);1()1(

22exp

)(

columnasxfilask

i j ij

ijij

e

ef

4) Se toma la decisión de rechazar o no la hipótesis:

2;

2exp k

2;

2exp k

Aceptar

Rechazar 0H

0H

EJEMPLO

Se desea saber si la distribución de los grupos sanguíneos es similar en los individuos de dos poblaciones. Para ello se elige una muestra aleatoria de cada una de ellas, obteniéndose los siguientes datos ¿Qué decisión se debe tomar?

A B AB 0 Total

Muestra 1 90 80 110 20 300

Muestra 2 200 180 240 30 650

Total 290 260 350 50 950

Calculamos las frecuencias esperadas:n

ffe jiji

..,

A B AB 0

Muestra 1 91.5789 82.105 110.53 15.789

Muestra 2 198.421 177.89 239.47 34.211

Componentes de la Chi-cuadrado

0272,05789,91

)5789,9190( 2

Estadístico de contraste:

76,1...0272,0)( 2

2exp

i j ij

ijij

e

ef

Calculemos el valor

Entonces:

2);1()1( columnasxfilask

Los grados de libertad:

3)14()12()1()1( xcolumnasxfilask

81,7205,0;3

2);1()1( columnasxfilask

La decisión de rechazar o no la hipótesis:

2;

2exp k Aceptar

0H

¿Cuando podemos aplicar el estadístico Chi-cuadrado?

1) Siempre hacemos un contraste unilateral.

2) No debe usarse si hay frecuencias esperadas inferiores a 1.

3) Como máximo el 20% de las frecuencias esperadas pueden ser menores que el valor 5.

RESUMEN

- El estadístico Chi-cuadrado- Fijar hipótesis- Fijar nivel de significación- Grados de libertad - Valores del estadístico

- Contraste de independencia- Contraste de homogeneidad- Condiciones de aplicar el Chi-cuadrado

GRACIAS POR LA ATENCIÓN