Tema 3: Electrostática enpresencia de conductorespresencia de conductores

Antonio González Fernández

ánde

z Departamento de Física Aplicada IIIUniversidad de Sevilla

nzál

ez F

erná

P t 3/7

Anto

nio

Gon Parte 3/7

Coeficientes de capacidad

© 2

010,

A

p

¿Puede aplicarse algún tipo de superposición l bl d l t i l?

La solución del problema del

al problema del potencial?

La solución del problema del potencial sí puede escribirse como suma de soluciones 3

ρ1 31

El problema general consiste en resolver

222

ánde

z

consiste en resolver

Solución:2

0

nzál

ez F

erná

suponiendo Vk en cada superficie conductora Sk

combinación linealde soluciones base

00 k k

kV

Anto

nio

Gon

20

0

r

2 0

1k

kS

r

rGarantizado por el teorema de

© 2

010,

A

0

0 0 jS r2

1

0 ,k

kj

S

S j k

r

rel teorema de unicidad

Cálculo de la carga almacenada en un d tconductor

A menudo sólo se desea conocerA menudo sólo se desea conocer la carga de cada conductor

Se halla aplicando la ley deSe halla aplicando la ley de Gauss a una superficie que envuelva a cada uno

ánde

z

0 ·di iSQ E S

envuelva a cada uno

nzál

ez F

erná iS

En esta expresión, el campo

Anto

nio

Gon

En esta expresión, el campo eléctrico E es el total, suma del que produce cada conductor,

á

© 2

010,

A más el debido a ρ3

Cálculo de la carga a partir de la bi ió d f icombinación de funciones

Sustituyendo la solución del potencial queda

0 ·i iSQ d E S0 ·i iSQ d S0 0 ·i k k iSQ V d

S 0 0 0· ·i i k k iS S

Q d V d S S 0i i k ikQ Q V C

Sustituyendo la solución del potencial queda

0i i ik kQ Q C V iS0 i

i iS0 0i

i k k iSk

i iS S

k

k

d

k

ánde

z

Qi0: es la carga

0 0 0·di

i iSQ S

Cik es la carga que habría en el

0 ·di

ik k iSC S

nzál

ez F

erná

i0inducida por la carga de volumen

conductor i, cuando el k está a potencial unidad y el resto a tierra

Anto

nio

Gon

Los C son los coeficientesde capacidad (si i = k)

© 2

010,

A Los Cik son los coeficientes…

4de inducción (si i ≠ k)

Coeficientes de capacidad e inducción: i d d bá ipropiedades básicas

Q Q VC E f t i i l 0 · Q Q VC

1 10 11 12 1 1NQ Q C C C V

0 ·di

ik k iSC SEn forma matricial

1 10 11 12 1 1

2 20 21 22 2 2·

N

N

Q QQ Q C C C V

La matriz es simétrica

ánde

z 0 1 2N N N N NN NQ Q C C C V

ik kiC C

nzál

ez F

erná

Se miden en C/V = F(aradios) Se usan más los μF, nF y pF

L fi i t C i d di t d l lt j

Anto

nio

Gon Los coeficientes Cik son independientes de los voltajes

aplicados: dependen solo de la geometría de los conductores

© 2

010,

A

5Pueden calcularse suponiendo unos Vk arbitrarios

Aplicación de los coeficientes de id d l d l d tcapacidad al caso de un solo conductor

La carga vale:

1 11 1Q C VQ C VSÓLO VÁLIDA

PARA UN SOLO CONDUCTOR

La carga vale:

CONDUCTOR

el campo vaSi V > 0

ánde

z Q > 0 C= Q/V > 0el campo va hacia afuera

nzál

ez F

erná

Un solo conductor a

C se conoce como capacidad del conductor

Anto

nio

Gon

Un solo conductor, a tensión V, sin carga de volumen (ρ=0)

No debe confundirse con la capacidad de un condensador

© 2

010,

A

Se mide en faradios, aunque es siempre muy pequeña

capacidad de un condensador

6

Cálculo de la capacidad de una esfera d tconductora

Sea una esfera metálica aSea una esfera metálica a potencial V0. No hay más carga ni más conductores en el sistema

ánde

z Potencial0 ( )V r R

Campo( )r R

0

nzál

ez F

erná 0

0

( )

( )V R r Rr

02

( )

( )rV R r Rr

Eu

Anto

nio

Gon

CapacidadCargaPara la Tierra (RT = 6370 km)

© 2

010,

A

704QC R

V 0 0 0·d 4

SQ RV E S

T vale C = 0.71mF

Coeficientes de capacidad en un i t d d d tsistema de dos conductores

En ausencia de densidad deEn ausencia de densidad de carga de volumen queda

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

Q C V C VQ C V C V

12 21C C

ánde

z

2 21 1 22 2

á á

nzál

ez F

erná Si hay más de un conductor

V = 0 NO implica Q = 0Si hay más de un conductor Q = 0 NO implica V = 0

Anto

nio

Gon

1 12 2 0Q C V 12 21 0C VV

C Si V1=0 Si Q1=0

© 2

010,

A 11C

8

Coeficientes de capacidad en un sistema de d d t i d ddos conductores: propiedades

Si V1=V0 > 0 y V2=0Si V1 V0 > 0 y V2 0

El campo va del 1 al 21

2

11 0 1·d 0

SQ E S C11 > 0

1

ánde

z

En el mismo caso2

nzál

ez F

erná

22 0 2·d 0

SQ E S

1

Anto

nio

Gon

L fi i di l C

C21 = C12 < 0

L fi i di l

© 2

010,

A

9

Los coeficientes diagonales C11y C22 son siempre positivos

Los coeficientes no diagonales C12 y C21 son negativos

Conductores en influencia total: d fi i ió i d ddefinición y propiedades

Cuando todas las líneas delCuando todas las líneas del conductor 1 van a parar al 2, sea cual sea el voltaje, se dice que el 1 está en influencia total con el 2

Ocurre cuando el 1 está dentro del

ánde

z

Ocurre cuando el 1 está dentro del 2 y no hay nada más en el hueco

Si V V V 0 seEn este caso, el

nzál

ez F

ernáSi V1 = V, V2 = 0, se

cumple que Q2 = –Q1C21 = –C11

conductor 2 actúa como una Jaula de Faraday:

Anto

nio

Gon No es recíproco.

No se cumple que C22 = – C12( l 2 á i fl i

El exterior de 2 no percibe

El hueco no percibe el

© 2

010,

A

10

(el 2 no está en influencia total con el 1)

el huecopexterior de 2

Procedimiento de cálculo de los fi i t d id dcoeficientes de capacidad

Para hallar los Cik de un sistema ikhay dos caminos:

1) Suponer Vk = V0 V = 0 (j ≠ k)1) Suponer Vk V0, Vj 0 (j ≠ k)

1 1 0kQ C V Se repite para k=1,…N

ánde

z

Permite hallar las columnas de C, 1 a 1

2 2 0kQ C V

nzál

ez F

erná

0N NkQ C V Más fácil Más largo2) Suponer Vk ≠ 0 (k)

Q C V C V

Anto

nio

Gon Permite hallar todo C a la vez,

identificando cada coeficiente

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

Q C V C VQ C V C V

© 2

010,

A

111 1 2 2N N NQ C V C V

Más difícilMás rápido

Coeficientes de capacidad para dos f é t i 1ª lesferas concéntricas: 1ª columna

Si V1 = V0, V2=0 La superficie S1 solo 1 0, 2

4 b

p 1contiene la carga de la esfera interior

1

01 0 1 1 0

4·dS

abQ Vb a

E S

011

4 abC

ánde

z

La superficie exterior contiene la carga de las dos esferas1 1abV

11Cb a

nzál

ez F

erná las dos esferas

21 2 0 1 2·d 0

SQ Q E S

0

1

1 1

0

abV a r bb a r b

r b

Anto

nio

Gon

02 1 0

4 abQ Q Vb a

0

2 rabV a r b

b a r

uE

© 2

010,

A

12

1 1

b a r

r b

E

00

21 114 abC Cb a

Influencia total

Coeficientes de capacidad para dos f é t i 2ª lesferas concéntricas: 2ª columna

Si V2 = V0, V1=0 La superficie S1 solo 2 0, 1 p 1contiene la carga de la esfera interior

4 b

L fi i t i

1

01 0 2 1 0

4·dS

abQ Vb a

E S

ánde

z

La superficie exterior contiene la carga de las dos esferas0 1 1abV a r b

nzál

ez F

erná

2

0

b a a r

V b r br

21 2 0 2 2 0 0·d 4

SQ Q bV E S

Anto

nio

Gon

02 0 0 0

44 abQ bV Vb a

r

0

2 rabV a r b

b a r

u

E

012 21

4 abC Cb a

© 2

010,

A

13

2 2

02 r

V b r br

E

u2

022 12

4 bC Cb a

No hay Influencia total

Coeficientes de capacidad para dos f é t iesferas concéntricas: resumen

Resulta la matriz Simétrica

04 a ab C

Elementos diagonales positivos

b a a b

CElementos no diagonales negativos

ánde

z

El 1 está en influencia total con el 2

En un caso general Si lo que se conoce son las cargas pueden

nzál

ez F

erná

1 Q Q

En un caso general las cargas en cada conductor serán

Si lo que se conoce son las cargas pueden calcularse los potenciales despejando

1V QCM t i i l

Anto

nio

Gon

01 1 2

4 baQ V Vb a

1 21

0

14

Q QVa b

Q Q

conductor serán

11 11 a b

C

1·V QCMatricial:

© 2

010,

A

02 2 1

4 bQ bV aVb a

1 22

04Q QV

b

14

04 1 1b b

C

Propiedades de los sistemas de N d tconductores

En un problema general, en p g ,ausencia de carga de volumen tenemos las relaciones matriciales

Q C C C V

·Q VC 1·V QC

ánde

z

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2·

N

N

Q C C C VQ C C C V

nzál

ez F

erná

1 2N N N NN NQ C C C V

Simétrica: Cik = Cki

Elementos diagonales

Anto

nio

Gon Elementos diagonales

positivos: Cii > 0

Elementos no diagonales

Cik = 0 cuando i y kestán apantallados por

Ej.:C14 = 0

© 2

010,

A

15

Elementos no diagonales negativos o nulos: Cik ≤ 0 (i≠k)

p pun tercer conductor

14C24 = 0

Ejemplo: sistema de 4 conductores é igenérico

Calculando la matriz aproximadaCalculando la matriz aproximada por el método de elementos finitos (con un error inferior al 1%)

0

9.086 9.090 0.000 0.0009.088 15.945 1.565 1.752

C

C

ánde

z

0 0.000 1.549 3.669 1.3160.000 1.759 1.336 4.067

C

C

Cii > 0

nzál

ez F

erná

C0 es una cantidad que depende de la escala y de ε0

El conductor 1 está en influencia total con el 2:

Cik ≤ 0 (i≠k)

Anto

nio

Gon El conductor 1 está en influencia total con el 2:

C CNo puede haber líneas que vayan del 1 al 3 o al 4 Por

Análogamente, C13 = 0, C14 = 0 ya que no hay líneas del

© 2

010,

A

16

C11 = –C12 vayan del 1 al 3 o al 4. Por tanto C31 = 0, C41 = 0.

0, ya que no hay líneas del 3 al 1, o del 4 al 1.

Sevilla diciembre de 2010

ánde

z

Sevilla, diciembre de 2010

nzál

ez F

erná

Anto

nio

Gon

© 2

010,

A

17