Tema 3. Estática del sólido rígido -...
Transcript of Tema 3. Estática del sólido rígido -...
Tema 3. Estática del sólido rígido
1. Concepto de sólido rígido. Fuerzas externas e internas
2. Momento de una fuerza respecto de un punto y respecto de un eje
4. Condiciones de equilibrio para un sólido rígido
5. Reacciones en los apoyos y uniones en un sólido rígido
6. Reacciones estáticamente indeterminadas. Ligaduras parciales.
1
3. Cálculo del centro de gravedad
Objetivos
Conocer el modelo de sólido rígido y distinguir entre fuerzas externas e internas
Saber qué es el centro de gravedad y su cálculo para figuras sencillas
Conocer y saber aplicar las condiciones de equilibrio de un sólido rígido
2
Equilibrio de una partícula
Una partícula se dice que está en equilibrio si permanece en reposo si estaba en reposo, o si se mueve con velocidad constante si estaba en movimiento.
Matemáticamente la condición de equilibrio viene dada por:
3
4
Problema de equilibrio
Una caja de 272 kg se mantiene en una posición determinada sobre la rampa basculante de un camión sostenida por la cuerda AB. Si α=25º. ¿Cuál es la tensión de la cuerda? (b) Si por seguridad la cuerda soporta una tensión máxima de 182 kg ¿Cuál es el máximo valor permitido de α?
5
¿Cómo podemos resolverlo?
1. Vamos a dibujar todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en cuestión aislándolo del resto.
- Considerar al cuerpo como una partícula
-Todas las fuerzas concurren en un punto
CENTRO DE GRAVEDAD O CENTRO DE MASAS
- Aplicamos la condición de equilibrio
Es una ecuación vectorial
¿Estamos en una, dos o tres dimensiones?
Para un sistema de fuerzas en dos dimensiones
x
y
Fx 0Fy 0
6
7
Dos dimensiones
Tenemos que tomar un sistema de referencia
Eje x Eje y
A lo largo del plano inclinado
Perpendicular al plano inclinado
xy
Ecuaciones
xy
mgcos
mgsen
8
CONDICIONES DE EQUILIBRIO
Fx 0 T mgsen 0
Fy 0 mgcos N 0De la primera ecuación obtenemos el valor de TT 1126.5N T 115kg
b)Tmáx 182 kg=1783,6N ¿Cuál será el mayor valor de alfa?
Tmáx mgsen sen Tmáx
mg 0,67 42º
Ejemplo 1 (Problema F3.5, pag 198)Si la masa del cilindro C es de 40 kg, determinar la masa del cilindro A a fin de sostener el ensamble en la posición mostrada.
9
Ejemplo 2 (Problema 3.52, pag 214)Determine la fuerza necesaria en cada uno de los tres cables para elevar el tractor cuya masa es de 8 Mg.
10
Para un sistema de fuerzas tridimensionalesz
yx
Fx 0Fy 0
Fz 011
No siempre se puede usar el modelo de
partícula Un cuerpo debe tratarse como un
conjunto de muchas partículas
Tendremos que considerar el
tamaño del cuerpo
Las fuerzas actuarán sobre
diferentes puntos del mismo
1. Concepto de sólido rígido. Fuerzas externas e internas
12
¡ Otro modelo! EL SÓLIDO RÍGIDO
Es aquel cuerpo que no se deforma
1. Concepto de sólido rígido. Fuerzas externas e internas
13
Fuerzas externas Fuerzas internas
☞ Acción de otros cuerpos sobre el sólido rígido en cuestión
☞ Responsables del comportamiento externo del sólido
☞ Son aquellas que mantienen unidas entre sí las partículas del sólido rígido
Un conjunto de fuerzas actuando sobre un sólido rígido le producirán
un movimiento de traslación y/o de rotación
La resultante de las fuerzas externas es nula
El sólido rígido está en equilibrio
El momento de todas las fuerzas respecto a un punto es igual a cero
Condiciones de equilibrio para el sólido rígido
14
Momento de una fuerza respecto de un punto y respecto de un eje
15
La propiedad de la fuerza aplicada para hacer girar el cuerpo se mide con una magnitud física que se llama MOMENTO de la fuerza.
¿Qué factores intervienen en el giro?
⇒ Intensidad de la fuerza
⇒ distancia entre el punto de aplicación de la fuerza y la línea de giro
➢ Momento de la fuerza respecto de un punto
Se define el momento de la fuerza respecto del punto O como
El módulo del momento será:
(N.m)
16
El módulo del momento mide la tendencia de la fuerza F a imprimir al sólido una rotación
alrededor de un eje dirigido según el momento.
SIGNIFICADO FÍSICO
Ejemplo 3 (problema 4.13, pag. 228)
Dos fuerzas iguales y opuestas actúan sobre la viga. Determinar la suma de los momentos de las dos fuerzas a) respecto al punto P; b) respecto al punto Q y c) respecto al punto de coordenada x = 7 m e y = 5 m.
17
Ejemplo 4 (problema 4.53, pag. 242)
Las tres fuerzas mostradas se aplican a la placa. Determinar la suma de los momentos de las tres fuerzas respecto al origen P
18
➢ Momento de una fuerza respecto de un eje
x
y
z
O
L
C
El momento de la fuerza respecto del eje OL es la proyección del momento respecto del punto O sobre el eje OL
Vector unitario en la dirección del eje OL19
También podremos escribir
x y z
x y z
Fx Fy Fz
20
➢ Momento de una fuerza respecto de un eje
SIGNIFICADO FÍSICO
El momento de la fuerza F respecto del eje OL mide la tendencia de la fuerza a imprimir al sólido rígido un movimiento de rotación alrededor del eje fijo OL
Ejemplo 5 (problema 4.82, pag. 256)
Cuatro fuerzas actúan sobre la placa mostrada en la figura. Sus componentes son:
Determinar la suma de los momentos de las fuerzas a) respecto del eje x y b) respecto al eje z
21
La condición necesaria y suficiente para que un sólido rígido esté en equilibrio es que:
Condiciones de equilibrio para el sólido rígido
22
Descomponiendo cada fuerza y cada momento en sus componentes:
∑ F x=0 ∑ F y=0 ∑ F z=0
∑ M 0x=0 ∑M 0 y
=0 ∑ M 0z=0
23
Ejemplo de condiciones de equilibrio
En cuál de los tres casos siguientes está el sólido rígido en equilibrio:
24
Veamos el primero las condiciones que se deben de cumplir.
Como el sólido está en un planoFx 01.En cuanto a las fuerzas:
Fy 02.En cuanto a los momentos:
El momento de las fuerzas respecto de un punto tendrá siempre una dirección perpendicular al plano:
• Será positivo si hace girar al sólido en sentido contrario a las agujas del reloj
• Será negativo si hace girar al sólido en el sentido de las agujas del reloj
25
Consideremos el caso 1
x
y
Momentos
−
+
Componentes de la fuerza de 5 N
5N3m
4m 5m
Componente x:
3
5F
Componente y:
4
5F
Fx 3 3 3
55 3N
Fy 4 4
55 0N
MB 3 4 3 4 0Nm
No está en equilibrio
26
Consideremos el caso 2
Momentos
−
+
10N3m
4m 5m
Componente x:
3
5F
Componente y:
4
5F
Fx 3 3 3
510 0N MB 3 4 3 3 3Nm
No está en equilibrio
x
y
Componentes de la fuerza de 10 N
Fy 8 4
510 0N
27
Consideremos el caso 3 Momentos
−
+
20N3m
4m 5m
Componente x:
3
5F
Componente y:
4
5F
Fx 4 8 3
520 0N MB 4 4 8 2 0Nm
Está en equilibrio
Componentes de la fuerza de 20 N
Fy 16 4
520 0N
x
y
28
3. Centro de MASA, centro de gravedad y centroide de un cuerpo
CENTRO DE MASAS : Es un punto donde se concentra todo la masa de un cuerpo.
PARA UN SISTEMA DISCRETO
XCM mixi
i
M
YCM miyi
i
M
ZCM mizi
i
M
29
3. Centro de gravedad, centro de masa y centroide de un cuerpo
PARA UN SISTEMA CONTINUO
XCM xdmM
YCM ydmM
ZCM zdmM
Como estas masas están situadas en el campo gravitatorio, cada una de ellas sentirá la fuerza de la gravedad, y en este caso el centro de masas pasa a CENTRO DE GRAVEDAD.
CENTROIDE DE VOLUMEN
Si el cuerpo es homogéneo y tiene una densidad constante dm dV
Al sustituir en las ecuaciones anteriores obtenemos las expresiones para localizar al centroide C o centro geométrico del cuerpo:
CENTROIDE DE ÁREA Y DE LÍNEA
32
3. Centro de gravedad, centro de masa y centroide de un cuerpo
Si los cuerpos tienen cierta simetría, el centro de masas se sitúa sobre el eje de simetría.
CGCG
CUERPOS COMPUESTOS
ΣW
x
yz
O Y
GX
x
yzW1
W3
G3
G1
G2O
W2
Problema 10 boletín
Un sistema de tres partículas se dispone, como se indica en la figura, en los vértices de un triángulo rectángulo. Calcular la posición del centro de masas del sistema.
Problemas 12, 15
12.- Demostrar que el centro de masas de una barra homogénea de masa M, longitud L y densidad lineal de masa λ, está situado en la mitad de la barra.
15.- Calcular el centro de gravedad de un triángulo.
PROBLEMAS 18 Y 1918 . Determinar el centro de gravedad de las superficies compuestas de las figuras
37
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE ESTÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO EN DOS DIMENSIONES
Determinar las componentes horizontal y vertical de la reacción en la viga , causada por el pasador en B y el balancín en A, como se muestra en la figura. No considerar el peso de la viga.
38
1.- Dibujar el diagrama de sólido libre
a. Trazar el contorno del cuerpo. Debemos imaginar el cuerpo aislado “libre” de sus restricciones y conexiones.
b. Mostrar todas las fuerzas y momentos. Identificar todas y cada una de las fuerzas externas y momentos conocidos o desconocidos que actúen sobre el cuerpo. En general se deben a (1) cargas aplicadas, (2) reacciones que ocurren en los soportes o en los puntos de apoyos con otros cuerpos y (3) el peso del cuerpo.
c. Identificar cada carga y las dimensiones dadas. Las fuerzas y los momentos conocidos se deben marcar con sus propias magnitudes y direcciones. Las fuerzas y momentos desconocidos se mostraran sus magnitudes con letras y sus direcciones con ángulos. Hay que indicar también las dimensiones del cuerpo para calcular los momentos de las fuerzas.
39
PUNTOS IMPORTANTES A CONSIDERAR PARA TRAZAR EL DIAGRAMA DE SÓLIDO LIBRE
• Ningún problema de equilibrio debe resolverse sin trazar primero el diagrama de sólido libre.
• Si un soporte evita la traslación de un cuerpo en una dirección particular, entonces el soporte ejerce una fuerza sobre el cuerpo en esa dirección.
• Si se evita la rotación, entonces el soporte ejerce un momento sobre el cuerpo.
• Las fuerzas internas nunca se muestran en el diagrama del sólido libre.
• El peso del cuerpo es una fuerza externa y su efecto se representa mediante una sola fuerza que actúa a través del centro de gravedad del cuerpo.
40
Vamos a dibujar el diagrama de sólido libre de nuestro problema.
41
REACCIONES EN LOS APOYOS PARA SÓLIDOS RÍGIDOS EN DOS DIMENSIONES
Tipo de conexión Reacción Número de incógnitas
Cable
Una incógnita. La reacción es una fuerza de tensión que actúa alejándose del elemento en la dirección del cable.
Eslabón sin peso
Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa a lo largo del eje del eslabón.
Rodillo
Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa perpendicularmente a la superficie en el punto de contacto.
42
REACCIONES EN LOS APOYOS PARA SÓLIDOS RÍGIDOS EN DOS DIMENSIONES
Tipo de conexión Reacción Número de incógnitas
Rodillo confinado en ranura lisa
Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa perpendicular a la ranura.
Balancín
Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa perpendicularmente a la superficie en el punto de contacto.
Superficie de contacto lisa
Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa perpendicularmente a la superficie en el punto de contacto.
43
REACCIONES EN LOS APOYOS PARA SÓLIDOS RÍGIDOS EN DOS DIMENSIONES
Tipo de conexión Reacción Número de incógnitas
Elemento conectado mediante un pasador a un collar sobre una barra lisa
Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa perpendicularmente a la barra.
Pasador liso o articulación lisa
Dos incógnita. Las reacciones son dos componentes de fuerza, o la magnitud y la dirección ϕ de la fuerza resultante
44
REACCIONES EN LOS APOYOS PARA SÓLIDOS RÍGIDOS EN DOS DIMENSIONES
Tipo de conexión Reacción Número de incógnitas
Elemento con conexión fija a un collar sobre una barra lisa
Dos incógnita. Las reacciones son el momento y la fuerza que actúa perpendicularmente a la barra.
Tres incógnita. Las reacciones son el momento y las dos componentes de fuerza o el momento y la magnitud y la dirección de la fuerza resultante.Soporte fijo
45
SEGUIMOS CON LA RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA
Balancín
Introduce una incógnita Ay
Pasador liso o articulación lisa
Introduce dos incógnitas Bx y By
46
El resultado final del diagrama de sólido rígido es
Equilibrio de un sólido rígido en dos dimensiones
Para una estructura bidimensional y eligiendo los ejes x e y en el plano de la estructura tenemos:
0zF 0 yx MM Oz MM
Entonces las ecuaciones de equilibrio son:
0 xF 0 yF 0OM
Como el par es independiente del punto de aplicación, podemos escribir las ecuaciones de forma general:
0 xF 0 yF
Donde A es un punto arbitrario del plano de la estructura.
0AM
EJEMPLO Supongamos la siguiente estructura
A B
C DP
Q
S
Veamos cuáles son las ecuaciones de equilibrio
Diagrama de sólido libre
B
CD
P
Q
S
AAx
AyB
Py
Px Qx
Qy
Sx
Sy
W
COMPLETAMENTE LIGADO
Se dice en este caso que el SÓLIDO
Cuando los apoyos usados son tales que imposibilitan el movimiento del sólido rígido para las cargas dadas.
También se dice que:
Las REACCIONES están ESTÁTICAMETE DETERMINADAS
Cuando las incógnitas se encuentran resolviendo las tres ecuaciones de equilibrio
Reacciones estáticamente indeterminadas. Ligaduras parciales
Consideremos la siguiente estructura
A B
C DP
Q
S
Hagamos el diagrama de sólido libre
B
CD
P
Q
S
AAx
Ay
Py
Px Qx
Qy
Sx
Sy
W
Bx
By
B
C D
AAx
Ay
Py
Px Qx
Qy
Sx
Sy
W
Bx
By
Las reacciones presentan 4 incognitasLas ecuaciones de equilibrio son 3Las REACCIONES son ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS
Consideremos ahora este otro caso:
A B
C DP
Q
S
Diagrama de sólido libre
B
CD
P
Q
S
A
B
Py
Px Qx
Qy
Sx
Sy
W
A
B
C D
AB
Py
Px Qx
Qy
Sx
Sy
W
A
Las ligaduras no impiden el movimiento
La estructura se puede mover horizontalmente
La estructura está PARCIALMENTE LIGADA
2 incógnitas
3 ecuaciones
La estructura no puede mantenerse en equilibrio en condiciones generales
Resumiendo
* Para que el sólido rígido esté completamente ligado
* Para que las reacciones en los apoyos estén estáticamente determinadas
TIENE QUE HABER TANTAS INCOGNITAS COMO ECUACIONES DE EQUILIBRIO
¡¡Pero!!
Esta es una condición necesaria pero no suficiente
Así, supongamos la siguiente estructura
A B
C DP
Q
S
E
B
CD
P
Q
S
A
B
Py
Px Qx
Qy
Sx
Sy
W
A
Diagrama de sólido libre
EE
B
C D
AB
Py
Px Qx
Qy
Sx
Sy
W
A EE
Se introducen 3 incógnitas
¡PERO! 0xF
NO se cumple
La estructura se moverá horizontalmente
Número insuficiente de ligaduras
La estructura está IMPROPIAMENTE LIGADA
Para estar seguros de que un sólido rígido bidimensional está completamente ligado y que las reacciones en sus apoyos están estáticamente determinadas, debe comprobarse que las reacciones introducen tres incógnitas (y sólo 3) y que los apoyos están dispuestos de forma que las reacciones no son ni concurrentes ni paralelas.
● Sólido completamente ligado: No se mueve● Sólido parcialmente ligado o impropiamente ligado: puede moverse
● Reacciones estáticamente determinadas: pueden calcularse todas
● Reacciones estáticamente indeterminadas: NO pueden calcularse todas
Resumiendo
Diferencia entre sólido parcialmente ligado e impropiamente ligado
● Los dos puede moverse.● Sólido parcialmente ligado: Pueden calcularse todas las reacciones (son estáticamente determinadas)
● Sólido impropiamente ligado: NO pueden calcularse todas las reacciones (son estáticamente indeterminadas)
P
S
P
S
Equilibrio en tres dimensiones
Equilibrio de un sólido rígido en tres dimensiones
Las condiciones de equilibrio son:
0F
y 0 FrMO
De aquí se deducen seis ecuaciones escalares
0xF 0yF 0zF
0xM 0yM 0zM
Tenemos 6 ecuaciones 6 incógnitas
* Si las reacciones introducen más de 6 incógnitas
Más incógnitas que ecuaciones
Algunas de las reacciones están ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS
* Si las reacciones introducen menos de 6 incógnitas
Más ecuaciones que incógnitas
Alguna de las ecuaciones de equilibrio no pueden satisfacerse
El sólido rígido está PARCIALMENTE LIGADO
68
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE ESTÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO EN TRES DIMENSIONES
Determinar las componentes de reacción que ejercen la junta de rótula esférica ubicada en A, la horquilla lisa en B y el soporte de rodillo en C, sobre el ensamble de barras que se muestra en la figura.
69
Tenemos que hacer al igual que antes el diagrama de sólido libre
70
REACCIONES EN LOS APOYOS PARA SÓLIDOS RÍGIDOS EN TRES DIMENSIONES
Tipo de conexión Reacción Número de incógnitas
Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa alejándose del elemento en la dirección conocida del cable.
Soporte superficial liso
Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa perpendicularmente a la superficie en el punto de contacto.
Cable
71
REACCIONES EN LOS APOYOS PARA SÓLIDOS RÍGIDOS EN TRES DIMENSIONES
Tipo de conexión Reacción Número de incógnitas
Una incógnita. La reacción es una fuerza que actúa perpendicularmente a la superficie en el punto de contacto.
Rodillo
Rótula esférica
Tres incógnitas. Las reacciones son las tres componentes rectangulares de la fuerza.
72
REACCIONES EN LOS APOYOS PARA SÓLIDOS RÍGIDOS EN TRES DIMENSIONES
Tipo de conexión Reacción Número de incógnitas
Horquilla lisa
Cuatro incógnitas. Las reacciones son dos fuerzas y dos componentes de momento que actúan perpendicularmente al eje.
Pasador liso simple
Cinco incógnitas. Las reacciones son tres fuerzas y dos componentes de momento.
73
REACCIONES EN LOS APOYOS PARA SÓLIDOS RÍGIDOS EN TRES DIMENSIONES
Tipo de conexión Reacción Número de incógnitas
Bisagra
Cinco incógnitas. Las reacciones son tres fuerzas y dos componentes de momento.
Soporte fijo
Seis incógnitas. Las reacciones son tres fuerzas y tres componentes de momento.
Problema 29 (boletín)
El poste ABC de 6 m de altura está sometido a una fuerza de 455N como se muestra. El poste se sostiene mediante la rótula en A y los cables BD y BE. Determinar la tensión de cada cable y la reacción en A
A D
E
B
C
F
455 N
3 m
3 m
1.5 m
3 m
3 m1.5 m
3 m
2 m
X
Y
Z
Problema 31 (boletín)
Un rótulo de 1.5x2.4 m y de densidad uniforme, pesa 1350N y lo sostiene unarótula en A y dos cables. Determinar la tensión en cada cable y la reacción en A. TEC TBD
Ay
AzAx
W
G
Problema 27 (Boletín)
El tubo ACDE está soportado por las rótulas A y E y el alambre DF. Hallar la tensión de éste cuando se aplica como se indica en la figura una carga de 640N.
X Z
Y
D
A
F
E
C
20 cm49 cm
48 cm
16 cm
24 cm
640 N
Aparecen 7 incógnitas Momento respecto del eje AE igual a cero
Problema
La placa rectangular de la figura pesa 375 N y se mantiene en la posición representada mediante las bisagras A y B y el cable EF. Suponiendo que la bisagra B no ejerce empuje axial, hallar a) la tensión del cable y b) las reacciones en A y B
Ay
Az
Ax
Bz
ByTG
W
Problema 5.76 CB
El elemento se sostiene mediante un pasador en A y un cable BC. Si la carga en D es de 300 lb, determinar las componentes x, y, z de la reacción en el pasador A y la tensión en el cable BC
Mz
Az
Ax
AyMy
T
W
80
PROBLEMA 3.18 (pág. 201 CB)
Determine las fuerzas necesarias en los cables AC y AB para mantener en equilibrio la bola D de 20 kg. Considerar F=300N y d= 1m.
81
PROBLEMA 3.47 (PÁG. 213 CB)
La grúa de brazos de corte se utiliza para llevar la red de pescado de 200 kg hacia el muelle. Determine la fuerza de compresión a lo largo de cada uno de los brazos AB y CD, y la tensión en el cable DB del cabestrante. Suponga que la fuerza presente en cada brazo actúa a lo largo de su eje.
FBD
FBA
FBC
W
82
Problema 4.28 (pág. 231 cb)
Cinco fuerzas actúan sobre un eslabón en el mecanismo de cambio de velocidad de una podadora de césped. La suma vectorial de las 5 fuerzas sobre la barra es igual a cero. La suma de los momentos respecto del punto en que actúan las fuerzas Ax y Ay también es cero. a)Determine las fuerzas Ax, Ay y Bb)Determine la suma de los momentos de la fuerzas respecto al punto en que actúa la fuerza B
83
Problema 4.69 (pág. 245)
La torre que se muestra en la figura tiene 70 m de altura. Las tensiones en los cables AB, AC y AD son 4 kN, 2 kN y 2kN respectivamente. Determine la suma de los momentos respecto al origen O debido a las fuerzas ejercidas por los cables en el punto A.
84
Problema 4.90 (Pág. 257 CB)
Se tiene la fuerza
F 10
i 12
j 6k
(N). ¿Cuál es el momento de la fuerza respecto de la línea AO de la figura? Trace un bosquejo para indicar la dirección del momento.
85
PROBLEMA 4.107 (Pág. 261 CB)
El eje y apunta hacia arriba. El peso de la placa rectangular de 4 kg que se muestra en la figura actúa en el punto medio G de la placa. La suma de los momentos respecto de la línea recta que pasa por los soportes A y B debidos al peso de la placa y a la fuerza ejercida sobre la placa por el cable CD es igual a cero. ¿Cuál es la tensión del cable?
TCD W
86
Problema 5.34 (pág. 327)
Determine las componentes horizontal y vertical de la reacción en el pasador A y la normal en la la clavija lisa B sobre el elemento.
Ay
Ax
87
Problema 5.70 (Pág. 351 CB)
Determine la tensión de los cables BD y CD y las componentes de reacción x, y, z en la junta de rótula esférica ubicada en A.
TBD
TCD