Tema 3 OWC Econom a para Matem ticos 2013 · para una combinación de factores . Se denota por ......
Transcript of Tema 3 OWC Econom a para Matem ticos 2013 · para una combinación de factores . Se denota por ......
y
u.m. Coste marginal
Coste medio
Tema 3:
Teoría de la Empresa
OWC Economía para Matemáticos
Fernando Perera Tallottp://bit.ly/8l8DDu
Factor de Producción: Factores que intervienen en la producción: trabajo, capital, tierra,… etc. Vamos a considerar que existen m factores
kz : cantidad utilizada del factor { }mk ,...,2,1∈
mmzzzz +ℜ∈= ),...,,( 21 : vector de factores utilizados por la
empresa. Función de Producción: nos da la producción máxima para una combinación de factores. Se denota por
++ ℜ→ℜmf : Supuesto: la función de producción es continua y diferenciable de segundo orden, creciente, estrictamentecreciente en m
++ℜ , estrictamente cuasicóncava y 0)0( =f . Isocuanta: combinaciones de factores de producción que producen el mismo nivel de producción.
Isocuantas
10
15
20
1z
2z
Rendimientos a escala:
Rendimientos constantes a escala: cuando se duplican los factores se duplica la producción:
)()(0 zfzf λλλ =>∀ Rendimientos decrecientes a escala: cuando se duplican los factores la producción aumenta menos del doble
)()()1,0(,
)()(1,
zfzfz
zfzfzm
m
λλλλλλ
>∈∀ℜ∈∀
⇔<>∀ℜ∈∀
++
++
Rendimientos crecientes a escala: cuando se duplican los factores la producción aumenta más del doble
)()()1,0(,
)()(1,
zfzfz
zfzfzm
m
λλλλλλ
<∈∀ℜ∈∀
⇔>>∀ℜ∈∀
++
++ http://bit.ly/8l8DDuFernando Perera-Tallo
Relación Marginal de Substitución Técnica de factor jpor factor k ( )(, zRMST jk ): la cantidad que puede
reducirse de factor j cuando se utiliza una unidad adicional de factor k, de tal manera que la producción permanezca constante.
=
∂∂∂
∂
=
j
kjk
zzf
zzf
zRMST)(
)(
)(, - Pendiente Isocuanta (espacio k-j)
http://bit.ly/8l8DDuFernando Perera-Tallo
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4
3
2
1
y=100
1z
2z
Costes
• Costes Contables: sólo incluyen los costes asociados a factores de producción ajenos a la empresa.
• Costes Económicos: incluye los coste de todos los factores de producción, incluido el coste de oportunidad de los factores de producción propios.
• Coste de oportunidad: ganancia que se ha dejado de obtener por no utilizar los recursos propios en el mejor uso alternativo.
http://bit.ly/8l8DDuFernando Perera-Tallo
Vector de precios de los factores: vector que indica
el precio de utilización de cada uno de los factores m
mwwww +ℜ∈= ),...,,( 21 . En operaciones algebraicas
se le considera un vector fila mientras que al vector de
factores z se le considera un vector columna.
http://bit.ly/8l8DDuFernando Perera-Tallo
Función de costes: mínimo coste necesario para poducir una deteminada cantidad y, dado el precio de los factores:
0
)(.
min),(
≥≥
=
z
yzfas
wzywcz
Demanda condicionada de factores: combinaciones de factores que minimiza el coste para un nivel de producción:
0
)(.
min),(
≥≥
=
z
yzfas
wzywzz
http://bit.ly/8l8DDuFernando Perera-Tallo
Note que el problema de minimización del coste se puede
reescribir de la siguiente manera:
0
)(:.
min
*
≥≥≥
z
wzwz
yzfas
wzz
donde *z es tal que yzf ≥)( * . Por tanto el problema de
minimización del coste se define en un conjunto compacto.
Esto implica, según el Teorema de Weierstrass, que este
problema de optimización tiene solución.
http://bit.ly/8l8DDuFernando Perera-Tallo
0
)(.
min),(
≥≥
=
z
yzfas
wzywcz
Función Lagrangiana:
[ ]
[ ] ∑∑
∑
==
=
−−+
=−−+=
m
kkkm
m
kkk
m
kkk
zzzzfyzw
zzfywzL
121
1
1
),...,,(
)(
µλ
µλ
Condiciones de 1er orden solución interior:
j
k
j
kjk
jj
j
kk
k
w
w
z
zfz
zf
zRMST
z
zfw
z
Lz
zfw
z
L
=
∂∂∂
∂
=⇒
∂∂−=
∂∂
∂∂−=
∂∂
)(
)(
)()(
)(
,
λ
λ
Caso de dos factores: Recta Isocoste: combinaciones de factor 1 y 2 tales que el coste de contratarlas suponen el mismo coste para la empresa:
12
1
2
0222110 z
w
w
w
czzwzwc −=⇔+=
Pendiente: 2
1
w
w−
http://bit.ly/8l8DDuFernando Perera-Tallo
Men
os c
oste
2
1
w
w−∼2
1
w
w−∼∼−2
1
w
w
1z
2z
22110 zwzwc +=
22111 zwzwc +=
22112 zwzwc +=
Minimización del Coste
• Dado un nivel de producción ¿cuál es la combinación de factores que minimiza el coste?
• Punto de vista gráfico: dada una isocuanta ¿cuál es la recta isocoste más hacia la izquierda que intersecta con esa isocuanta?
http://bit.ly/8l8DDuFernando Perera-Tallo
Minimización del coste
z1
z2
),(2211 ywczwzw =+
),(1 ywz
),(2 ywz
yzf =)(
Conjunto de Posibilidades de elección
2
1
w
w−∼
Si la RMST es mayor que el precio relativo de los factores:si se reduce el factor 2 en una cuantía igual al precio relativo
del factor 1 con respecto al factor 2, y se contrata una unidad
adicional del factor 1, los costes no varían. Por tanto, si se
reduce el factor 2 en RMST unidades (que es mayor que el
precio relativo) y se contrata una unidad adicional de factor 1,
se reducen los costes, sin que se vea afectada la producción.
Por tanto, si la RMST es mayor que el precio relativo de los
factores, aumentando en una unidad el factor 1 se reducirán los
costes.
http://bit.ly/8l8DDuFernando Perera-Tallo
z1
z2
1~2
1 =−w
w
2 3
4
3
2
12
1 =w
wz1 =(2,4)
2)( 12,1 =zRMST
22111 zwzwc +=
Si la RMST es mayor que el precio relativo, aumentando en una unidad el factor 1 se reducen los costes.
z1
z2
1~2
1 =−w
w
2 3
4
3
2
12
1 =w
wz1 =(2,4)
Si la RMST es mayor que el precio relativo, aumentando en una unidad el factor 1 se reducen los costes.
2)( 12,1 =zRMST
22111 zwzwc +=
z2 =(3,2)
22112 zwzwc +=
Si la RMST es menor que el precio relativo de los factores:si aumenta el factor 2ven una cuantía igual al precio relativo del
factor 1 con respecto al factor 2, y se reduce en una unidad el
factor 1, los costes no varían. Por tanto, si el factor 2 aumenta
en RMST unidades (que es menor que el precio relativo) y se
reduce la contratación del factor 1 en una unidad, se reducen
los costes, sin que se vea afectada la producción.
Por tanto, si la RMST es menor que el precio relativo de los
factores, reduciendo en una unidad el factor 1 los costes
disminuirán.
http://bit.ly/8l8DDuFernando Perera-Tallo
z1
z2
2~2
1 −=−w
w
2 3
3
2
1
22
1 =w
w
1)( 12,1 =zRMST
z1 =(3,1)
22111 zwzwc +=
Si la RMST es menor que el precio relativo de los factores, disminuyendo en una unidad el factor 1 los costes se reducen.
z1
z2
2~2
1 −=−w
w
2 3
3
2
1
22
1 =w
w
Si la RMST es menor que el precio relativo de los factores, disminuyendo en una unidad el factor 1 los costes se reducen.
1)( 12,1 =zRMST
z1 =(3,1)
22111 zwzwc +=
22112 zwzwc +=
z2 =(2,2)
z1
z2
),(2211 ywczwzw =+
),(1 ywz
),(2 ywz
yzf =)(
2
1
w
w−∼
En el punto donde se minimizan los costes, la RMST se tiene que igualar al precio relativo de los factores
Óptimo: RMST1,2(z*) = w1/w2
Beneficios Económicos
• Costes Contables:sólo incluyen los costes asociados a factores de producción ajenos a la empresa.
• Costes Económicos: incluye los coste de todos los factores de producción, incluido el coste de oportunidad de los factores de producción propios.
• Coste de oportunidad: ganancia que se ha dejado de obtener por no utilizar los recursos propios en el mejor uso alternativo.
• Ingreso total (IT): Suma de los pagos que recibe la empresa por la venta de su producto.
• Beneficio contable = IT- Coste contable (no incluye el coste de oportunidad de los factores propios)
• Beneficio Económicoπ = IT – Coste Económico
http://bit.ly/8l8DDuFernando Perera-Tallo
Teoría de la Empresa Competitiva: Agente competitivo: Un agente que individualmente no puede afectar al precio del mercado y por tanto maximiza su función objetivo considerando los precios como dados(son precio aceptantes). Empresa competitiva: Una empresa que individualmente no puede afectar al precio del mercado y por tanto maximiza su función objetivo considerando los precios como dados (son precio aceptantes).
http://bit.ly/8l8DDuFernando Perera-Tallo
Empresa maximiza beneficios: • Desde el punto de vista de la contratación de factores:
)(:.
max,
zfyas
wzpyzy
≤
−
• Desde el punto de vista de la elección de la cantidad de producción:
),(max ywcpyy
−
http://bit.ly/8l8DDuFernando Perera-Tallo
Cuando existe solución del problema de maximización de
beneficios a la función que relaciona el precio del
producto y de los factores con los beneficios de la empresa
se les denomina función de beneficios:
)(:.
maxarg),(,
zfyas
wzpywpzy
≤
−=π
http://bit.ly/8l8DDuFernando Perera-Tallo
Cuando existe solución del problema de maximización de beneficios y es única, se denomina función de oferta de la empresa ),( wpy a la cantidad de producto que desea vender esa empresa por unidad de tiempo, dado el precio del bien y el precio de los factores. Se denomina función de demanda de factores por parte de una empresa
),( wpz a la cantidad de factores que desea contratar esa empresa por unidad de tiempo, dado el precio del bien y el precio de los factores. ( )
)(:.
maxarg),(),,(,
zfyas
wzpywpzwpyzy
≤
−=
http://bit.ly/8l8DDuFernando Perera-Tallo
)(:.
max,
zfyas
wzpyzy
≤
−
Función Lagrangiana
[ ] [ ]yzzzfzwpyyzfwzpy m
m
kkk −+−=−+− ∑
=
),...,,()( 211
λλ
Condiciones de primer orden para solución interior:
⇒
=∂
∂+−=∂∂
=−=∂∂
0)(
0
kk
k z
zfw
z
L
py
L
λ
λk
k
wz
zfp =
∂∂ )(
http://bit.ly/8l8DDuFernando Perera-Tallo
zk),( wpzk
kw
=∂
∂
kz
zfp
)(u.m.
Valor del producto marginal del factor k
⇒
=∂
∂
=∂
∂
jj
kk
wz
zfp
wz
zfp
)(
)(
j
k
j
kjk w
w
z
zfz
zf
zRMST =
∂∂∂
∂
=)(
)(
)(,
http://bit.ly/8l8DDuFernando Perera-Tallo
La maximización de los beneficios implica la minimización del coste
z1
z2
),(2211 ywczwzw =+
),(1 ywz
),(2 ywz
yzf =)(
Conjunto de Posibilidades de elección
2
1
w
w−∼
Maximización del beneficio desde el punto de vista de la elección de la cantidad de producción:
),(max ywcpyy
−
Condiciones de primer orden para solución interior:
⇒=∂
∂− 0),(
y
ywcp
y
ywcp
∂∂= ),(
http://bit.ly/8l8DDuFernando Perera-Tallo
Otra condición necesaria:
⇒=−≥−
⇒−∈
0)0,(0),(
),(maxarg
**
*
wcpywcpy
ywcpyyy
*
* ),(y
ywcp ≥
Precio de cierre: mínimo precio al cual la empresa estaría dispuesta a producir cantidades positivas:
y
ywcwp
y
cierre ),(min)( =
y),( wpy
p
=∂
∂y
ywc ),(u.m. Coste marginal
=y
ywc ),( Coste medio
)(wpcierre
Proposición: Sea: ( )
( ))(:.
maxarg,
)(:.
maxarg,
2
,
22
1
,
11
zfyas
wzypzy
zfyas
wzypzy
zy
zy
≤
−∈
≤
−∈
Si 1212 yypp ≥⇒> Demostración
( ) ( )( ) ( ) ( )
12
112212221112
111112221212
112222
yy
yppyppwzypypp
wzypyppwzypypp
wzypwzyp
≥
⇒−≥−⇒−+−
≥−+−≥−+−−≥−
Corolario (Ley de la oferta): Si la función de
oferta de una empresa existe ),( wpy , entonces es
creciente en el precio del producto que vende
dicha empresa.
http://bit.ly/8l8DDuFernando Perera-Tallo
y
=∂
∂y
ywc ),(
u.m.
Coste marginal
=y
ywc ),( Coste medio
),( 1 wpy
1ppcierre =
y
2p
=∂
∂y
ywc ),(
u.m.
Coste marginal
=y
ywc ),( Coste medio
),( 1 wpy ),( 2 wpy
1ppcierre =
y),( 3 wpy
2p
=∂
∂y
ywc ),(
u.m.
Coste marginal
=y
ywc ),( Coste medio
3p
),( 1 wpy ),( 2 wpy
1ppcierre =
y),( 3 wpy
2p
=∂
∂y
ywc ),(
u.m.
Coste marginal
=y
ywc ),( Coste medio
3p
1ppcierre =
),( 1 wpy ),( 2 wpy
=),( wpy Curva de oferta
Proposición: Sea: ( )
( ))(:.
maxarg,
)(:.
maxarg,
2
,
22
1
,
11
zfyas
zwpyzy
zfyas
zwpyzy
zy
zy
≤
−∈
≤
−∈
donde 12kk ww > y 12
jj wwkj =≠∀ 12kk zz ≤⇒
Demostración
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) 12112212
112212112212
112111212212
121222
kkkkkkkk
kkkkkkkkk
kkkkkk
zzzwwzww
zwwzwwzwwzwpy
zwwzwpyzwwzwpy
zwpyzwpy
≤⇒−≤−
−−≥−−⇒−−−
≥−−−≥−−−
−≥−
Corolario : Si la función de demanda de un factor por una empresa ),( wpzk existe, entonces es decreciente en su precio kw
http://bit.ly/8l8DDuFernando Perera-Tallo
Precio del factor k de cierre: máximo precio que puede tener el factor k para que la empresa decida producir, dado el precio de los demás factores y el precio del producto:
y
ywwpwcp
pwwpwpwpw
kkcierrek
y
kkcierrek
cierreDef
kcierrek
),),,((min
)),,((),(
−−
−−−
=
⇔=⇔
http://bit.ly/8l8DDuFernando Perera-Tallo
),( 1wpzk
u.m.
Valor del producto marginal del factor k1
kcierrek ww =
=∂
∂
kz
zfp
)(
kz
http://bit.ly/8l8DDuFernando Perera-Tallo
),( 1wpzk
u.m.
Valor del producto marginal del factor k1
kcierrek ww =
),( 2wpzk
=∂
∂
kz
zfp
)(
2kw
kz
http://bit.ly/8l8DDuFernando Perera-Tallo
),( 1wpzk
u.m.
Valor del producto marginal del factor k1
kcierrek ww =
),( 3wpzk),( 2wpzk
=∂
∂
kz
zfp
)(
3kw
2kw
kz
http://bit.ly/8l8DDuFernando Perera-Tallo
),( 1wpzk
u.m.
Valor del producto marginal del factor k1
kcierrek ww =
),( 3wpzk),( 2wpzk
=∂
∂
kz
zfp
)(
3kw
2kw =),( 3wpzk Curva de Demanda
del factor k
kz
http://bit.ly/8l8DDuFernando Perera-Tallo