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Tema 3: VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL
Carlos Alberola López
Lab. Procesado de Imagen, ETSI Telecomunicación
Despacho 2D014
[email protected], [email protected],http://www.lpi.tel.uva.es/sar
Juego de dardos:
• Cada lanzamiento es un experimento aleatorio.
• Los errores (respecto del centro) en sentido horizontal serían realizaciones de las VA X.
• Los errores (respecto del centro) en sentido vertical serían realizaciones de las VA Y.
Concepto de VA bidimensional
• ¿Cuándo será mejor un jugador que otro? Cuando más frecuentemente (probablemente) alcance mayor puntuación.
• Necesitamos pues herramientas bidimensionales ….
Una modulación digital:
• Se envían símbolos durante un tiempo T de la forma:
con
Un modelo real presenta ruido!!!
Concepto de VA bidimensional
• Diseño de regiones de decisión para minimizar probabilidad de error: sectores angulares similares a la diana.
• Valor de A que garantiza una determinada calidad en el servicio.
Concepto de VA bidimensional
X
Y( )YX,
Pc: Como norma general no es conocida a partir del conocimiento exclusivo de P1 y P2
Caracterización de VA bidimensional
A) Función de distribución conjunta
x
y
x{ }x≤X
y
{ }y≤Y
A) Función de distribución conjunta
x
y
{ }x≤X
y
{ }y≤Y { } 2Sx ×≤X
x
Caracterización de VA bidimensional
A) Función de distribución conjunta
x
y
{ }x≤X
{ }yS ≤× Y1
x
y
Caracterización de VA bidimensional
A) Función de distribución conjunta
x
y
{ }x≤X
{ }yS ≤× Y1
{ } { }ySSx ≤××≤ YX 12 I
{ } { }yx ≤≤ YX I
x
y
Caracterización de VA bidimensional
Función de distribución conjunta
• Se define como la probabilidad de la región anterior:
• Nótese que:
• Es una función de probabilidad acumulada:
Función de distribución conjunta
{ } { }00 yxA ≤≤= YX I
{ } { }11 yxB ≤≤= YX I
( ) ( )1100 ,, yxFyxF XYXY ≤
pues:
BACAB ⊂⇒= U
( ) ( )( ) ( )DPAP
DAPBPDAB+=
=⇒= UU
x
y
2x
y
1x
D
x
y
2x
y
1x
A
x
y
2x
y
1x
B
( ) ( ) ( )APBPDP −=
( ) ( ) ( )yxFyxFDP ,, 12 XYXY −=
Función de distribución: usos
( ) ( ) ( ) ( )DPAPBPEP −−=
( ) ( ) ( )2122 ,, yxFyxFEP XYXY −=
Función de distribución: usos
2x1x
x
y
2y
1yE
Dx
y
2x1x
A
2y
1y
x
y
2x1x
B
2y
1y
( ) ( )( )1112 ,, yxFyxF XYXY −−
( ) ( )( ) ( ) ( )EPDPAP
EDAPBPEDAB++=
=⇒= UUUU
B) Función de densidad de probabilidad
• La función de distribución es poco versátil, pues sólo permite hallar probabilidades de regiones con geometría muy sencilla.
• ¿Qué sucede si necesitamos calcular la probabilidad de una región con geometría arbitraria?
x
y
( )∑i
iRP
Caracterización de VA bidimensional
B) Función de densidad de probabilidad
• La función de densidad se define de la forma
• Y la relación inversa es
• De forma que la probabilidad asociada a una región arbitraria D del plano es
No negativa
Volumen encerrado=1
Caracterización de VA bidimensional
B) Función de densidad de probabilidad
• ¿Por qué recibe este nombre? Dado que se define
• se puede escribir de forma alternativa
Caracterización de VA bidimensional
Caracterización de VA bidimensional
B) Función de densidad de probabilidad
• ¿Por qué recibe este nombre? Dado que se define
• se puede escribir de forma alternativa xx Δ+x
x
yyy Δ+
y
Ejercicio:( ) ( )xFxP XX −=> 1 ( ) ( )yxFyxP ,1, XYYX −=>>¿ ?
¡¡NO!!{ } { }yxyxS ≤≤>>= YXYX UU,
( ) { } { }( )yxyxPSP ≤≤>>= YXYX UU,
( ) ( )yxPyxP ≤≤+>>= YXYX U,1
( ) ( )yxPyxP ≤≤−=>> YXYX U1,( ) ( ) ( ) ( )yxPyPxPyxP ≤≤−≤+≤=≤≤ YXYXYX IU
( ) ( ) ( )( )yxFyFxF ,1 XYYX −+−=
Funciones marginales• Las funciones de distribución o densidad de cada variable por
separado, en este contexto se denominan funciones marginales.
• A partir de las funciones de densidad o distribución conjunta siempre se pueden obtener las marginales
X
Y( )YX,
• Recíproco, en general, no es cierto
Funciones de distribución marginales• Para obtener hay que definir el suceso a
partir del caso 2D. Para ello escribimos
• Es decir, que en el suceso compuesto la segunda variable no suponga restricción alguna. Por ello
• De la misma forma
( )xFX ( )xP ≤X
( ) { }( )2SxPxP ×≤=≤ XX
Funciones de densidad marginales• En este caso:
• Lo cual se puede escribir de forma compacta como
• con
( )∫ ∞−=
xd
dxd ααφ
( ) ( )∫∞
∞−= dyyf ,ααφ XY
Funciones de densidad marginales• Para derivar bajo el signo integral acudimos a la regla:
• En nuestro caso tenemos:
• por lo que:
( ) ( ) ,∫ ∞−=
xd
dxdxf ααφX
( ) ( )∫∞
∞−= dyyf ,ααφ XY
( ) ( ) ( )∫∞
∞−== dyyxfxxf ,XYX φ
Funciones de densidad marginales• Por tanto:
Casos particulares:
A) Dos variables discretas
Supongamos que nos preguntan:
con
( )xP ≤X
( ) ( ) ( )CPBPAP ++=A B
C
222111 ppp ++=
{ } { }( )jiij yxPp === YX I
Casos particulares:
B) Una variable continua y una discreta
Supongamos que nos preguntan:
2R1R
( )yxP ≤≤ YX , ( )21 RRP U=
{ } { }yxR ≤== YX I11
{ } { }yxR ≤== YX I22
( ) ( )21 RPRP +=
( ) ( ) { } { }( ) { } { }( )yxPyxPRPRP ≤=+≤==+ YXYX II 2121
( ) ( ) ( ) ( )2121, RPRPRRPyxP +==≤≤ UYX
( ) ( ) ( ) ( )2211 xPxyPxPxyP ==≤+==≤= XXYXXY
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∞− ∞−==+===
y y
Y dxfxPdxfxP ττττ 2211 XXXX Y
Entonces:
Por lo que:
Es necesario pues conocer:
( )ixP =X
( )ixyf =XY
Casos particulares:
C) Componentes relacionadas mediante ( )XY g=Se puede obtener la función
conjunta a través de cada una de las marginales:
( )xgy >
( ) )(),( xFxPyxF XXY X =≤=
( )xgy <
( )( ) ( ))(),( 11 ygFygPyxF −− =≤= XXY X
( )( )xg,x
Casos particulares:Supongamos que las componentes están relacionadas mediante
una recta y nos piden la probabilidad de la región sombreada:
A
B C
D
R
( ))()(
)()(DFCF
BFAFRP
XYXY
XYXY
−−
+=
( )xgy >
( )xgy <
D
CBA ,,
( ) XXY 2== g
)0())0(()()( 1XXXYXY FgFCFBF === −
( ) =−= )()( DFAFRP XYXY ( )( ) =−− )1(51XX FgF ( ) )1(2/5 XX FF −
Funciones condicionadas
• Se plantea cómo incluir más información en las funciones de caracterización total de las variables aleatorias una vez que se sabe que un determinado suceso se ha verificado.
• A tales funciones se les denomina funciones condicionadas, y se representan:
donde M es un suceso de probabilidad no nula.
Funciones condicionadas
Funciones condicionadas, marginales y conjuntas
• Existe una relación importante entre estas tres funciones, tanto a nivel de función de distribución como a nivel de función de densidad.
• Para la función de distribución, supongamos que el condicionante es y calculemos la función . Así pues
• Por ello:
• Y de forma similar
{ }yM ≤= Y( )MxFX
Funciones condicionadas, marginales y conjuntas
• Para la función de densidad, consideremos que el condicionante es una franja de valores de la VA Y, a saber, { }21 yyM ≤<= Y
• Renombramos ahora para poder acudir a cálculo diferencial:
⎩⎨⎧
+=
=
yyyyy
Δ2
1
• Teníamos que
• Y con el cambio de variables:
• Calculando el límite:
• Repetimos la expresión:
• Y ahora derivando con respecto a x:
• Por lo que podemos escribir:
Comentarios adicionales
• ¿Cómo es una función de densidad condicionada a la otra variable?
• Esta expresión permite construir muestras de una VA bidimensional mediante ordenador:
( )( ) muestras
x
100x,1N~0,1N~
⎭⎬⎫
=XYX x=randn(100,1)
y=x+randn(100,1)
Teorema de la Probabilidad Total
• Nótese que podemos integrar estas expresiones y obtenemos las funciones marginales:
Teorema de Bayes
Teorema de la Probabilidad Total
Independencia de dos VAs• Se dice que dos VAs son independientes si se verifica
que los experimentos aleatorios de los que proceden son independientes. Esto trae consigo que:
con
• En particular si escogemos podemos afirmar que dos VAs son independientes si:
• O bien
Independencia de dos VAs• Vimos que de forma general podemos escribir
• Según hemos visto las variables son independientes si se verifica que
Por tanto si son independientes “el condicionante no condiciona”
• Para el caso de las VAs discretas, la independencia se traduce en:
• La comprobación de la “no independencia” es muy sencilla e intuitiva. En particular
Independencia de dos VAs
Recorridos de VAsdependientes entre sí!!!!!
( ) 0, 00 =yxfXY pero ( )( )⎩
⎨⎧
≠
≠
00
0
0
yfxf
Y
X
• Objetivo: obtener la caracterización de Z a partir de la de X e Y.
• Procedimiento: a partir de la definición de función de distribución:
siendo
el procedimiento consiste en:
1. Identificar la región Dz
2. Realizar la integral
Transformación de VA 2D. Caso Z=g(X,Y)
• Consideremos que . Obtengamosla función de distribución de la VA Z.
• Partimos de:
Transformación de VA 2D. Ejemplo
• Entonces:
• Para obtener la función de densidad derivamos
( ) ( )∫ ∫∞
∞−
−
∞−=
xz
z dxdyyxfDP ,XY
( ) ( ) ( )dzDdP
dzzdFzf z== Z
Z
• Por tanto:
• Hagamos el cambio de variable
• Entonces
Transformación de VA 2D. Ejemplo
( ) ( ) ( )∫ ∫∞
∞−
−
∞−==
xzz dxdyyxf
dzd
dzDdPzf ,XYZ
xty −=
( ) ( )∫ ∫∞
∞− ∞−−=
zdxdtxtxf
dzdzf ,XYZ
( )∫ ∫∞−
∞
∞− ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=
zdtdxxtxf
dzd ,XY
( )∫ ∞−=
zdtt
dzd ϕ
( ) ( ) ( )∫∞
∞−−== dxxzxfzzf ,XYZ ϕ
• Nótese que si las VAs fuesen independientes, el resultado anteriormente obtenido:
• se escribiría
• Es decir
• Este resultado recibe el nombre de Teorema de la Convolución (la función de densidad de la suma de 2 VAs independientes es igual a la convolución de las funciones de densidad)
• Consultar tres ejemplos más en el libro.
Transformación de VA 2D. Ejemplo
( ) ( ) ( )∫∞
∞−−== dxxzxfzzf ,XYZ ϕ
( ) ( ) ( ) ( )∫∞
∞−−== dxxzfxfzzf YXZ ϕ
( ) ( ) ( )zfzfzf YXZ ∗=
• Consideremos ahora que partimos de:
• El objetivo es obtener la función de densidad de las VAs de destino como función de la función de densidad de las VAs de origen.
• Llegaremos a una expresión que será el Teorema Fundamental extendido a dos dimensiones.
Transformación de VA 2D. Dos funcionesde dos VAs
• Para ello, escribimos
Transformación de VA 2D. Dos funcionesde dos VAs
• Generalizando
• Y dado que:
Transformación de VA 2D. Dos funcionesde dos VAs
• Entonces resulta la expresión del teorema:
• con:
Transformación de VA 2D. Dos funcionesde dos VAs
• Solución: la expresión del teorema fundamental es:
( ) ( ) ( )yfxfyxf YXXY =,
• Sólo hay una raíz del plano origen que se transforma en una del plano destino (salvo para el (0,0), pero es un punto aislado en el plano).
• Por ello, escribimos:
• Sustituyendo términos:
• Hemos obtenido pues:
• Y dado que W=X
• Ahora hay que indicar en qué zona del plano (z,w) es cierta la conclusión obtenida.
( )xx
wzf 11, ==ZW
( )w
wzf 1, =ZW
x
y
1
1
0 w
z
1
1
0w
10 ≤≤≤ wz
• Consideremos ahora que partimos de:
es decir, de una transformación de 2 Vas.
• Supongamos que deseamos conocer su función de densidad. Podemos emplear el teorema fundamental haciendo lo siguiente:
• Este procedimiento es el método de la VA auxiliar
Transformación de VA. Método de la Variable Auxiliar
( )wzf ,ZW ( ) ( )∫∞
∞−= dwwzfzf ,ZWZ
(1)
(2) (3)
Indep.
Tenemos pues:
De forma que:
• De forma similar al caso 1D, si se tiene yse desea entonces se puede escribir:
• En particular, si
Caracterización parcial de VA-2D
( ){ }ZhE( )YXZ ,g=
( ) ZZ =h
• Si ahora
Caracterización parcial de VA-2Dcba ++= YXZ
• Variables discretas:
• Esperanzas condicionadas: úsese función de densidad condicionada
Caracterización parcial de VA-2D
Momentos de una VA-2D• Se dividen en
• No centrales:
• Centrales:
• Si las VAs son discretas:
Momentos de una VA-2D• Con nombre propio
• Correlación:
• Covarianza:
• Existe relación entre ellos:
• Coef. de correlación:
Momentos de una VA-2D• Variables ortogonales:
• Variables incorreladas:
• Independencia implica incorrelación:
• El recíproco no es cierto!!!!! (en general)
0=XYR
0=XYC
Momentos de una VA-2D• Variables incorreladas:
• Varianza de la suma es igual a suma de las varianzas:
• Variables ortogonales:
• Si las variables son ortogonales el mismo razonamiento aplica para el valor cuadrático medio de la suma.
0=XYC
0=XYR
Unas nociones sobre estimación• Se trata de poder predecir lo que vale una variable (Y)
una vez que se ha observado lo que vale la otra (X):
( )XY g=ˆ (estimador de Y)
Unas nociones sobre estimación• Criterio de construcción de estimadores:minimizar el
valor cuadrático medio del error
• Veremos tres casos:
• Estimar mediante constante:
• Estimar mediante función lineal
• Estimador sin restricciones
YYε ˆ−= { } ( ){ }22 ˆminmin YYε −= EE
( ) ag == XY
( ) bag +== XXY
( )XY g=ˆ
Unas nociones sobre estimación• Estimar mediante constante
• Estimar mediante función lineal
• Estimador sin restricciones
{ }2min εEa
( ) ag == XY { }YEa =∗
{ }2
,min εE
ba{ } { }XYX
XY
EaEb
Ca∗∗
∗
−=
= 2σ( ) bag +== XXY
( ){ }2min εE
g( )XY g=ˆ ( ) { } ( )∫∞
∞−=== dyxyyfxEg YXYX
Unas nociones sobre estimación• Es interesante ver que el coeficiente de correlación mide
el grado de relación lineal entre las variables:
• VCM del error para estimador constante:
• VCM del error para estimador lineal
• Si ambos coinciden, ¿Por qué? Porque:
{ } 22Yε σ=E
{ } ( )222 1 XYYε ρσ −=E
0=XYρ
{ } { }XYX
XY
EaEb
Ca∗∗
∗
−=
= 2σ