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TEMA 4 - Métodos Numericos

Raices de ecuaciones

Bibliografía:Métodos Numéricos – G. Pacce – Editorial EUDENE -1997.

Analisis Numerico – Burden and Faires- Editorial Sudamericana - 1996

INTRODUCCIÓN

� Uno de los problemas que con frecuencia se presenta, consiste en tener la necesidad de determinar las raíces de una ecuación de la forma:

� f(x) = 0 (4.1)

� Donde f(x) es una función de la variable real xcon coeficientes reales.

� Resolver la ecuación consiste en hallar valores numéricos de la variable independiente x, llamados RAÍCES de la ecuación, tal que reemplazados en el primer miembro la anulan.

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INTRODUCCIÓN

� El álgebra provee fórmulas de resolución para ecuaciones cuyos primeros miembros son polinomios, hasta el cuarto grado inclusive.

� Para ecuaciones de grado mayor no existen métodos exactos que las resuelvan.

� De igual manera ocurre con las ecuaciones denominadas trascendentes.

� Objetivo: Estudiar varios procedimientos que permiten calcular valores APROXIMADOS de las raíces.

INTRODUCCIÓN

� Definición de algunos términos y estudiar el comportamiento general de las ecuaciones.

� Las distintas etapas que, inevitablemente, deben seguirse para resolver una ecuación, son:

� ACOTACIÓN de las raíces,� SEPARACIÓN de las raíces, y� APROXIMACIÓN de las raíces.

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ACOTACIÓN DE LAS RAÍCES

� Consiste en determinar un intervalo abierto, denominado INTERVALO DE ACOTACIÓN, que contenga a todas las raíces que pudieran interesar.

� Existen maneras precisas de operar cuando las ecuaciones son algebraicas.

� Cuando se trata de ecuaciones trascendentes, el estudio debe realizarse para cada caso en particular.

SEPARACIÓN DE LAS RAÍCES

� La práctica de SEPARAR LAS RAÍCES equivale a realizar una partición del intervalo de acotación, tal que, en cada subintervalo cerrado se encuentre una y solamente una raíz.

� Para separar raíces de ecuaciones algebraicas se estudiarán algunos métodos particulares.

� Cuando se trata de ecuaciones trascendentes el estudio debe realizarse para cada caso especial.

� Este paso es de fundamental importancia, para evitar pasar por alto algunas raíces o no identificar raíces múltiples, principalmente.

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APROXIMACIÓN DE LAS RAÍCES.

� Consiste en calcular el valor numérico de las raíces con la precisión preestablecida.

� Para poder lograrlo se estudiarán métodos de aplicación general; útiles tanto para el caso de ecuaciones algebraicas como para las trascendentes.

� Se veran métodos especiales dedicados a ecuaciones algebraicas, cuya ventaja es un mayor rendimiento, velocidad y sencillez de operación.

COMPORTAMIENTO DE LAS

ECUACIONES

� Considérese un intervalo (a;b) en el cual una función f(x) es continua, y sea AB el arco que la representa en coordenadas cartesianas, entonces es posible afirmar que:

� I.- Si f(x) tiene distintos signos en dos puntos de abscisas a y b, se anula por lo menos una vez en (a;b), y en general, un número impar de veces(1). Consultar la figura 4.1.

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COMPORTAMIENTO DE LAS ECUACIONES

Figura 4.1.

a

y

x

A

B

b

COMPORTAMIENTO DE LAS ECUACIONES

� II.- Si f(x) tiene igual signo en dos puntos de abscisas a y b, o bien se anula un número par de veces en el intervalo (a,b), o bien no tiene ninguna raíz en el mismo.

� Puede apreciarse en la figura 4.2, que entre los puntos x=c y x=d, la función no se anula, mientras que, en el intervalo (a;b) se anula cuatro veces.

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COMPORTAMIENTO DE LAS ECUACIONES

A

B

C Dy

xa bc d

Figura 4.2.

COMPORTAMIENTO DE LAS ECUACIONES

� III.- Si f(x) es monótona creciente (o monótona decreciente) en el intervalo (a;b); -> f’(x) tiene un signo determinado (más o menos) en todo punto del intervalo, y es

� sg f(a) ≠ sg f(b), => , hay una sola raíz r de f(x)=0, mientras que,

� sg f(a) = sg f(b), =>con seguridad no hay ninguna raíz.

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COMPORTAMIENTO DE LAS ECUACIONES

En la figura 4.3, se representan los distintos casosdel teorema anterior.

x

y

a

b

y

xab

x

y

a b

y

xa

b

(1)(2)

(3) (4)

COMPORTAMIENTO DE LAS ECUACIONES

� IV.- Entre cada par de raíces consecutivas de f’(x) la función f(x) es creciente o decreciente; es decir, monótona y de acuerdo a III, tiene una sola raíz o ninguna.

� En la figura 4.4, se puede observar gráficamente distintas opciones de estos últimos teoremas.

� Nótese que en a6 , es f(a ) = f’(a ) = 0 , siendo pues, una raíz de tipo especial: RAÍZ MÚLTIPLE, (en este caso doble).

� En el punto a8 , se presenta otra particularidad; en este caso se trata de un PUNTO DE ENSILLADURA.

8

COMPORTAMIENTO DE LAS ECUACIONES

� Figura 4. 4.

a

b

a1

a2

a3 a4 a5 a7 a8a6

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

� Se estudiarán varios métodos de resolución de ecuaciones, los que podrán ser aplicados tanto a la resolución de ecuaciones algebraicas como trascendentes.

� Razón de incluir más de un método es el hecho, de que no existe, él método que resuelva todos los problemas que se puedan presentar en la práctica.

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MÉTODO DE TANTEOS

� En el MÉTODO DE TANTEOS se determinan valores de f(x) correspondientes a valores sucesivos de x hasta que se presente un cambio de signo en la evaluación de f(x), indica que se ha pasado por una raíz.

� Se puede obtener una aproximación mejorada del valor de la raíz volviendo al último valor de x que precede al cambio de signo,

� Y a partir de este, calcular los f(x) correspondientes a valores sucesivos de x, reiterando el procedimiento, pero, utilizando, un incremento menor al del inicio, hasta que cambie nuevamente el signo de f(x).

MÉTODO DE TANTEOS

� El procedimiento se reitera con incrementos de x cada vez más pequeños hasta lograr un valor suficientemente preciso de la raíz.

� Si se aplicara nuevamente para otros subintervalos de separación, se localizarán y aproximarán las sucesivas raíces de f(x), en cada cambio de signo de esta.

� Previo a su aplicación: es importante acotar y separar las raíces, con el fin de no pasar por alto alguna de ellas.

� Elegir cuidadosamente el valor inicial del incremento para evitar que no se identifique una de dos raíces muy próximas.

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MÉTODO DE TANTEOS

� Método elemental, pero muy laborioso de ser aplicado manualmente,

� De uso corriente debido a la gran capacidad y rapidez de procesamiento de las computadoras electrónicas digitales.

ERROR EN EL MÉTODO DE TANTEOS

� El método visto es un algoritmo infinito que deberá ser detenido indefectiblemente mediante algún procedimiento artificial.

� Para lograr la precisión deseada, se detiene el procesamiento cuando la diferencia, en valor absoluto, entre dos valores consecutivos de la variable es menor o igual que E positiva y arbitraria, previamente establecida.

� Cuando la DIFERENCIA ABSOLUTA resulta:

x xi i− − ≤1 E

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ERROR EN EL MÉTODO DE TANTEOS

� Una alternativa muy utilizada, consiste en operar sobre el valor de la función que, en este caso es calculada en todos los pasos para estudiar la evolución del cambio de signo de la función.

� Puede detenerse el procesamiento y adoptar el valor de xi para el cual resulta:

�

� Donde E será el error máximo admisible en el procesamiento.

( )f xi ≤ E (4.3)

MÉTODO DEL INTERVALO MEDIO

� Supóngase que mediante algún método se ha separado una de las raíces de una ecuación dada por:

� f(x) = 0

� Bolzano: si f(x) es continua en el intervalo (a;b) y en los extremos toma valores f(a) y f(b), respectivamente, con signos opuestos, entonces, se anula por lo menos una vez, en un punto interior de (a;b).

� Una interpretación geométrica del Teorema conduce a dividir el intervalo dado en dos partes iguales;

� Si no se anula en el punto de división => se tomará aquel subintervalo (a1 ;b1 ) en cuyos extremos la función tiene signos diferentes (consultar la figura 4.6); es decir, si se cumple la condición:

� f(a1 ) . f(b1 ) < 0

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MÉTODO DEL INTERVALO MEDIO

� Dividiendo el subintervalo obtenido en el paso anterior en dos partes iguales y, si no se anula la función en el nuevo punto de subdivisión, se tomará aquel nuevo (a2 ;b2 ) donde:

a=a1 a2

b1=b2 b

y

x

f(x) Figura 4. 6

MÉTODO DEL INTERVALO MEDIO

� Reiterando el procedimiento, se llegará a un punto de subdivisión en el que, al menos teóricamente, se anula f(x).

� En general, se obtendrá un par de sucesiones indefinidas monótonas que tienden a un número u, tal que:

� a ≤ a1 ≤ ... ≤ an ≤ ... ≤ u ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b1 ≤ b

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MÉTODO DEL INTERVALO MEDIO� Considerando el procedimiento utilizado en la

construcción de los subintervalos, es posible escribir

b ab a

1 1 2− = −

b ab a b a

2 21 1

22 2− =

−= −

b ab a b a

3 32 2

32 2− =

−= −

b ab a

n n n− = −

2

Y en general: (4.4)

MÉTODO DEL INTERVALO MEDIO

� en la que n representa la cantidad de subdivisiones realizadas en el intervalo (a;b).

� Tomando límites para n → ∞, resulta: (4.5)

� Entonces, en el punto x = u, es f(u) = 0, por estar uincluido en el entorno dado por b - a, que, por pequeño que este sea, la función toma en sus extremos valores de signos opuestos.

� Ventajas: Converge para cualquier f continua, es decir no hace falta derivabilidad como en otros métodos que veremos mas adelante.

( )lim b a limb an

n nn n→∞ →∞

− = −2

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ERROR EN EL MÉTODO DEL

INTERVALO MEDIO

� Mediante subdivisiones sucesivas por partes iguales, de un intervalo que contiene la raíz a determinar, se puede construir un algoritmo que permita obtener dicha raíz, con la aproximación que se desee, siempre que se verifique que:

� bn - an ≤ E (4.6)

� Se quiere conocer cuantas iteraciones son necesarias realizar para que el error con que se calcula el valor de la raíz no supere un cierto valor arbitrario E > 0; en cuyo caso por (4.4) y (4.6) es:

b ab a

n n n− = − ≤

2E

ERROR EN EL MÉTODO DEL INTERVALO MEDIO

� de donde, es posible despejar el número de iteraciones que son necesarias realizar para que el error sea menor o igual a E :

� Estudiar la posibilidad de pasar por alto raíces: � si solo se cuenta con un intervalo inicial de ACOTACIÓN;� cuando algunas raíces son de multiplicidad superior a uno.

� Se evitan si se aplica el método sobre intervalos de SEPARACIÓN exclusivamente.

( )n

b a≥

− −log loglog

E

2

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Método de bisección o intervalo medio

� Obtener la raíz en dicho intervalo. La sucesión obtenida es:

2)( 2 −= xxf 7)3(01)1( =

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Método de la bisección

•Vemos otros procedimientos de detención que pueden aplicarse en el Paso 4 del algoritmo anterior, c/uno de los cuales se aplica a cualquiera de las técnicas iterativas consideradas. •Seleccionar una tolerancia x > 0 y generar p1,p2 ……. pn hasta que se cumpla alguna de las siguientes condiciones:

» pN− pN−1 » < ξ

» pN− pN−1»

» pN»< ξ, p N≠ 0, o

» f HpNL» < ξ

(4.7)

Método de la bisección

•Pueden presentarse dificultades al usar cualquiera de estos criterios para detención. •Existen sucesiones {pn} con la propiedad de que las diferencias pn-pn-1convergen a cero mientras que las sucesiones por sí mismas divergen • Es también posible que f (pn) esté cercana a cero, mientras que Pn difiere significativamente de p. •Sin conocimiento adicional de f o p la desigualdad (4.7) es el mejor criterio para la detención debido a que pone a prueba el error relativo.•Cuando se usa una computadora para generar aproximaciones, es conveniente fijar una cota superior para el número de iteraciones que se realizan. Esto evita entrar en un ciclo infinito. Una posibilidad que puede presentarse cuando una sucesión diverge (y también cuando el programa está incorrectamente codificado). •Lo anterior se efectúa fácilmente fijando una cota inicial Pn y haciendo que el procedimiento termine si i > Pn, como se realizó (4.7).

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MÉTODO DE INTERPOLACIÓN LINEAL o de Regula Falsi

� Dada f(x) = 0, donde, uno de los subintervalos de separación viene dado por (x1 ; x2 ), en el cual se cumple también que: f(x1 ) . f(x2 ) < 0, tal como se ilustra en la figura 4.7, para y = f(x).

P1(x1; y1)

P4(x4; y4)

P3(x3; y3)

P2(x2; y2)

x1x2x3x4

Y=f(x)y

x

MÉTODO DE INTERPOLACIÓN LINEAL

� Como f(x1 ) y f(x2 ) tienen signos diferentes, de ser monótona en el intervalo dado (x1 ; x2 ), entonces f(x) tendrá una raíz entre x1 y x2 .

� La ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 ; P2 , es:

� Para hallar la intersección con el eje de las abscisas se hace y=0, tomando x el valor x3 , en la cual x3es una mejor aproximación del verdadero valor de la raíz

( )y y y yx x

x x− =−−

−12 1

2 11

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MÉTODO DE INTERPOLACIÓN LINEAL

� Resulta entonces:

� y, despejando de esta última:

( )1312

12 xxxx

yyy −

−−=−

xx y x y

y y31 2 2 1

2 1

=−−

MÉTODO DE INTERPOLACIÓN LINEAL

� El valor determinado de esta manera, se sustituye en la función para calcular el correspondiente valor de y3 .

� Luego se realiza una comparación entre los signos de f(x3 ) con los de f(x1 ) y f(x2 ), desechando el punto para el cual la función tiene igual signo que f(x3 ).

� Seguidamente con idéntico procedimiento al ya expuesto, se reitera el primer paso entre los puntos del subintervalo así obtenido con el objeto de determinar el valor de x4 , que es aún una mejor aproximación de la raíz buscada.

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MÉTODO DE INTERPOLACIÓN LINEAL

� Es necesario repetir el procedimiento con nuevos pares de puntos, hasta que se logra la aproximación

� Este método, llamado por algunos autores Método de la Regula Falsi, o también Método de las Partes Proporcionales, puede ser utilizado en la computadora para determinar las raíces de una ecuación, con un grado especificado de precisión y un número menor de iteraciones que en el método de tanteos

� Es un algoritmo que converge más rápidamente a la solución que en el método de tanteos.

CONVERGENCIA EN EL MÉTODO DE

INTERPOLACIÓN LINEAL

� Para tener la seguridad que el Método de Interpolación Lineal converge, es necesario que satisfaga, en los puntos x1 ; x2(extremos del subintervalo inicial) algunas condiciones específicas:

� 1) f(x1 ).f(x2 ) < 0� 2) f’(x) ≠ 0 para todo x ∈ (x1 ; x2 )� 3) f(x) debe ser monótona para todo punto

del intervalo (x1 ; x2 )

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MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

� Muy útil para mejorar una primera aproximación a una raíz rde una ecuación de la forma f(x) = 0

� Aproximación obtenida por simples tanteos, o mediante algún recurso gráfico, etc.

y

x

Y=f(x)

a

Xn=b

r

Xn+1Xn+2Xn+3

f(xn)

α

Figura 4.8

MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

� Si x es una primera aproximación al valor de una raíz, la que puede ser directamente uno de los extremos del intervalo cerrado de separación [a ; b].

� Se dibuja una recta tangente a la curva en el punto x = xn , interceptará al eje de las abscisas en un valor dado por x = xn+1 , que constituye una aproximación mejorada de la raíz r.

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MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

� Se puede observar que la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) es:

� de donde:

( ) ( )tgα = ′ =− +

f xf x

x xnn

n n 1

( )( )x x

f x

f xn nn

n+ = − ′1

(4.8)

Para que esto ultimo tenga sentido, hay que suponer f`(xn) ≠ 0

MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

� El valor de la función, y el de su derivada, son conocidos para el valor x = xn , y la nueva aproximación de la raíz xn+1 , se obtiene utilizando la ecuación (4.7).

� Se repite el procedimiento descrito, partiendo de esta nueva aproximación, para obtener una mejor.

� Se continua hasta que dos valores consecutivos de la raíz aproximada difieran en una cantidad igual o menor que un cierto E positivo y arbitrario, previamente prescrito.

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CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE

NEWTON-RAPHSON

� Tal como se puede apreciar en la figura 4.9, si se aplica el procedimiento en el punto xn = b, en lugar de lograr una mejor aproximación a la raíz, el procedimiento se hubiera alejado de ella.

� Lo mismo sucede si el procedimiento se hubiese aplicado en el punto xn = a.

� Fourier, estableció ciertas condiciones sobre el punto en el cual debe ser aplicado el procedimiento de N-R, en función de los signos que toman f(x) y f"(x), pues, de lo contrario, la aplicación del método podría resultar divergente.

CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

� Figura 4.9

y

x

a

Xn=b

r

rXn+1

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CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

� Se supondrá, entonces, que en el punto xn , tanto la función, como sus derivadas de primero y segundo orden tienen un signo determinado, distinto de cero.

� Fourier estableció que el procedimiento de Newton-Raphson debe aplicarse en caso de que f(xn ) y f"(xn )tengan igual signo; de no ser así, en general, el procedimiento es divergente.

� En la figura 4.10 se hallan representados gráficamente los cuatro diferentes casos que, donde el método de Newton-Raphson es, aplicable.

CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

� Figura 4.10

r

a

a

a

ab

b

b

b

r

r rf0f’’0f’>0f’’>0

F>0f’0

f

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CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

� Demostración analítica. � Tomando los 3 primeros términos del

desarrollo en serie de Taylor de orden 2 , aplicado en un entorno del punto x = a, resulta:

� para el valor de la variable igual al de la raíz r, se verifica que f(r) = 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f a x a f a x a f a x= + − ′ + − ′′ <

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CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

� Los dos primeros términos determinan, el valor aproximado de la raíz que, si se lo designa con a', resulta: (4.10)

� que, como puede comprobarse, es equivalente a N-R. Se demostrará que a' está más próximo a r que el valor de a, suponiendo que la función f(x) y la derivada segunda f”(x) tienen igual signo en un entorno del punto x = a.

( )( )′ = − ′a a

f a

f a

CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

� En efecto:

� de donde y luego de dividir ambos miembros por a- a‘:

� esta igualdad afirma que, si f”(ξ) tiene igual signo que f(a) -> el numerador y el denominador del primer miembro tienen el mismo signo;

� o sea, que a' está situado entre los valores de a y r; vale decir, a' mejora la aproximación dada por a.

( ) ( )( )r a r af

f a− ′ = − −

′′′

1

22 ξ (4.9)

( ) ( )( )

r a

a a

r a f

f a

− ′′ −

=− ′′

>12

02 ξ

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CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

� OBSERVACIÓN DE FOURIER, es posible afirmar que:

� Una función f(x) = 0, definida, monótona y dos veces continuamente derivable (f ∈ C2) en el intervalo (a ; b), que satisface las siguientes condiciones:� I) f(a).f(b) 0 con x comprendida en

(a;b)

CONVERGENCIA DEL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

� Entonces, tomando x0 como primera aproximación de la raíz r, el método de NEWTON-RAPHSON converge a la única solución r de f(x) = 0.

� Nota: La tercer condición puede ser satisfecha en los dos extremos del intervalo de separación; en uno solo de ellos o, eventualmente, en ninguno.

� En la figura 4.9 se muestra el caso en que uno de los dos extremos del intervalo de separación permite la aplicación del método; mientras que, el otro no.

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ERROR EN EL MÉTODO DE NEWTON-

RAPHSON

� Con la aplicación de la fórmula dada por la expresión 4.8, se comete un error absoluto expresado por:

� E < | r - a |� que según la expresión 4.9, en algún momento del

cálculo, resulta:

( ) ( )( )E <

− ′′′

r a f

f a

2

2

ξ4.10

ERROR EN EL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

� Si bien no se conocen todos los valores de las expresiones incluidas en el segundo miembro, pueden tomarse cotas superiores de las expresiones desconocidas que intervienen en ella.

� Llamando h a la longitud del intervalo (b - a) y, K a una cota superior de f”(x), resulta entonces:

� la que se constituye en la expresión de una cota superior del error cometido en la aplicación del método de NEWTON-RAPHSON.

( )E < ′h K

f a

2

2

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MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON –

� Ejemplo. Calcular , aplicando el método de Newton una aproximación de . Comparar el resultado con el que se obtuvo al aplicar el método de bisección. Como antes la función es y elegimos .

n

n

n

nn

n

nnn x

x

x

xx

xf

xfxx

1

22

2

)('

)( 21 +=

−−=−=+

2)( 2 −= xxf

Y aplicando esto obtenemos

x5 = 1.414213562 . . .x2 = 1.4621212 . . .

x4 = 1.41421378 . . .x1 = 1.833 . . .

x3 = 1.41499843 . . .x0 = 3

Con cinco pasos del método tenemos mas de diez cifras exactas, mientras que con bisección en ocho pasos teníamos cuatro cifras exactas.

414213562.12 =Observar que:

2

Punto inicial xo = 3

Algoritmo : Newton-Raphson

STOP.

éxito)sin terminadoento(Procedimi

); N ,=' N s,iteracione N de después fracasó método El(' OUTPUT 7 Paso

)p (Actualiza p. = p Sea 6 Paso

1. + i = i Sea 5 Paso

STOP.

éxito)con terminadoento(procedimi (p); OUTPUT

entonces TOL < p - p| Si 4 Paso

)p (Calcula ).(p' f / )(p f - p = p Sea 3 Paso

6.-3 Pasosrealizar N

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Newton-Raphson

•El método de Newton es una técnica extremadamente eficaz.

•Dificultad: la necesidad de conocer el valor de la derivada de f en cada aproximación. Con frecuencia f’(x) es difícil de obtener y requiere de más operaciones aritméticas para calcularse, que f(x).

Como un ejemplo simple, considere:

f HxL= x2 3x cos2 x

f' HxL= 2 x 3x cos2 x + x2 3x Hcos2 xL ln3 −2 x2 3x sen2 x

Entonces:

Procedimiento de Newton-Raphson.

� Las técnicas para detener el algoritmo: seleccionar una tolerancia E > 0 y construir p1,p2, pn hasta que:

� |pn– pn-1|< E; � |pn – pn-1|/ pn < e; o f(pn) < E.� Note que esta ultima forma puede no

proporcionar información acerca del error real : |pn– pn-1|

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Método de Newton-Raphson.

� Ventajas: técnica extremadamente eficaz� Dificultad: Necesidad de conocer la derivada

de f en cada aproximación.� Con frecuencia f, es difícil de obtener y

requiere de mas operaciones aritméticas para calcularse que f(x).

� A fin de evadir el problema de la evaluación de la derivada en el Método de Newton se lleva a cabo una pequeña variante: Método de la secante.

Método de la secante� Por definición,

� Haciendo x =pn-2,

� Usando esta aproximación para f’ (pn-1) en la fórmula de Newton se obtiene

f' Hpn−1L = limx→pn−1

f HxL − f Hpn−1L

x − pn−1

f' Hpn−1L >f Hpn−2L− f Hpn−1L

pn−2− pn−1=

f Hpn−1L − f Hpn−2L

pn−1− pn−2

pn = pn−1−f Hpn−1L H pn−1 − pn−2L

f Hpn−1L− f Hpn−2L

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Método de la secante� La técnica que emplea esta fórmula es llamada

Método de la Secante y se describe en el Algoritmo

� Empezando con las dos aproximaciones iniciales p0 y p1 , la aproximación p2 es la intersección con el eje x de la recta que pasa por los puntos:

� (p0; f (p0)) y (p1; f (p1))� La aproximación p3 es la intersección con el eje x de

la recta que pasa por los puntos:

� (p1; f (p1)) y (p2; f (p2)) , y así sucesivamente.

Método de la secante

STOP.

éxito)sin terminadoento(Procedimi

); N,=' N s,iteracione N de después fracasó método El(' OUTPUT 7 Paso

(p)q

pp

qq

)q ,p ,q,p (Actualiza ; pp Sea 6 Paso

1.+ i = i Sea 5 Paso

STOP.

éxito)con terminadoento(Procesami (p); OUTPUT

entonces TOL p-p Si 4 Paso

) p (Calcula . )q-)/(qp-(pq-pp Sea 3 Paso

6.-3 pasosrealizar N

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MÉTODO MIXTO

� En este caso no se trata de un método con procedimientos originales; si no, de la aplicación sistemática de otros dos conocidos.

� El denominado Método Mixto consiste en la aplicación simultánea de los métodos de las PARTES PROPORCIONALES y del de NEWTON-RAPHSON,

� Este método, resulta sumamente práctico por la facilidad de aplicación, programación y su aceptable velocidad de convergencia.

MÉTODO MIXTO

� El método mixto consiste en la aplicación sucesiva de los métodos mencionados, de manera alternada, para obtener un verdadero encaje de intervalos que contenga al valor de la raíz; vale decir, subintervalos que encierran el valor de r buscado, tal como se muestra en la figura 4.11.

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MÉTODO MIXTO

� Figura 4.11

Y=f(x)

a

b

a’ a’’r

b’b’’

y

x

MÉTODO MIXTO

� Para la aplicación de los distintos métodos es necesario tener en cuenta, en cada caso, las restricciones propias de cada uno de los métodos intervinientes; como así también, las condiciones de convergencia de los mismos.