FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS

DEPARTAMENTO DE CÁLCULO DIFERENCIAL SEMESTRE 2010-2

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TEMA 5. VARIACIÓN DE FUNCIONES

1.- Enunciar e interpretar geométricamente el Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial

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2.- Se desea fabricar una cisterna con forma de un prisma recto de base cuadrada con capacidad de 20 000 litros. El costo por metro cuadrado de la base y de las paredes es la mitad del costo por metro cuadrado de la losa que se requiere para construir la tapa. Calcular cuáles serán las dimensiones de la cisterna para que el costo de su fabricación sea mínimo.

2982C5AE.C1E

3.- Determinar si la función 22)( 23 +−−= xxxxf satisface el teorema de Rolle en el intervalo

[-1, 2] . En caso afirmativo obtener el o los valores de x que verifican el teorema.

2003C5AE.C1E 4.- Para la función

42)( 2 +

=x

xxf

obtener:

a) los intervalos donde la función es creciente y en donde es decreciente, b) los intervalos donde su gráfica es cóncava hacia arriba y en los que es cóncava hacia

abajo, c) su máximo y mínimo absolutos para el intervalo [0, 1] , y dibujar aproximadamente su gráfica.

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5.- Calcular las dimensiones del cilindro circular recto de máximo volumen, inscrito en una esfera

de radio mr 4= .

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6.- Para la función 1

1)( 2 +=

xxf , obtener:

a) los intervalos donde es creciente o decreciente. b) los intervalos donde su gráfica es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo. c) Su máximo y su mínimo absolutos en el intervalo [-1, 1]. Trazar su gráfica

2981C6AE.C1E

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7.- Determinar si la función g satisface la hipótesis del Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial en el intervalo indicado, si es así, calcular el o los valores donde se cumple, si no es así, explicar porqué no es aplicable.

xxxg+

=1

)( en ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−

23,3

2972B2AE.C1E

8.- Para la función f obtener lo que se indica:

1323

)( 23

−−+−= xxxxf

a) Los intervalos donde la función es creciente o decreciente. b) Los intervalos donde la gráfica de la función es cóncava hacia arriba o cóncava hacia

abajo. c) Los puntos de inflexión de su gráfica. Trazar la gráfica de la función.

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9.- Para la función:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>+−−

≤+−=

1;1)1(

1;1)1()(

2

3

xx

xxxf

Determinar si se satisface el Teorema de Rolle en el intervalo [0, 2]. En caso afirmativo obtener el o los puntos donde se verifique dicho teorema. En caso contrario explicar porqué.

2003A4AE.C1E 10.- Para la función:

243 34 +−= xxy

obtener:

a) Los intervalos donde la función es creciente o decreciente. b) Los intervalos donde su gráfica es cóncava hacia arriba y en los que es cóncava hacia

abajo. c) Su máximo y mínimo absolutos en el intervalo [-1, 2]. Graficar la función.

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