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IntroduccionMetodos directos: Descomposicion

Metodos iterativosCalculo de autovalores

Ejercicios

Tema 4Algebra Lineal Numerica

Angel Mora Bonilla, Emilio Munoz Velasco

Departamento de Matematica AplicadaUniversidad de Malaga

Escuela Politecnica Superior

Angel Mora Bonilla, Emilio Munoz Velasco Tema 4 Algebra Lineal Numerica



Ejercicios

¿Que es un Sistema Lineal?Conocimientos previosDefiniciones. PropiedadesNormasLibrerıas de Scilab

¿Que es un Sistema Lineal?

Un sistema lineal de m ecuaciones con n incognitas puede serexpresado de la forma:

a1,1x1 + a1,2x2 + . . .+ a1,nxn = b1

a2,1x1 + a2,2x2 + . . .+ a2,nxn = b2

. . .am,1x1 + am,2x2 + . . .+ am,nxn = bm

o bien, en forma matricial A~x = ~b, donde A es una matriz m × n y~b es un vector columna con m componentes.




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¿Introducir matriz en SCILAB?

El sistema2x1 + 4x2 + 3x3 = 31x1 + 3x2 − 2x3 = −1−1x1 − 3x2 + 0x3 = 2

se introduce y resuelve en SCILAB de la siguiente forma:--> A=[2 4 3; 1 3 -2; -1 -3 0]

--> b=[3; -1; 2]

--> x=A\b




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Conocimientos previos-I

Sistema Compatible Determinado (SCD): Solucion unica.

Sistema Compatible Indeterminado (SCI): Infinitassoluciones.

Sistema Incompatible (SI): No existe solucion.

Determinante de una matriz cuadrada y su calculo.--> det(A)

Rango de una matriz. Significado y calculo.

Matriz traspuesta.--> A’

Matriz inversa.--> inv(A)




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Conocimientos previos-II

Si A es una matriz cuadrada:

Matriz inversible: (∃A−1, |A| 6= 0)

Matriz singular: (6 ∃A−1, |A| = 0)

Matriz diagonal: i 6= j ⇒ ai ,j = 0

Matriz triangular superior: i > j ⇒ ai ,j = 0.

Matriz triangular inferior: i < j ⇒ ai ,j = 0.

Matriz simetrica: A = A′.

Autovalores y autovectores. Significado y calculo.--> [P,D]=spec(A)




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Propiedades

El producto de una matriz por su traspuesta siempre es unamatriz simetrica.

Los autovalores de una matriz simetrica siempre son reales.

Los autovalores de A’A siempre son no negativos.




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Norma vectorial: Ejemplos

Las usuales son:

‖~x‖k = k

√|x1|k + |x2|k + . . . + |xn|k

de las que destacan:

Norma 1:‖~x‖1 = |x1|+ |x2|+ . . . + |xn| ⇒ ‖(−1, 3,−4)‖1 = 8.

Norma 2: ‖~x‖2 =√|x1|2 + |x2|2 + . . . + |xn|2 ⇒

‖(−1, 3,−4)‖2 =√

1 + 9 + 16.

Norma ∞: ‖~x‖∞ = max{|x1|, |x2|, . . . , |xn|} ⇒‖(−1, 3,−4)‖∞ = 4.




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Radio espectral

Se define el Radio espectral de una matriz A como el modulo delautovalor con mayor modulo. Esto es:

ρ(A) = maxi|λi |

Ejemplo: Dada la matriz A =

(2 1−1 3

)resulta:

--> rad=max(abs(spec(A)))




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Normas matriciales usuales

Norma 1: ‖A‖1 = maxj∑

i |ai ,j |--> norm(A,1)

Norma ∞: ‖A‖∞ = maxi∑

j |ai ,j |--> norm(A,’inf’)

Norma 2: ‖A‖2 =√ρ(A′A)

--> norm(A,2)

--> norm(A)

En general, toda norma verifica ρ(B) ≤ ‖B‖.




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Normas matriciales: Ejemplo

Ejemplo: Para la matriz A =

(−2 3 00 −1 1

)resulta:

‖A‖1 = max{2, 4, 1} = 4, ‖A‖∞ = max{5, 2} = 5

Para la norma 2: A′A =

4 −6 0−6 10 −10 −1 1

⇒ |A− λI | = 0⇒∣∣∣∣∣∣4− λ −6 0−6 10− λ −10 −1 1− λ

∣∣∣∣∣∣ = −λ3 + 15λ2 − 17λ = 0

⇒ λ1 = 0, λ2 ≈ 1,235, λ3 ≈ 13,765 luego‖A‖2 ≈

√13,765 ≈ 3,7101.




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Sistemas Sobredeterminados y Vector Residuo

A los sistemas que no tienen solucion (incompatibles) se les llamatambien sistemas sobredeterminados.

Vector residuo: Se llama ası al vector ~r = A~x−~b.--> r=A*x-b

Si ~x es la solucion del sistema, el residuo es el vector cero, perono sera ası debido a los errores que siempre estaran presentes enlos calculos.Llamamos solucion de un sistema sobredeterminado al vectorx que minimize la norma 2 del vector residuo. Es decir, noexiste solucion y llamaremos ası a la “menos mala”.




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Librerıa para Scilab de S.E.L.

prac1.sci

En este fichero se encuentra la librerıa de rutinas para la practicaprimera. Pasos para cargar la librerıa:

File - Change Directory. Cambiarse al directorio en el queesta la practica

File - Execute (seleccionar el fichero prac1.sci)




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Metodos de Gauss y de Gauss-JordanOtras opcionesMetodo de Factorizacion QR

Metodos de Gauss y de Gauss-Jordan

Rutinas implementadas

Los metodos de Gauss implementados en Scilab son lossiguientes:

Metodos Gaussianos.

{Gauss, gauss.sci;Gauss Jordan, gaussjor.sci;

Para resolver un sistema Ax = B por Gauss en Scilab, hayintroducir previamente las matrices A y B, a continuacion hay queejecutar las siguientes ordenes:--> x=gauss(A,B)

--> residuo=A*x-B

--> norm(residuo)




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Otras opciones

Hay otras formas de resolver un sistema de ecuaciones. Compararlos resultados.--> x1=inv(A)*B

--> x2=A\BConviene siempre comprobar el rango de A y de la ampliada paraver que tipo de sistema estamos resolviendo.--> rank(A), rank([A B])

--> det(A)




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Ejemplo

--> A=[1 2 3; 3 4 5; 3 4 5]

--> b=[1 2 3]’

Si estudiamos rangos de A y de la matriz ampliada:--> rank(A)

ans =

2.

--> rrank([A b])

ans =

3.

El sistema por tanto es incompatible. Al intentar Gauss da error.--> x=gauss(A,b)

Probar las opciones:--> inv(A) ∗ B--> A\B




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Metodo de Factorizacion QR

Dada una matriz A, la descompondremos en A = QR siendo Q unamatriz ortogonal (Q ′ = Q−1) y R una matriz triangular superior.

Para resolver A~x = ~b consideramosA~x = QR~x = ~b⇒ Q′QR~x = R~x = Q′~b. Ası:

1 Descomponemos la matriz A en el producto QR [Q,R]=qr(A)

2 Resuelvo R~x = Q ′~b. ~x = R \ Q ′ ∗ ~b




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Metodo QR: Ejemplo 1

Para resolver el sistema A~x = ~b por el metodo QR, haremos:

1 Introducimos la matriz A, el vector ~b y descomponemos:--> A=[4 4 5;2 1 3; 5 6 4];--> b=[2 3 4]’;[Q,R]=qr(A)

Q =

−0,5963 −0,1988 −0,7778−0,2981 −0,8447 0,4444−0,7454 0,4969 0,4444

, R =

−6,7082 −7,1554 −6,85730 1,3416 −1,54040 0 −0,7778

2 Calculo ~x mediante:

--> R \ (Q ′ ∗ b)

Obtenemos ~x =

6−3−2

.




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Metodo QR: Ejemplo 2-(a)

Hallar una recta que pase por los puntos: (2,3), (-1,2),(-2,2), (0,2) y (3,4).La ecuacion de la recta es y = mx + b por lo que debemosencontrar m y b tales que se verifique: 3=2m+b; 2=-m+b;2=-2m+b, 2=b; 4=3m+b, que no pueden verificarsesimultaneamente (sistema sobredeterminado).La mejor solucion (recta de regresion por mınimos cuadrados),se obtiene de forma eficiente por el metodo QR:

A =

2 1−1 1−2 1

0 13 1

, ~b =

32224

⇒




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Metodo QR: Ejemplo 2-(b)

Q =

−0,4714 −0,3558 0,2170 −0,1729 −0,5777

0,2357 −0,5083 −0,7079 −0,4298 −0,01260,4714 −0,5592 0,6410 −0,1414 0,1851

0 −0,4575 −0,1967 0,8663 −0,0392−0,7071 −0,3050 0,0467 −0,1222 0,6244

, R =

−4,2426 −0,4714

0 −2,18580 00 00 0

~b′ = Q′~b =

−2,8284−5,3374

0,3104−0,4174

0,4910

⇒{−4,2426x − 0,4714y = −2,8284

−2,1858y = −5,3374

}⇒ ~x =

(0,39532,4419

)

luego la recta es: y=0.3953x+2.4419




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GeneralidadesMetodo de JacobiCondiciones de convergenciaErrores

Metodos iterativos.

Los metodos directos resultan, en general, inservibles paran > 50 incognitas porque propagan los errores.

Otro problema es que los metodos directos necesitanalmacenar la matriz A en memoria.

Los grandes sistemas de ecuaciones que surgen en la practica,tienen la matriz A esparcida (muchos coeficientes igual acero) y aunque existen metodos directos especiales,usualmente se resuelven por metodos iterativos.

Los metodos iterativos tienen la ventaja de no propagar elerror. La estimacion de la solucion obtenida ~x (k), puedeconsiderarse como vector inicial (sin errores) para la iteracionsiguiente k + 1.




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Convergencia y otros problemas asociados

Los metodos iterativos obtienen una estimacion de la solucion delsistema ~x (m+1) en funcion de las anteriores, en este caso solosera una funcion lineal de la anterior:

~x(m+1) = B~x(m) + C

donde B es la matriz del metodo y C es un vector.Los problemas asociados con los metodos iterativos son:

Convergencia Para que sea util debe ser convergente y ellımite ser la solucion del sistema.

Velocidad de convergencia: Interesa que converja lo masrapido posible.

Vector inicial: ¿Como se elige?.

Condicion de parada: ¿Cuando paramos de iterar?




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Criterio de Convergencia

Un metodo iterativo de la forma: ~x(m+1) = B~x(m) + C,converge, si y solo si, ρ(B) < 1.

Tiene convergencia global, no depende del vector de inicio.

Una medida de la velocidad de convergencia nos la da el valorde ρ(B). Interesa que sea lo mas proximo a cero posible.

La solucion del sistema (~x∗), debe ser punto fijo del metodoiterativo ~x∗ = B~x∗ + C.




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Forma matricial del metodo de Jacobi

Consideremos la descomposicion A = D + L + R donde:

D= Matriz diagonal con la misma diagonal que A.

L= Matriz con todos los terminos nulos, excepto los que estan pordebajo de la diagonal en los que coincide con A.

R= Matriz con todos los terminos nulos, excepto los que seencuentran por encima de la diagonal en los que coincide con A.

Dado el sistema A~x = ~b ⇒ (D + L + R)~x = ~b ⇒D~x = −(L + R)~x + ~b ⇒ ~x = −D−1(L + R)~x + D−1~bEl metodo de Jacobi queda:

~x(m+1) = BJ~x(m) + CJ

con BJ = −D−1(L + R),CJ = D−1~b




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Ejemplo

Hallar el vector residuo y sus normas tras dar 3 iteraciones por el

metodo de Jacobi , ~x (0) = (2, 3, 0)′, al sistema: A~x = ~b:

A =

5 3 −1−2 3 −11 3 −5

,~b =

24−5

Tras 3 iteraciones por Jacobi,--> [x3,res,rad,BJ,CJ]=jacobi(A,b,3,[2;3;0]):

~x (3) =

−0,01601,73331,7680

→ ~res =

1,3519−0,5361

1,3439

⇒ ‖~res‖1 = 3,2319‖ ~res‖∞ = 1,3519‖ ~res‖2 = 1,9802




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Condiciones de convergencia

La condicion necesaria y suficiente de convergencia deun metodo, es que el radio espectral de la matriz delmetodo sea menor que 1: ρ(B) < 1. Como para cualquiernorma, ρ(B) < ||B||, si ||B|| < 1 el metodo converge.




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Errores en los metodos iterativos

El error cometido en un metodo iterativo tras m iteraciones puedeacotarse mediante:

‖~x(m) −~x∗‖∞ = ‖∆~x(m)‖∞ ≤‖B‖m

∞‖~x(1) −~x(0)‖∞1− ‖B‖∞

donde B (‖B‖∞ < 1) es la matriz del metodo iterativo.De la formula anterior, podemos calcular el numero de iteracionesn necesario para obtener una solucion con un error determinado E :

m ≥ 1

log(‖B‖∞)

· log(E · (1− ‖B‖∞)

‖~x (1) − ~x (0)‖∞

)Estas formulas pueden dar problemas en el caso de que ‖B‖∞ seaproxima a 1.




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Errores en los metodos iterativos: Ejemplo

Acotar el error cometido al dar 3 iteraciones por el metodo de

Jacobi al sistema

5 3 −1−2 6 −11 3 −5

~x =

24−5

, ~x (0) =

010

.

--> [x3,res,rad,BJ,CJ]=jacobi(A,b,3,[0;1;0])

--> n=norm(BJ)

--> ans=0.8

--> x1=jacobi(A,b,1,[0;1;0])

--> n1=norm(x1-[0;1;0])

Resultados y calculamos el error:

‖∆~x(3)‖∞ ≤n3n1

1− n= 4,096

¿Cuantas iteraciones seran necesarias para obtener un error menor que10−7?




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Calculo de autovalores

Scilab calcula los autovalores de una matriz A con la ordenspec(A), si queremos ademas la matriz diagonal V y la matriz depaso X , escribiremos [X,V]=spec(A).

Un metodo iterativo para el calculo de autovalores se basa en ladescomposicion QR de la matriz A.

1 A0 = A2 Repetir:

[Q,R] = qr(Ai)Ai+1 = RQ

En Scilab el algoritmo esta implementado en el archivo francis.sci,ejecutarlo y luego introducir francis(A,n), siendo A la matriz departida y n el numero de iteraciones.




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Ejercicio 1

Dado el sistema Ax=b, siendo:

A =

16 0 −1 0 −5 2 1 42 7 −2 0 3 0 −1 40 3 16 1 0 0 −1 44 2 0 20 4 0 0 4−1 −1 −1 5 11 1 0 4−1 −1 −1 −1 6 12 0 4

0 1 1 1 2 7 15 40 2 1 0 0 0 1 4

, b =

13−2

25630

(a) Iterar por el metodo de Jacobi (30 iteraciones, inicio el origen).

Estudiar previamente su convergencia y calcular las normas 1, 2, ∞del vector residuo.

(c) Acotar el error cometido.




Ejercicios

Ejercicio 2

Dado el sistema Ax=b, siendo:

A =

1 −3 2 1 00 3 10 −1 21 10 30 −1 12 4 0 10 22 11 1 0 10

, b =

11211

(a) Estudiar la compatibilidad del sistema.

(b) Resolverlos por metodos directos e iterativos estudiados.

(c) Estudiar la convergencia de los metodos iterativos.

(d) Dar las iteraciones necesarias para obtener la solucion conerror menor que 10−6.




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Ejercicio 3

Dado el sistema Ax = b, con

A =

4 −1 −2 0−1 4 0 −2−2 0 4 −10 −2 −1 4

; b =

400−4

Estudiar la convergencia de Jacobi y calcular el error cometido sidas 100 iteraciones.




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Ejercicio 5

Dado el sistema Ax = b con:

A =

8,9988745 2,3214327 6,64233,1871123 4,42111111 −1,2222228,4364121 −8,62046793 16,9512661

; b =

10,9983091−6,877319242,62861406

.

(a) Resolver por los metodos QR, y Jacobi (100 iteraciones), estudiandopreviamente la convergencia.

(b) Calcular los residuos y comparar.

(c) Acotar el error cometido en cada uno.




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Ejercicio 6

La ley de Kirchoff para el voltaje aplicado a un circuito produce elsiguiente sistema de ecuaciones:

(R1 + R3 + R4)I1+ R3I2+ R4I3 = E1

R3I1+ (R2 + R3 + R5)I2− R5I3 = E2

R4I1− R5I2+ (R4 + R5 + R6)I3 = 0

Calcular las intensidades de corriente I1, I2, I3 cuandoR1 = 1,R2 = 1,R3 = 2,R4 = 1,R5 = 2,R6 = 4 yE1 = 23,E2 = 29. Calcular tambien para E1 = 12,E2 = 21,5.Resolver por los distintos metodos estudiados, calcular errores ycomparar resultados.




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Ejercicio 7

Dado el sistema Ax = b con

A = (aij) = 1/(i + j − 1); b = (bi ) = i2 − 3, (i , j = 1 . . . ..n).

(a) Resolver por un metodo directo y por un metodo iterativo conn = 8.

(b) Comparar resultados analizando el vector residuo, y su norma.




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Ejercicio 9

Calcular, si es posible, los autovalores de la matrices de losejercicios anteriores con la orden directa y con el algoritmo francis.


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