TEMA 4. SISTEMAS DE PARTÍCULASocw.uv.es/ciencias/2/1-2/12733mats40.pdf · 2009. 5. 8. · 1....

 

 

1. Centro de masas y coordenadas relativas. Fuerzas internas y externas. 2. Conservación del momento lineal total de un sistema. Sistemas de masa

variable y ejemplos. 3. Conservación del momento angular de un sistema. 4. Energía cinética y potencial de un sistema. Energía interna. Conservación

de la energía mecánica de un sistema.5. El caso de dos cuerpos. 6. Simetrías de la energía potencial y leyes de conservación. 7. Teorema del Virial.

TEMA 4. SISTEMAS DE PARTÍCULAS

Bibliografía: [Marion], [Kibble], [AFinn], [Mec-Berk], [BarOls], [Golds]

Chantal Ferrer Roca 2008

 

 

NOTA IMPORTANTE:

Los contenidos de este documento representan un esquema de los conceptos fundamentales del tema, por lo que en ningún caso se trata de apuntes completos. Este esquema se complementa con explicaciones, razonamientos, ejemplos y problemas que se desarrollan durante las clases, así como con alguno(s) de los libros que se incluyen en la bibliografía.


TEMA 4. SISTEMAS DE PARTÍCULAS

Bibliografía: [Marion], [Kibble], [AFinn], [Mec-Berk], [BarOls], [Golds]

 

 Introducción

irr

im

sistemaN

×

cmRr

CM'rir

extFPr&r =

U,T,L,A,P,V,Rrrrrr

sistema constituido por N partículas (independientes o bien constituyendo un cuerpo rígido)

Cada partícula tiene iiiiiii U,T,,a,p,v,r l

rrrrr

El SISTEMA, tiene

Se verifican las leyes de Newton

Y los principios de conservación

Cada una de estas magnitudes se puede obtener como la suma de las de cada una de las partículas que lo componen

∑=i

ipPrr ∑=

iiLLrr

∑=i

iTT ∑=i

iUU

PERO….Puede ser más conveniente obtenerlas como el valor del CM (centro de masas) y el valor relativo al centro de masas.

relcm LLLrrr

+= relcm TTT +=

extMdtLdL

rr

&r ==


 

 1. Centro de masas y coordenadas relativas. Fuerzas internas y externas

sistema constituido por N partículas (independientes o bien constituyendo un cuerpo rígido)

∑=

=N

1iimM masa total del sistema

irr

im

∑=

=N

1iiicm rmM

1R rr

posición del centro de masas del sistema

sistemaN

×

cmRr

CM

cmii Rr'rrrr

−=posición relativa al CM(coordenadas relativas)

∑=j

iji ffrrResultante de las F de interacción con las otras

N-1 partículas del sistemaiext fFFii

rrr+=

resultante de las F externas(origen fuera del sistema)

fuerza total sobre la partícula i,

im

sistema

jm

ijfr

extiFr

jiij ffrr

−=3ª ley Newton

∑=

==N

1iiicmcm rmM

1RV &r&rr

velocidad CM

∑=

==N

1iiicmcm rmM

1RA &&r&&rr

aceleración CM

'rir


 

 1. Centro de masas y coordenadas relativas. Fuerzas internas y externas

irr

im

sistemaN

×

cmRr

CM'rir

sistema

externaesFgr

gFr

es interna

sistema

gFr

IMPORTANTE: Nosostros decidimos qué constituye el sistema y qué queda fuera de él. Y la descripción física será coherente con esa elección.

∑=j

iji ffrrResultante de las F de interacción con las otras

N-1 partículas del sistemaiext fFFii

rrr+=

resultante de las F externas(origen fuera del sistema)

fuerza total sobre la partícula i,

im

sistema

jm

ijfr

extiFr

jiij ffrr

−=3ª ley Newton


 

 2. Conservación del momento lineal de un sistema

sistema

×MCM

2ª ley Newton, partícula i iext

iii fFrmp irr&&r&r +==

Momento lineal total del sistemacmi

i VMpPrrr

==∑

0FfFPp exti ij

iji

ext

ii i

rrrr&r&r +=+== ∑∑∑∑≠

sumando para todas las partículas i

extcm Fdt

)VM(dPr

r&r ==

El CM del sistema se mueve como si fuese una partícula de masa M (masa total), sobre la que actúan todas las fuerzas externas al sistema

sumadas por parejas0)ff( jiji

ij =+∑<

rr

Ejemplo, N=30)ff()ff()ff(fffffff 322331132112323123211312

i ijij

rrrrrrrrrrrrrr=+++++=+++++=∑∑

≠

cmRr P

r

eFr

cteP0Fsi ext ==rrr No hay interacción del sistema con lo que hay fuera de él:

Sistema Aislado - Conservación del momento del sistema

Demostración: las fuerzas internas se cancelan mutuamente, no cambian el movimiento del sistema


 

 2. Conservación del momento lineal de un sistema. Ejemplos.

FENÓMENOS cteP0Fsi ext ==rrr

El sistema está constituido por plataforma-persona-extintor por un lado y gases del extintor por otro. mbvb= mgvg

otros fenómenos: retroceso de las armas en los disparos, retroceso de patinador al lanzar masa, etc.

prp

r−


DEMO: “explosión” de dos móviles con ruedas en interacción magnética repulsiva o por medio de un resorte

PROBLEMAS 4.1, 4.2, 4.3 a) b)del boletínCUESTIONES 44, 45

http://www.wfu.edu/physics/demolabs/demos/avimov/mechanics/rocket_cart/wagon1.MPG

http://www.wfu.edu/physics/demolabs/demos/avimov/mechanics/exploding_carts/cars_explosion_eq.MPGhttp://www.wfu.edu/physics/demolabs/demos/avimov/mechanics/exploding_carts/cars_explosion_uneq.MPG

 

 2. Conservación del momento lineal de un sistema. Ejemplos.

EJEMPLO 2 Tiro parabólico sobre una plataforma móvil

xM

α

v0y

L

m

a) Calcular posición del CM inicialmente y en un t cualquiera.b) Velocidad de la plataforma y tiempo durante el que se mueve.c) Velocidad máxima del cuerpo lanzado para que caiga sobre la

plataforma

M = 3m, a =45º y L= 100

EJEMPLO 1 Dos masas unidas por un muelle

2. F compresión

1. reposo 3. se sueltan

4. movimiento?


 

 2. Conservación del momento lineal de un sistema. Sistemas de masa variable

EJEMPLOS:

Depósito de masa variable con fuerza constante aplicada


Depósito de masa variable (cohete de Torricelli) Depósito de masa variable

que mueve ruedas. ¿IIIaC?) referido por Herón de Alejandría (s. I dC)

Gota que cae en atmósfera húmeda

Sistema aislado de partículas constituido por subsistemas cuya masa o número de partículas varía, aunque la masa total del sistema como conjunto permanezca constante.

Lluvia que cae en un vagón, que se mueve inicialmente con v constante

Cinta transportadora sobre la que cae continuamente material

Imágenes de la página:http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/default.htm

 

 2. Conservación del momento lineal de un sistema. Sistemas de masa variableSistema aislado de partículas constituido por subsistemas cuya masa o número de partículas varía, aunque la masa total del sistema como conjunto permanezca constante.

EJEMPLO 3: cohete a reacción

cmVMPrr

=

dtPdAM cm

rr

=

ctemmM 21 =+=

dtdm

dtdm 21 −=

dtvdm 11r

=

dtdmv

dt)vm(d 1

111 rr

−=extIIFr

variación de p1empuje: tasa con la que pierde o gana momento cada subsistema

21ext pp

dtPdF &

r&rr

r+==sumando ambas, sistema completo:

m2

m1

II

I

sist

ema

1vr

2vr

extFr

extIFr

dtdmv

dt)vm(d 1

122 rr

+=

variación de p2

2211 vmvmrr

+=

111

1 vdtdm

dtvdm rr

+=


=++ 222

2 vdtdm

dtvdm rr

ext12

222 F)vv(dt

dmdtvdm

rrrr

=−++

 

 2. Conservación del momento lineal de un sistema. Sistemas de masa variable

EJEMPLO 3a: cohete a reacción en presencia de gravedad

21 vvurrr

−=

2222 udmdvmgdtm +=− u y v2 tienen sentidos opuestos

gt)0(m)t(mlnugdt

mdmudv

2

2t

0t

t

0t 2

2)t(v

)0(v2 −−=−−= ∫∫∫

==

dtdm)vv(

dtvdmF 21222

extII

rrrr

−+=

ur−

= velocidad relativa de los gases cte

222extII dmuvdmdtF

rrr−=

m1

gMFextrr

=

2vr

m2

1vr

)t(m)0(mlnugt)0(v)t(v +−=


El subsistema que nos interesa es el del cohete (II)

El cohete de empuje constante

gtDtm

mlnu)0(v)t(vo

0 −−

+=∫=−

)t(v

)0(v20 dtvx)t(x

?vmax

?)t(x

Tiempo que tarda en alcanzarla?

ctedt

dmD 2 ==

En el espacio libre, g =0

El combustible se quema a un ritmo constante

PROBLEMA 4.4 del boletín: cohete con varias etapas

 

 3. Conservación del momento angular de un sistema.

×CM

Rr

Pr

i'rri'p

r

Momento angular total del sistema

relcmi

ii LL'p'rPRLrrrrrrr

+=×+×= ∑L del CM respecto al origen

L del sistema respecto al centro de masas.

(primer teorema de König)


irr

ipr

Movimiento del CM del sistema solar alrededor del centro de la galaxia

Momento angular de todos los cuerpos del sistema solar (planetas, etc.) respecto al CM del sistema solar

relLr

∑∑ ×==i

iii

i prLLrrrr

cmLr

cmLr

Lr

relLr

Momento angular total (suma de los anteriores)

 


Demostración:

×CM

Rr

Pr

i'rri'p

r

Rr'r iirrr

−= posición relativa al CM (coordenadas relativas)

Momento angular total del sistema

relcmi

ii LL'p'rPRLrrrrrrr

+=×+×= ∑L del CM respecto al origen

L del sistema respecto al centro de masas.

(primer teorema de König)

)RR()'rR()R'r()'r'r(m)R'r(m)R'r(prLi

iiiiii

iiii

ii ∑∑∑ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ×+×+×+×=+×+=×= &

rr&rr&rr&rr&r&rrrrrr

cmreli

iii

iii LLPR'p'r)RR()'r'r(mLrrrrrr&rr&rrr +=×+×=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ×+×= ∑∑

0)0R()R0()'rm(RR)'rm(i

iii

iirrr&rr&rr&rr =×+×=×+× ∑∑


irr

ipr

0RMRMRmrm'rmi

ii

iii

ii

rrrrrr=−=−= ∑∑∑ (Posición del CM respecto al CM)

 


∑∑ +×=×==i

iext

ii

ii )fF(rprdtLdL

i

rrr&rrr

&r

×CM

∑=j

iji ffrr

ext

i

exti

iij

ij,ii

extii MM)fr()Fr(

rrrrrr==×+×= ∑∑ ∑

≠

extMdtLdL

rr

&r ==

Demostración:

si las f internas son de tipo central, su momento se anula

cteL,0MLSi ext ===rr&rconservación

nulo

0f)rr()fr()fr()fr(ji

ijjijijji

ijiijij,i

i =×−=×+×=× ∑∑∑

 

 3. Conservación del momento angular de un sistema FENÓMENOS

Lr

gmr

rr

Mr

Rueda vista desde arriba

cteL,0MLSi ext ===rr&r

personaruedafin LLLrrr

+=

inversión de la rueda

extMdtLdL

rr

&r ==

plataforma giratoria

iniLr

rueda

Plataforma + persona

finLr

Lr

gmr

rr

Mr

punto de sujeción

Demostración experimental en claseChantal Ferrer 2008

http://www.wfu.edu/physics/demolabs/demos/avimov/mechanics/gyroscope/bicycle_wheel.MPGhttp://www.wfu.edu/physics/demolabs/demos/avimov/mechanics/bike_wheel_and_platform/bike_wheel_rotation.MPG

 

 4. Energía cinética y potencial de un sistema. Conservación de la energía mecánica

T del CM (de una partícula de masa M que se mueve a la velocidad del CM ) T de las partículas individuales

en relación al CM

Caso particular: en sólidos rígidos las partículas del sistema mantienen las distancias relativas fijas y solo pueden girar respecto al CM

∑=

+=N

1i

2ii

2cm 'vm2

1VM21T r

rEnergia cinética del sistema

Segundo teorema de König.


http://www.wfu.edu/physics/demolabs/demos/avimov/mechanics/cm_in_parabolic/trashcan-throw.MPG

FENÓMENOS

 

 4. Energía cinética y potencial de un sistema. Conservación de la energía mecánica

T del CM (como si fuera una partícula de masa M que se mueve a la velocidad del CM )

T de las partículas individuales en relación al CM

Trabajo dinámico que lleva el sistema de la configuración A a la B siguiendo trayectorias para cada partícula

==⋅= ∑ ∫∑∫==

N

1i

t

t

2ii

N

1ii

B

Aidin

B

A

)vm21(drdFW r

rr

∑∑==

==N

1i

2ii

N

1ii vm2

1TT r ∑∑∑===

⋅++=N

1iii

N

1i

2i

N

1i

2ii 'rmRVm2

1'vm21 &r&rrr

R'r2R'rR'rv i22

i

2

i2

i&r&r&

r&r&

r&rr ⋅++=+=

T))t(T)t(T(N

1iAiBi ∆=−= ∑

=

)t(r Air

configuración A

im

)t(r Air

Atconfiguración B

im)t(r Bir

Bt

nulo

Demostración:

∑=

+=N

1i

2ii

2cm 'vm2

1VM21T r

rEnergia cinética del sistema

Segundo teorema de König.

∑∑==

==N

1i

2ii

N

1ii vm2

1TT r


 

 5. El caso de dos cuerpos. Momento angular

21

2211

mmrmrmR

++

=rrr

Rrrrrr

−= 11'

21

12 mm

rmRr+

−=rrr

'r'rrrrr 212112rrrrrr

−=−== posición relativa (de 1 respecto a 2)

coordenadas del CM

coordenadas relativas al CM

21

21 mm

rmRr+

+=rrr

Rrrrrr

−= 22'

21

21

mmmm+

=µ

)vmm

mm(r'vmrMm'vmr

Mm'p'r'p'rL

21

2122

111

22211rel

rrrvrvrrrrr

+×=×−×=×+×=

Masa reducida 221 , mmmsi =>> µ

relcm21 LLLLLrrrrr

+=+=

Se demuestra que:

velocidad relativa

1m

1rr

2m2rr

rr rr =12

Rr ×

CM '2rr

'1rr


Idem para las velocidades

)v(rLrelrrr

µ×=

'r1r 'r2

r

PROBLEMA 4.3 d) y e)

21 vvvrrr

−=

 

 

2rel v2

1T rµ=

21

2211

mmrmrmR

++

=&r&r&r

Rr'r 11&r&r&r −=

21

12 mm

rmRr+

−=&r&r&r

'r'rrrrv 2121 &r&r&r&r&rr −=−== velocidad relativa (de 1 respecto a 2)

velocidad del CM

velocidades relativas al CM

21

21 mm

rmRr+

+=&r&r&r

Rr'r 22&r&r&r −=

21

21

mmmm+

=µ

2

21

21212

221

222

211rel vmm

mm21)v

Mm(m

21)v

Mm(m

21'vm

21'vm

21T rrrrr

+=+=+=

Masa reducida 221 , mmmsi =>> µ

Se demuestra que:

velocidad relativa

1m

1rr

2m2rr

rr rr =12

Rr ×

CM '2rr

'1rr


'r1&r 'r1&

r

22cm v2

1VM21T r

rµ+=

PROBLEMA 4.3 c)

5. El caso de dos cuerpos. Energía Cinética

 

 4. Conservación de la energía mecánica. El caso de dos cuerpos.

1m

2m12fr

1rr

2rr

12rr

ext2Fr

ext1Fr

2rdr

1rdr

2211 rdFrdFdWrrrr

⋅+⋅=

∫∫∫ΓΓΓ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

B

A,1212

B

A,2

ext2

B

A,1

ext1 rdfrdFrdFW

2

2

1

1

rrrrrr

fuerzas externas conservativas

12

B

A,12

B

A,1212int UdUrdfW

2,1

2,1

2,1

2,1

∆−=−== ∫∫ΓΓ

rr

∫∫ ∇−∇−=2

2

1

1

B

A222

B

A111ext rdUrdUW

rrrr

Si fuerzas internas conservativas )r(Uf 121212 ∇−=rr

21fr

1m12fr

12rr

21fr

2m

1m12fr

12rr 21f

r

2m

Energía potencial interna del sistema

ext12 U)UT(E ++= constante

12extintext UUWW ∆−∆−=+ Energía propia del sistema

12122ext21

ext1 rdfrdFrdF

rrrrrr++=

extW intW

0)UUT( 12ext =++∆

E

El cambio en la energía cinética es igual al trabajo efectuado por las fuerzas externas e internas sobre el sistema


Sólo depende de la distancia relativa

T∆=

)UU(dUdU ext2ext1

B

A2

B

A1

2

2

1

1

+∆−=−−= ∫∫

 

 

0E =∆ ext12 U)UT(E ++= constante

EJEMPLOS:

átomo de hidrógeno aislado

cteEr

ekTTE propia2

ep ==−+= cteUUr

ekTTE exteextp

2

ep =++−+=

átomo de hidrógeno en un campo de fuerzas

Er

masas unidas por muelle1m 2mk En el seno del

campo gravitatorio

ctemghmghkx21TTE 21

221 =++++=

relCM TT +propiaE

propiaE

más ejemplos en el tema de potenciales centrales (problema de dos cuerpos)

12relernaint UTE +=

relCM TT +


4. Conservación de la energía mecánica. El caso de dos cuerpos.

Si un sistema estáaislado la energía propia se conserva

Energía propia

 

 

intextN

1ij,ii

B

Aij

N

1ii

B

A

exti WWrdfrdFW +=⋅+⋅= ∑ ∫∑ ∫

=≠=

rrrr

ext

i

exti

i

B

A

exti

i

B

Ai

extii

ext UUdUrdUWi

i

i

i

∆−=∆−=−=⋅∇−= ∑∑ ∫∑ ∫rr

intji

ijji

B

Aij

ji

B

Aijijjji

ji

B

Aiij

int UUdUrdf)rdfrdf(W ∆−=∆−=−=⋅=⋅+⋅= ∑∑ ∫∑ ∫∑ ∫

 

 6. Simetrías de la energía potencial y leyes de conservación

Para cada regla de simetría en la naturaleza existe una ley de conservación correspondiente (versión pedestre del teorema de Noether)

1. Homogeneidad del espacio : Conservación del momento lineal

...rrUr

rU)t,...,r,r(U)t,...,rr,rr(U0 2

21

1212211 +δ∂

∂+δ

∂∂

=−δ+δ+=r

rr

rrrrrrr

1Fr

− 2Fr

−cteP0...FF 21 =→=++rrr

invariancia frente a traslaciones espaciales

2. Homogeneidad del tiempo : Conservación de la energía

invariancia frente a traslaciones temporales

ttU)t,...,r,r(U)tt,...,r,r(U0 2121 δ∂∂

=−δ+=rrrr

dtdTrF

tUrU

dtdU

iiii −=⋅−=∂

∂+⋅∇= ∑ &

rr&rr cteE0dtdU

dtdT

dtdE

=→=+=


ttUU0 δ∂∂

=δ=

Emmy Noether

0U =δ

 


3. Isotropía del espacio : Conservación del momento angular

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛θθ−θθ

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

zyx

1000cossin0sincos

'z'y'x

xy

z

x'

y'

θ

matriz de giro alrededor del eje z)(Gz θ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛δθ−δθ+

≈δθ

 


EJEMPLO un sistema de dos partículas se mueve en 3 dimensiones con energía potencial

Calcula la fuerza total ejercida sobre el sistemaCómo cambia la Energía potencial bajo un desplazamiento del sistemaDetermina las componentes del momento total que se conservanDetermina las componentes del momento angular total que se conservan

J)yy()xx()zz(3)r,r(U 2212

212121 −+−++=rr

)1,1,1(a =r

EJEMPLO un sistema de dos partículas se mueve en 3 dimensiones con energía potencialJ)zz(yx)r,r(U 221

22

2121 −−+=

rr

Determina las componentes del momento de la partícula 1 que se conservanDetermina las componentes del momento total que se conservanDetermina las componentes del momento de la partícula 2 que se conservan


 

 7. Teorema del Virial

irr

im

N

ipr

τ−τ

=τ

=τ

= ∫∫ττ )0(S)(SdS1dtS1)t(S00

&&

Promedio temporal ∫τ

τ=

0Adt1A

movimiento periódico: si τ es múltiplo del periodo, S(τ)=S(0)movimiento no periódico: S(t) acotada, si τ es suficientemente largo,

∑=i

ii rp)t(Srr

acotada?)t(S&

0)t(S =&

Luego ∑∑ −=i

iii

ii rprpr&r&rr ∑−=

iii rF2

1Trr Virial (Clausius)

Si las fuerzas son conservativas ∑ ∇⋅=

iiii Ur2

1Trr

)rfrF(21T

j,iijij

ii

exti ∑∑ +−=

rrrSi hay fuerzas internas

Si son magnitudes acotadas (orb. planetarias, mov. periódicos, etc.)


Rudolph Clausius(1822-1888)

T2 iFr

 

 7. Teorema del Virialcaso : Fuerza central inversamente proporcional a una potencia de r

1nn krU,rF +=∝


fuerza conservativas

U2

1nr)1n(kr21

drdUr

21Ur

21T n

iiii

+=+⋅=⋅=∇⋅= ∑

rr

POTENCIAL ELÁSTICO 2kr21U,krF =−=

POTENCIAL GRAVITATORIO 12 ArU,ArF −− ==

1n = UT =

UT2 −=2n −=

CASOS PARTICULARES con los que este resultado es coherente

Fuerza central Fuerza conservativa

Cluster de galaxias “Coma”

FritzZwicky

En 1933, F. Zwicky, aplicando el teorema del virial a un cúmulo de galaxias, dedujo una masa del cluster muy superior (100-10 veces) a la observada (Primera predicción de la materia oscura, no aceptada por la comunidad científica hasta 40 años después, con los estudios de Vera Rubin).

UR

GMMVT22

2 ≈==G

RVM2

=

M

RV

V = velocidad promedio de las galaxias en el cluster

Estimación de la masa del cluster

 

 7. Teorema del Virial

Caso: Ecuación de estado de los gases perfectos

Sólo contribuyen tres paredes del cubo(aquellas en la que el producto escalar no es nulo):

PV3rFi

iexti −=∑rr

∑∑∑ −=+−=j,i

ijijj,i

ijiji

iexti rf2

1PV23)rfrF(

21T

rrrrrr

∑+=j,i

ijijrf31T

32PV

rr

GAS IDEAL:fuerzas internas nulas

τ== k23mv

21T 2rms

temperatura

para una molécula

para N moléculas

τ== Nk23mv

21NT 2rms

irr ir

riFr

iFr

Moléculas de un gas contenido en un cubo de lado a. Para cada pared sin vértice en el origen: PVa)Pa(rF

2

ii

exti −=−=∑rr

fuerza de las paredes. Estadísticamente ┴ a ellas

τ= Nk


Si las fuerzas intermoleculares son atractivas, término negativo

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