Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
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Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
6.A. 2. Gradiente.
6.A.3. Divergencia.
Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
6.A. 1. Campos.
6.A.1. Campos.
1
6.A.3. Divergencia.
6.A.4. Rotacional.
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Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
Introducción. Concepto de campo.
Campo:función que depende de la posición.
Foco calor
T(x,y,z)
h(x,y,z)
6.A.1. Campos.
2
Campo escalar: temperatura.
Foco calor
Campo escalar: altitud.
Campo vectorial: velocidad líquido en tubería.
),,( zyxvr
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Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
Líneas de campo:
- Las líneas de campo se dibujan tangentes al campo eléctrico.
Er
6.A.1. Campos.
3
Representación con vectores campo
q
Representación con líneas de campo
- Condición matemática tangencia:
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Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
q 2q
- El número de líneas de campo por unidad de superficie es proporcional al campo:
6.A.1. Campos.
4
- Las líneas de campo no pueden cruzarse...
1Er
2Er
... ya que en ese caso tendríamos dos valores del
campo en un mismo punto
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Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales. 6.A.2. Gradiente.
6.A. 2. Gradiente.
6.A.3. Divergencia.
Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
6.A. 1. Campos.
5
6.A.3. Divergencia.
6.A.4. Rotacional.
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Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
- Gradiente:
- En 1D el cambio de una función lo determinamos con la derivada:
x
f
dxdf
6.A.2. Gradiente.
6
- Si tenemos una función T(x,y,z) (un campo escalar):
Gradiente de T
Desplazamiento
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Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
- Interpretación geométrica:
- Cuanto mayor sea más variará la función|| T∇∇∇∇r
- Si θ=0 el aumento es máximo
La dirección del gradiente
coincide con la del aumento
máximo de la función.- Si θ=90 no hay variación
T∇∇∇∇r
ldr
θθθθ
6.A.2. Gradiente.
7
- Ejemplo: Esquiador en lo alto de una cadena montañosa.
h∇∇∇∇r
1vr
2vr
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Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
- Ejemplo: Gradiente de la función T=1/r.
En la dirección perpendicular al gradiente no hay cambio.
T=1
T=2T=4
T=8T∇∇∇∇
r
6.A.2. Gradiente.
8
T=1
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Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
∇∇∇∇r
Tes un operador hambriento de funciones.∇∇∇∇
r
Operador gradiente
6.A.2. Gradiente.
- El operador gradiente:
9
∇∇∇∇ Tes un operador hambriento de funciones.∇∇∇∇
- Teorema:
( Análogo en 3D de: )a
b
ldr
T∇∇∇∇r
G
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Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
6.A. 2. Gradiente.
6.A.3. Divergencia.
Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
6.A. 1. Campos.
6.A.3. Divergencia.
10
6.A.3. Divergencia.
6.A.4. Rotacional.
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Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
(¡Flujo de agua!)
- Flujo:
Agua
vr
nr
1A
nr
A
6.A.3. Divergencia.
11
vr
n2A
1h2hθθθθ
θθθθ
a
nr
vr
Adr
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Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
- Divergencia:
- La divergencia actúa sobre un vector y devuelve un escalar.
- Regla mnemotécnica: es como si multiplicáramos escalarmente dos vectores:
6.A.3. Divergencia.
12
- T. de Gauss:
Interpretación de la divergencia: es el flujo por unidad de
volumen.vrr∇∇∇∇
Adr
ττττ
Superficie cerrada
Flujo de v a través de A
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Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
- Ejemplo:
6.A.3. Divergencia.
-3 -2 -1 0 1 2 3-3
-2
-1
0
1
2
3
������� �������
-2 -1 0 1 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
�������������
13
- Ejemplo:
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
�������������
-2 -1 0 1 2 3 4-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
������� �������
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Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
- Ejemplo:
6.A.3. Divergencia.
-3 -2 -1 0 1 2 3-3
-2
-1
0
1
2
3
������� �������
-2 -1 0 1 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
�������������
14
- Ejemplo:
-3 -2 -1 0 1 2 3-2
-1
0
1
2
������� �������
-2 -1 0 1 2-1
-0.5
0
0.5
1
�������������
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Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
- Visión intuitiva del T. de Gauss:
- Descomponemos el volumen τ en volúmenes muy pequeños.
- La divergencia da el flujo que sale de cada elemento de
volumen.
- Consideramos el flujo a través de la
ττττ
6.A.3. Divergencia.
15
- Cuando sumamos el flujo de todos los cubos, la contribución al flujo de las caras comunes se
anula, y sólo queda el flujo a través de la superficie exterior.
- Consideramos el flujo a través de la
superficie común de dos cubos
contiguos:
1Adr
2Adr v
r
1 2
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Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
6.A. 2. Gradiente.
6.A.3. Divergencia.
Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
6.A. 1. Campos.
6.A.4. Rotacional.
16
6.A.3. Divergencia.
6.A.4. Rotacional.
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Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
- Circulación:
- Imaginemos que tenemos un líquido que se está moviendo arbitrariamente.
- Congelamos instantáneamente todo el líquido
salvo un tubo. Si la velocidad del líquido está
organizada de modo coherente en el tubo, existe
una circulación de líquido por el tubo.
Líquido
congelado
Líquido
6.A.4. Rotacional.
17
- Matemáticamente se define la circulación a lo
largo de una trayectoria G como:
(se suma la componente tangencial del campo a
lo largo de la trayectoria)
Líquido
vr
tvr
vr
vr
ldr
tvr
tvr
ldr
ldr
ΓΓΓΓ
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Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
- Rotacional:
6.A.4. Rotacional.
18
- T. de Stokes.
- El rotacional da la circulación por unidad de superficie.
- Si v es un campo de velocidades, como en un fluido, el
rotacional de v es distinto de cero en los ptos. en los que, si
dejáramos una hoja, ésta giraría.
Ar
ldr
ldrΓΓΓΓ
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Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
- Ejemplo:
6.A.4. Rotacional.
-3 -2 -1 0 1 2 3-3
-2
-1
0
1
2
3
������� �������
-2 -1 0 1 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
�������������
19
- Ejemplo:
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
�������������
-2 -1 0 1 2 3 4-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
������� �������
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Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales. 6.A.4. Rotacional.
- Ejemplo:
-3 -2 -1 0 1 2 3-3
-2
-1
0
1
2
3
������� �������
-2 -1 0 1 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
�������������
20
- Ejemplo:
-3 -2 -1 0 1 2 3-2
-1
0
1
2
������� �������
-2 -1 0 1 2-1
-0.5
0
0.5
1
�������������
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Tema 6. Apéndice. Operadores vectoriales.
- Interpretación intuitiva del T. de Stokes:
- Descomponemos la superficie en elementos muy
pequeños.
- El rotacional da la circulación en cada lazo .
- Consideramos la circulación en el
vr
tvr
6.A.4. Rotacional.
21
- Cuando sumamos la circulación de todos los lazos, la contribución a la circulación de los
lados comunes se anula, y sólo queda la circulación a través del lazo exterior.
- Consideramos la circulación en el
segmento común de dos lazos
contiguos:1ldr
2ldr1 2