Tema 6 - Electrónica Digital y Álgebra de Boole
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Departamento de Tecnologa Electrnica
Fundamentos de Electrnica Industrial
Tema 6
Electrnica Digital y lgebra de Boole
mailto:[email protected] -
ndi
ce
Electrnica Digital y lgebra de Boole Electrnica analgica y electrnica digital Sistemas de numeracin lgebra de Boole.
Fundamentos Puertas lgicas Axiomas y teoremas
Formas cannicas Minimizacin algebraica y mapas de
Karnaugh Homogeneizacin Automatismos cableados
electromecnicos
2
-
Sistemas analgicos: aquellos cuyas variables toman valores continuos en el tiempo
Las magnitudes fsicas son en su mayora analgicas
Sistemas digitales: aquellos cuyas variables toman valores discretos en el tiempo Seal continua Seal discreta
Electrnica analgica y electrnica digital
3
Electrnica Digital y lgebra de Boole
-
Electrnica analgica y electrnica digital Seal digital ideal Seal digital real
Emplean dos estados: 1 y 0 Un dgito (0 1) se denomina bit La informacin que manejan los sistemas
digitales son secuencias de bits. Las seales digitales consisten en niveles
de tensin que varan entre los estados o niveles 1 y 0 : VH, H: Voltaje alto; VL, L: Voltaje bajo
Voltajes tpicos TTL CMOS
VHmax 5 V 5 V
VHmin 2 V 3,5 V
Zona incertidumbre
VLmax 0,8 V 1 V
VLmin 0 V 0 V
4
Electrnica Digital y lgebra de Boole
-
Micrfono
Ondas sonoras
Amplificador lineal
Altavoz
Ejemplo de sistema analgico
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Electrnica analgica y electrnica digital Electrnica Digital y lgebra de Boole
-
Micrfono
Ondas sonoras
Altavoz
Electrnica analgica y electrnica digital
Ejemplo de sistema analgico con procesamiento digital
A/D Procesamiento digital D/A Acond.
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Electrnica Digital y lgebra de Boole
-
Electrnica analgica y electrnica digital Conversin analgico digital
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Electrnica Digital y lgebra de Boole
-
Audio Video Comunicaciones: telefona, TV, radio, Automviles, Instrumentacin Control industrial
Electrnica analgica y electrnica digital La revolucin digital
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Electrnica Digital y lgebra de Boole
-
Facilidad para transmitir, procesar y almacenar informacin. Se pueden incluir sistemas de deteccin y correccin de errores Facilidad de diseo Mayor exactitud y precisin Mayor estabilidad, mayor inmunidad al ruido Flexibilidad
Por qu el xito de los sistemas digitales
Electrnica analgica y electrnica digital
En algunas ocasiones hay que incluir A/D y D/A Inconveniente
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Electrnica Digital y lgebra de Boole
-
Sistemas de numeracin Cdigos Permiten representar los nmeros mediante dgitos
El sistema que utilizamos habitualmente es el sistema decimal (b=10)
Los sistemas que se utilizan en los sistemas digitales son: Binarios (b=2) Octal (b=8) (poco usado)
Hexadecimal (b=16)
Cdigos alfanumricos
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Electrnica Digital y lgebra de Boole
-
Sistemas de numeracin Cdigos binarios
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Electrnica Digital y lgebra de Boole
-
Sistemas de numeracin binario natural
Base 2
Dos estados (0, 1)
A los dgitos binarios se les llama bits (binary digit). A los nmeros binarios se les llama palabras binarias
Con n bits hay 2n elementos desde 0000 hasta 1111 El conjunto de 8 bits se denomina byte El mayor nmero representado con n bits es 2n-1
Binario natural (sin signo)
MSB Most Significant Bit
LSB Least Significant Bit
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Electrnica Digital y lgebra de Boole
-
Tabla de verdad La Abstraccin Digital
1 cerrado 0 abierto
L S
S L ABIERTO APAGADA
CERRADA ENCENDIDA
S (entrada)
L (salida)
0 0
1 1
Funcin lgica
L = S
Esquema (buffer)
13
Tabla de verdad: representa las salidas para todos los posibles
valores de las entradas
Funcin booleana: expresin matemtica que emplea el lgebra de
Boole. F = AB + C
Grfico: esquema electrnico
M
m
I
A
B
Un circuito digital puede expresarse mediante:
Electrnica Digital y lgebra de Boole
-
La Abstraccin Digital
La abstraccin digital nos permite de un modo muy sencillo: - Modelar algunos sistemas fsicos. - Analizar circuitos digitales. - Sintetizar circuitos electrnicos (digitales).
A partir de la tabla de verdad y utilizando el lgebra de Boole podemos disear circuitos digitales de una manera muy simple.
La obtencin la tabla verdad constituye un mtodo muy sencillo para especificar algunos sistemas (por ejemplo, combinacionales).
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Electrnica Digital y lgebra de Boole
-
George Boole, desarrolla su lgebra en 1854 para poder expresar las leyes fundamentales del razonamiento en el lenguaje simblico del clculo
Shanon, en 1938 lo adapta para escribir y analizar el comportamiento de los circuitos elctricos
El lgebra de Boole parte de un conjunto de axiomas o postulados (conjunto mnimo de definiciones que consideramos verdaderas) a partir de los cuales se construye el sistema matemtico
La sntesis y anlisis de los circuitos digitales se va a realizar en base al lgebra de Boole
El lgebra de Boole se utiliz inicialmente (y se sigue utilizando) para la implantacin de los automatismos cableados con diferentes tecnologas: lgica cableada basada en componentes electromecnicos (rels y contactores), lgica cableada basada en componentes electrnicos y PLCs
Se ha modelado la realidad como 0s y 1s
lgebra de Boole
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Electrnica Digital y lgebra de Boole
-
George Boole, desarrolla su lgebra en 1854 para poder expresar las leyes fundamentales del razonamiento en el lenguaje simblico del clculo
Shanon, en 1938 lo adapta para escribir y analizar el comportamiento de los circuitos elctricos
El lgebra de Boole parte de un conjunto de axiomas o postulados (conjunto mnimo de definiciones que consideramos verdaderas) a partir de los cuales se construye el sistema matemtico
La sntesis y anlisis de los circuitos digitales se va a realizar en base al lgebra de Boole
El lgebra de Boole se utiliz inicialmente (y se sigue utilizando) para la implantacin de los automatismos cableados con diferentes tecnologas: lgica cableada basada en componentes electromecnicos (rels y contactores), lgica cableada basada en componentes electrnicos y PLCs
Se ha modelado la realidad como 0s y 1s
lgebra de Boole
Zuse Z3. 1941. 2300 rels, f = 5 Hz
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Electrnica Digital y lgebra de Boole
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lgebra de Boole
Suma lgica S=A+B
Producto lgico S=AB
Complementacin S=A (tambin ser representa como A)
Operadores booleanos
Se representan mediante caracteres alfabticos A, B, X...
Pueden tomar dos valores (0 1).
Se corresponden con seales de entrada, de salida o intermedias.
Variables Booleanas.
Constantes booleanas: 0 (estado FALSO) y 1 (estado VERDADERO)
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Electrnica Digital y lgebra de Boole
-
Son los dispositivos que implementan los operadores del lgebra de Boole
Una puerta lgica es un elemento que toma una o ms seales de entrada y produce una salida binaria apropiada, dependiendo exclusivamente del estado de las entradas
lgebra de Boole Puertas lgicas
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Electrnica Digital y lgebra de Boole
-
Electrnica Digital y lgebra de Boole
Realiza la operacin lgica de INVERSIN o COMPLEMENTACIN: cambia de un nivel lgico al opuesto. Expresin lgica
Tabla de verdad
S A
S A
1
1
ANSI/IEEE 91-1984
A S
0 1
1 0
CIRCUITO COMERCIAL: 74X04
lgebra de Boole Puertas lgicas: inversor
AS =
19 19
-
Realiza la operacin lgica de MULTIPLICACIN LGICA
Expresin lgica
Tabla de verdad
A B S
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
CIRCUITO COMERCIAL: 74X08
ANSI/IEEE 91-1984
S A
B
&
S A B
1 cerrado 0 abierto
lgebra de Boole Puertas lgicas: AND
20 20
Electrnica Digital y lgebra de Boole
BAS =
-
Electrnica Digital y lgebra de Boole
Realiza la operacin lgica de SUMA LGICA
Expresin lgica
Tabla de verdad
A B S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
CIRCUITO COMERCIAL: 74X32
ANSI/IEEE 91-1984 1
S A B
1 cerrado 0 abierto
S
A
B
lgebra de Boole Puertas lgicas: OR
BAS +=
21
-
Realiza la operacin lgica NOT-AND: una funcin AND con salida complementada Expresin lgica
Tabla de verdad
ANSI/IEEE 91-1984
S A
B
&
A B S
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Puerta universal: la puerta NAND puede originar cualquier puerta bsica: NOT, AND, OR.
lgebra de Boole Puertas lgicas: NAND
22 22
Electrnica Digital y lgebra de Boole
BAS =
-
Puerta universal: la puerta NOR puede originar cualquier puerta bsica: NOT, AND, OR.
Realiza la operacin lgica de NOT-OR: una funcin OR con la salida complementada Expresin lgica
Tabla de verdad
A B S 0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
CIRCUITO COMERCIAL: 74x02
ANSI/IEEE 91-1984 1
S A B
lgebra de Boole Puertas lgicas: NOR
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Electrnica Digital y lgebra de Boole
BAS +=
-
Aplicaciones: comparador, detectores de paridad, sumador.
La salida de una puerta XOR se pone a nivel alto slo cuando hay un nmero impar de entradas a nivel alto. Expresin lgica
Tabla de verdad
A B S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
CIRCUITO COMERCIAL:74x86
ANSI/IEEE 91-1984 =1
S A B BAS
BA BAS=
+=
=
lgebra de Boole Puertas lgicas: XOR
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Electrnica Digital y lgebra de Boole
-
Electrnica Digital y lgebra de Boole
Aplicaciones: comparador, detectores de paridad, sumador.
Funcin OR-exclusiva con la salida complementada. Expresin lgica
Tabla de verdad A B S
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
CIRCUITO COMERCIAL:MC10EL07
ANSI/IEEE 91-1984 =1
S A B BAS
BA BAS
=
+=
lgebra de Boole Puertas lgicas: XNOR
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-
Electrnica Digital y lgebra de Boole
lgebra de Boole Puertas lgicas: resumen
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A B S 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
A B S 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
A S 0 1 1 0
A S 0 0 1 1
A B S 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0
A B S 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0
A B S 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0
A B S 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1
AND OR NOT
BUFFER
NAND NOR XOR
XNOR
Puertas bsicas
Puertas compuestas
-
Ejemplo
Extraccin de la funcin Booleana a partir
de un diagrama lgico
A
B
A.B
A+B
S=A.B + (A+B)
lgebra de Boole Ejemplos
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Electrnica Digital y lgebra de Boole
-
Obtencin del diagrama lgico a partir de su expresin Booleana.
A
B
A.B
A+B
A.B
S
Ejemplo
lgebra de Boole Ejemplos
B)(A )BA(BAS ++++=
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Electrnica Digital y lgebra de Boole
-
lgebra de Boole Axiomas y teoremas
Propiedad asociativa A+(B+C) = (A+B)+C = A+B+C A(BC) = (AB)C = ABC
Propiedad conmutativa A+B = B+A AB = BA
Propiedad distributiva A+(BC) = (A+B)(A+C) A(B+C) = AB + AC
Elemento neutro 0+A = A 1A = A
1+A = 1 0A = 0
Teorema de identidad A+A = 1 AA = 0
Teoremas de idempotencia A+A = A AA = A
Teorema de involucin (A) = A
Teoremas de absorcin A+AB = A A(A+B) = A
A+AB = A+B A(A+B) = AB
Teoremas de consenso AB+AC = AB+AC+BC (A+B)(A+C)=(A+B)(A+C)(B+C)
Leyes de De Morgan (A+B) = AB (AB) = A+B 29
29
Electrnica Digital y lgebra de Boole
-
lgebra de Boole Axiomas y teoremas Aplicacin de teoremas de De MORGAN a puertas lgicas:
BA =+ BA
BA +=BA
30 30
Electrnica Digital y lgebra de Boole
-
Extraccin de la funcin Booleana a partir de la tabla de verdad. Formas estandarizadas
lgebra de Boole Formas cannicas
Circuito para la apertura de dos puertas mediante un lector ptico de tarjetas perforadas (sensores A, B, C orificio=1):
A B C Tarjeta perforada 0 0 1
Tarjetas que abren la puerta (S):
S
A B C A B C A B C
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Electrnica Digital y lgebra de Boole
Ejemplo
-
Extraccin de la funcin Booleana a partir de la tabla de verdad. Formas estandarizadas
A B C S 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1
A.B.C
A.B.C
A.B.C
Minterm Minitrmino
S=A.B.C+A.B.C+A.B.C 1 Forma cannica
A B C S 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1
A+B+C
A+B+C
Maxterm Maxitrmino
A+B+C
A+B+C A+B+C
S=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C) 2 Forma cannica
A B C
A B C
A B C
S S
A +B +C
A +B+C
A+B +C
A+B+C
lgebra de Boole Formas cannicas
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Electrnica Digital y lgebra de Boole
-
El propsito de la minimizacin lgica es reducir una expresin lgica algebraica de tal modo que sea ms fcil de implementar. Vamos a ver dos mtodos:
Simplificacin lgica algebraica. Mapas de Karnaugh.
Minimizacin lgica Concepto
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Electrnica Digital y lgebra de Boole
SON EQUIVALENTES LAS SIGUIENTES EXPRESIONES?
CBACBACBCBAS +++=BCAS +=
-
A partir de una expresin Booleana en su forma de suma de productos se combinan los trminos, reduciendo la complejidad, mediante los teoremas del lgebra de Boole
A
B
C
S
A C
B S
Minimizacin lgica Simplificacin algebrica
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Electrnica Digital y lgebra de Boole
=+++= CBACBACBCBAS
=+++= A)A(CBCBCBA
=++= CBCBCBA
=++= C)C(BCBA
=+= BCBA
Teorema absorcin
YXY +=+ XXCAY
BX
=
=
BCAS +=
-
A B S
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 0
B
0 1
A 0 1 1
1 0 0
A B C S 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1
BC 00 01 11 10
A 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0
A B C D S 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1
CD 00 01 11 10
AB 00 0 1 0 0 01 1 0 1 0 11 0 1 1 0 10 0 0 0 0
El mapa de Karnaugh es un mtodo grfico de representacin de la informacin que se encuentra en una tabla de verdad.
Mapas de Karnaugh
Minimizacin lgica Simplificacin Karnaugh
Electrnica Digital y lgebra de Boole
35
-
A B C S 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0
BC
00 01 11 10
A 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0
Fundamento del mtodo (I)
.CA.CAB).B(.B.CAC.B.A =+=+
A B C S 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0
BC
00 01 11 10
A 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0
CBCBAA.CB.AC.BA ..).(. =+=+
Minimizacin lgica Simplificacin Karnaugh
36
Electrnica Digital y lgebra de Boole
-
A B C S 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1
BC
00 01 11 10
A 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0
=+++=+++ CBAACBAACBACBA.B.CAC.BA .).(.).(.....
CCBBCBCB =+=+= ).(..
En general se buscarn agrupaciones que sean potencias de 2.1,2,4,8,16..
Minimizacin lgica Simplificacin Karnaugh
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Electrnica Digital y lgebra de Boole
Fundamento del mtodo (II)
-
Agrupamientos permitidos (I)
Ejemplos:
Minimizacin lgica Simplificacin Karnaugh
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Electrnica Digital y lgebra de Boole
-
Agrupamientos permitidos (II)
Ejemplos:
Minimizacin lgica Simplificacin Karnaugh
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Electrnica Digital y lgebra de Boole
-
Agrupamientos no permitidos
Ejemplos:
Minimizacin lgica Simplificacin Karnaugh
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Electrnica Digital y lgebra de Boole
-
Agrupamientos alternativos
Ejemplos:
Minimizacin lgica Simplificacin Karnaugh
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Electrnica Digital y lgebra de Boole
-
Utilizacin de los mapas
Los mapas de Karnaugh se van a utilizar para simplificar expresiones algebraicas.
Para ello se har lo siguiente: 1) Representar en un mapa de Karnaugh la funcin algebraica o
tabla de verdad que se dese simplificar. 2) Se agruparan los 1 siguiendo las reglas que a continuacin se
citan:
Los grupos de celdas ms grandes posibles debern construirse primero; cada uno deber contener 2n elementos.
Debern agregarse grupos cada vez ms pequeos, hasta que
cada celda que contenga un 1 se haya incluido por lo menos una vez.
Debern eliminarse los grupos redundantes (aun cuando se
trate de grupos grandes) para evitar la duplicacin.
Minimizacin lgica Simplificacin Karnaugh
42
Electrnica Digital y lgebra de Boole
-
Ejemplo (I)
CBACBACBACBACBACBAD ............ +++++=
CACABD .. ++=
DCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBAD
.................................
+++++++++++=
Ejemplo (II)
Minimizacin lgica Simplificacin Karnaugh
43
Electrnica Digital y lgebra de Boole
-
Ejemplo (III). Redundancias
DCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBADCBAD ........................ +++++++=
En este caso para evitar redundancias hemos eliminado el grupo interior grande.
Minimizacin lgica Simplificacin Karnaugh
44
Electrnica Digital y lgebra de Boole
-
Condiciones indiferentes
45
Electrnica Digital y lgebra de Boole
Minimizacin lgica Simplificacin Karnaugh
-
Disear un circuito que tome un nmero de 4 bits ABCD y produzca una sola salida que est activa si la entrada representa un nmero primo (0 y 1 no son primos).
Ejemplo 1
46
Electrnica Digital y lgebra de Boole
Ejemplos - combinacionales
Decimal A B C D S 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 0 0 1 0 1 3 0 0 1 1 1 4 0 1 0 0 0 5 0 1 0 1 1 6 0 1 1 0 0 7 0 1 1 1 1 8 1 0 0 0 0 9 1 0 0 1 0 10 1 0 1 0 0 11 1 0 1 1 1 12 1 1 0 0 0 13 1 1 0 1 1 14 1 1 1 0 0 15 1 1 1 1 0
S CD 00 01 11 10
AB 00 0 0 1 1 01 0 1 1 0 11 0 1 0 0 10 0 0 1 0
DCDCBDBCS +++= BABA
-
Disear un circuito para controlar la bomba de llenado de un pantano aprovechando la tarifa nocturna (ms econmica). El depsito dispone de dos sensores, uno de mnimo y otro de mximo,
que se ponen a 1 lgico en presencia de agua. El sensor crepuscular se pone a 0 de noche y a 1 cuando es de da. Durante el da el pantano tendr el nivel por encima del mnimo. De noche se aprovechar hasta llenar el mximo. Se dispone de un interruptor general (1 = encendido).
Ejemplo 2
47
Electrnica Digital y lgebra de Boole
Ejemplos - combinacionales
Homogeneizar a puertas NAND y NAND 2 entradas
-
1er Teorema
(A.B) = A+B
(A . B) A+B
A
B
A
B
2 Teorema
(A+B) = A.B
(A + B) A. B
A
B
A
B
Homogeneizacin (T. de De Morgan)
48
Electrnica Digital y lgebra de Boole
-
Ejemplo de aplicacin
A partir de la siguiente expresin Booleana obtener su diagrama lgico equivalente utilizando exclusivamente puertas NAND.
ABC
ABC
ABC
D
Homogeneizacin (T. de De Morgan)
49
Electrnica Digital y lgebra de Boole
CBACBACBAD ++=
-
Homogeneizacin (T. de De Morgan)
50
Electrnica Digital y lgebra de Boole
ABC
ABC
ABC
D
Ejemplo de aplicacin
A partir de la siguiente expresin Booleana obtener su diagrama lgico equivalente utilizando exclusivamente puertas NAND.
CBACBACBAD ++=
-
ABC
ABC
ABC
D
Homogeneizacin (T. de De Morgan)
51
Electrnica Digital y lgebra de Boole
Ejemplo de aplicacin
A partir de la siguiente expresin Booleana obtener su diagrama lgico equivalente utilizando exclusivamente puertas NAND.
CBACBACBAD ++=
-
Homogeneizacin (T. de De Morgan)
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Electrnica Digital y lgebra de Boole
ABC
ABC
ABC
D
Ejemplo de aplicacin
A partir de la siguiente expresin Booleana obtener su diagrama lgico equivalente utilizando exclusivamente puertas NAND.
CBACBACBAD ++=
CBACBACBACBACBACBAD :Morgan De =++=
Homogeneizar a NAND de 2 entradas
-
Disear un circuito que permita a personas ciegas leer un dgito BCD (e3e2e1e0) mediante un dispositivo que consta de cuatro puntos que se muestran (1) u ocultan (0) gracias a las seales binarias a, b, c y d (similar al Braille). La disposicin de los puntos para cada dgito BCD es la siguiente:
Ejemplo 3
53
Electrnica Digital y lgebra de Boole
Ejemplos - combinacionales
a b c d
a b c d
0 a b c d
1 a b c d
2 a b c d
3 a b c d
4
a b c d
5 a b c d
6 a b c d
7 a b c d
8 a b c d
9
-
54
Electrnica Digital y lgebra de Boole
Ejemplos - combinacionales Ejemplo 4: Display 7 segmentos (decodificador BCD 7 segmentos)
Disear el circuito que encienda los nmeros del 0 al 9 en un display de ctodo comn)
-
55
Electrnica Digital y lgebra de Boole
Ejemplos - combinacionales Ejemplo 4: decodificador BCD 7 segmentos. Ctodo comn
-
Datos de Contacto
Concepcin Jimnez Carvajal Universidad Politcnica de Cartagena Divisin de Sistemas e Ingeniera Electrnica (DSIE) ETSI. Industriales Campus Muralla del Mar, s/n 30202 Cartagena Tel. +34 968 32 64 47 Fax. +34 968 32 53 45 E-mail [email protected]
Tema 6Electrnica Digital y lgebra de [email protected] de diapositiva 2Electrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleElectrnica Digital y lgebra de BooleDatos de Contacto