Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito

UNIDAD 2: Álgebra lineal.

Tema 6. Matrices y determinantes.

Concepto de matriz. Propiedades generales de las matrices. Operaciones con matri-ces. Concepto de determinante de una matriz cuadrada. Propiedades y cálculo de de-

terminantes. MATLAB para el cálculo matricial.

Matrices. Definiciones.

Nomenclatura.

Las siguientes tablas numéricas son matrices:

82340

3210

54732

, 511731 ,

3

0

1

4

,

851

4370

413

Observa que son conjuntos ordenados de números, dispuestos en filas y columnas, formando un rectángulo. La primera es una matriz de 3 filas y 4 columnas. Su dimensión es 3 4. La segunda es una matriz de dimensión 1 5 (1 fila, 5 columnas); a este tipo de matrices se las llama vectores fila; ésta es un vector fila de dimensión 5. La tercera es un vector columna de dimensión 4 (matriz de dimensión 4 1). La cuarta es una matriz de dimensión 3 3. También se la llama matriz cuadrada de orden 3. Por tanto:

Definición de matriz.

Se llama matriz de dimensión nm a la tabla de mn números, dispuestos en m filas y n co-lumnas.

Para un estudio general, las matrices se suelen designar así (matriz de dimensión nm ):

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

321

3333231

2232221

1131211

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Observa que los términos de la matriz tienen dos subíndices: el primero indica la fila y el se-gundo la columna. Así, el término 32a es el que está en la tercera fila, segunda columna. Para sim-

plificar se puede poner:

nj

miija

,...,1

,...,1

o bien )(, ijnmnm aAA

y cuando no hay duda del número de filas y de columnas se pone, simplemente, (aij) o A. Al conjunto de las matrices de dimensión m × n se le denotará Mm×n o Mm,,n.

Definiciones.

1. Dos matrices son iguales si tienen las mismas dimensiones y cada elemento de la primera es igual al elemento de la segunda que ocupa la misma posición.

2. Se llama transpuesta de una matriz A, y se designa por At, a la matriz que se obtiene al cambiar en A las filas por las columnas y las columnas por las filas:

)(, ijnm aA )(, jit

mn aA

3. Matriz rectangular: tiene distinto número de filas y de columnas (m n). Un caso particu-lar de matriz rectangular son los vectores fila (sólo tienen una fila) y los vectores columna (sólo tienen una columna). Podríamos definir una matriz como la agregación de m vecto-res fila y n vectores columna.

4. Matriz cuadrada: es aquella que tiene igual número de filas que de columnas. Si este número es n, la matriz se llama de orden n. Se designa Mn al conjunto de las matrices reales cuadradas de orden n. Los elementos aij con ji forman la diagonal principal de una matriz cuadrada, mientras que se llama diagonal secundaria a la formada por los elementos aij tales que 1 nji .

1

3

5

3

32

61

24

21

4

0

6

3

5. Matriz nula: es aquella en la que todos sus elementos son cero.

Tipos de matrices cuadradas.

- Matriz triangular superior: es aquella en la cual 0ija para todo ji .

- Matriz triangular inferior: es aquella en la cual 0ija para todo ji .

- Matriz diagonal: es aquella en la que, fuera de la diagonal principal, todos los valores son cero. Una matriz diagonal es triangular superior e inferior.

- Matriz escalar: es una matriz diagonal que tiene todos sus elementos de la diagonal princi-pal iguales.

diagonal secundaria diagonal principal

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- Matriz unidad o identidad: es una matriz escalar, con los elementos de la diagonal principal todos iguales a 1.

- Matriz simétrica: es una matriz cuadrada que coincide con su transpuesta, tAA , o sea, jiaa jiij ,, .

- Matriz antisimétrica: es una matriz cuadrada que coincide con la opuesta de su transpuesta, tAA , es decir, jiaa jiij ,, . (Obviamente, los elementos de la diagonal principal

deben ser todos nulos).

Operaciones con matrices.

Suma y producto de un escalar por una matriz.

Para que dos matrices puedan sumarse es necesario que tengan la misma dimensión. En tal ca-so se suman elemento a elemento: )()()( ijijijij baba .

Para multiplicar un número por una matriz se multiplica por él cada elemento de la matriz: )()( ijij kaak .

El conjunto de las matrices de una cierta dimensiones nm , Mm,,n, con estas dos operacio-nes, tiene estructura de espacio vectorial.

Producto de matrices.

Dos matrices cualesquiera son multiplicables cuando el número de columnas de la primera sea igual al número de filas de la segunda. Para multiplicar dos matrices multiplicaremos cada uno de los vectores fila de la primera por cada uno de los vectores columna de la segunda.

Ejemplo

966

933

1727

0·8)5·(02·51·14·80·07·51·1

0·3)5·(42·21·74·30·47·21·7

0·1)5·(52·31·24·10·57·31·2

04

50

27

11

8051

3427

1532

Obsérvese que:

Los vectores fila de la primera son de la misma dimensión que los vectores columna de la segunda. Dicho de otra forma, la primera tiene tantas columnas como filas tiene la segunda.

El producto es una matriz con tantas filas como la primera y tantas columnas como la se-gunda. Es decir: 2,32,44,3 CBA .

El elemento c11 de la matriz producto se obtiene multiplicando la primera fila de A por la primera columna de B. Análogamente, c32 se obtiene multiplicando la tercera fila de A por la segun-da columna de B.

Propiedades del producto de matrices.

1. Asociativa: )()( ,,,,,, qppnnmqppnnm CBACBA

2. La multiplicación no es conmutativa.

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3. La matriz

100

010

001

I3 tiene la siguiente peculiaridad: cualquiera que sea 3,mA se verifi-

ca que 3,33, I mm AA , y cualquiera que sea pB ,3 se verifica que pp BB ,3,33I . La afir-

mación es válida para cualquier In. Éstas se llaman matrices unidad o identidad. 4. Propiedad distributiva: CABACBA )( y DCDBDCB )( .

Matrices cuadradas.

Las matrices cuadradas de un cierto orden, Mn, además de sumarse y multiplicarse por núme-ros, pueden multiplicarse entre sí y se cumplen todas las propiedades que hemos visto hasta ahora. Todo ello se resume diciendo que Mn, con las operaciones internas suma y producto tiene estructura de anillo unitario no conmutativo.

Dada una matriz cuadrada A de orden n, la inversa de A es otra matriz A-1 tal que:

IAAAA 11

La matriz inversa de una matriz cuadrada A no siempre existe. Cuando una matriz cuadrada tiene inversa se denomina matriz regular y cuando no la tiene se denomina matriz singular.

El problema es cómo calcular A-1 a partir de A. Sólo se podrá obtener A-1 cuando A pueda transformarse en I, y eso ocurre cuando todas las filas de A sean linealmente independientes. Una regla práctica para calcular A-1 consiste en imponer a la matriz identidad los mismos cambios a los que hay que someter a A para obtener I; cuando A se haya transformado en I, I se habrá transforma-do en A-1. Este método se denomina método de Gauss-Jordan.

La transposición y las operaciones.

Además de reseñar que AA tt )( , vemos cómo actúa la transpuesta en las tres operaciones que hemos definido:

1. ttt BABA )(

2. tt AkAk )(

3. ttt ABBA )(

Rango de una matriz.

Si A es una matriz de dimensiones m × n:

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

321

3333231

2232221

1131211

se puede considerar que cada una de sus m filas es un vector de IRn y cada una de sus n columnas es un vector de IRm.

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Al número máximo de vectores fila que son linealmente independientes se le llama rango por filas y el número máximo de vectores columna que son linealmente independientes se denomina rango por columnas. Pues bien, se demuestra que en una matriz cualquiera siempre coincide el ran-go por filas con el rango por columnas, y a ese número se le llama rango de la matriz.

Por tanto, se llama rango o característica de una matriz al número de líneas (filas o columnas) que son linealmente independientes.

El rango de A se designará por rg(A). Un método para determinar el rango de una matriz es el método de Gauss.

Determinante de una matriz cuadrada.

El determinante de una matriz cuadrada es un número real con el que se hace corresponder di-cha matriz cuadrada: Mn IR A determinante de A

Pero el criterio de asignación de ese número a cada matriz cuadrada no es sencillo en el caso general. Definiremos el determinante para una matriz de orden 2 y luego de orden 3, y así, por in-ducción, llegaremos a la definición de determinante de una matriz cuadrada de orden n.

Determinantes de orden 2.

Cálculo de los determinantes de orden 2.

Para referirnos al determinante de una matriz

2221

1211

aa

aaA lo haremos de una de estas for-

mas:

det( A) ;

2221

1211detaa

aa ; |A| ;

2221

1211

aa

aa

Las más frecuentes son las dos últimas, en las que el nombre de la matriz o la propia matriz con todos sus elementos se ponen entre barras.

El determinante de una matriz es un número que, en el caso de las matrices de orden 2 se ob-tiene de la siguiente forma:

211222112221

1211 aaaaaa

aa

Obsérvese que es la suma de 2 = 2! sumandos.

Propiedades de los determinantes de orden 2.

El desarrollo de un determinante bcdadc

ba·· tiene dos sumandos: a·d con signo positivo

y c·b con signo negativo. A ellos nos referiremos reiteradamente en las siguientes propiedades: 1. El determinante de una matriz cuadrada es igual que el determinante de su transpuesta.

Gracias a ello, podemos hacer extensiva a las columnas toda propiedad relativa a las filas y vicever-sa.

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2. Si una matriz tiene una línea (fila o columna) en la que todos los elementos son ceros, su determinante es cero, pues en cada uno de los sumandos del desarrollo del determinante hay un fac-tor cero.

3. Si intercambiamos la posición de dos líneas paralelas de una matriz, su determinante cam-bia de signo, pues el sumando con signo positivo pasa a tener signo negativo y viceversa.

4. Si una matriz tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante es cero, pues el sumando con signo positivo coincide con el de signo negativo y se compensan.

5. Si multiplicamos cada elemento de una línea de una matriz por un número, el determinan-te de la matriz queda multiplicado por ese número, pues cada uno de los dos sumandos queda mul-tiplicado por ese número.

6. Si una matriz tiene dos líneas paralelas proporcionales, su determinante es cero:

00 k·ba

bak·

k·bk·a

ba

7. Si cada elemento de una línea de una matriz se escribe como suma de dos sumandos, su determinante puede descomponerse en la suma de los determinantes de dos matrices del siguiente modo:

dc'

ba'

dc

ba

dc'c

ba'a

8. Si a una línea de una matriz le sumamos otra línea multiplicada por un número, el deter-minante de la matriz no se altera:

dc

ba

dk·d

bk·b

dc

ba

dk·dc

bk·ba

Determinantes de orden 3.

Cálculo de los determinantes de orden 3.

El determinante de una matriz de orden 3

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

se obtiene del siguiente modo:

233211331221132231231231133221332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

Obsérvese que es la suma de 6 = 3! sumandos. Para recordar los seis factores con sus signos, se utiliza la regla de Sarrus, que indica gráfi-

camente cómo elegir los factores:

Productos consigno +

Productos consigno -

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Propiedades de los determinantes de orden 3.

Las ocho propiedades que enunciábamos para determinantes de orden 2, son válidas para los de orden 3, sólo hay que hacer levísimas modificaciones.

Hemos de dar otras dos propiedades muy importantes, pero para ello antes se necesitan algu-nos nuevos conceptos.

Menor complementario y adjunto de un elemento de una matriz cuadrada.

Si en una matriz nm seleccionamos r filas y r columnas (r m y r n), se forma una sub-matriz cuadrada de orden r. El determinante de esa submatriz se llama menor de la matriz inicial.

Si la matriz inicial es cuadrada de orden n, se puede obtener un menor de orden 1n supri-miendo la fila y la columna de un cierto elemento. Se le llama menor complementario del elemento en cuestión. Al menor complementario del elemento aij lo designaremos por Mij.

Se llama adjunto de un elemento aij, y se designa por Aij, al número (-1)i+j·Mij. Es decir, el ad-junto de un elemento es igual a su menor complementario con su signo o con signo cambiado según que i + j (la suma de los índices de su fila y su columna) sea par o impar.

En la práctica, para decidir el signo del adjunto de un elemento, es muy cómoda la siguiente regla:

+ - + … - + - … + - + …

En el cuadro aparece el signo que corresponde a cada lugar. Esta regla es válida para determinantes de cualquier orden.

Nuevas propiedades de los determinantes de orden 3.

A las ocho propiedades anteriores vamos a añadir estas dos: 9. Si los elementos de una línea (fila o columna) se multiplican por sus respectivos adjuntos

y se suman los resultados, se obtiene el determinante de la matriz inicial (se dice que el determinan-te está desarrollado por los elementos de esa línea). Por ejemplo, para la segunda fila:

AAaAaAa 232322222121

10. Si los elementos de una línea se multiplican por los respectivos adjuntos de otra, el resul-tado de la suma es cero. Por ejemplo:

0332332223121 AaAaAa

Finalmente, una propiedad de los determinantes que se utiliza con frecuencia en la obtención de algunos resultados es la siguiente:

11. El determinante del producto de dos matrices cuadradas de orden n es igual al producto de los determinantes de ambas matrices:

nBABABA M ,;

Esta propiedad no se cumple con la suma: BABA

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Determinantes de orden cualquiera.

El determinante de una matriz cuadrada de orden n es el resultado de sumar todos los posibles productos de n elementos, uno de cada fila y de cada columna, con su signo o con el signo cambia-do según un cierto criterio.

Por tanto, el determinante de una matriz cuadrada de orden n es una suma de n! sumandos, cada uno de ellos formado por n factores, entre los que figura un solo elemento de cada fila y un solo elemento de cada columna de la matriz.

De esta definición, que en esencia es la misma que se dio para determinantes de órdenes 2 y 3, se deducen las diez propiedades anteriores. A partir de estas propiedades, se deducen ciertas estra-tegias de cálculo por las que se puede obtener, con sencillez, un determinante cualquiera.

Método práctico para calcular determinantes.

Para el cálculo de determinantes sencillos (órdenes 2 o 3) se utiliza la propia definición de de-terminante o la regla de Sarrus, de fácil aplicación. Pero el cálculo de determinantes de orden supe-rior es más laborioso y precisa la utilización de métodos que permitan simplificarlos, reduciéndolos a otros más sencillos o de órdenes inferiores.

Por los adjuntos de una línea.

Este método consiste en aplicar la propiedad 9 de los determinantes, convirtiendo el determi-nante inicial de orden n en n determinantes de orden 1n , y reiterando el proceso hasta llegar a obtener determinantes de orden 2 o 3, que ya se calculan directamente aplicando la definición o la regla de Sarrus.

Otros métodos que se pueden utilizar son la regla de Chío o la triangulación de la matriz.

Matriz adjunta de una matriz cuadrada.

Si A es una matriz cuadrada de orden n, se llama matriz adjunta de A y se representa por A* o Adj(A) a la matriz formada por los adjuntos de los elementos de A.

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

nnnn

n

n

AAA

AAA

AAA

A

21

22221

11211

)(Adj

donde Aij es el adjunto del elemento njiaij ,...,2,1,, .

Matriz inversa de una matriz cuadrada.

El producto de una matriz cuadrada por su adjunta transpuesta es una matriz diagonal que tie-ne todos los elementos no nulos iguales a |A|.

A

A

A

·AAAA· tt

00

00

00

)(Adj)(Adj

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De esta propiedad resulta:

·IA·A(A)A· t

100

010

001

Adj

Si la matriz A es tal que |A| 0, se puede dividir por |A| los dos miembros de la igualdad ante-rior:

IA)·A·A

t (Adj1

y utilizando la asociatividad del producto externo entre números reales y matrices:

IA·A

A· tt

)(Adj

1

La matriz 1)(Adj1

AA·

At es la matriz inversa de A. Por tanto, la matriz inversa de una

matriz cuadrada regular A es igual a la transpuesta de la adjunta de A dividida por el determinante de A.

Teorema de existencia de la matriz inversa.

La condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada A admita matriz inversa A-1 es que |A| 0.

Propiedades de la matriz inversa.

1. La inversa de un producto de dos matrices es el producto de las inversas de esas matrices en orden inverso: nBAABBA M ,;)( 111 ; A, B regulares

2. La inversa de A-1 es A: AA 11 )( (propiedad involutiva). 3. La matriz inversa de A, si existe, es única.

Aplicación de los determinantes al cálculo del rango de una matriz.

Hemos visto que el rango de una matriz se define como el número de vectores (filas o colum-nas de la matriz) que son linealmente independientes. Vamos a ver ahora una nueva definición y un nuevo método, basados en el cálculo de determinantes, para hallar el rango o característica de una matriz.

Definición de rango de una matriz.

Rango o característica de una matriz es el orden del mayor menor no nulo, es decir, el rango de A es h si A tiene algún menor de orden h distinto de cero, y todos los menores de orden superior a h son nulos.

Cálculo práctico del rango de una matriz.

La única matriz que tiene rango cero es la matriz nula; cualquier otra matriz tendrá rango igual o mayor que 1.

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Se empieza con k = 2, y se realiza el siguiente proceso que describimos para una etapa k cual-quiera. Se busca un menor de orden k distinto de cero, y entonces el rango será mayor o igual que k. Se orla ese menor con los elementos de una fila i cualquiera y de todas las columnas, sucesivamen-te, que no figuran en él, obteniéndose menores de orden 1k . Si todos estos menores son nulos, significa que la fila i es combinación lineal de las k filas del menor no nulo inicial, por lo que puede eliminarse esa fila. Ahora se sigue probando con las restantes filas: 1i , 2i , ..., n. Si todos los menores de orden 1k así obtenidos son nulos, podremos asegurar que el rango de la matriz es k. Si alguno de los menores de orden 1k es distinto de cero, el rango será mayor o igual que 1k y se repite el proceso para el orden 1k .