IES Benejúzar. Matemáticas Aplicadas a las CCSS II. Curso 2018/ 19

1

TEMA 7.- MATRICES Y DETERMINANTES

EJERCICIOS:

1) Siendo A= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

− 201321

y B= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−−

122215

hallar A+B, At+Bt, -3A, 2A-3B.

2) Escribir una matriz cuadrada de orden 3 que sea triangular inferior. Escribe una matriz

simétrica y calcula la traspuesta de la primera que has escrito.

3) Dadas las matrices A= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

2211

, B= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−

3011

y C= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

4123

, comprobar si se cumplen

las siguientes igualdades:

a) AB=BA b) (AB)C=A(BC) c) (A+B)C=AC+BC d) A(B+C)=AB+AC Solución: a) no; b) Sí; c) Sí; d) Sí.

4) Siendo A= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−

654311

, B=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

413012

y C= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−

0245

, Calcular ABC, CAB y BAC.

Solución: 9 2036 8

ABC−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠;

17 9210 16

CAB ⎛ ⎞= ⎜ ⎟− −⎝ ⎠

;BAC no se puede

5) Sabiendo que A=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

100010101

y B=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

321132213

, hallar AB-(2A-3B)t-B2.

Solución:

2 1 5( 1) 8 3 3

5 8 3

⎛ ⎞⎜ ⎟− ⋅ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

6) Si A= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1012

y B= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

1010

calcular A3-2AB2

Solución: 8 90 1⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

7) Demostrar que A3-3AA+3A=I, siendo A la matriz 3x3 triangular superior que tiene todos

sus elementos iguales a 1.

8) Demostrar que AA=BB siendo A=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

433434110

y B=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−−

344101334

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2

9) Calcular todos los posibles productos entre A=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

132101

, B= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

600241

y

C=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

−

201232101

10) Dada la matriz A=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

431541430

prueba que se verifica A3+I=0. Calcula A10

Solución: A10= - A

11) Siendo A= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2112

, hallar a y b tales que AA+aA+bI=0. Solución: a= - 4; b = 3

12) Comprobar que se cumple la propiedad siguiente (BA)t=AtBt para las matrices A= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

3521

y B= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

− 5241

.

13) Sean A y B 3M∈ siendo A= ( ) )( jiaij −= y B= ( ) 12)1( +− +−= iji

ijb . Calcular las matrices A-B y AB.

Solución:

5 4 7( 1) 8 9 8

15 14 17A B

⎛ ⎞⎜ ⎟− = − ⋅ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

;

43 39 4112 12 1219 15 17

A B− − −⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ = − − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

14) Sea A una matriz cualquiera. Probar que B=A+At es una matriz simétrica.

15) Sean A y B 2M∈ dos matrices simétricas con los elementos de la diagonal principal

iguales. Comprobar que el producto de A y B es conmutativo.

16) Calcula una matriz A de orden 2 tal que: a) A2=I b) A2=0 c) A2=A (idempotente)

Solución: 1

)1a a

aa a

−⎛ ⎞⎜ ⎟+ −⎝ ⎠

; )a a

ba a

⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠

; 2

1 0 0 0) ; ;

0 0 0 1c I ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

17) Demostrar que si A es idempotente, entonces B=I-A es idempotente también y además

AB=BA=0. 18) Demostrar que si A es una matriz cuadrada idempotente, A100=A.

19) Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices, cuando sea posible:

1 1)0 1

a ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2 3) 4 5 67 8 9

b⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2 3) 0 1 21 2 4

c⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1 3) 1 2 12 0 0

d⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

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Solución: 1 1

)0 1

a−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

; b) No tiene inversa;

0 2 1) 2 1 21 0 1

c−⎛ ⎞

⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

;

0 0 1 / 2) 1 / 5 3 / 5 1 / 52 / 5 1 / 5 1 /10

d⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

20) Dada la matriz A=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

xx

x

00020202

, hallar los valores para los que A es regular. Resolver

la ecuación AX+B=I tomando x=3 en la matriz A y siendo B=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

123479021

.

Solución: A es regular si x≠0 y x≠2.

2 2 / 3 4 / 39 6 41 2 / 3 2 / 3

X− −⎛ ⎞

⎜ ⎟= − − −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

21) Resolver la ecuación matricial AX-B+C=O para A= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1132

, B= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−−

−

21160231

y

C= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

−−

36002111

.

Solución: 18 1 12 1312 2 7 8

X−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠

22) Resolver la ecuación matricial A(X+I)=CB siendo A=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

214321121

, B=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

1432110091

y C=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

200301112

.

Solución:

3 / 2 108 /11 14 /111 115 /11 20 /117 / 2 125 /11 4 /11

X− − −⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

23) Resolver el sistema siguiente:

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−−=+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−=−

10202100011

2

4012112121

2

YX

YX

Solución: 3 4 1 2 113 6 39 0 65

X ⎛ ⎞= ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠

; 2 1 1 2 112 4 61 0 15

Y− − −⎛ ⎞

= ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠

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24) Resuelve la ecuación matricial 2AX-3B=I siendo A=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−

431121211

y

B=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

243501121

.

Solución:

29 124 981 11 68 616

17 4 34X

−⎛ ⎞⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

25) Siendo A=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−

01610

11t

t

, hallar los valores de t que hacen a A una matriz singular.

Solución: 5t = ±

26) Resuelve la ecuación AX-B2=AB siendo A= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

3102

y B= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

3221

.

Solución: 7 / 2 623 / 6 6

X ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

27) Sea A una matriz cuadrada tal que A2+A+I=0. Probar que A es regular. ¿Cuál es su inversa?

(NOTA: Que A tenga inversa significa que hay otra matriz tal que AB=I ).

28) Resolver la ecuación matricial AX+BX=I siendo A=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

132372121

y B=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

212312100

.

Solución:

9 7 61 6 11/ 2 461

20 2 7X

−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

29) Halla la inversa de la siguiente matriz usando el método de Gauss:⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

542513121

Solución: 1

25 6 111 25 7 265

10 8 7A−

−⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

30) Calcular los siguientes determinantes:

a) 4352

b) 0021

c) 2163

d) 3321

−

−− e) 53

12−

Solución: a) -7; b) 0; c)0; d) 9; e) -13

31) Calcular los siguientes determinantes:

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a) 502111321− b)

543513123 −

c) 322645131 −

d) 101678111

−

e) 154123321

− f)

651110111

−

− g) 244855543

− h)

421421421

−

−

Solución: a) -15; b) 36; c) -11; d) -12; e) 28; f) -1; g) 22; h) 16

32) Calcular los determinantes siguientes:

a) 5042432321234232

−

−

−

b) 3513124222322101

−

−

−

c) 2143110012124321

Solución: a) 24; b) -72; c) -3

33) Si el valor del determinante 25=

wvurqpcba

calcular razonadamente el valor de

qrpvwubca

222222222

Solución: -200

34) Sabiendo que 5111203 =

zyx

calcular los determinantes siguientes:

a) 111102

3222 zyx

b) zyx111203

Solución: a) 5; b) 5 35) Resuelve los sistemas matriciales siguientes:

a)

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−=−

540321

24

121211

5

YX

YX

b)

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−=+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=−

2161

2

3121

YX

YX

Solución: 1 4 1 1 14 71 1) ;2 8 7 4 28 296 6

a X Y− − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 8 1 21 1) ;2 1 1 83 3

b X Y−⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠