Tema 7 Sistemas Trifasicos Equilibrados en Tensiones
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Tema 7:SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS EN TENSIONES.
7.0 OBJETIVOS7.1 SISTEMAS TRIFASICOS, EQUILIBRADOS Y DESEQUILIBRADOS. SECUENCIA DIRECTA E
INVERSA. 7.2 SISTEMAS TRIFASICOS A CUATRO HILOS. RELACIÓN EXISTENTE ENTRE LAS TENSIONES
SIMPLES Y COMPUESTAS.7.3 SISTEMAS TRIFASICOS A CUATRO HILOS. CONEXIÓN DE CARGAS EN ESTRELLA.
7.3.1 CARGAS EN ESTRELLA Y EQUILIBRADAS.7.4 SISTEMAS TRIFASICOS CON CONEXIÓN DE CARGAS EN TRIÁNGULO.
7.4.1 CARGAS EN TRIÁNGULO Y EQUILIBRADAS.7.5 POTENCIA EN LOS SISTEMAS TRIFASICOS EQUILIBRADOS CON CARGAS EQUILIBRADAS.7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS.
7.6.1 CARGA EN ESTRELLA. 7.6.2 CARGA EN TRIANGULO. 7.6.3 CARGA EN ESTRELLA Y EN LA LÍNEA 7.6.4 CARGA EN TRIÁNGULO Y EN LA LÍNEA7.6.5 CARGA EN ESTRELLA Y EN TRIÁNGULO
7.7 DETERMINACIÓN DEL ORDEN DE SUCESIÓN DE FASES.7.8 MEDIDA DE POTENCIAS A 4 HILOS.7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS.
7.9.1 MÉTODO DE ARON7.10 MEDIDA DE POTENCIA REACTIVA CARGAS DESEQUILIBRADAS.7.11 BIBLIOGRAFIA
2
• Saber las posibles conexiones de fuentes y cargas en sistemas trifásicos.• Comprender la importancia de la secuencia en un sistema trifásico.• Conocer métodos particulares de análisis en la resolución de circuitos trifásicos.• Estudiar la resolución de circuitos trifásicos equilibrados mediante su equivalente
monofásico.• Estimar la importancia del Teorema de Kenelly en la resolución de estrellas a tres hilos
por métodos de sustitución.• Valorar la importancia de la medida de potencia activa y reactiva en circuitos trifásicos.• Analizar el método de Aron y todas las consecuencias que de el se derivan.
7.0 OBJETIVOS
3
DEFINICIÓN:
Se denomina sistema trifásico al que se compone de tres tensiones.
Si las tres tensiones tienen el mismo modulo y están desfasadas entre si 120º, se dice que el sistema es trifásico equilibrado en tensiones, cuando no se cumple un de las doscondiciones entonces decimos que el sistema es desequilibrado en tensiones
Nosotros en este tema solo estudiaremos los circuitos trifásicos equilibrados en tensiones
7.1 SISTEMAS TRIFASICOS, EQUILIBRADOS Y DESEQUILIBRADOS. SECUENCIA DIRECTA E INVERSA (1)
Sistema trifásico equilibrado
|U10|= |U20|= |U30| y φ1=φ2=φ3
Sistema trifásico desequilibrado
|U10|= |U20|= |U30| pero φ1≠φ2≠φ3
Sistema trifásico desequilibrado
φ1=φ2=φ3 pero |U10|≠ |U20|≠ |U30|
ω
U10
U20
U30
φ2
φ1
φ3
ω
U10
U20
U30
φ3
φ1
φ2
ω
U10
U20
U30
φ3
φ1
φ2
4
Si al recorrer el diagrama vectorial de las tensiones encontramos que pasan según el orden 1-2-3, entonces decimos que la secuencia es directa, si por el contrario pasan según el orden 1-3-2, entonces a la secuencia le llamamos inversa.
ωωωω
U10
U20
U30
S.D.
ωωωω
U10
U30
U20
S.I.R
S
T
1
2
3
Para pasar de un sistema directo a un sistema inverso o viceversa bastaría con permutar el orden de llegada de dos fases
7.1 SISTEMAS TRIFASICOS, EQUILIBRADOS Y DESEQUILIBRADOS. SECUENCIA DIRECTA E INVERSA (2)
5
3
2
1
3
30
3
303
2
20
2
202
1
10
1
101
ϕ
ϕ
ϕ
∠
∠
∠
==
==
==
Z
U
Z
UI
Z
U
Z
UI
Z
U
Z
UI
ZZ11
ZZ33
ZZ22
II11
II22
II33UU3030
UU1010
UU2020
II00 = = --((II11 + + II22 + + II33) )
000000
2
1
3
Este sistema de seis hilos puede reducirse a uno de cuatro hilosEste sistema de seis hilos puede reducirse a uno de cuatro hilos si tenemos en cuenta si tenemos en cuenta que la diferencia de potencial entre los seis puntos 0 es de 0 Vque la diferencia de potencial entre los seis puntos 0 es de 0 V..
7.2 SISTEMAS TRIFASICOS A CUATRO HILOS. RELACIÓN EXISTENTE ENTRE LAS TENSIONES SIMPLES Y COMPUESTAS (1)
6
3
2
1
3
30
3
303
2
20
2
202
1
10
1
101
ϕ
ϕ
ϕ
∠
∠
∠
==
==
==
Z
U
Z
UI
Z
U
Z
UI
Z
U
Z
UI
En este sistema de cuatro hilos se siguen cumpliendo las mismas En este sistema de cuatro hilos se siguen cumpliendo las mismas condiciones que en condiciones que en el de seis, ademel de seis, ademáás podemos decir que:s podemos decir que:
••0 es el neutro del generador0 es el neutro del generador
••00’’ es el neutro de la cargaes el neutro de la carga
••UU1010, , UU2020, , UU3030 son las tensiones simplesson las tensiones simples
••UU1212, , UU2323, , UU3131 son las tensiones compuestasson las tensiones compuestas
ZZ11
ZZ33
ZZ22
II11
II22
II33UU3030
UU1010
UU2020
II00 = = --((II11 + + II22 + + II33) )
0 0’=0
2
1
3
UU1212
UU2323
UU3131
7.2 SISTEMAS TRIFASICOS A CUATRO HILOS. RELACIÓN EXISTENTE ENTRE LAS TENSIONES SIMPLES Y COMPUESTAS (2)
7
103031
302023
201012
UUU
UUU
UUU
−=−=−=
De la aplicación de la 2ª ley de Kirchhoff a las tensiones simples y compuestas
ZZ11
ZZ33
ZZ22
II11
II22
II33UU3030
UU1010
UU2020
II00 = = --((II11 + + II22 + + II33) )
0 0’=0
2
1
3
UU1212
UU2323
UU3131
1
3
2
U10
U20
U30
U31
U12U23
U10
U20
U30
U12
U31
U23
ω
S.I.ω
U10
U20
U30U12
U23
U31
S.D. U10U20
U30
U12
U23
U31
1
3
2
7.2 SISTEMAS TRIFASICOS A CUATRO HILOS. RELACIÓN EXISTENTE ENTRE LAS TENSIONES SIMPLES Y COMPUESTAS (3)
8
°−∠
°∠
°∠
°∠
°−∠
°∠
===
===
12030
12020
010
12030
12020
010
Inversa Sec.Directa Sec.
S
S
S
S
S
S
UU
UU
UU
UU
UU
UU
103031
302023
201012
UUU
UUU
UUU
−=−=−=
De la observación de las ecuaciones y teniendo en cuenta que las tensiones simples formaban un sistema trifásico equilibrado en tensiones, se puede afirmar que las compuesta también lo forman, y teniendo en cuenta que la representación gráfica de la suma vectorial coincide en todos los casos formando triángulos de las mismas dimensiones, si llamamos al modulo de las tensiones simples Us, se puede decir que:
UU1010 --UU2020
UU1212
30º 30º
°−∠°∠
°∠°−∠
°−∠°∠
====
⋅=⋅=
⋅=⋅⋅=⋅+⋅=°⋅+°⋅=
12012311201231
12012231201223
301012301012
201012
33
SISD
32
32
2
3
2
330cos30cos
UUUU
UUUU
UUUU
UUUUUUU SSSS
7.2 SISTEMAS TRIFASICOS A CUATRO HILOS. RELACIÓN EXISTENTE ENTRE LAS TENSIONES SIMPLES Y COMPUESTAS (4)
9
Cuando a cada una de las fases se conecta una carga y estas se unen entre si y al hilo neutro, se dice que las cargas están cerradas formando una estrella para S.D.
ZZ11
ZZ33
ZZ22
II11
II22
II33
II00 = = --((II11 + + II22 + + II33) )
0’=0
2
1
3
UU1212
UU2323
UU3131
3
21
3
30
3
303
2
20
2
202
1
10
1
101
ϕ
ϕϕ
∠
∠∠
==
====
Z
U
Z
UI
Z
U
Z
UI
Z
U
Z
UI
00321321
120λλ
30
3
303120
λλ
20
2
202
λλ
10
1
101
=−=++⇒===
========= −∠∠
−−∠∠
−∠∠
IIIIIIII
Z
U
Z
U
Z
UI
Z
U
Z
U
Z
UI
Z
U
Z
U
Z
UI
s
s
s
λ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
Además, cuando las tres cargas son idénticas entre si se dice que la estrella es equilibrada y en este caso se cumple que:
λϕϕϕϕ ∠∠∠∠ ===λ321 321
ZZZZ
7.3 SISTEMAS TRIFASICOS A CUATRO HILOS. CONEXIÓN DE CARGAS EN ESTRELLA (1)
10
Con las consideraciones expuestas anteriormente se puede decir que el diagrama vectorial del sistema se corresponde con:
0
s
s
s
S.I.
s
s
s
S.D.
0321321
120λλ
30
3
303120
λλ
20
2
202
λλ
10
1
101
120λλ
30
3
303120
λλ
20
2
202
λλ
10
1
101
=−=++⇒===
=========
=========
−−∠∠
−∠∠
−∠∠
−∠∠
−−∠∠
−∠∠
IIIIIIII
Z
U
Z
U
Z
UI
Z
U
Z
U
Z
UI
Z
U
Z
U
Z
UI
Z
U
Z
U
Z
UI
Z
U
Z
U
Z
UI
Z
U
Z
U
Z
UI
λ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λϕϕϕϕ ∠∠∠∠ ===λ321 321
ZZZZ
ω
U10
U20
U30U12
U23
U31
S.D.I1
I2
I3
ϕλ
ϕλ
ϕλ
U10
U20
U30
U12
U31
U23
ω
S.I.
I1
I3
I2
ϕλ
ϕλ
ϕλ
7.3 SISTEMAS TRIFASICOS A CUATRO HILOS. CONEXIÓN DE CARGAS EN ESTRELLA (2)
11
Como se cumple que para el caso de cargas equilibradas:
0 0321321 =−=++⇒=== IIIIIIII λ
Se puede pasar de un sistema a cuatro hilos a uno de tres hilos ya que por el neutro no circula corriente y puede eliminarse.
ZZ11
ZZ33
ZZ22
II11
II22
II33
0’=02
1
3
UU1212
UU2323
UU3131
Este tipo de circuitos pueden estudiarse mediante la reducción al equivalente monofásico, generalmente de la fase 1, desfasando 120º las corrientes obtenidas, en retraso o adelanto para las otras fases
ZZ11II11
0
1
UU1010
1201312012λλ
10
1
101
1201312012λλ
10
1
101
1 1 s
S.I.
1 1 s
S.D.
−∠∠−∠∠
∠−∠−∠∠
⋅=⋅====
⋅=⋅====
IIIIZ
U
Z
U
Z
UI
IIIIZ
U
Z
U
Z
UI
λ
λ
λ
λ
ϕϕ
ϕϕ
Se dice que el equivalente monofásico de una estrella esta formado por la tensión simple, la corriente de línea o compuesta y la impedancia de la estrella
7.3 SISTEMAS TRIFASICOS A CUATRO HILOS. CONEXIÓN DE CARGAS EN ESTRELLA (3)7.3.1 CARGAS EN ESTRELLA Y EQUILIBRADAS.
12
Volviendo al sistema a seis hilos, se podría haber conectado de la siguiente forma:
233131223231121
31
3131
23
2323
12
1212
IIIIIIIII
Z
UI
Z
UI
Z
UI
−=−=−=
===
Z12 Z31
Z23
I12
I23
I31
U31
U12
U23
I1 = (I12 - I31)
2
1
3
I2 = (I23 - I12)
I3 = (I31 - I23)
1 11
2
2 2
3 33
DONDE:
7.4 SISTEMAS TRIFASICOS CON CONEXIÓN DE CARGAS EN TRIÁNGULO (1)
13
El diagrama vectorial seria:
U12
U31
U23
ω
S.I.I23
I12
I31
-I23 I3I1
-I31
-I12I2
ϕ23
ϕ31
ϕ12
ω
I12I23
I31 U12
U23
U31
S.D.I1
I2
I3
ϕ12
ϕ3
1
ϕ23
-I31-I12
-I23
7.4 SISTEMAS TRIFASICOS CON CONEXIÓN DE CARGAS EN TRIÁNGULO (2)
14
En esta conexión, si en lugar de tres generadores monofásicos se pone un generador trifásico:
Z12Z31
Z23
I12
I23
I31
U31
U12
U23
I1 = (I12 - I31)
2I2 = (I23 - I12)
I3 = (I31 - I23)
1 1
2
3 3
23313
1223231121
31
3131
23
2323
12
1212
III
IIIIII
Z
UI
Z
UI
Z
UI
−=−=−=
=
==
Donde:
• U12, U23 y U31 son las tensiones compuestas del sistema
• I12, I23 e I31 son las intensidades simples o de carga
• I1, I2 e I3 son las intensidades compuestas o de línea
7.4 SISTEMAS TRIFASICOS CON CONEXIÓN DE CARGAS EN TRIÁNGULO (3)
15
Cuando la carga en triángulo es equilibrada se cumple que:
-120Uc
Uc
-120Uc
Uc
-Uc
Uc
S.I.
-120Uc
Uc
-120Uc
Uc
-Uc
Uc
S.D.
-120012
31
3131
-120012
23
2323
-0
12
1212
-120012
31
3131
-120012
23
2323
-0
12
1212
∆
∆
∆
∆
∆
∆
−∠∆∆∆∠∆
°−∠
°∠∆∆∆∠∆
°∠
∠∆∆∆∠∆
°∠
∠∆∆∆∠∆
°∠
°−∠∆∆∆∠∆
°−∠
∠∆∆∆∠∆
°∠
=−∠===
=∠===
=∠===
=∠===
=−∠===
=∠===
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
IsZZZ
UI
IsZZZ
UI
IsZZZ
UI
IsZZZ
UI
IsZZZ
UI
IsZZZ
UI
11
S.I.
11
S.D.
12012311201223
-12031
-12023
-12
12012311201223
-12031
-12023
-12
°−∠°∠
−∠
°∠
∠°∠°−∠
∠
°−∠
∠ ⋅=⋅=⇒
==
=⋅=⋅=⇒
==
=
∆
∆
∆
∆
∆
∆ IIII
IsI
IsI
IsIIIII
IsI
IsI
IsI
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
7.4 SISTEMAS TRIFASICOS CON CONEXIÓN DE CARGAS EN TRIÁNGULO (4) 7.4.1 CARGAS EN TRIÁNGULO Y EQUILIBRADAS.
312312 ∆∠∆∆ ==== ϕZZZZZ
16
ω
I23
I31 U12
U23
U31
S.D.
I2
I3
ϕ3
1
ϕ23 -I12
-I23
I12
I1
ϕ12
-I3130º
30º30º30º
30º
30º
ωI23
I31
U12
U31
U23
S.I.
I2
I3
ϕ3
1
ϕ23
-I12
-I23
I12
I1
ϕ12 -I31
30º30º
30º
30º
30º
30º
Cuando la carga en triángulo es equilibrada el diagrama vectorial será:
En este caso se observa que las intensidades de línea en secuencia directa retrasan 30º respecto de las de carga, mientras que en secuencia inversa sucede lo contrario, pero en ambos casos se forman sistemas trifásicos equilibrados en corrientes, cumpliendo que si llamamos al modulo de las corrientes de carga Is y al de las corrientes de línea Ic:
IcIscosIscosIcosII
IcIscosIscosIcosII
IcIscosIscosIcosII
IsIII
=⋅=°⋅⋅=°⋅+°⋅==⋅=°⋅⋅=°⋅+°⋅==⋅=°⋅⋅=°⋅+°⋅=
⇒===33023030
33023030
33023030
23313
12232
31121
312312
7.4 SISTEMAS TRIFASICOS CON CONEXIÓN DE CARGAS EN TRIÁNGULO (5)7.4.1 CARGAS EN TRIÁNGULO Y EQUILIBRADAS.
17
Cuando la carga en triángulo es equilibrada a la hora de estudiar el circuito, el estudio se hace mediante la reducción al equivalente monofásico, generalmente de la fase 1, desfasando 120º las corrientes obtenidas, en retraso o adelanto para las otras fases.
Z12
I12
U12
°−∠°∠°∠
°−∠°∠
−∠
°∠
∠
°∠°−∠°−∠
°∠°−∠
∠
°−∠
∠
⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=
⇒
==
=
⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=
⇒
==
=
∆
∆
∆
∆
∆
∆
120131201230121
12012311201223
12031
12023
12
120131201230121
12012311201223
12031
12023
12
113
11
113
11
IIIIII
IIII
IsI
IsI
IsI
IIIIII
IIII
IsI
IsI
IsI
S.I.
S.D.
-
-
-
-
-
-
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
Se dice que el equivalente monofásico de un triangulo esta formado por la tensión compuesta y la corriente simple o de carga y la impedancia del triángulo
7.4 SISTEMAS TRIFASICOS CON CONEXIÓN DE CARGAS EN TRIÁNGULO (6) 7.4.1 CARGAS EN TRIÁNGULO Y EQUILIBRADAS.
18
Cuando la carga del sistema trifásico es equilibrada el estudio se hace mediante la reducción al equivalente monofásico, se calcularía la potencia de una fase y se multiplicaría por tres para obtener la potencia total.
Z∆∆∆∆
ISUC
ZλλλλIL
0
1
US
LCLS
LCLS
LCLS
LS
LS
LS
33 m3
sen3sen3 m3
cos3cos3 m3
m
senm
cosm
IUIUSS
IUIUQQ
IUIUPP
IUS
IUQ
IUP
⋅⋅=⋅⋅==
⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==
⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==
⋅=⋅⋅=⋅⋅=
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
LCSC
LCSC
LCSC
SC
SC
SC
33 m3
sen3sen3 m3
cos3cos3 m3
m
senm
cosm
IUIUSS
IUIUQQ
IUIUPP
IUS
IUQ
IUP
⋅⋅=⋅⋅==
⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==
⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==
⋅=⋅⋅=⋅⋅=
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
7.5 POTENCIA EN LOS SISTEMAS TRIFASICOS EQUILIBRADOS CON CARGAS EQUILIBRADAS.
19
Cuando la carga del sistema trifásico es una estrella equilibrada el estudio se hace mediante la reducción al equivalente monofásico.
Zλλλλ
Zλλλλ
Zλλλλ
I1
I2
I3
0’=02
1
3
U12
U23
U31
ZλλλλI1
0
1
U10
1201312012λλ
10
1
101
1201312012λλ
10
1
101
1 1 s
S.I.
1 1 s
S.D.
−∠∠−∠∠
∠−∠−∠∠
⋅=⋅====
⋅=⋅====
IIIIZ
U
Z
U
Z
UI
IIIIZ
U
Z
U
Z
UI
λ
λ
λ
λ
ϕϕ
ϕϕ
7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (1)7.6.1 CARGA EN ESTRELLA
20
Cuando la carga del sistema trifásico es una estrella desequilibrada el estudio se hace mediante tres métodos que son: lazos básicos, mallas o desplazamiento del neutro. Si bien en algunos casos se hace la transformación de estrella a triangulo y se resuelve según el siguiente apartado.
Z1
Z3
Z2
I1
I2
I3
0’≠ 02
1
3
U12
U23
U31
IA
IB
B3
AB2
A1
23
12
B
A
322
221
II
III
II
U
U
I
I
ZZZ
ZZZ
−=−=
=⇒
=
⋅
+−−+
7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (2)7.6.1 CARGA EN ESTRELLA
21
321
3032021010'0
1
10
0'0
YYY
UYUYUYU
Y
UYU
n
ii
n
iii
++⋅+⋅+⋅=
=⋅
=∑
∑
=
=
Z1
Z3
Z2
I1
I2
I3
0’2
1
3
U20
U30
U10
U0’0
El método del desplazamiento del neutro se basa en el teorema de Millman
3
0030
3
303
2
0020
2
202
1
0010
1
101
Z
UU
Z
UI
Z
UU
Z
UI
Z
UU
Z
UI
''
''
''
−==
−==
−==
2
U10U20
U30
U12
U23
U31
1
3
0
0’U0’0
U10’
U20’
U30’
7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (3)7.6.1 CARGA EN ESTRELLA
22
Cuando la carga en estrella es desquilibrada mediante la transformación estrella-triangulo y el estudio del triángulo desequilibrado.
2
13322131
1
13322123
3
13322112
Z
ZZZZZZZ
Z
ZZZZZZZ
Z
ZZZZZZZ
⋅+⋅+⋅=
+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅=
7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (4)7.6.1 CARGA EN ESTRELLA
23
Cuando la carga en triángulo es equilibrada se resuelve mediante la reducción al equivalente monofásico del propio triángulo.
Z∆∆∆∆
I12
U12
°−∠°∠
−∠
°∠
∠
°∠°−∠
∠
°−∠
∠
⋅=⋅=⇒
==
=
⋅=⋅=⇒
==
=
∆
∆
∆
∆
∆
∆
12012311201223
-12031
-12023
-12
12012311201223
-12031
-12023
-12
11
S.I.
11
S.D.
IIII
IsI
IsI
IsI
IIII
IsI
IsI
IsI
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
∆
=Z
UI 12
12
7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (5)7.6.2 CARGA EN TRIANGULO
24
Cuando la carga en triángulo es desequilibrada se resuelve mediante las ecuaciones del triángulo
Z12Z31
Z23
I12
I23
I31
U31
U12
U23
I1 = (I12 - I31)
2I2 = (I23 - I12)
I3 = (I31 - I23)
1 1
2
3 3
23313
1223231121
31
3131
23
2323
12
1212
III
IIIIII
Z
UI
Z
UI
Z
UI
−=−=−=
=
==
7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (6)7.6.2 CARGA EN TRIANGULO
25
Otro método que no suele ser muy utilizado es la transformación del triángulo-estrella
312312
23313
312312
12232
312312
31121
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
++⋅=
++⋅=
++⋅=
7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (7)7.6.2 CARGA EN TRIANGULO
26
Se agrupan las cargas de cada rama de la estrella con la de línea que le precede y se estudia la estrella resultante según lo visto en el apartado 7.6.1., . Hay que tener en cuenta que la tensión en la carga en estrella no es la tensión del generador ya que en la línea se produce una caída de tensión
I1
I2
I3
0’≠ 02
1
3
U12
U23
U31 ZL2
ZL3
2’
1’
3’
ZL1 Z1
Z2
Z3
U11’
U22’
U33’
U1’0’
U2’0’
U3’0’
Z’1
Z’3
Z’2
I1
I2
I3
0’=02
1
3
U12
U23
U31
3L33
2L22
1L11
ZZ'Z
ZZ'Z
ZZ'Z
+=+=+=
7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (8)7.6.3 CARGA EN ESTRELLA Y EN LA LÍNEA
27
Se transforma el triangulo en su estrella equivalente según las ecuaciones de la transformación triangulo-estrella vistas en el apartado anterior, y después se estudiara como una estrella con carga en la línea
I1
I2
I3
0’≠ 02
1
3
U12
U23
U31 ZL2
ZL3
2’
1’
3’
ZL1 Z1
Z2
Z3
U11’
U22’
U33’
U1’0’
U2’0’
U3’0’
2
3
U12
U23
U31
I11 1’ZL1
U11’
I2ZL2 2’
U22’
I3ZL3 3’
U33’
Z31
Z12
Z
23
7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (9)7.6.4 CARGA EN TRIÁNGULO Y EN LA LÍNEA
28
Para resolver este sistema se tienen que conocer las corrientes que llegan al triángulo y las que llegan a la estrella, para obtener a partir de ellas la corriente de la línea. Existen tres métodos superposición, transformación del triángulo a la estrella equivalente o bien transformación de la estrella al triangulo equivalente
I’1
I’2
I’3
0’≠ 02
1
3
U12
U23
U31
Z1
Z2
Z3
U1’0’
U2’0’
U3’0’I” 2
Z31
Z12 Z23
I” 1 I” 3
I1
I2
I3
333
222
111
"I'II
"I'II
"I'II
+=+=+=
7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (10)7.6.5 CARGA EN ESTRELLA Y EN TRIÁNGULO
29
Para resolver este sistema por superposición: se estudia por una parte la estrella y por otra el triángulo;
333
222
111
"I'II
"I'II
"I'II
+=+=+=
Z1
Z3
Z2
I’1
I’2
I’3
0≠02
1
3
U12
U23
U31
Z12
Z31
Z23
I12
I23
I31
U31
U12
U23
I” 1 = (I12 - I31)
2I” 2 = (I23 - I12)
I” 3 = (I31 - I23)
1 1
2
3 3
7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (11)7.6.5 CARGA EN ESTRELLA Y EN TRIÁNGULO
30
Para resolver este sistema por transformación de la estrella en el triángulo equivalente, entonces en cada rama del triangulo tendremos dos impedancias en paralelo y las asociaremos entre sí de tal forma que el resultado será un triangulo equivalente.
Z12
Z31
Z23
I12
I23
I31
U31
U12
U23
2
1 1
2
3 3
Z’12
I’12
I1
I2
I3Z’23
I’23
Z’31
I’31
7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (12)7.6.5 CARGA EN ESTRELLA Y EN TRIÁNGULO
31
Para resolver este sistema por transformación del triángulo a la estrella equivalente, se necesita que las dos cargas sean equilibradas, entonces tendremos dos impedancias en paralelo para cada rama de la estrella y las asociaremos entre sí de tal forma que el resultado será una estrella también equilibrada.
I’1
I’2
I’3
0’= 0
2
1
3
U12
U23
U31
Z1
Z2
Z3
I” 2
Z’1
Z’2
I” 1 I” 3
I1
I2
I3
Z’3
Z1P
Z3P
Z2P
I1
I2
I3
0’=02
1
3
U12
U23
U31
333P
222P
111P
'ZZZ
'ZZZ
'ZZZ
+=+=+=
7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (13) 7.6.5 CARGA EN ESTRELLA Y EN TRIÁNGULO
32
I’1
I’2
I’3
0’≠ 02
1
3
U12
U23U
31
Z1
Z2
Z3
U1’0’
U2’0’
U3’0’I” 2
Z31
Z12 Z23
I” 1 I” 3
I1
I2
I3
ZL1
ZL2
ZL3
2’
1’
3’
U1’
2’U
2’3’U
3’1’
7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (14)7.6.5 CARGA EN ESTRELLA, EN TRIÁNGULO Y EN LA LÍNEA
33
ZL1
ZL2
ZL3
2’
1’
3’
U1’
2’U
2’3’U
3’1’
Z12
Z31
Z23
I12
I23
I31
U31 U
12U
23
2
1 1
2
3 3
Z’12
I’12
I1
I2
I3Z’23
I’23
Z’31
I’31
En el caso de cargas desequilibradas hay que hacer la transformación de la estrella al triángulo equivalente, se calculan las ramas del triangulo equivalente como hemos calculado para carga en triangulo y en estrella, y entonces se estudia igual que una carga en triangulo y en la línea.
7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (15)7.6.5 CARGA EN ESTRELLA, EN TRIÁNGULO Y EN LA LÍNEA
34
En el caso de cargas equilibradas hay que hacer la transformación del triángulo a la estrella equivalente, y se calcula el equivalente monofásico del circuito
ZL 1I11’
U1’0 U10
00
I’1
0
Zλλλλ
I” 1
0
Z∆∆∆∆/3
7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (16)7.6.5 CARGA EN ESTRELLA, EN TRIÁNGULO Y EN LA LÍNEA
35
En los sistemas trifásicos equilibrados en tensiones se puede determinar el orden de sucesión de fases mediante sencillos montajes como los de las siguientes figuras:
H1
H2C
SR T
IR
IS
IT
0’
VC
S
IS
R
TR
IR
IT
0’ 0’
VL
S
IS
R
TR
IR
IT
Se puede observar que los montajes como los de las figuras se corresponden con cargas trifásicas desequilibradas de forma que el 0’≠0, y por tanto las tensiones que caen en cada rama de la estrella desequilibrada serán diferentes, el valor de esta tensión será el que nos dará la secuencia del sistema.
En una carga para cambiar el orden de sucesión de fases basta con permutar dos de las fases entre si y ya se consigue.
7.7 DETERMINACIÓN DEL ORDEN DE SUCESIÓN DE FASES (1)
H1
H2L
SR T
IR
IS
IT
0’
36
Estudiaremos cada uno de los cuatro montajes:
Para el primer montaje, si consideramos la resistencia de las lámparas, entonces se podría calcular el equivalente de Thevenin en bornes del condensador, es decir entre la fase R y 0’, para ello
P
UR
R
UI
IUP 2
=
=
⋅=
R
R
UTHS
R
T
0’
UTR
URS R�IR
IR
R�IR
2
2
TRRSTH
RRSTH
RTHRS
RTR
UUU
IRUU
IRUU
IRU
+=
⋅+=⋅−=
⋅⋅=
R
R
S
R
T
0’
ZTH
22
2 R
R
RZTH ==
0’
S
CUCURS
+UTR
/2
UR/2
I
~ I
RS
T
0’
UTR
UTR
/2
UST
UT0’
URS
UTH
UR0’
UR/2
UC
I
RS
T
0’
UC
UTR
/2
UR0’U
TH
UT0’
UR/2
°−∠
=−
=ϕZ
U
jXcR
UI ThTh
2H2>H1 ⇒ SD H1>H2 ⇒ SI
H1
H2C
SR T
IR
IS
IT
0’
7.7 DETERMINACIÓN DEL ORDEN DE SUCESIÓN DE FASES (2)
37
Para el segundo montaje, si consideramos la resistencia de las lámparas, igualmente se podría calcular el equivalente de Thévenin en bornes de la bobina, es decir entre la fase R y 0’, para ello:
P
UR
R
UI
IUP 2
=
=
⋅=
R
R
UTHS
R
T
0’
UTR
URS R�IR
IR
R�IR 2
2
TRRSTH
RRSTH
RTHRS
RTR
UUU
IRUU
IRUU
IRU
+=
⋅+=⋅−=
⋅⋅=
R
R
S
R
T
0’Z
TH
22
2 R
R
RZTH ==
T
T
I
RS
0’UL
UTR
/2
UR0’
UTH
UT0’
UR/2
°∠=
+=
ϕZ
U
jXR
UI Th
L
Th
2 I
RS
0’
UTR
UTR
/2
UST
UT0’
URS
UTH
UR0’
UR/2
UL
H1>H2 ⇒ SD H2>H1 ⇒ SI
7.7 DETERMINACIÓN DEL ORDEN DE SUCESIÓN DE FASES (3)
H1
H2L
SR T
IR
IS
IT
0’
0’
S
LULURS
+UTR
/2
UR/2
I
~
38
P
UR
R
UI
IUP 2
=
=
⋅=
Para el montaje de la tercera figura, si consideramos la resistencia de las lámparas, y si además se considera que la corriente que recorre el voltímetro es nula, el circuito se podría considerar como un circuito monofásico formado por un condensador y una resistencia que están sometidos a la tensión que hay entre las fases R y S y con esta consideración la corriente y las tensiones en el circuito serán:
V
C
SIS
R
T
RIR
IT
0’
U0’T
RSSR
CRSCRSS
RSRSR
RSCRS
RS
UUU
XIXIU
RIRIU
IZ
U
jXcR
UI
=+−∠=−∠⋅∠=
∠=⋅∠=
∠=−∠
=−
= ∠
''
'
'
º
º�º
º�
ºº
00
0
0
0
9090 ϕϕϕϕ
ϕϕ
RS
T
UST
UTR
UR0’
UT0’
UT0’
I
φ
T
0’
UTR
UST
URS
U0’S
S.D.
S.I.L.V.>Uc ⇒ SD
L.V.<Uc ⇒ SI
7.7 DETERMINACIÓN DEL ORDEN DE SUCESIÓN DE FASES (4)
39
Para el montaje de la cuarta figura, volviendo a considerar la resistencia de las lámparas, y que la corriente que recorre el voltímetro es nula, el circuito se podría considerar como un circuito monofásico formado por una bobina y una resistencia que están sometidos a la tensión que hay entre las fases R y S y con esta consideración la corriente y las tensiones en el circuito serán
P
UR
R
UI
IUP 2
=
=
⋅=
RSS''R
CRSLRSS'
RSRS'R
RSºC
L
RSRS
UUU
ºX·IºXIU
ºR·IRIU
ºIºZ
U
jXR
UI
=++−∠=∠⋅−∠=
−∠=⋅−∠=
−∠=∠
=+
= ∠
00
0
0
0
9090 ϕϕϕϕ
ϕϕ
L.V.<Uc ⇒ SD
L.V.>Uc ⇒ SI
RS
T
UST
UTR
UR0’
UT0’
UT0’
Iφ
T
0’
UTR
UST
URS
U0’S
S.D.
S.I.
7.7 DETERMINACIÓN DEL ORDEN DE SUCESIÓN DE FASES (5)
V
L
SIS
R
T
RIR
IT=0
0’
U0’T
Z=∞
40
CARGA EN ESTRELLA Y DESEQUILIBRADA
W1
W3
W2 0’=0
Z1
Z2
Z3
0
U10
U20
U30
U10
U20
U30
I1
I2
I3
1
2
3
I0
W3W2W1333022201110321++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++= ϕϕϕ cosIUcosIUcosIUPPPP ZZZ
3330330330
2220220220
1110110110
LW3
2LW
1LW
ϕ
ϕ
ϕ
cosIUIUcosIU
cosIUIUcosIU
cosIUIUcosIU
⋅⋅=
⋅⋅⋅=
⋅⋅=
⋅⋅⋅=
⋅⋅=
⋅⋅⋅=
∧
∧
∧
7.8 MEDIDA DE POTENCIAS A 4 HILOS (1)
41
CARGA EN ESTRELLA Y EQUILIBRADA
W33 =⋅⋅= ϕcosIUP LC
ϕ
ϕ
cosIUIUcosIU
IIIIZZZZZ
LS
L
⋅⋅=
⋅⋅⋅=
===⇒°∠====∧
110110
321321
1LW
W1
0’=0
Z1
Z2
Z3
U10
U20
U30
U10
I1
I2
I3
1
2
3
I0
7.8 MEDIDA DE POTENCIAS A 4 HILOS (2)
42
CARGA RESISTIVA PURA Y EQUILIBRADA
W23033 =⋅=°⋅⋅=⋅⋅= LCLCLC IUcosIUcosIUP ϕ
LCLC
L
IUcosIUIUcosIU
IIII
⋅=°⋅⋅=
⋅⋅⋅=
===∧
2
330LW 113113
321
U13
Z
W1
I1 ω
U10
U20
U30U12
U23
U31
S.D.
I1I2
I3
U13
U10
U20
U30
U12
U31
U23
ωS.I.
I1
I3
I2 U13
7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (3)
43
CARGA DESEQUILIBRADA
W1
W3
W2 0”
Z1
Z2
Z3
0’
u10”
u20”
u30”
u10’
u20’
u30’
i1
i2
i3
1
2
3
u0’0”
( )
( )
( )
( ) tuiuiui
PPPP
tuiP
tuiP
tuiP
"""
"
"
"
dT
1
dT
1
dT
1
dT
1
303202101
Z3Z2Z1
303Z3
202Z2
101Z1
∫
∫
∫
∫
⋅+⋅+⋅
=++=
⋅=
⋅=
⋅=
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) Ptuiuiuiiii
tiiiuuiuiui
tuuiuuiuui
tuuituuituui
uuuuuuuuu
tuituitui
"""
"'"""
"'""'""'"
"'""'""'"
"'"'"'"'"'"'
'''
=⋅+⋅+⋅=++⇒=++
++⋅−⋅+⋅+⋅
=−⋅+−⋅+−⋅=++
−⋅=−⋅=−⋅=
−=−=−=
⋅=⋅=⋅=
∫
∫
∫
∫∫∫
∫∫∫
dT
1WWW0
dT
1
dT
1WWW
dT
1Wd
T
1Wd
T
1W
dT
1Wd
T
1Wd
T
1W
303202101321321
32100303202101
003030020200101321
003033002022001011
003030002020001010
303320221011
7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (4)
44
CARGA DESEQUILIBRADA
( )
( )
( )
( ) tuiuiui
PPPP
tuiP
tuiP
tuiP
"""
"
"
"
dT
1
dT
1
dT
1
dT
1
303202101
Z3Z2Z1
303Z3
202Z2
101Z1
∫
∫
∫
∫
⋅+⋅+⋅
=++=
⋅=
⋅=
⋅=
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) Ptuiuiuiiii
tiiiuuiuiui
tuuiuuiuui
tuuituuituui
uuuuuuuuu
tuituitui
"""
"'"""
"'""'""'"
"'""'""'"
"'"'"'"'"'"'
'''
=⋅+⋅+⋅=++⇒=++
++⋅−⋅+⋅+⋅
=−⋅+−⋅+−⋅=++
−⋅=−⋅=−⋅=
−=−=−=
⋅=⋅=⋅=
∫
∫
∫
∫∫∫
∫∫∫
dT
1WWW0
dT
1
dT
1WWW
dT
1Wd
T
1Wd
T
1W
dT
1Wd
T
1Wd
T
1W
303202101321321
32100303202101
003030020200101321
003033002022001011
003030002020001010
303320221011
W1
W3
W2 0”
Z1
Z2
Z3
0’
u10”
u20”
u30”
u10’
u20’
u30’
i1
i2
i3
1
2
3
u0’0”
7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (5)
45
CARGA DESEQUILIBRADA
Además como finalmente el neutro de los vatímetros no interfiere en el resultado final podría estar a cualquier potencial luego podría puentearse con cualquiera de las fases, de esta forma el vatímetro que toma la corriente de esa fase marcaría cero y los otros dos vatímetros variaran su lectura de forma que su suma coincida con la de los tres vatímetros cuando el neutro de las bobinas voltimétricas estaba al aire. De esta forma se pasa de un sistema de medida con tres vatímetros a uno con dos vatímetros que nos permite medir potencia activa en cargas equilibradas y desequilibradas, y que llamaremos el método de Aron o de los dos vatímetros.
Vemos por tanto que al no haber considerado ninguna secuencia de fases este método de medida de potencias es valido para secuencia directa e inversa
W1
W3
W2 0”
Z1
Z2
Z3
0’
u10”
u20”
u30”
u10’
u20’
u30’
i1
i2
i3
1
2
3
u0’0”
7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (6)
46
W1
W2
I1
I2 W5
I3
I2
W6I3W4
W3
I1
Este método sirve para medir potencia activa para cargas equilibradas ydesequilibradas tanto para secuencia directa como para inversa, y para la medida de la potencia reactiva en los sistemas equilibrados y en ambas secuencias, la disposición de los vatímetros puede ser cualquiera de las figuras siguientes
En todas ellas hay un vatímetro que toma la intensidad de la fase “i” y la tensión desde esta misma fase “i” hasta la fase “i-1”, a este vatímetro en el método de Aron le llamaremos vatímetro “1”, mientras que el otro vatímetro toma la intensidad de otra fase “j”= “i+1” y la tensión de la fase “j” hasta la fase “j+1” a este segundo vatímetro le llamaremos vatímetro “2”
7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (7)7.9.1 MÉTODO DE ARON
47
Los resultados de las medidas de cada uno de los vatímetros en el caso de una carga equilibrada
WI
WJ
i
i-1
j
j+1
Ii
Ij
ω
U10
U20
U30U12
U23
U31
ϕϕ
U13ϕ +30º ϕ-30º
( ) ( )
( ) ( ) 2CLCL1jj,j1jj,jJ
1CLCL1-i,ii1-i,iiI
Wsensen30cos30cos30coscosW
Wsensen30cos30cos30-coscosW
=⋅°−°⋅⋅⋅=°+⋅⋅=
⋅⋅=
=⋅°+°⋅⋅⋅=°⋅⋅=
⋅⋅=
∧
++
∧
ϕϕϕ
ϕϕϕ
UIUIUIUI
UIUIUIUI
( )
( )3
Qsen
2
1sen2sensen302W-W
Pcos32
3cos20cos3cos2WW
CLCLCL21
CLCLCL21
=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅°⋅⋅⋅=
=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=°⋅⋅⋅⋅=+
ϕϕϕ
ϕϕϕ
UIUIUI
UIUIUI
S. D.
7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (8)7.9.1 MÉTODO DE ARON
48
Los resultados de las medidas de cada uno de los vatímetros en el caso de una carga equilibrada
WI
WJ
i
i-1
j
j+1
Ii
Ij S. I.
ϕ +30º
U10
U20
U30
U12
U31
U23
ω
U13
ϕ -30º
ϕ
ϕ
II
IJ
( ) ( )
( ) ( ) 1CLCL1jj,j1jj,jJ
2CLCL1-ii,i1-ii,iI
Wsensen30cos30cos30coscosW
Wsensen30cos30cos30coscosW
=⋅°+°⋅⋅⋅=°−⋅⋅=
⋅⋅=
=⋅°−°⋅⋅⋅=°+⋅⋅=
⋅⋅=
∧
++
∧
ϕϕϕ
ϕϕϕ
UIUIUIUI
UIUIUIUI
( )
( )3
sen2
1sen2sensen302W-W
cos32
3cos20cos3cos2WW
CLCLCL21
CLCLCL21
QUIUIUI
PUIUIUI
=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅°⋅⋅⋅=
=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=°⋅⋅⋅⋅=+
ϕϕϕ
ϕϕϕ
7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (9)7.9.1 MÉTODO DE ARON
49
Comportamiento de los vatímetros para distintos ϕ y distintas secuencias
Secuencia directa ϕ =0º carga resistiva pura
( ) ( )
( ) ( )
0WW
2
330co30cosW
2
330-cos30-cosW
JI
CLCLCLJ
CLCLCLI
>=⇒
⋅=°⋅⋅=°+⋅⋅=
⋅=°⋅⋅=°⋅⋅=
UIsUIUI
UIUIUI
ϕ
ϕ
Secuencia directa ϕ =30º inductivos( ) ( )
( ) ( )0W2W
2
160co30cosW
cos030-cosW
JI
CLCLCLJ
CLCLCLI
>=⇒
⋅=°⋅⋅=°+⋅⋅=
⋅=°⋅⋅=°⋅⋅=
UIsUIUI
UIUIUI
ϕ
ϕ
Secuencia directa ϕ =60º inductivos
( ) ( )
( ) ( )JI
CLCLJ
CLCLCLI
W0W
090co30cosW
2
3cos3030-cosW
=>⇒
=°⋅⋅=°+⋅⋅=
⋅=°⋅⋅=°⋅⋅=
sUIUI
UIUIUI
ϕ
ϕ
7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (10)7.9.1 MÉTODO DE ARON
50
Comportamiento de los vatímetros para distintos ϕ y distintas secuencias
Secuencia directa 60º<ϕ<90º inductivos (por ejemplo 75º)
Secuencia directa ϕ =90º inductivos
( ) ( )
( ) ( )JI
CLCLJ
CLCLI
W0W
0105co30cosW
0cos4530-cosW
>>⇒
<°⋅⋅=°+⋅⋅=
>°⋅⋅=°⋅⋅=
sUIUI
UIUI
ϕ
ϕ
( ) ( )
( ) ( )JI
JI
CLCLCLJ
CLCLCLI
W0W
WW
2
1120co30cosW
2
1cos6030-cosW
>>−=
⇒
⋅−=°⋅⋅=°+⋅⋅=
⋅=°⋅⋅=°⋅⋅=
UIsUIUI
UIUIUI
ϕ
ϕ
7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (11)7.9.1 MÉTODO DE ARON
51
Comportamiento de los vatímetros para distintos ϕ y distintas secuencias
Secuencia directa ϕ =-30º capacitivos
Secuencia directa ϕ =-60º capacitivos
( ) ( )
( ) ( )0W2W
0co30cosW
2
160-cos30-cosW
IJ
CLCLCLJ
CLCLCLI
>=⇒
⋅=°⋅⋅=°+⋅⋅=
⋅=°⋅⋅=°⋅⋅=
UIsUIUI
UIUIUI
ϕ
ϕ
( ) ( )
( ) ( )IJ
CLCLCLJ
CLCLI
W0W
2
330co30cosW
090-cos30-cosW
=>⇒
⋅=°−⋅⋅=°+⋅⋅=
=°⋅⋅=°⋅⋅=
UIsUIUI
UIUI
ϕ
ϕ
7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (12) 7.9.1 MÉTODO DE ARON
52
Comportamiento de los vatímetros para distintos ϕ y distintas secuencias
Secuencia directa -60º>ϕ>-90º capacitivos (por ejemplo 75º)
Secuencia directa ϕ =-90º capacitivos
( ) ( )
( ) ( )IJ
CLCLJ
CLCLI
W0W
045co30cosW
0105-cos30-cosW
>>⇒
>°⋅⋅=°+⋅⋅=
<°⋅⋅=°⋅⋅=
sUIUI
UIUI
ϕ
ϕ
( ) ( )
( ) ( )IJ
IJ
CLCLCLJ
CLCLCLI
W0W
WW
2
160co30cosW
2
1120-cos30-cosW
>>−=
⇒
⋅=°−⋅⋅=°+⋅⋅=
⋅−=°⋅⋅=°⋅⋅=
UIsUIUI
UIUIUI
ϕ
ϕ
7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (13)7.9.1 MÉTODO DE ARON
53
Comportamiento de los vatímetros para distintos ϕ y distintas secuencias
Secuencia inversa ϕ =0º carga resistiva pura
( ) ( )( ) ( )
0W2Wcos030cosW
2
1cos6030cosW
IJ
CLCLCLJ
CLCLCLI >=⇒
⋅=°⋅⋅=°−⋅⋅=
⋅=°⋅⋅=°+⋅⋅=
UIUIUI
UIUIUI
ϕ
ϕ
( ) ( )
( ) ( ) IJ
CLCLCLJ
CLCLI
W0W
2
3cos3030cosW
0cos9030cosW
=>⇒⋅=°⋅⋅=°−⋅⋅=
=°⋅⋅=°+⋅⋅=
UIUIUI
UIUI
ϕ
ϕ
Secuencia inversa ϕ =30º inductivos
Secuencia inversa ϕ =60º inductivos
7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (14)7.9.1 MÉTODO DE ARON
( ) ( )
( ) ( )0WW
2
330- cos30cosW
2
330 cos30cosW
JI
CLCLCLJ
CLCLCLI
>=⇒
⋅=°⋅⋅=°−⋅⋅=
⋅=°+⋅⋅=°+⋅⋅=
UIUIUI
UIUIUI
ϕ
ϕ
54
Comportamiento de los vatímetros para distintos ϕ y distintas secuencias
Secuencia inversa 60º<ϕ<90º inductivos (por ejemplo 75º)
Secuencia inversa ϕ =90º inductivos
( ) ( )( ) ( ) IJ
CLCLJ
CLCLI W0W0cos4530cosW
0cos10530cosW>>⇒
>°⋅⋅=°−⋅⋅=<°⋅⋅=°+⋅⋅=
UIUI
UIUI
ϕϕ
( ) ( )
( ) ( ) IJ
IJ
CLCLCLJ
CLCLCLI
W0W
WW
2
1cos6030cosW
2
1cos12030cosW
>>−=
⇒
⋅=°⋅⋅=°−⋅⋅=
⋅−=°⋅⋅=°+⋅⋅=
UIUIUI
UIUIUI
ϕ
ϕ
7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (15)7.9.1 MÉTODO DE ARON
55
Comportamiento de los vatímetros para distintos ϕ y distintas secuencias
Secuencia inversa ϕ =-30º capacitivos
Secuencia inversa ϕ =-60º capacitivos
( ) ( )
( ) ( )0W2W
2
160-cos30cosW
cos030cosW
JI
CLCLCLJ
CLCLCLI
>=⇒
⋅=°⋅⋅=°−⋅⋅=
⋅=°⋅⋅=°+⋅⋅=
UIUIUI
UIUIUI
ϕ
ϕ
( ) ( )
( ) ( )JI
CLCLJ
CLCLCLI
W0W
090-cos30cosW
2
330-cos30cosW
=>⇒
=°⋅⋅=°−⋅⋅=
⋅=°⋅⋅=°+⋅⋅=
UIUI
UIUIUI
ϕ
ϕ
7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (16)7.9.1 MÉTODO DE ARON
56
Comportamiento de los vatímetros para distintos ϕ y distintas secuencias
Secuencia inversa -60º>ϕ>-90º capacitivos
Secuencia inversa ϕ =-90º capacitivos
( ) ( )
( ) ( )JI
CLCLJ
CLCLI
W0W
0105-cos30cosW
045-cos30cosW
>>⇒
<°⋅⋅=°−⋅⋅=
>°⋅⋅=°+⋅⋅=
UIUI
UIUI
ϕ
ϕ
( ) ( )
( ) ( )JI
JI
KLKLKLJ
KLKLKLI
W0W
WW
2
1120-cos30cosW
2
160-cos30cosW
>>−=
⇒
⋅−=°⋅⋅=°−⋅⋅=
⋅=°⋅⋅=°+⋅⋅=
UIUIUI
UIUIUI
ϕ
ϕ
7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (17)7.9.1 MÉTODO DE ARON
57
Conociendo dos de los tres datos siguientes podríamos conocer el tercero, los datos son: Carácter de la carga, lecturas de los vatímetros y secuencia del sistema trifásico
S.D. S.I.
7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (18)7.9.1 MÉTODO DE ARON
58
Por ser las cargas desequilibradas no es posible valorar la potencia reactiva que llega a las mismas, por tanto para poder cuantificarla vamos a cuantificarla en un generador trifásico considerado conectado en estrella a tres hilos
∼
∼
∼
I1
I2
I3
U10
U20
U30
0
ω
U10
U20
U30U12
U23
U31
ϕ2ϕ1
90º-ϕ1
I1
I2
90º-ϕ2
I390º-ϕ3
ϕ3
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )332211S332211
30330320220210110132
303303320220221011011
sensensensensensen
sensensen
sensensen
ϕϕϕϕϕϕ ⋅+⋅+⋅⋅=⇒⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅
=
⋅⋅+
⋅⋅+
⋅⋅=++=
⋅⋅=
⋅⋅=
⋅⋅=
∧∧∧
∧∧∧
IIIUQUIUIUI
UIUIUIUIUIUIQQQQ
UIUIQUIUIQUIUIQ
SSS
7.10 MEDIDA DE POTENCIA REACTIVA CARGAS DESEQUILIBRADAS (1)
59
W3
W2 0’
Z1
Z2
Z3
I1
I2
I3
1
2
3
W1
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )332211S321
332211S
332211K
3K32K21K1321
3K33K31231233
2K22K23123122
1K11K12312311
sensensen3WWW
sensensen3
sensensen
sensinsinWWW
sen90coscosW
sen90coscosW
sen90coscosW
ϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
⋅+⋅+⋅⋅=++
⋅+⋅+⋅⋅
=⋅+⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++
⋅⋅=−°⋅⋅=
⋅⋅=
⋅⋅=−°⋅⋅=
⋅⋅=
⋅⋅=−°⋅⋅=
⋅⋅=
∧
∧
∧
IIIU
IIIU
IIIU
UIUIUI
UIUIUIUI
UIUIUIUI
UIUIUIUI
Si estudiamos las lecturas de los vatímetros monofásicos
ω
U10
U20
U30U12
U23
U31
ϕ2ϕ1
90º-ϕ1
I1
I2
90º-ϕ2
I390º-ϕ3
ϕ3
7.10 MEDIDA DE POTENCIA REACTIVA CARGAS DESEQUILIBRADAS (2)
60
Por tanto tenemos que:
( ) ( ) ( )( )332211S sensensen ϕϕϕ ⋅+⋅+⋅⋅= IIIUQ
( ) ( ) ( )( )
( )321
332211S321
WWW3
1
3sensensen3WWW
++=
⇒⋅=⋅+⋅+⋅⋅=++
Q
QIIIU ϕϕϕ
Y además podemos medir potencia reactiva mediante vatímetros monofásicos.
Si, por otra parte, la carga fuese equilibrada, entonces se cumpliría que :
( ) ( )( ) 321C
CC321
321321
W3W3W3sen3
sen90cosWWW
===⋅⋅=
⋅⋅=−°⋅⋅=========
ϕ
ϕϕϕϕϕϕ
UIQ
UIUI
IIII
L
LL
L
Por tanto con instalar uno solo de los vatímetros podríamos haber medido la potencia reactiva.
Por lo que se puede decir que:
7.10 MEDIDA DE POTENCIA REACTIVA CARGAS DESEQUILIBRADAS (3)
61
7.11 BIBLIOGRAFIA
• V.M. Parra Prieto y otros, Teoría de Circuitos, Universidad Nacional de Educación a Distancia. Madrid 1990. Tema XXI, XXII y XXIII.
• E. Alfaro Segovia, Teoría de Circuitos y Electrometría. El autor, Madrid 1970.Capitulo VIII, lecciones 20, 21, 22 y 23.
• Z. Aginako y otros, Zirkuituen Teoriako 100 Ariketa, Elhuyar, Usurbil 2006.6. atala.
• J.A. Edminister, M. Nahvi, Circuitos Eléctricos (Problemas resueltos) McGraw Hill, Madrid 1997. Capítulo 11.
• A. Gómez Expósito, J.A. Olivera, Problemas resueltos de Teoría de Circuitos, Paraninfo, Madrid 1990. Capitulo 6.
• A. Gómez Expósito y otros, Teoría de Circuitos, Ejercicios de autoevaluación, Thomson, Madrid 2005. Capítulo 5.
• J.L: Azurmendi y otros, Practicas de Electricidad y Circuitos, Centro de publicaciones de la EUITI de Bilbao, Bilbao 1985. Capitulo 5.
• P. Sánchez Barrios y otros, Teoría de Circuitos, Pearson Educación, Madrid 2007.Capitulo 3.