Tema 8 (Problemas)

Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito

UNIDAD 4: Geometría analítica.

Tema 8. Espacios afines.

Problemas

1. Calcular la pendiente y la y-intersección (si existe) de las rectas:

a) 205 yx b) 4x c) 1556 yx d) 1y 2. Encontrar una ecuación para la recta que pasa por el punto P con la pendiente m que se indica

en cada caso y dibujar dicha recta:

a) 4

3)3,0( mP b) infinita)2,1( mP

c) 3

2)0,0( mP d) 0)4,0( mP

3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos indicados y dibujar dicha recta:

a) )6,2(),0,0( BA b) )3,0(),1,2( QP c) )0,5(),8,2( DC d) )2,3(),2,1( NM 4. Escribir en todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por el punto )1,2( y es

a) paralela a 324 yx b) perpendicular a 324 yx . 5. Calcular la distancia entre el punto P y la recta r o entre las dos rectas r y s en los siguientes

casos:

a) 1034)0,0( yxrP b) 02)1,2( yxrP c) 5,1 yxsyxr

6. Hallar la recta paralela a la recta 0533 yx , que corta al eje OX en el punto de abcisa 3.


7. Determinar los valores de a y b para que la recta 02 byax sea paralela a la recta 0 yx y corte a un eje coordenado en un punto de ordenada 4.

8. Hallar la ecuación general de la recta que pasa por el punto P(2,-1) y es

a) paralela a la recta 532 yxr b) perpendicular a la recta 03 yxs .

Determinar, usando el teorema de Rouché-Frobenius, la posición relativa de las rectas r y s. Si son concurrentes, determinar el punto de corte y si son paralelas la distancia entre ambas.

9. Dadas las rectas 01 byx y 062 cyx , hallar los valores de b y c para que las rectas sean paralelas no coincidentes. Hallar tales valores para que las rectas sean coincidentes.

10. Las rectas 02 yx , 123 yx y yx 62 , ¿determinan un triángulo?

11. La recta 1b

y

a

x pasa por el punto (4,-3) y el área del triángulo que determina con los ejes

coordenados es 3 unidades cuadradas. Hallar la ecuación de la recta. 12. Hallar el área del triángulo de vértices A(1,2), B(1/2,0) y C(2,3). 13. Hallar el área del triángulo limitado por las rectas 01 yx , 03 yx y 02 y .

14. Hallar la distancia entre las rectas 032 yx y 052

1 yx .

15. Determinar un punto sobre la recta 03 yx , de forma que con los puntos A(3,0) y B(5,2)

forme un triángulo de área 5. 16. Dados los puntos A(0,0,0), B(1,0,0) y C(1,1,1), hallar:

a) las ecuaciones paramétricas e implícita del plano que pasa por los tres puntos. b) la ecuación de la recta que pasa por B y es paralela a la recta que pasa por A y C. c) la ecuación del plano que pasa por A’(-1,0,0) y es paralelo al plano del apartado a).


17. Estudiar la posición relativa de las rectas

2

1

32

z

y

x

r y )1,0,2()5,3,10(),,( zyxs

18. Estudiar la posición relativa de las rectas

01

0

zx

zyxr y

0524

012

zyx

zyxs

19. Hallar la ecuación del plano paralelo a 012 zyx que pasa por el punto P(2,-1,5). 20. Hallar la ecuación del plano paralelo al definido por A(1,0,0), B(0,1,0) y C(0,0,1) que pasa por

el punto de intersección de las rectas

0

2

zx

yxr y

42

1

1

z

y

x

s

21. Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta 1 zyxr y es paralelo a la recta

zyxs 11 . 22. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen y corta a las rectas

0

1

y

zxr y

1z

y

x

s

23. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen y es perpendicular al plano definido por el

punto P(-1,1,6) y la recta zyx

r

2

1

3

1.


24. Hallar la ecuación del plano que pasa por A(3,2,7) y es perpendicular a la recta

1

2

3

1

2

zyx

r .

25. Hallar la ecuación del plano que pasa por A(3,2,7) y B(6,3,4) y es perpendicular al plano

.0723 zyx 26. Hallar la ecuación del plano que pasa por A(2,-1,4) y es perpendicular a los planos yx y

zyx ' .

27. Hallar la distancia de la recta

02723

0432

zyx

zyxr al plano 02 zyx .

28. Calcular la distancia del punto P(3,2,7) a la recta zyxr . 29. Considerar las rectas en el espacio

z

y

x

r 1

21

1 y 3

22

z

yxr

Hallar: a) la distancia entre r1 y r2. b) la menor esfera que es tangente común a r1 y a r2.

30. Hallar la ecuación

a) general de la recta r paralela por el punto )2,1( a la recta que pasa por los puntos de

intersección de las curvas 2xy y 2yx .

b) explícita de la recta s que pasa por )1,1( y es perpendicular a

1

1

y

x.

Determinar, usando el teorema de Rouché-Frobenius, la posición relativa de las rectas r y s. Si son concurrentes, determinar el punto de corte y si son paralelas la distancia entre ambas.


31. a) Hallar la ecuación (en todas las formas posibles) de la recta que pasa por el punto de intersección de r1 y r2, y es paralela a r3:

2

2

1

111

zy

xr 3

4

2

3

4

52

zyx

r

25

21

32

3

z

y

x

r

b) Dadas las rectas

2

1

1

z

y

x

r y 33

4

2

1

z

yxs

demostrar que son coplanarias y hallar la ecuación implícita del plano que determinan.

c) Hallar la posición relativa de la recta y el plano determinados en los apartados anteriores y, si es pertinente, su distancia.

32. Estudiar las posiciones relativas de los planos 1, 2 y 3, según los valores que pueda tomar el

parámetro a:

1 x + ay + z = 1 2 x – y – az = 0 3 ax + y – z = -2

Si en alguno de los casos los tres planos se cortan en un punto, hallar ese punto de corte. 33. Hallar la ecuación (en todas las formas posibles) del plano π que pasa por el punto P de corte de

las rectas )1,0,2()5,3,10(),,( zyxr y

2

1

32

z

y

x

s y es perpendicular a los planos

yx ' y zyx '' . 34. Estudiar la posición relativa de los planos 11 zyx , 232 azyx y

433 zayx , en función del valor que tome el parámetro a.

Tema 8 (Problemas)

Technology

Transcript of Tema 8 (Problemas)