Tema 9 Formas cuadráticas sobre ℜ

Tema 9

Formas cuadráticas sobreℜn.

9.1. Expresión matricial y analítica.

Definición 9.1 Sean q : Rn→ R una aplicación.

q es una forma cuadrática si la expresión explícita de q(x) con x = (x1, . . . , xn), que recibe el nombre

de expresión analítica de q, es una combinación lineal de productos del tipo xi x j

q(x1, . . . , xn) = a11x1x1 + a12x1x2 + · · · + a1nx1xn + · · · · · · + an1xnx1 + an2xnx2 + · · · + annxnxn

donde ai j es el coeficiente del producto xi y j.

En este caso se puede expresar como

q(x1, . . . , xn) =(

x1 x2 · · · xn

)

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

......

an1 an2 · · · ann

x1

x2

...

xn

♣

Ejemplo 9.2 Una forma cuadrática tiene diferentes expresiones analíticas y matriciales. Así, las siguientes

formas cuadráticas (q1, q2 : R3−→ R) son iguales, solo que la segunda tiene los términos agrupados.

375

Bloque III. ÁLGEBRA LINEAL Y TEORÍA DE MATRICES

q1(x1, x2, x3) = x1x1 + x1x2 + x1x3 + x2x1 + x2x2 + x2x3 + x3x1 + x3x2 + x3x3

q1(x1, x2, x3) =(

x1 x2 x3

)

1 1 1

1 1 1

1 1 1

x1

x2

x3

q2(x1, x2, x3) = x2

1 + x22 + x2

3 + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3

q2(x1, x2, x3) =(

x1 x2 x3

)

1 2 2

0 1 2

0 0 1

x1

x2

x3

♣

▶ Vamos a tomar como expresión analítica aquella que tiene los términos agrupados (q2) y como ex-

presión matricial aquella que tiene matriz simétrica (q1).

Nota Aunque q se puede expresar de la forma q(x) = XtA X de diferentes maneras, existe una única matriz

simétrica, As ∈ Mn×n(R), tal que

q(x) = XtCAs XC.

Esta expresión, y solo ésta, recibe el nombre de expresión matricial de q y la matriz, que siempre es

simétrica, el de matriz asociada a la forma cuadrática q.

Si tenemos q(x) = XtCA XC con A no simétrica, la matriz asociada a q es As =

12

(A + At). ♣

Ejemplo 9.3 La expresión matricial de una forma cuadrática tiene siempre matriz simétrica:

q(x1, x2, x3) = x21 + 2x2

2 + 3x23 + 3x1x2 + 4x1x3 + 2x2x3

q(x1, x2, x3) =(

x1 x2 x3

)

1 32 2

32 2 1

2 1 3

x1

x2

x3

q(x1, x2, x3) = 2x2

1 + 2x22 + 2x2

3 + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3

q(x1, x2, x3) =(

x1 x2 x3

)

2 1 1

1 2 1

1 1 2

x1

x2

x3

♣

PROYECTO MATECO 3.14159 Página 376

http://personal.us.es/jmiguel/PROYECTOMATECO.html

TEMA 9. FORMAS CUADRÁTICAS SOBREℜN .

9.2. Expresiones diagonales.

Como se verá en temas posteriores, siempre existe una base en la que una forma cuadrática tiene una

expresión matricial con matriz diagonal. Este tipo de expresiones reciben el nombre de expresiones dia-

gonales y vamos a ver algunas de las expresiones diagonales asociadas a una forma cuadrática. Cada una

de estas expresiones se obtiene de forma distinta, pero en todos los casos es una expresión como suma de

cuadrados:

q(x1, . . . , xn) =(

x1 x2 · · · xn

)

d1 0 · · · 0

0 d2 · · · 0...

.... . .

...

0 0 · · · dn

x1

x2

...

xn

= d1x2

1 + d2x22 + · · · + dnxn

n

Proposición 9.4 Sea q : Rn→ R una forma cuadrática cuya expresión matricial es

q(x) = Xt As X

(Forma diagonal de los autovalores) Existe una base respecto a la que su expresión analítica es

q(x1, x2, . . . , xn)B = λ1x21 + λ2x2

2 + · · · + λnx2n

donde λ1, . . . , λn son los autovalores de As.

(Forma diagonal de Jacobi) Si los r primeros menores diagonales de As son distintos de cero para

r = rg(As) entonces existe una base respecto a la que su expresión analítica es:

q(x1, x2, . . . , xn)B = D1x21 +

D2

D1x2

2 + · · · +Dr

Dr−1x2

r (D1, . . . ,Dr , 0)

donde se denomina menor diagonal, o menor angular, de orden i a

Di =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 · · · a1i

.... . .

...

ai1 · · · aii

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ♣

Página 377 PROYECTO MATECO 3.14159



Nota (Ley de inercia de Sylvester) Todas las expresiones como suma de cuadrados de q tiene el mismo

número de coeficientes positivos, el mismo número de coeficientes negativos y, por tanto, el mismo número

de coeficientes nulos. ♣

Ejemplo 9.5 Obtener las expresiones diagonales de la forma cuadrática

q(x1, x2, x3) = 2x21 + 2x2

2 + 2x23 + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 con matriz A =

2 1 1

1 2 1

1 1 2

Solución

♦ Expresión diagonal de autovalores:

▶ Calculamos los autovalores de A mediante su polinomio característico

|A − λI| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 − λ 1 1

1 2 − λ 1

1 1 2 − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −λ3 + 6λ2 − 9λ + 4

Buscamos una raíz entera por la regla de Rufini entre los divisores del término independiente:

−1 6 −9 4

1 −1 5 −4

−1 5 −4 0

Buscamos las otras dos raíces en el resto de la división, −λ2 + 5λ − 4,

λ =−5 ±

√25 − 16−2

=

−5+3−2 = 1

−5−3−2 = 4

Por tanto, los autovalores de A son λ =

1 m = 2

4 m = 1

▶ La expresión diagonal de autovalores es q(x1, x2, x3) = λ1x21 + λ2x2

2 + λ3x23 = x2

1 + x22 + 4x2

3




♦ Expresión diagonal de Jacobi

▶ Los menores diagonales son:

A =

2 1 1

1 2 1

1 1 2

=⇒

σ1 = 2

σ2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 1

1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 3

σ3 = |A| = 4

▶ La expresión diagonal de Jacobi es q(x1, x2, x3)B = σ1x21 +

σ2σ1

x22 +

σ3σ2

x23 = 2x2

1 +32 x2

2 +43 x2

3

♦ La ley de inercia de Sylvester nos indica que ambas expresiones tiene el mismo número de cuadrados

con coeficientes positivos y el mismo número de cuadrados con coeficientes negativos (aquí ambas tienen

tres cuadrados con coeficientes positivos y ninguno con coeficientes negativos). ♣

9.3. Clasificación de formas cuadráticas.

El problema de clasificar una forma cuadrática consiste en determinar si tienen siempre el mismo signo,

ya que, aunque los valores de las formas cuadráticas son positivos y negativos, hay algunas veces que solo

toman valores de un tipo.

q(x, y) = x2 + y2 es positiva q(x, y) = −x2 − y2 es negativa q(x, y) = x2 − y2 es positiva y negativa

Definición 9.6 Sea q : Rn→ R una forma cuadrática.

♦ q es definida positiva si q(x) ≥ 0 ∀x ∈ Rn y q(u) > 0 ∀u , θ.

♦ q es semidefinida positiva si q(x) ≥ 0 ∀x ∈ Rn y ∃u , θ/q(u) = 0.

♦ q es definida negativa si q(x) ≤ 0 ∀x ∈ Rn y q(u) < 0 ∀u , θ.

♦ q es semidefinida negativa si q(x) ≤ 0 ∀x ∈ Rn y ∃u , θ/q(u) = 0.

♦ q es indefinida si ∃u, v ∈ Rn/q(u) > 0 y q(v) < 0. ♣




Proposición 9.7 (Criterio de los autovalores) Sean q : Rn→ R una forma cuadrática, As su matriz

asociada y λi : 1 ≤ i ≤ n los autovalores de As.

Si λi > 0, ∀i : 1 ≤ i ≤ n, entonces q es definida positiva.

Si λi ≥ 0 ∀i : 1 ≤ i ≤ n y ∃i : λi = 0, entonces q es semidefinida positiva.

Si λi < 0, ∀i : 1 ≤ i ≤ n, entonces q es definida negativa.

Si λi ≤ 0 ∀i : 1 ≤ i ≤ n y ∃i : λi = 0, entonces q es semidefinida negativa.

Si ∃i : λi > 0 y ∃ j : λ j < 0 entonces q es indefinida. ♣

Nota (Regla de los signos de Descartes) El número de raíces positivas de un polinomio con raíces reales,

si se cuenta en las raíces múltiples su multiplicidad, coincide con el número de cambios de signo entre

coeficientes consecutivos no nulos. ♣

Observación Aunque la regla de los signos de Descartes solo es válida si las raíces son reales. Aquí se

puede utilizar, ya que las raíces del polinomio característico de una matriz simétrica siempre son reales. ♣

Ejemplo 9.8 Clasifica por el método de los autovalores la forma cuadrática

q(x1, x2, x3) = 2x21 + 2x2

2 + 2x23 + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3

Solución Hemos obtenido su polinomio característico y sus autovalores en el ejemplo 9.5

|A − λI| = −λ3 + 6λ2 − 9λ + 4 = 0⇐⇒ λ =

1 m = 2

4 m = 1

Como los tres autovalores son positivos la forma cuadrática q es definida positiva. Obsérvese que no

es necesario calcular los autovalores, ya que en el polinomio característico hay tres cambios de signo y, por

tanto, hay tres autovalores positivos (regla de Descartes). ♣

Definición 9.9 Se denominan menores primarios de orden i a cada uno de los menores obtenidos al eli-

minar n − i filas y columnas del mismo índice (entre ellos están los menores diagonales). ♣




▶ Los menores primarios de orden 1 son los elementos de la diagonal principal.

▶ Los menores primarios de orden 2 de una matriz 3 × 3 son (eliminando misma fila y columna):

H122 =

a11 a12

a21 a22

H132 =

a11 a13

a31 a33

H232 =

a22 a23

a32 a33

.Proposición 9.10 Sean Di : 1 ≤ i ≤ n los menores diagonales y r = rg(As)

Caso 1 (Criterio de los menores diagonales) det(As) , 0 (nunca es semidefinida y r = n):

Si D1 > 0,D2 > 0, · · · ,Dn > 0 entonces q es definida positiva.

Si D1 < 0,D2 > 0, · · · , con sig(Di) = sig(−1)i entonces q es definida negativa.

Indefinida en otro caso.

Caso 2 (Criterio de los menores primarios) det(As) = 0 (nunca es definida y r < n):

Si todos los menores primarios no nulos son positivos q es semidefinida positiva.

Si todos los menores primarios no nulos cumplen sig(Hi) = sig(−1)i q es semidefinida negativa.

Indefinida en otro caso. ♣

Nota Si los elementos de la diagonal principal tienen signo distinto es indefinida. ♣

Nota Aunque cuando el determinante es cero se puede aplicar el método de los menores angulares si se

dan las condiciones de existencia de la forma de Jacobi, en este caso es más cómodo aplicar el método de

los menores primarios. ♣

Ejemplo 9.11 Clasificar por el método de los menores las siguientes formas cuadráticas:

(a) q(x1, x2, x3) = 2x21 + 2x2

2 + 2x23 + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 (b) q(x1, x2, x3) = −x2

1 − x22 + x2

3 + 2x1x2

Solución

(a) (esta forma cuadrática es la del problema 9.8 y, como es obvio, el resultado es el mismo.)




♦ Los menores diagonales de la matriz de la forma cuadrática son

A =

2 1 1

1 2 1

1 1 2

=⇒

σ1 = 2

σ2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 1

1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 3

σ3 = |A| = 4

Como los tres menores diagonales son positivos la forma cuadrática q es definida positiva.

(b) Comenzamos calculando los menores angulares

A =

−1 1 0

1 −1 0

0 0 1

=⇒

σ1 = −1

σ2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣−1 1

1 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

σ3 = |A| = 0

▶ Como |A| = 0 nunca puede ser definida y utilizamos el método de los menores primarios:

σ1 = −1, σ′1 = −1, σ′′1 = 1.

σ2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣−1 1

1 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0, σ′2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣−1 0

0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −1, σ′′2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣−1 0

0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −1

σ3 = |A| = 0

Como todos los menores primarios de orden 1 tienen distinto signo la forma cuadrática q es indefinida.

▶ Al ser los elementos de la diagonal principal los valores de la forma cuadrática en los vectores de la

base canónica, está garantizado que hay valores positivos y negativos (no es necesario ningún cálculo)

q(1, 0, 0) = −1 q(0, 1, 0) = −1 q(0, 0, 1) = 1 ♣




Ejercicio 9.12 Clasificar la forma cuadrática q(x1, x2, x3) = x21 + x2

2 + x23 + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3

Solución Clasificamos q por los dos métodos fundamentales de clasificación

♦ Por autovalores: obtenemos el polinomio característico de A:

A =

1 1 1

1 1 1

1 1 1

=⇒ |A − λI| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 − λ 1 1

1 1 − λ 1

1 1 1 − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −λ3 + 3λ2

▶ Al extraer λ2 factor común se tienen directamente los autovalores (el factor λ2 nos indica que λ = 0

es un autovalor doble y el cambio de signo que tiene un autovalor positivo):

−λ3 + 3λ2 = (−λ + 3)λ2 = 0 =⇒

λ2 = 0 =⇒ λ = 0 (doble)

−λ + 3 = 0 =⇒ λ = 3

=⇒ λ =

0 m = 2

3 m = 1

Como uno de los autovalores es positivo y los otros dos son cero q es semidefinida positiva.

♦ Por menores: Como |A| = 0 nunca puede ser definida y utilizamos el método de los menores primarios:

σ1 = 1, σ′1 = 1, σ′′1 = 1.

σ2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1

1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0, σ′2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1

1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0, σ′′2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1

1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

σ3 = |A| = 0

q es semidefinida positiva pues los menores primarios de orden 1 son positivos y el resto cero. ♣

9.4. Clasificación de formas cuadráticas restringidas.

La clasificación de formas cuadráticas restringidas consiste en determinar el signo de los valores de la

forma cuadrática en un determinado subespacio vectorial.

Definición 9.13 Sean q : Rn→ R una forma cuadrática y E un subespacio vectorial.

q restringida a E es definida positiva si q(x) ≥ 0 ∀x ∈ E y q(u) > 0 ∀u ∈ E, u , θ.

q restringida a E es semidefinida positiva si q(x) ≥ 0 ∀x ∈ E y ∃u ∈ E, u , θ/q(u) = 0.




q restringida a E es definida negativa si q(x) ≤ 0 ∀x ∈ E y q(u) < 0 ∀u ∈ E, u , θ.

q restringida a E es semidefinida negativa si q(x) ≤ 0 ∀x ∈ E y ∃u ∈ E, u , θ/q(u) = 0.

q restringida a E es indefinida si ∃u, v ∈ E/q(u) > 0 y q(v) < 0.

Una primera aproximación para clasificar una forma cuadrática restringida es clasificarla sin restringir,

ya que, aunque no es necesario, puede dar pistas sobre la forma restringida. Así, si una forma cuadrática

es definida positiva al restringirla sigue siendo definida positiva y si una forma cuadrática es semidefinida

positiva al restringirla solo puede ser definida positiva o semidefinida positiva (en las formas definidas y

semidefinidas negativas sucede el fenómeno análogo).

La forma más general de clasificar una forma cuadrática restringida a un subespacio es obtener una

expresión de los vectores del subespacio mediante sus ecuaciones paramétricas. Esta expresión se sustituye

en la forma cuadrática original, de forma que la forma cuadrática restringida depende de tantos parámetros

como dimensión tiene el subespacio. Lo único que queda es clasificar la forma cuadrática obtenida por

cualquiera de los métodos de clasificación para formas cuadráticas sin restringir.

Nota (Clasificación de una forma cuadrática restringida a un subespacio)

Se obtienen las ecuaciones paramétricas del subespacio.

Se sustituyen las ecuaciones paramétricas en la expresión analítica de la forma cuadrática.

Se clasifica la forma cuadrática restringida. ♣

Ejemplo 9.14 Clasificar la forma cuadrática q(x1, x2, x3) = 2x21 + x2

2 + 2x23 − 4x1x3 + 6x2x3 restringida al

subespacio vectorial E =< (1, 1, 0), (0, 1, 1) >.

Solución

♦ Clasificamos la forma cuadrática sin restringir:

Obtenemos la matriz de q y clasificamos, por ejemplo, mediante los menores diagonales

A =

2 0 −2

0 1 3

−2 3 2

=⇒

σ1 = 2

σ2 = 2

σ3 = −18

=⇒ q es indefinida




Como en este caso la forma cuadrática es indefinida, toma tanto valores positivos como negativos y es

necesario clasificar la forma cuadrática restringida.

♦ Clasificamos la forma cuadrática restringida:

▶ Obtenemos las ecuaciones paramétricas del subespacio (en este caso son inmediatas)

x1

x2

x3

= α

1

1

0

+ β

0

1

1

=⇒

x1 = α

x2 = α + β

x3 = β

α, β ∈ R.

▶ Sustituimos en la expresión analítica de la forma cuadrática:

q(x1, x2, x3) = 2x21 + x2

2 + 2x23 − 4x1x3 + 6x2x3 = 2α2 + (α + β)2 + 2β2 − 4αβ + 6(α + β)β

q|E(α, β) = 3α2 + 9β2 + 4αβ =(α β

) 3 2

2 9

αβ

Clasificamos la forma cuadrática obtenida:

▷ método de los autovalores:

|A − λI| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣3 − λ 2

2 9 − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = λ2 − 12λ + 23 =⇒ λ =12 ±

√144 − 922

=

12+√

522 ≈ 9.61

12−√

522 ≈ 2.39

Como los dos autovalores son positivos la forma cuadrática restringida es definida positiva (por la regla

de Descartes hay dos autovalores positivos al haber dos cambios de signo).

▷ método de los menores

A =3 2

2 9=⇒

σ1 = 3

σ2 = 23=⇒ q es definida positiva

♣

Ejercicio 9.15 Clasificar la forma cuadrática q(x1, x2, x3) = x21+ x2

2+ x23+2x1x2+2x1x3+2x2x3 restringida

a los subespacios E = {(x, y, z) ∈ R3 / x − y − 2z = 0} y F = {(x, y, z) ∈ R3 / x − y − z = 0, x − y + 2z = 0}.

Solución Esta es la forma cuadrática del ejemplo 9.12 y como sin restringir es semidefinida positiva las

formas restringidas solo pueden ser definidas positivas o semidefinidas positivas.

♦ Clasificamos la forma cuadrática restringida a E = {(x, y, z) ∈ R3 / x − y − 2z = 0}:




Como E solo tiene una ecuación, x − y − 2z = 0, despejamos una variable, por ejemplo x = y + 2z, y la

sustituimos en la expresión analítica de q (tomamos x2 = y, x3 = z y x1 = y + 2z).

Sus expresiones analítica y matricial (simétrica), dependen de dos variables

q|E(y, z) = (y + 2z)2 + y2 + z2 + 2(y + 2z)y + 2(y + 2z)z + 2yz = 4y2 + 9z2 + 12yz =(

y z) 4 6

6 9

y

z

▶ Clasificamos la forma cuadrática obtenida (lo hacemos por los dos métodos fundamentales):

▷ El polinomio característico es:

|A − λI| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣4 − λ 6

6 9 − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = λ2 − 13λ

Como los autovalores son λ = 0 y λ = 13 la forma cuadrática restringida es semidefinida positiva (un

autovalor es cero y el otro es positivo por la regla de Descartes).

▷ Los menores angulares también nos indican que la forma restringida es semidefinida positiva:

A =4 6

6 9=⇒

σ1 = 4

σ2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣4 6

6 9

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = |A| = 0

♦ Clasificamos la forma cuadrática restringida a F = {(x, y, z) ∈ R3/x − y − z = 0, x − y + 2z = 0}:

Como las dos ecuaciones implícitas son linealmente independientes dos de las tres variables del sistema

depende de la otra y tenemos un parámetro (la variable z no puede ser el parámetro).

rg

1 −1 −1

1 −1 2




Si sustituimos el parámetro y = α en la ecuación implícita obtenemos las ecuaciones paramétricas

cuando resolvemos el sistema

x − z = α

x − 2z = 2α=⇒

x − z = α

x − 2z = α

Ec1 − Ec2 : z = 0

x − z = α

x − 2z = α

2Ec1 − Ec2 : x = α

=⇒

x = α

y = α

z = 0

α ∈ R.

La expresión analítica de la forma cuadrática restringida se obtiene cuando sustituimos las variables

en la expresión analítica de q con x1 = x = α, x2 = y = α y x3 = z = 0:

q|F(α) = (α)2 + (α)2 + (0)2 + 2(α)(α) + 2(α)(0) + 2(α)(0) = 4α2.

Como esta forma cuadrática depende de su única variable (α) y siempre es positiva para α , 0 la forma

cuadrática restringida es definida positiva. ♣

Ejercicio 9.16 Clasificar la forma cuadrática q(x1, x2, x3) = 2x21 + 2x2

2 + 2x23 + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3

restringida al subespacio E = {(x, y, z) ∈ R3, / x + 2z = 0, x − 3y = 0}.

Solución

♦ Esta forma cuadrática la hemos clasificado en el ejemplo9.8 y es definida positiva, por tanto, la for-

ma cuadrática restringida es definida positiva para cualquier subespacio. Aunque no es necesario hacerlo,

vamos a comprobarlo:

Como las dos ecuaciones implícitas son linealmente independientes dos de las tres variables del sistema

depende de la otra y tenemos un parámetro

rg

1 0 2

1 −3 0

= 2




Obtenemos la ecuación paramétrica si sustituimos el parámetro (z = α) en la ecuación implícita y

resolvemos el sistema despejando las variables x e y:

=⇒ x + 2α = 0 =⇒ x = −2α

x − 3y = 0 =⇒ − 2α − 3y = 0 =⇒ y = −2α/3

=⇒

x = −2α

y = −2α/3

z = α

α ∈ R.

Para sustituir las variables en la expresión analítica, por comodidad, las multiplicamos por tres y

tomamos x = −6α y = −2α z = 3α α ∈ R. Así, obtenemos una forma cuadrática que depende de α y

siempre es positiva para α , 0

q|E(α) = 2(−6α)2 + 2(−2α)2 + 2(3α)2 + 2(−6α)(−2α) + 2(−6α)(3α) + 2(−2α)(3α) = 26α2 ♣

Casos particulares

♦ Clasificación de una forma cuadrática restringida a un subespacio dado por vectores

En este caso, las ecuaciones paramétricas del subespacio pueden expresarse en forma matricial X = CXE

donde C es la matriz que tiene a los vectores de E por columnas y XE el vector formado con los parámetros

x1

x2

...

xn

=

u11 u21 · · · uk1

u12 u22 · · · uk2

......

...

u1n u2n · · · ukn

α1

α2

...

αk

Esta expresión permite sustituir las ecuaciones paramétricas en la expresión matricial de la forma cuadrática

y obtener la expresión matricial de la forma cuadrática restringida que se clasifica por cualquiera de los

métodos de clasificación para formas sin restringir

q|E(α1, α2, . . . , αk) = (CXE)tACXE = XtECtAXt

E. ♣

Ejemplo 9.17 Si en el ejemplo 9.14 expresamos las ecuaciones paramétricas con su expresión matricial

x1

x2

x3

=

1 0

1 1

0 1

αβ




podemos sustituir en la expresión matricial de la forma cuadrática la expresión matricial de los vectores

q|E(α, β) =(α β

) 1 1 0

0 1 1

2 0 −2

0 1 3

−2 3 2

1 0

1 1

0 1

αβ

=(α β

) 3 2

2 9

αβ

obteniendo la misma forma cuadrática que por el método anterior. ♣

♦ Clasificación de una forma cuadrática restringida a un subespacio dado por ecuaciones.

Si tenemos un subespacio dado por un sistema de ecuaciones (lineal y homogéneo) S X = θ, con

S ∈ Mm×n(R) puede ser posible clasificar la forma cuadrática restringida sin obtener las ecuaciones pa-

ramétricas. Aunque el método que vamos a ver tiene la desventaja de no ser siempre concluyente, se reduce

al cálculo de n−m determinantes de orden n+m e inferiores y si la forma restringida es definida lo detecta.

Este método se basa en la construcción de una matriz de orden n+m a partir de las matrices de la forma

cuadrática, A, y del sistema que define el subespacio, S , que recibe el nombre de matriz orlada:

θ S

S t A

⇐⇒

0 0 · · · 0 s11 s12 · · · s1n

0 0 · · · 0 s21 s22 · · · s2n

......

. . ....

...... · · ·

...

0 0 · · · 0 sm1 sm2 · · · smn

s11 s21 · · · sm1 a11 a12 · · · a1n

s12 s22 · · · sm2 a21 a22 · · · a2n

......

. . ....

......

. . ....

s1n s2n · · · smn an1 an2 · · · ann

▶ Si los últimos (n-m) menores diagonales de la matriz orlada son no nulos:

Si los últimos (n-m) menores diagonales de la matriz orlada tienen el signo de (−1)m la forma cua-

drática restringida es definida positiva.

Si los últimos (n-m) menores diagonales de la matriz orlada alternan su signo empezando en el signo

de (−1)m+1 la forma cuadrática restringida es definida negativa.




Si alguno de los últimos (n-m) menores diagonales de la matriz orlada no corresponde a ninguna de

las reglas anteriores la forma cuadrática restringida es indefinida.

Obsérvese que si n − m = 1 solo tenemos que estudiar el signo del determinante de la matriz orlada.

▶ Si alguno de los últimos (n-m) menores diagonales de la matriz orlada es nulo la forma cuadrática

restringida no es definida. ♣

Nota Aunque existe un criterio para determinar si la forma cuadrática restringida es semidefinida, positiva

o negativa, no lo vamos a ver. En ese caso utilizamos una ecuación que recibe el nombre de ecuación

característica orlada ∣∣∣∣∣∣∣∣∣θ S

S t A − λI

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

Si las soluciones de la ecuación característica orlada son todas positivas la forma cuadrática restrin-

gida es definida positiva.

Si las soluciones de la ecuación característica orlada son todas negativas la forma cuadrática restrin-

gida es definida negativa.

Si hay soluciones de la ecuación característica orlada positivas y negativas la forma cuadrática res-

tringida es indefinida.

Si hay soluciones de la ecuación característica orlada cero la forma cuadrática restringida es semide-

finida o indefinida según el signo de las raices no nulas. ♣




Ejercicios del tema.

Ejercicio 9.18 Calcular la expresión matricial respecto a la base canónica de las formas cuadráticas:

(a) q(x1, x2, x3) = x21 + x2

2 + 4x1x2 − 2x1x3 + 6x2x3 (b) q(x1, x2, x3) = x21 − 2x1x2 + 4x1x3

(c) q(x1, x2, x3) = x21 − 2x1x2 + 3x2

3 − 2x2x3 + 4x1x3 (d) q(x1, x2, x3) = x1x2 + 3x2x3 − 2x1x3

Solución

x1 x2 x3

x1 x21 x1x2 x1x3

x2 x2x1 x22 x2x3

x3 x3x1 x3x2 x23

(a) q (x1, x2, x3) = x21 + x2

2 + 4x1x2 − 2x1x3 + 6x2x3 =

(x1 x2 x3

)

1 2 −1

2 1 3

−1 3 0

x1

x2

x3

(b) q (x1, x2, x3) = x2

1 − 2x1x2 + 4x1x3 =

(x1 x2 x3

)

1 −1 2

−1 0 0

2 0 0

x1

x2

x3

(c) q (x1, x2, x3) = x2

1 − 2x1x2 + 3x23 − 2x2x3 + 4x1x3 =

(x1 x2 x3

)

1 −1 2

−1 0 −1

2 −1 3

x1

x2

x3

(d) q (x1, x2, x3) = x1x2 + 3x2x3 − 2x1x3 =

(x1 x2 x3

)

0 12 −1

12 0 3

2

−1 32 0

x1

x2

x3

Ejercicio 9.19 Calcular la expresión analítica de las formas cuadráticas cuyas matrices son :

(a) A1 =

1 0 −1

0 1 1

−1 1 0

(b) A2 =

−1 1 −1

1 2 1

−1 1 −2

A3 =

0 1 −3

1 0 1

−3 1 0

Solución Solución pendiente. ♣




Ejercicio 9.20 Calcular, si es posible, la expresión diagonal de Jacobi de las formas cuadráticas:

(a) q(x1, x2, x3) = x21 + 2x2

2 + 6x1x2 + 2x2x3 (b) q(x1, x2, x3) = x21 + x1x2 + 3x2

3 + 6x2x3

(c) q(x1, x2, x3) = x21 + 3x2

3 + 4x1x3 (d) q(x1, x2, x3) = x21 + 3x1x2 − 5x1x3

Solución

(a) q (x1, x2, x3) = x21 + 2x2

2 + 6x1x2 + 2x2x3 =

(x1 x2 x3

)

1 3 0

3 2 1

0 1 0

x1

x2

x3

D1 = 1 , 0, D2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 3

3 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −7 , 0, D3 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 3 0

3 2 1

0 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −1 , 0 =⇒ rg(A) = 3

Como rg (A) = 3 y D1, D2, D3 , 0 la forma diagonal de Jacobi es

q (y1, y2, y3) = 1y21 +−71

y22 +−1−7

y23 = y2

1 − 7y22 +

17

y23

(b) q (x1, x2, x3) = x21 + x1x2 + 3x2

3 + 6x2x3 =

(x1 x2 x3

)

1 12 0

12 0 3

0 3 3

x1

x2

x3

D1 = 1 , 0, D2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1

2

12 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −14, 0, D3 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1

2 0

12 0 3

0 3 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −

374, 0 =⇒ rg(A) = 3

Como rg (A) = 3 y D1, D2, D3 , 0 la forma diagonal de Jacobi es

q (y1, y2, y3) = 1y21 +−1

4

1y2

2 +−37

4

−14

y23 = y2

1 −14

y22 + 37y2

3

(c) q (x1, x2, x3) = x21 + 3x2

3 + 4x1x3 =

(x1 x2 x3

)

1 0 2

0 0 0

2 0 3

x1

x2

x3




D1 = 1 , 0, D2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0

0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0, D3 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 2

0 0 0

2 0 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 con rg(A) = 2

Como rg (A) = 2 y D2 = 0, en principio, q no admite forma diagonal de Jacobi

(d) q (x1, x2, x3) = x21 + 3x1x2 − 5x1x3 =

(x1 x2 x3

)

1 32

−52

32 0 0

−52 0 0

x1

x2

x3

D1 = 1 , 0, D2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 3

2

32 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −94, 0, D3 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 3

2−52

32 0 0

−52 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 =⇒ rg(A) = 2

Como rg (A) = 2 y D1,D2 , 0 la forma diagonal de Jacobi es

q (y1, y2, y3) = 1y21 +−9

4

1y2

2 = y21 −

94

y22 ♣

Ejercicio 9.21 Calcular una expresión diagonal de autovalores de las formas cuadráticas:

(a) q(x1, x2, x3) = x21 + x2

2 + 3x23 + 2x1x2 (b) q(x1, x2, x3) = 2x1x2 + 2x2x3 + 2x1x3

(c) q(x1, x2, x3) = x23 − 2x1x2 (d) q(x1, x2, x3) = x2

1 − x23 + 2x1x3 − 2x2

3

Solución

(a) q (x1, x2, x3) = x21 + x2

2 + 3x23 + 2x1x2 =

(x1 x2 x3

)

1 1 0

1 1 0

0 0 3

x1

x2

x3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 − λ 1 0

1 1 − λ 0

0 0 3 − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (3 − λ)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 − λ 1

1 1 − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (3 − λ)[(1 − λ)2

− 1]︸︷︷︸

λ2−2λ

= 0→

λ = 3

λ = 2

λ = 0

La forma diagonal de autovalores viene dada por:

q(y1, y2, y3

)= 3y2

1 + 2y22




(b) q (x1, x2, x3) = 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 =

(x1 x2 x3

)

0 1 1

1 0 1

1 1 0

x1

x2

x3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−λ 1 1

1 −λ 1

1 1 −λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 → −λ3 + 3λ + 2 = 0→

λ1 = −1

λ2 = −1

λ3 = 2

La forma diagonal de autovalores viene dada por

q(y1, y2, y3

)= −y2

1 − y22 + 2y2

3

(c) q (x1, x2, x3) = x23 − 2x1x2 =

(x1 x2 x3

)

0 −1 0

−1 0 0

0 0 1

x1

x2

x3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−λ −1 0

−1 −λ 0

0 0 1 − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (1 − λ)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣−λ −1

−1 −λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0→ (1 − λ) (λ2 − 1) = 0→

λ1 = 1

λ2 = 1

λ3 = −1

La forma diagonal de autovalores viene dada por

q(y1, y2, y3

)= y2

1 + y22 − y2

3

(d) q (x1, x2, x3) = x21 − x2

2 + 2x1x2 − 2x23 =

(x1 x2 x3

)

1 1 0

1 −1 0

0 0 −2

x1

x2

x3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 − λ 1 0

1 −1 − λ 0

0 0 −2 − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (−2 − λ)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 − λ 1

1 −1 − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−2 − λ)(λ2 − 2

)= 0→

λ = −2

λ =√

2

λ = −√

2

q(y1, y2, y3

)= −2y2

1 +√

2 y22 −√

2 y23 ♣




Ejercicio 9.22 Clasificar atendiendo a su signo las formas cuadráticas:

a) q(x1, x2, x3) = x21 − x2

2 − 2x23 + 2x1x2 + 2x1x3 − 2x2x3

b) q(x1, x2, x3) = 2x21 + x2

2 + 3x23 − 2x1x3 + 2x2x3.

c) q(x1, x2, x3) = −2x21 − 3x2

2 − 2x23 + 4x1x2 − 2x1x3.

d) q(x1, x2, x3) = −x21 + 3x2

3 − 2x1x2 + 4x1x3 − 2x2x3.

e) q(x1, x2, x3) = 2x21 + x2

2 + 5x23 + 2x1x2 + 6x1x3 + 4x2x3.

Solución

(a) q (x1, x2, x3) = x21 − x2

2 − 2x23 + 2x1x2 + 2x1x3 − 2x2x3 =

(x1 x2 x3

)

1 1 1

1 −1 −1

1 −1 −2

x1

x2

x3

Calculamos los menores angulares:

D1 = 1 > 0

D2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1

1 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −2 < 0

D3 = |A| = 2 > 0Como los tres menores ni son positivos (definida positiva) ni alternan de signo empezando en negativo

(definida negativa) y |A| , 0 (no es semidefinida), la forma cuadrática es indefinida.

▷ Para su clasificación basta ver que en la diagonal hay términos positivos y negativos.

(b) q (x1, x2, x3) = 2x21 + x2

2 + 3x23 − 2x1x3 + 2x2x3 =

(x1 x2 x3

)

2 0 −1

0 1 1

−1 1 3

x1

x2

x3


D1 = 2 > 0

D2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 0

0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 2 > 0

D3 = |A| = 3 > 0Al ser los tres menores positivos (D1 > 0, D2 > 0, D3 > 0) la forma cuadrática es definida positiva

(c) q (x1, x2, x3) = −2x21 − 3x2

2 − 2x23 + 4x1x2 − 2x1x3 =

(x1 x2 x3

)−2 2 −1

2 −3 0

−1 0 −2

x1

x2

x3





D1 = −2 < 0

D2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣−2 2

2 −3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 2 > 0

D3 = |A| = −1 < 0Como los tres menores alternan de signo empezando en negativo (D1 < 0, D2 > 0, D3 < 0) la forma

cuadrática es definida negativa

(d) q (x1, x2, x3) = −x21 + 3x2

3 − 2x1x2 + 4x1x3 =

(x1 x2 x3

)−1 −1 2

−1 0 −1

2 −1 3

x1

x2

x3

▷ La forma cuadrática es indefinida y para su clasificación basta observar que en la diagonal hay

términos positivos y negativos.

(e) q (x1, x2, x3) = 2x21 + x2

2 + 5x23 + 2x1x2 + 6x1x3 + 4x2x3 =

(x1 x2 x3

)

2 1 3

1 1 2

3 2 5

x1

x2

x3


D1 = 2 > 0

D2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣2 1

1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1 > 0

D3 = |A| = −3 < 0Como los tres menores ni son positivos (definida positiva) ni alternan de signo empezando en negativo

(definida negativa) y |A| , 0 (no es semidefinida), la forma cuadrática es indefinida. ♣


a) q(x1, x2, x3) = x21 + x2

2 + x23 + 2x1x2.

b) q(x1, x2, x3) = x21 + x2

2 − x23 + 2x1x2.

c) q(x1, x2, x3) = x1x2 + x1x3 + x2x3.

d) q(x1, x2, x3) = x21 + x2

2 + 4x1x2 − 2x1x3 + 6x2x3.

e) q(x1, x2, x3) = x21 − 2x1x2 + 3x2

3 − 2x2x3 + 4x1x3.




Solución

(a) q (x1, x2, x3) = x21 + x2

2 + x23 + 2x1x2 =

(x1 x2 x3

)

1 1 0

1 1 0

0 0 1

x1

x2

x3


D1 = 1 > 0

D2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1

1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

D3 = |A| = 0Como |A| = 0 no es definida y aplicamos el criterio de menores primarios: utilizamos el método de los

menores primarios:

σ1 = σ′1 = σ

′′1 = 1.

σ2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1

1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0, σ′2 = σ′′2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0

0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1

σ3 = |A| = 0

Como los menores no nulos son positivos la forma cuadrática es semidefinida positiva.

(b) q (x1, x2, x3) = x21 + x2

2 − x23 + 2x1x2 =

(x1 x2 x3

)

1 1 0

1 1 0

0 0 −1

x1

x2

x3

Como en la diagonal hay términos positivos y negativos la forma cuadrática es indefinida.

(c) Solución pendiente. (d) Solución pendiente. (e) Solución pendiente. ♣

Ejercicio 9.24 Clasificar las formas cuadráticas del ejercicio 9.22 restringida al subespacio

S = {(x1, x2, x3) ∈ R3/x1 + 2x2 − x3 = 0, x1 − x2 + x3 = 0}


Ejercicio 9.25 Clasificar las formas cuadráticas del ejercicio 9.23 restringida a E = ⟨(1, 0, 1), (1, 1, 0)⟩





Ejercicio 9.26 Clasificar las siguientes formas cuadráticas restringidas a S = {(x1, x2, x3) ∈ R3/x1 = x3}

(a) q(x1, x2, x3) = 6x21 + 6x2

2 + 6x23 (b) q(x1, x2, x3) = −x2

1 − 2x22 − x2

3

(c) q(x1, x2, x3) = x22 + x2

3 (d) q(x1, x2, x3) = x21 + x2

3

Solución

(a) q (x1, x2, x3) = 6x21 + 6x2

2 + 6x23

q es definida positiva sin restringir y, por tanto, la forma cuadrática restringida es definida positiva.

(b) q (x1, x2, x3) = −x21 − 2x2

2 − x23

q es definida negativa sin restringir y, por tanto, la forma cuadrática restringida es definida negativa.

(c) q (x1, x2, x3) = x22 + x2

3 A =

0 0 0

0 1 0

0 0 1

Como q es semidefinida positiva sin restringir la forma cuadrática restringida puede seguir siendo semi-

definida positiva o cambiar y ser definida positiva. Por tanto, necesitamos la forma cuadrática restringida,

para lo que sustituimos las ecuaciones paramétricas en la expresión analítica de la forma cuadrática. De esta

forma obtenemos la expresión analítica de la forma cuadrática restringida en función de los parámetros:

x1 − x3 = 0 =⇒

x1 = β

x2 = α

x3 = β

=⇒ q|S (α, β) =x2︷︸︸︷α 2 +

x3︷︸︸︷β 2 = α2 + β2

La forma cuadrática restringida es una forma diagonal completa con coeficientes positivos y, por tanto,

es definida positiva.

(d) q (x1, x2, x3) = x21 + x2

3

Como q es semidefinida positiva sin restringir la forma cuadrática restringida puede seguir siendo semi-

definida positiva o cambiar y ser definida positiva. Sustituimos las ecuaciones paramétricas en la expresión

analítica de la forma cuadrática para obtener la expresión analítica de la forma cuadrática restringida en




función de los parámetros:

x1 − x3 = 0 =⇒

x1 = β

x2 = α

x3 = β

=⇒ q|S (α, β) =x1︷︸︸︷β 2 +

x3︷︸︸︷β 2 = 2 β2

La forma cuadrática restringida es una forma diagonal con coeficientes positivos pero incompleta, por

tanto, es semidefinida positiva. ♣

Ejercicio 9.27 Clasificar la forma cuadrática q(x1, x2, x2) = 2x1x2 + x23 restringida a

(a) S 1 = {(x1, x2, x3) ∈ R3/2x1 + x2 − 2x3 = 0} (b) S 2 = {(x1, x2, x3) ∈ R3/x1 − x3 = 0}

(c) S 3 = {(x, y, z) ∈ R3/x + 2y − z = 0, x − y + z = 0} (d) S 4 = {(x, y, z) ∈ R3/2x + 3y − z = 0}

Solución

En primer lugar clasificamos la forma cuadrática sin restringir:

q (x1, x2, x3) =(

x1 x2 x3

)

0 1 0

1 0 0

0 0 1

x1

x2

x3


D1 = 0

D2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣0 1

1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −1 < 0

D3 = |A| = −1 < 0Como |A| , 0 y no es ni definida positiva ni definida negativa sin restringir es indefinida y restringida

nos puede originar cualquier caso.

(a) S 1 ={(x, y, z) ∈ R3/2x + 3y − z = 0

}Como está dado por una ecuación despejamos una variable y tomamos las otras como parámetros x3 =

2α + 3β con x1 = α y x2 = β. Sustituyendo x1, x2, x3 en la expresión de q:

q|S 1 (α, β) = 2αβ + (2α + 3β)2 = 4α2 + 9β2 + 14αβ =(α β

) 4 7

7 9

αβ





D1 = 4 > 0

D2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣4 7

7 9

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −13 < 0

Como |A| , 0 y no es ni definida positiva ni definida negativa es indefinida.

(b) S 2 ={(x, y, z) ∈ R3/x + 2y − z = 0, x − y + z = 0

}Tenemos dos ecuaciones y buscamos las ecuaciones paramétricas eliminando, si las hay, las ecuaciones

implícitas que sean l.i.

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 2

1 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1 , 0→ rg

1 2 −1

1 −1 1

= 2

Como las dos ecuaciones son l.i. hacemos z = α para resolver el sistema:

x + 2y − z = 0

x − y + z = 0→

x + 2y = α

x − y = −α=⇒

x = − α

3

y = 2α3

z = α

con α ∈ R

Sustituyendo x1, x2, x3 en la expresión q (x1, x2, x3) = 2x1x2 + x23:

q|S 2(α) = 2

(−α

3

) 2α3+ α2 = −

49α2 + α2 =

59α2

Como el coeficiente es positivo q|S 2 es definida positiva.

(c) S 3 = {(x1, x2, x3) /x1 − x3 = 0}

Como está dado por una ecuación despejamos una variable y tomamos las otras como parámetros

x1 = β

x2 = α

x3 = β

Sustituyendo x1, x2, x3 en la expresión de q (x1, x2, x3) = 2x1x2 + x23:

q|S 3 (α, β) = 2αβ + β2 = (α, β) =(α β

) 0 1

1 1

αβ





D1 = 0

D2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣0 1

1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = −1 , 0

Como |A| , 0 y no es ni definida positiva ni definida negativa es indefinida.

(d) S 4 ={(x1, x2, x3) ∈ R3/ 2 x1 + x2 − 2x3 = 0

}Como está dado por una ecuación despejamos una variable y tomamos las otras como parámetros

x1 = α

x2 = −2α + 2β

x3 = β

Sustituyendo x1, x2, x3 en q (x1, x2, x3) = 2x1x2 + x23:

q|S 3 (α, β) = 2α (−2α + 2β) + β2 = −4α2 + 4αβ + β2 =

(α β

) −4 2

2 1

αβ

Como en la diagonal hay elementos positivos y negativos q|S 3 es indefinida. ♣


a) q(x1, x2, x3, x4) = x21 − x2

2 + x23 − x2

4 + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x1x4 + 2x2x4 + 2x3x4.

b) q(x1, x2, x3, x4) = −x21 − x2

2 − 2x23 − x2

4 + 2x1x4 + 2x2x3 + 2x3x4.

Solución

(a) q (x1, x2, x3, x4) = x21 − x2

2 + x23 − x2

4 + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x1x4 + 2x2x4 + 2x3x4

Como en la diagonal hay elementos positivos y negativos q es indefinida. ♣

(b) q (x1, x2, x3, x4) = −x21 − x2

2 − 2x23 − x2

4 + 2x1x2 + 2x1x4 + 2x2x3 + 2x3x4




A =

−1 1 0 1

1 −1 1 0

0 1 −2 1

1 1 0 −1

=⇒

D1 = −1 < 0

D2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣−1 1

1 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

D3 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−1 1 0

1 −1 1

0 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 1 > 0

D4 = |A| = −6 < 0

Como los tres menores ni son positivos (definida positiva) ni alternan de signo empezando en negativo

(definida negativa) y |A| , 0 (no es semidefinida), la forma cuadrática es indefinida. ♣



Tema 9 Formas cuadráticas sobre ℜ

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