Tema Razones Trig Angulos de Cualquier Magnitud Trigonometria Aula 4

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UNIVERSIDAD CESAR VALLEJOPrograma De Reforzamiento y Adelanto Universitario

AVANZA

Curso: TRIGONOMETRIA

Tema: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE

ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD

Aula : 4

ANGULO EN POSICIÓN NORMAL

Un ángulo trigonométrico está en POSICIÓN NORMAL, si su vértice está en el origen de coordenadas y su lado inicial coincide con el lado positivo del eje X.

Si el lado final está en el segundo cuadrante, el ángulo se denomina ÁNGULO DEL SEGUNDO CUADRANTE y análogamente para los otros cuadrantes.

Si el lado final coincide con un eje se dice que el ÁNGULO NO PERTENECE A NINGÚN CUADRANTE.

Ejemplos:

I

II

III

90º a ningún cuadrante

no está en posición normal

ÁNGULO CUADRANTAL

Un ángulo en posición normal se llamará CUADRANTAL cuando su lado final coincide con un eje. En consecuencia no pertenece a ningún cuadrante.

Los principales ángulos cuadrantes son: 0º, 90º, 270º y 360º, que por “comodidad gráfica” se escribirán en los extremos de los ejes.

1. PropiedadSi es un ángulo en posición normal positivo y menor que una vuelta entonces se cumple:

Si I 0 < <90º

Si II 90º < < 180º

Si III 180º < < 270º

Si IV 270º < < 360º

ÁNGULO COTERMINALES

Dos ángulos en posición normal se

llamarán COTERMINALES o COFINALES

si tienen el mismo lado final y el

mismo lado inicial (así sea en sentido

contrario).

Ejemplos:

SON

COTERMINALES

NO SON

COTERMINALES

1. PropiedadLa diferencia de las medidas de dos ángulos coterminales siempre nos dará como resultado un número positivo entero de vueltas.

Lic. Gudelia Padilla Virhuez

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Si son coterminales tal que > entonces se cumple:

. – = k(360º). K Z+

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL

r=√x2+ y2

{x=Abcsisa ¿ {Y=ordenada ¿ ¿¿¿

Si es un ángulo cualquiera en posición normal, sus razones trigonométricas se definen como sigue:

senθ= yr= ORDENADARADIO VECTOR

csc θ= ry=RADIO VECTOR

ORDENADA

cosθ= xr= ABCSISARADIO VECTOR

secθ= rx= RADIO VECTOR

ABSCISA

tgθ= yx=ORDENADA

ABSCISA

ctg θ= xy= ABSCISAORDENADA

OBSERVACIONES:

1. EN VERDAD “r” ES LA LONGITUD DE RADIO VECTOR OP. POR CUESTIONES PRÁCTICAS VAMOS A DENOMINAR A “r” COMO VECTOR.2. PARA RECORDAR LAS DEFINICIONES ANTERIORES, UTILICE EL SIGUIENTE CAMBIO:

CATETO OPUESTO = ORDENADACATETO ADYACENTE= ABSCISARADIO VECTOR = HIPOTENUSA

SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN CADA CUADRANTE

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES

Como ejemplo modelo vamos a calcular las razones trigonométricas de 90º, análogamente se van a calcular las otras razones trigonométricas de 0º, 180º, 270º y 360º.

Aplicando las razones trigonométricas de ángulos en posición normal, tenemos:

∢

R.T.0º 90º 180º 270º 360º

Sen 0 1 0 –1 0

Cos 1 0 –1 0 1

Tg 0 ND 0 ND 0

Ctg ND 0 ND 0 ND

Sec 1 ND –1 ND 1

Csc ND 1 ND –1 ND

1. Si el punto (6; – 8) pertenece al lado final del ángulo en posición normal, calcular: 5cos + 6tgRpta.

2. Calcular: csc + cos


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Rpta.

3. Si sen>0 cos<0, hallar el signo de la expresión: (tg+ctg) sen

Rpta.

4. Si sen√cosα < 0, halla el signo de

la expresión:

cos αsen α+tg α

Rpta.

5. Si: IIIC además tg=1,5; calcular √13(sen – cos)Rpta.

6. Si IIC, además:sec=tg245º–sec260º, calcular: 3 sen+ tg

Rpta.

7. Calcular:2sen90º + 3cos180º + 4tg360º + 5ctg270º

Rpta.

8. Reducir:

(a+b )2 cos360 º+ (a−b )2 sen270 ºasen180 º+absen270 º+bsen 360ºRpta.

9. Del la figura hallar:

sen αsen β

+cosαcos β

+ tgαtg β

Rpta.

10. De la figura,Hallar “sen”, sabiendo que tg+tg=–6

Rpta.

11. Del gráfico, calcular:2tg+3tg

Rpta.

12. De la figura hallar: a–8ctg


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Rpta.

13. Si:tg>0 sen = tg230 – tg245º

Calcular: cos

Rpta.

14. Si: 8tg+1=4, además: cos>0,Calcular senRpta.

15. Si:

tgθ−2= 1

4+1

4+1

√5+2 , calcular:

√5cscθ , sabiendo que IIICRpta.

16. Si: sen(5+10º)=cos(2+10º), Calcular:cos . cos2......,cos10.

Rpta.

17. Reducir:

(a+b )2sen 90º+4ab cos180 ºasen90 º−bcos180 º

Rpta.

18. Si: 2tg+2 = 3ctg+3

Además: IIQ IVQ

Calcular: √2 . cos . cos

Rpta.

19. Si ABCD es un cuadrado, hallar tg

Rpta.

20. Si tg = 1 +

23+ 49+ 827

+. .. . ... Además

IIIC, calcular: √10cosα+tg αRpta.

1. En el esquema mostrado, calcular “sec”

a) −√5b)

−√52 c)

−√53

d)−√32 e)

−√62


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2. El punto (3; –4) pertenece al lado final del ángulo en posición normal; calcule:M = 5 cos + 6 tga) –3 b) –4 c) –5d) –10 e) –11

3. Del gráfico mostrado, calcule el valor de:

E=4tg+3

a) –3 b) –1 c) –5d) 9 e) –6

4. Siendo “” un ángulo en posición normal del segundo cuadrante, donde tg=–3/2; calcule el valor del

E=3+√13 (senθ+cosθ )a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5. Si se tiene que cos > 0 y además: 8tg+1=4; calcule el valor de “sen ”

a)− 1

√10 b)

−3√10

c)

− 2

√10

d)

1

√10 e)

3

√10

6. Siendo “” un ángulo en posición estándar del tercer cuadrante, para lo

cual se tiene que ctg=2,4, calcule el valor de:

E=tg – sec

a) 0 b) 1 c) 1,5d) 2,5 e) 1,25

7. Del gráfico mostrado calcule el valor de: M = csc + cos

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

8. A partir del gráfico, hallar:cos – cos

a) 1 b) 0 c) –1d) 2 e) ½

9. Indicar el signo de la expresión:

( sen 220º . cos370 º .tg 275ºsec 45 º .cos 120º . sec240 º )a) + b) – c) + ó –d) – y + e) F.D.

10. Si el punto (–1; 3) pertenece al lado final de un ángulo en posición canónica ””, calcular:R = sen . ctg


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a) −1/√10 b) −1/√10c) −1/√10 d) −4/√10e) √10


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