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Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Conceptos básicos de teoría de campos y ecuaciones en derivadas
parciales(repaso)
Jesús Carrera
ETSI Caminos
UPC
Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Contenido
• Campos: definiciones y conceptos básicos• Operadores diferenciales: gradiente y tal• Teoremas integrales: Gauss, Stokes, etc• Ecuaciones diferenciales de balance: conceptos y soluciones
Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Para las variables que no tienen sentido físico a nivel puntual, entenderemos como valor puntual el límite para volúmenes decrecientes de nuestra:
Un campo es una función definida sobre el Espacio Geométrico Ordinario (EGO):
d = 1 para campos escalares (ej. temperatura), 3 para campos vectoriales (ej. velocidad), 9 para campos tensoriales (ej. deformación).
Definiciones: Campo, VER
3:
( )
df
fx x
( )0( ) lim VV xx
VER: Volumen elemental representativo, V mínimo para que adopte valor estable
Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Coordenadas cartesianas.
e2
e’ 2
e1
e’ 1
x
x1
x2
x 1
X’ 2
e2e2
e’ 2e’ 2
e1e1
e’ 1e’ 1
x
x1
x2
x 1
X’ 2
xx
x1
x2
x 1
X’ 2
x1
x2
x1
x2
x 1
X’ 2
x 1
X’ 2
1 1 2 2 1 1 2 2' ' ' 'x x x xe e e e
1 1
2 2
' cos' ·
' cos
x xsen
x sen xx P x
P es una matriz de rotación
Cambio de coordenadas
x representa un punto del espacio. Pero puede visualizarse como un vector que va desde el origen de coordenadas hasta el punto. Está definido por sus componentes o , que son las del vector de posición: i i i i
i
x y z x xx i j k e e
( , , )x y z1 2 3( , , )x x x
Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Tensores
Las variables que tienen sentido físico como tales (p. ej., velocidad) son independientes del sistema de coordenadas y sus componentes cambian de manera que no se altera la variable al cambiar el sistema de coordenadas. Este tipo de magnitudes se llaman tensores.
Definición
Mostrar que si v es un vector físico, sus componentes cambian como: ' v P vEjercicio
Supongase en el sistema y enSustituyendo
Resuta
Analogamente
Cambio de coordenadas en matrices q K g ( , )x y ' ' 'q K g ( ', ')x y
' q P q 'g P g
1 'K P K P
1' K PK P
Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Valores principales. Círculo de Mohr
Las del sistema de coordenadas que hace que la matriz sea diagonal. Se obtienen anulando K12. Ello conduce a una rotación
Direcciones principales
p12
11 22
22 p
Ktg
K K
Los valores de la diagonal del tensor en los ejes principales:
Valores principales
I mK K d
11 22
2m
K KK
22 11 2212 2
K Kd K
II mK K d
Método gráfico de cálculo de direcciones y valores principales
Círculo de Mohr
Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Campo escalar
Función escalar definida sobre el EGO: Definición
Depende de la dimensión del EGO.
1-D: f vs x
2 ó 3-D curvas o superficies de igual valor del campo: curvas de nivel, isopiezas, isotermas, isobaras, etc.
Visualización
Temperatura, presiones, viscosidad, etcEjemplos
3:f
Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Campos de flujo, velocidad, fuerza, etc
Campo Vectorial
Función vectorial definida sobre el EGO: Definición
Casi solo en 2D. •mediante flechas de longitud (grosor, color) proporcional al módulo del vector y orientadas según su dirección •mediante las líneas de corriente, tangentes al campo en cada punto. En fluidos se emplean también las trayectorias y líneas de traza.
Visualización
Ejemplos
: , 1, 2 3n nf n ó
Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
conductividad hidráulica, dispersión, tensiones o deformaciones
Campo Tensorial
Función tensorial definida sobre el EGO: Definición
DifícilMediante elipses orientadas según las direcciones principales y de semiejes iguales a la raíz de los valores principales
Visualización
Ejemplos
: , 1, 2 3n n nf n ó
Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Gradiente
Su dirección es la de máxima pendiente (la de máxima variación del campo), su módulo es la variación de por unidad de longitud. Cumple:
Perpendicular a las isolineas de h
Orientado en el sentido creciente de las isolineas
Tanto mayor cuanto mayor cuanto más juntas estén las isolineas.
Propiedades
1
2
3
/
/
/
h x
h h h x
h x
grad
Operador vectorial que actúa sobre un campo escalar (un operador vectorial es aquel cuyo resultado es un campo vectorial) y viene dado por:
Definición
Ejemplo
Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Operador escalar que actúa sobre un campo vectorial, dado por:
Divergencia
Si f representa un flujo de materia, sus derivadas indican cómo varía el flujo de materia por unidad de longitud en cada dirección coordenada. Por ello, la divergencia es la variación de materia almacenada (o diferencia entre salidas y entradas) por unidad de volumen.
Propiedades
Definición
Ejemplo
1
21 2 3
3
( ) , ,
f
div fx x x
f
f f
31 2
1 2 3
i
i
ff f f
x x x x
1 2 3-1 x1
1
2
x2
1 1( ) 0,1f x x
2 0f x
1 2
1 2
0,1 0 0,1f f
x xf
Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
El rotacional es un operador vectorial definido sobre campos vectoriales. Viene definido por el “producto” vectorial entre el operador nabla y el campo vectorial:
Rotacional
Indica la tendencia (local) a rotar del campo. Es decir, es un campo igual al aumento lateral del campo original por unidad de longitud. Se orienta, según la regla de la mano derecha.
El gradiente de un campo es irrotacional:
Propiedades
Definición
1 1 1
2 2 2
3 3 3
/
/
/
x f
x f
x f
e
rot f f e
e
3 32 1 2 11 2 3
2 3 3 1 1 2
f ff f f f
x x x x x xe e e
Ejemplo
32f e
1 2 3-1 x1
1
2
x2
1 2
2 1
3 0
f x
f x
f
( ) 0frot grad
Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Es un operador escalar definido sobre un campo escalar. Viene dado por la divergencia del gradiente
Laplaciano
Da una idea de la curvatura del campo. También existe el Laplaciano de un campo vectorial, definido como el gradiente de la divergencia.
Propiedades
Definición
1 2 2 22
2 2 2 21 2 3 1 2 3
3
/
, , /
/
xh h h
h h x fx x x x x x
x
Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Operadores tensoriales: Jacobiano, Hessiano
31 2
1 1 11
31 22 1 2 3
2 2 23
31 2
3 3 3
/
( ) ( ) / ( , , )
/
ff f
x x xx
ff fx f f f
x x xx
ff f
x x x
Jac f J f f
2 2 2
21 1 2 1 3
1 2 2 2
2 21 2 3 2 1 2 2 3
3 2 2 2
23 1 3 2 3
/
( ) /
/
h h h
x x x x xx
h h hh h x h
x x x x x x x xx
h h h
x x x x x
H
Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Flujo. Teorema de la divergencia
n f
f cantidad por unidad de superficie
f·n cantidad por unidad de superficie de
Flujo de f a través de : Cantidad total que pasa (entradas-salidas)
F d
f n
Flujo
Teorema de la divergencia
d d
f n f
•Da sentido a la divergencia
•Se emplea mucho para establecer balances
Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Se toma un campo escalar tal que entonces la primera identidad quedaría como:
Si se intercambian y y el resultado se resta de la anterior, resulta la segunda identidad de Green:
Segunda Identidad de Greeng
2 d d d
n
2 2( ) ( )d d
n
Identidades de Green
Es la versión vectorial de la fórmula de integración por partes. Se deduce del teorema de la divergencia tomando . Hay que tener en cuenta, además, que: , con ello resulta:
Primera Identidad de Green
( ) f g g g
d d d
g g n g
f g
Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Circulación. Teoremas de Stokes y de Green
t f
L
circulación de un campo vectorial a lo largo de una curva es la integral del mismo sobre dicha curva
Circulación
LC d l f t
Dada una superficie de borde L, la circulación de un campo a lo largo del borde es igual al flujo del rotacional del campo a traves de la superficie
Teorema de Stokes
Ld dl
f n f t
Versión 2-D del Teorema de Stokes
Teorema de Green
2 11 1 2 2
1 2
( ) ( )L
f ff d x f d x d
x x
Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
La integración es trivial por separación
Si a y f son constantes queda:
0
10
20
30
40
50
0 50 100 150 200
distancia (unidades arbitrarias)
con
cen
trac
ión
(u
nid
. ar
b.)
Inicial
0
10
20
30
40
50
0 50 100 150 200
distancia (unidades arbitrarias)
con
cen
trac
ión
(u
nid
. ar
b.) Inicial
Inicial + a(t-t0)
EDP’s de primer orden: Acumulación
( , ) ( , )u
a x t f x tt
0 0
( )( ) ( )
( )
t f tu t u t d t
a t
0 0( , ) ( , ) ( )f
u x t u x t t ta
El balance de u en un volumen a con un término de acumulación f viene dado por:
EDP
Integración
Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
La degradación de materia orgánica (u) puede estar limitada por la propia concentración, u, o por la disponibilidad de aceptadores de electrones. En el primer caso, el balance de materia orgánica en un volumen a es =b/a):
La integración es trivial por separación:
Integrando, queda:
Imponiendo condiciones iniciales:
Si es constante (1/ es lavida media):
EDP’s de primer orden: DegradaciónEDP
Integración
u
b1
Vel. degrad.
0du
udt
( )du
t dtu
0
10
20
30
40
0 50 100 150 200
distancia (arbitrarias unidades)
co
nc
en
tra
ció
n (
un
ida
de
s a
rb.) Inicial
Inicial*exp(-a(t-t0))
0
ln ( ) ( )t
tu I t t dt K
( )0
I tu u e
0( )0( , ) ( , ) t tu x t u x t e
Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
Si las entradas netas (entradas menos salidas) por unidad de volumen son a y existe degradación con constante , el balance es:
EDO’s de primer orden linealesEDO
Se integra primero la homogénea (f=0), tomando la constante de integración como variable
Sustituyendo en la ecuación original y simplificando:
Integrando de nuevo:
Imponiendo condiciones iniciales para determinar D:
donde es la solución estacionaria.
( )( ) I tu C t e
( )'( ) ( )I tC t e f t
( )( ) ( ) I tC t f t e dt D
0 0( ) ( )0( ) 1t t t tf
u t u e e
0( )0( ) ( ) t tu t u u u e
u
Integración
duu f
dt
t
u
u
0u
Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
El término advectivo. Ecuaciones hiperbólicasEDP
( , ) ( , ) ( , )u u
a x t q x t f x tt x
Si q y a son constantes y hacemos v=q/a, y desarrollamos la derivada, queda:
Con
Si esta ecuación define la trayectoria ( )
La ecuación queda:
Cuya solución es:
O
Coefs. ctes.
( , )du x t u dx u
dt x dt t
/dx dt v
0x x vt 0
du
dt
0 0( ( ), ) ( )u x t t u x
0( , ) ( ) ( )u x t u x vt u x vt
0
10
20
30
40
0 50 100 150 200
distancia (m)
conc
entr
ació
n vt
conduce a
Coefs. variables
0u dx du f
vx dt dt a
00( )
t
tt dt x x v
00 0 0
( ( ), )( ( ), ) ( , )
( ( ), )
t
t
f t tu t t u t dt
a t t
xx x
x
Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
El término difusivo. Ecuaciones parabólicas
Gobierna la difusión de solutos y gases, la conducción de calor, etc:
Ecuación de difusión
2
2
u ua D
t x
Donde L es una long. característica. Sustituyendo, queda:
Esto es importante, porque pone de manifiesto que la solución solo depende de xD y tD. En particular, el estacionario, si lo hay, suele alcanzarse para tiempos del orden de tD=1 (t = aL2/D es el tiempo característico del fenómeno modelado). Ver siguiente transp.
Adimensionalización
D
xx
L
2D
Dtt
aL
2
2D D
u u
t x
Haciendo el cambio:
la ecuación queda
Es decir, la EDP se transforma en EDO, lo cual es útil para resolverla (es un truco habitual)
Transf de Boltzmanx
t
2
20
2
du d ua D
d d
Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
tD=.01
tD=0.1
tD=0.3
esfera
Ec. parabólicas. Cambio instant en contorno
Conducción de calor entre dos placas paralelas separadas una distancia 2L. Inicialmente la concentración es 0 y los extremos se ponen a temp. u0.
Problema
( ,0) 0u x 0( , )u L t u
tD=.01
tD=0.1
tD=0.4
cilindro
tD=.01
tD=0.1
tD=0.8
placa
Por separación de
variables
2
200
4 ( 1) (2 1) (2 1)exp cos
(2 1) 4 2
n
n
u n Dt n x
u n aL L
Solución
x/L
u/ u
0
Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
0
10
20
30
40
0 50 100 150 200distancia (m)
con
cen
trac
ión
Ec. parabólicas. Solución para pulso instant.
Difusión, en medio infinito de una masa M. Problema
Campana de Gauss de área M/a y desviación tipo
Para dimensiones n=1, 2 ó 3
La conc. max. Se reduce propordinalmente a
,0M
u x xa
2 /Dt a 2
2exp
22
M xu
a
2 2 2
2 / 2 2exp
(2 ) 2n
M x y zu
a
/ 2(4 / )mx n
Mu
a Dt a
/ 21/ ntmxu
Solución
Si ,
Es decir,
Empieza a enterarse para tD>0.5
3 3 2 /x Dt a 0u
2
1
18D
Dtt
a x
Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
1
/ 2
1exp ( ) ( / ) ( )
22 /
t t
n
Mu e f t t t a t
a t a
x v D x v
D
( )u
a u u u ft
D q
0
10
20
30
40
0 50 100 150 200distancia (m)
con
cen
trac
ión
inicial
tras dispersión
tras advección
tras degradación
tras acumulación
0
10
20
30
40
0 50 100 150 200distancia (m)
con
cen
trac
ión
Tras degradación
0
10
20
30
40
0 50 100 150 200distancia (m)
con
cen
trac
ión
Condición inicial
0
10
20
30
40
0 50 100 150 200distancia (m)
con
cen
trac
ión
Tras dispersión
0
10
20
30
40
0 50 100 150 200distancia (m)
con
cen
trac
ión
Tras advección
0
10
20
30
40
0 50 100 150 200distancia (m)
co
nc
en
tra
ció
n
tras acumulación
Transporte
Tema 1. Campos y EDP’s. Ingeniería Geoambiental. Ing. Geológica. ETSI Caminos, UPC
1
/ 2
1exp ( ) ( ) ( )
22
t t
n
Mu e f t t t t
a t
x v D x v
D