Tema1_Campo Electrico en El Vacio
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1Tema 1: Campo elctrico en el vaco
Fsica IIGrado en QumicaCurso 1. 2 Cuatrimestre
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FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 2
ndice
1. Introduccin: la carga y la materia2. Fuerza electrosttica: ley de Coulomb3. El campo elctrico
Lneas de fuerza del campo elctrico Movimiento de una carga en un campo elctrico Dipolo en un campo elctrico
4. Ley de Gauss: aplicaciones5. Potencial elctrico. Energa potencial elctrica.
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FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 3
Introduccin Los fenmenos elctricos tienen su origen en la observacin de
que cuando ciertos materiales son frotados con otros, adquieren la propiedad de atraer otros objetos (electrizacin)
Se cree que en ChinaChina, sobre elao 2000 a.C. consideraban al mbar como un material mgico, puesto que presentaba lacuriosa propiedad de atraer pequeos objetosligeros (plumas, briznas de paja, laminas delgadas de oro y plata) tras ser frotado con ciertos materiales
Tales de Mileto (640-546 a. C.) describi laspropiedades del mbar y de otro material,conocido en la actualidad como magnetita opiedra imn.
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FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 4
Introduccin
Teofrasto (372-287 a. C.), descubri que otras sustancias presentaban el mismo poder de atraccin que el mbar
En 1600 Sir William Gilbert mostr que adems del mbar otros materiales poda ser electrizados. Gilbert fu el primero en aplicar el trmino
Electricidad del Griego "elektron" = ambar
En 1755 Benjamin Franklin observ dostipos de electrizacin (carga) que diferencien (+) y (-)
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FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 5
Introduccin Joseph Priestley, en 1767, realiz los primeros experimentos sobre las
fuerzas elctricas
En 1769, John Robison estableci la primera ley que describe la fuerza elctrica. La dependencia con la distancia era proporcional a 1/r2.06. Robison no difundi sus resultados
En 1773, Henry Cavendish obtuvo otra demostracinde la proporcionalidad de la fuerza elctrica con el inverso del cuadrado de la distancia. Tampoco dio a conocer sus resultados
Finalmente, Charles Augustin Coulomb, en 1785, demostr la ley de la fuerza elctrica
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Carga elctrica
Propiedad de la materia Existen dos clases de carga elctrica: carga negativa
(electrones) y Carga positiva (protones) Cargas del mismo signo se repelen y de distinto signo se atraen
Caucho
Cristal
Varilla de caucho cargada negativamente
Varilla de cristal cargada positivamente
Las dos varillas se atraenLas dos varillas se atraen Las dos varillas se repelenLas dos varillas se repelen
CauchoCaucho
Caucho
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Conservacin de la carga elctrica
La carga elctrica siempre se conserva en un sistema aislado La carga no se crea cuando se frotan entre s dos objetos. La electrificacin se produce por la transferencia de carga de
un objeto a otro Ejemplo
Varilla de cristal frotada con seda Los electrones son transferidos
del cristal a la seda Cada electrn aade una carga
negativa a la seda En la varilla queda una cantidad
igual de carga positiva
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Cuantificacin de la carga elctrica
La carga elctrica, q, est cuantizada q es el smbolo estndar que representa a la carga La carga existe como paquetes discretos q = Ne
N nmero natural e es la unidad fundamental de carga |e| = 1.6 x 10-19 C Electrn: q = -e Protn: q = +e
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FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 9
Fuerza electrosttica
Charles Coulomb midi la magnitud de la fuerza elctrica entre dos esferas pequeas cargadas
Encontr que la fuerza dependa de las cargas y de la distancia entre ellas
A: Carga pruebaA: Carga pruebaB: Carga problemaB: Carga problema
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FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 10
Fuerza electrosttica
Coulomb observ:
La fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r que las repara y est dirigida a lo largo de la recta que las une
La fuerza es proporcional al producto de la cargas q1 y q2, de las dos partculas
La fuerza es atractiva si las dos cargas son de signo opuesto
La fuerza es repulsiva si las cargas son del mismo signo
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FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 11
Ley de CoulombLa fuerza entre dos objetos puntuales cargados est dirigida a lo largo de la lnea que las une, es directamente proporcional al valor de cada una de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa
Matemticamente: 1 2 1 22 2
0
14pi
= =e e
q q q qF k
r r
Unidad de carga en el SI: coulomb (C)ke: Constante de Coulomb
ke = 8.9875 x 109 Nm2/C2 9 x 109 Nm2/C2 o es la permitividad dielctrica del vaco o = 8.8542 x 10-12 C2 / Nm2
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FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 12
Ejemplo: tomo de Hidrgeno
La fuerza elctrica entre el electrn y el protn del ncleo se encuentra a partir de la ley de Coulomb
Esta fuerza se puede comparar con gravitatoria
81 22
0
1 8.2 104e
q qF Nrpi
= =
471 22 3.6 10e
m mF G Nr
= =
La interaccin elctrica es mucho ms intensa que la gravitatoria
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Ley de Coulomb en forma vectorial
1 212 122
0 12
1
4Q QF rrpi
=
r
r
12 2 1r r r= r r r
1212
12
rr
r=
r
r1
r2
r12
Q1
Q2
X Y
Z
Expresin ms apropiada de la ley de Coulomb(forma vectorial)
Distancia relativa:
Vector unitario:
-
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Las fuerzas elctricas obedecen la tercera ley de Newton
La fuerza que ejerce q1 sobre q2 es igual en magnitud pero con sentido opuesto a la fuerza que ejerce q2sobre q1 (F21 = -F12)
Ley de Coulomb en forma vectorial
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FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 15
Ejemplo: una carga q1=10 C est en el punto (-1,-2.1). Calcular la fuerza que ejerce sobre q2= -20 C que est en (1,1,0).
12r212
210
12 ur
QQ4
1F rr
r
pi=
= (1,1,0) (-1,-2,1) = (2,3,-1), o bien,1212 rrr rrr =
1212 rrrrrr
= kj3i2)kj2i()ji(rrrrrrrr
+=++
r12
Q1
Q2XY
Z
=
14194r12 =++=r
)kj3i2(141
r
ru
1212
r12
rrrr
rr
+==
N128.0F)kj3i2(1044.3F
)kj3i2(141
14)1020(1010109u
r
qq4
1F
122
12
669
r212
210
12 12
=+=
+
=
pi=
rrrrr
rrrr
r
r
Ejemplo
-
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Principio de superposicinLa fuerza ejercida por un conjunto de cargas (Qi) sobre otra (q)resulta igual a la suma vectorial de las fuerzas que sobre dicha carga ejerce particularmente cada una de las del conjunto.
21 10
310
14
14
i i
N Ni
q q q Ri i i
Ni
ii i
qqF F uR
qq RR
pi
pi
= =
=
= =
=
r r r
r
i i
i i
R r rR R r r
=
= =
r r r
r r r i
iRRR
=
r
r
r1
r2
Ri
Q1Q2
XY
Z
Qi
Qn
ri
rn
q
R2r
Fn
Fi
Q1Q2
XY
Z
Qi
Qn
FT qF2 F1
-
FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 17
Ejemplo: una carga Q1=1 C est en (3,0,3) y otra Q2 =-2 C en (-2,2,4). Calcular la fuerza que ejercen sobre q= 1 C que est en (5,4,3).
= (5,4,3)-(3,0,3) = (2,4,0)= (5,4,3)-(-2,2,4) = (7,2,-1)
11 rrRrrr
=
22 rrRrrr
=
52R1 = 63R2 =
=
+=pi
=
n
1i21R2
i
i0
FFuRQ
4qF
i
rrrr
( ) ( )
( ) N1033.0Fk045.0j31.0i115.010F1,2,7
63541020,2,1
5201010109F
33
6669
=++=
+
=
rrrrr
r
r12
Q1
Q2
XY
Z
q
Principio de superposicin
-
FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 18
Campo elctrico
Antecendentes
La fuerza elctrica es una fuerza a distancia Se produce un efecto sin que haya contacto fsico entre los
objetos Desacuerdo de los fsicos de la poca
Faraday desarrolla el concepto de campo elctrico El campo elctrico existe en la regin del espacio que
rodea a un objeto cargado (carga fuente) Cuando otro objeto cargado (carga de prueba) entra en
este campo se ve sometido a una fuerza elctrica
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FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 19
Campo elctrico
Propiedad del espacio que rodea a un cuerpo cargado de modo que cuando en esa regin se sita una carga q0, dicha carga
experimenta una fuerza dada por la ley de Coulomb.
Ventajas:Evita el concepto de accin a distanciaSimplifica los clculos
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FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 20
Definicin Se define el campo elctrico como la fuerza elctrica
por unidad de carga a la que es sometida una cargaprueba q0
Matemticamente
Las unidades de E en el SI son N/C
0
FEq
=
rr
0 0 0limq
FEq
=
rr
Se desprecian los efectos de q0
Cargas Cargas puntualespuntuales
-
FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 21
Expresin vectorial
Campo elctrico para una carga puntual
( ) 20
1
4qE r R
R=
r r
Sistema de cargas puntuales Principio de superposicin
( ) 210
1
4
ni
ii i
qE r R R
=
= r r
i iR r r= r r r
r1
r2
Ri
Q1Q2
X Y
Z
Qi
Qn
ri
rn
qR2
rET
-
FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 22
Ejemplo: Una carga de 10 C situada en el origen de coordenadas y otra carga de 15 C en (2.0). Calcular el campo elctrico en puntos del eje Y
=
pi=
n
1iR2
i
i0 i
uRQ
41E r
r
Tomamos P (0,y)
q2
X
Y
q1
E1E2
E
R1R2
r1
r
jyr rr =
jyrrR 11 == rrr
1 11 12 2
0 01
1 1
4 4q qE R jR ypi pi
= =
r r
jyi2)0,2()y,0(rrR 22 +===rrrr
4yjyi2
u2R2 +
+=
rr
2 22 22 2 2
0 02
1 1 2
4 4 4 4q q i yjE RR y ypi pi
+= =
+ +
rr
( ) ( ) j4yy105.13
y109i
4y
1027EEE23
23
2
4
2
4
2
421
rrrrr
+
++
+
=+=Al final
Ejemplo
-
FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 23
Un conjunto de cargas tales que por su cantidad y proximidad entre s no pueden ser consideradas una distribucin discreta. Las distribuciones de carga se caracterizan por una densidad de carga.
Densidad de carga en volumen dVdq
Vqlim
0V=
=
Densidad superficial de carga dSdq
=
Densidad lineal de cargadLdq
=dqdL
L
dq
dV
Distribuciones continuas de carga
-
FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 24
El campo elctrico vendr determinado por la distribucin de carga. Para calcular el campo en un punto P se toma de la regin donde est la carga un trozo elemental de volumen dV y se evala la contribucin al campo .
Densidad volmica Densidad superficial Densidad lineal
pi=
VR20
uRdV
41E r
r
pi=
SR20
uRdS
41E r
r
pi=
LR20
uRdL
41E r
r
R20R20
uRdV
41
uRdq
41Ed rr
r pi
=
pi=
Pdq
dV
dE
Para hallar el campo total se aplica el pr. superposicin
Distribuciones continuas de carga
-
FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 25
Ejemplo: Un anillo de radio a tiene una carga caracterizada por una densidad lineal uniforme de valor . Calcular el campo elctrico en puntos del eje del anillo .
Por simetra, slo queda componente del campo en la direccin del eje (Z). Nos quedamos slo con Ez proyectando Ez=Ecos. Teniendo en cuenta que cos=z/R y que R2=a2+z2
( ) ( ) +
pi=
+
pi
=pi
=
anillo220anillo 220anillo20
z dza
z
41d
za
z
41
cosRd
41E
23
23 ll
l
( ) ( ) ( ) kza2azE
za2
azdaza
z
41E
23
23
23
220
220
2
0220z
rr
+
=
+
=
+
pi
= pi
R20R20
uR
dl4
1u
Rdq
41Ed rr
r pi
=
pi=
pi=
anilloR20
uRdL
41E r
r
dq
aR
dE
z
Distribuciones continuas de carga
-
FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 26
Lneas de fuerza Son una forma de representar grficamente el campo
elctrico (Michael Faraday) E tangente a las lneas de fuerza en todos los puntos
La direccin de las lneas de fuerza es la misma que la de E
El nmero de lneas por unidad de rea que atraviesa una superficie perpendicular a las lneas es proporcional a la magnitud del campo elctrico en dicha regin
-
FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 27
Lneas de fuerza
Criterios de dibujo de las lneas de fuerza: Las lneas de fuerza parten de las cargas positivas. Las lneas de fuerza llegan a las cargas negativas. El nmero de lneas de fuerza debe ser proporcional al
valor de la carga. Se deben dibujar equiespaciadas y simtricamente
alrededor de la carga. Las lneas de fuerza no pueden cortarse. Siguiendo estos criterios, la zona donde las lneas estn
mas juntas corresponde a una regin de campo elctricoms intenso, que donde estn ms separadas
-
FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 28
Lneas de fuerza. Ejemplo
La densidad de lneas que atraviesa SA es mayor que la que atraviesa SB
La magnitud del campo elctrico en SA es mayor que en SB
Las lneas de fuerza apuntan a direcciones diferentes en distintos puntos
El campo El campo eses no no uniformeuniforme
Er
-
FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 29
Carga positiva Las lneas de fuerza salen de la carga en todas direcciones
(fuente) En tres dimensiones la distribucin es esfrica
Una carga positiva sera repelida lejos de la carga fuente
Lneas de fuerza
-
FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 30
Lneas de fuerza
Carga negativaLas lneas est dirigidas hacia la carga (sumidero)Una carga positiva sera atrada hacia la carga fuente(negativa)
-
FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 31
Ejemplo Cargas iguales positivas
De cada carga sale el mismo nmero de lneas (misma carga) A gran distancia el campo es aproximadamente igual al de una
nica carga de 2q (doble nmero de lneas)
-
FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 32
Ejemplo
Dipolo elctrico Cargas iguales y de signo opuesto El nmero de lineas que salen de la carga positiva es el mismo
que el de las que entran en la negativa
-
FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 33
Ejemplos
Cargas diferentes La carga positiva es el doble
de la negativa Por cada lnea que terminan
en la carga negativa salen dos de la positiva
A gran distancia el campo sera aproximadamente el mismo que el de una ncacarga +q
-
FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 34
EqFrr
=
amF rr
=
Em
qa
rr= = dtav
rr
= dtvrrr
Qu es un dipolo? Es una magnitud elctrica de carcter vectorialasociada a dos cargas iguales, de signos opuestos y situadas en puntosmuy prximos. Se le asocia el momento dipolar: dqp
rr=
La materia se comporta como un conjunto de dipolos en presencia de campos
Movimiento de cargas y dipolos en un campo elctrico
-
FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 35
Flujo elctrico
Producto de la magnitud de E y el rea perpendicular al campo
El flujo elctrico es proporcional al nmero de lneas de fuerza que atraviesan la superficie
cosE E A EA = =r r
Er
E es uniforme a lo largo de AEr
Cantidad de campo elctrico que atraviesa una determinada superficie.
-
FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 36
En un caso ms general
Expresin general
Flujo elctrico
E i iE A = r r
2
0lim ( / )
iE i i AA
E A E ds Nm C
= = r r r r
uniforme en E dAr r
-
FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 37
Ley de Gauss
Como el campo es proporcional al n de lneasde fuerza por unidad de superficie, el flujoelctrico es proporcional al n de lneas de fuerza que atraviesan S.
En una superficie cerrada, es el n lneas que salen menos las que entran.
La ley de Gauss relaciona el flujo con la carga dentro de una superficie cerrada.
-
FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 38
( )( ) kqa4EdSEudSuEdSnE 2SS
rrS
E =pi==== rrrr
00
22
0
2E
1kqa4a4
qr4E
=
=pi
pi=pi=
Como conocemos el campo debido a una cargapuntual, podemos conocer k
0enc
SE
qdSnE
== rr
Ley de Gauss: el flujo del campo elctrico a travs de una superficiecerrada es igual a la carga encerrada por dicha superficie dividido por 0.
dS
a
Ley de Gauss
-
FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 39
( )( ) 2SS
rrS
E r4EdSEudSuESdE pi==== rrrr
20
3ext
0
323
VVVenc
r3aE
3a4
r4Ea34
dVdVdVqaar
=
pi=pipi====
Campo elctrico debido a una esfera de radio a que almacena unadistribucin volmica de carga uniforme .
Simetra esfrica: la distribucin de cargatiene un centro de simetra.
ru)r(EE rr
=
Campo radial en coordenadas esfricas
Puntos exteriores, seleccionamos sup. cerrada y calculamos el flujo
a
dS
Aplicacin de la ley de Gauss: Simetra Esfrica
-
FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 40
Puntos interiores, repetimos la operacin.
r0
int0
int0
32
3
VVenc
u3
rE3
rE3
r4r4E
r34
dVdVqrr
rr
=
=
pi=pi
pi===
( )( ) 2SS
rrS
E r4EdSEudSuESdE pi==== rrrr
El clculo del flujo es siempre el mismo
Pero la carga encerrada no es la misma
dSa
Aplicacin de la ley de Gauss: Simetra Esfrica
-
FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 41
Simetra cilndrica: la distribucin de carga tieneun eje de simetra.
ru)r(EE rr
=
( )( ) ( )( ) ( )( )
rL2EdSE
udSuEudSuEudSuESdE
lat
lat21
S
Srr
Szr
Szr
SE
pi==
=++==
rrrrrrrr
r2ELrL2ELq
00enc
pi
=
=pi=
Hilo infinito con una densidad lineal de carga uniforme .
(en coord. cilndricas!)
r
Aplicacin de la ley de Gauss: Simetra cilndrica
-
FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 42
Simetra plana: la distribucin de carga tiene un plano de simetra
xu)x(EE rr
=
( )( ) ( )( ) ( )( ) ES2udSiEidSiEidSiESdElat21 S
jkSSS
E =++== rrrrrrrr
k2
E2
ESES2Sq000
encrr
=
=
==
Plano infinito con una densidad superficial de carga uniforme .
Aplicacin de la ley de Gauss: Simetra plana
-
FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 43
Propiedad del campo electrosttico: es irrotacional
0E =rr
campo irrotacional
Existe al menos una funcin escalarV (potencial elctrico) tal que: E V=
r r
Potencial elctrico
Las lneas de campo no rotan en torno a punto alguno
Se cumple:
deriva de un potencial
campo conservativo
-
FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 44
Potencial elctrico Propiedades
Existen infinitas funciones potenciales Interesan las diferencias de potencial Se asigna un origen de potenciales Se suele tomar como origen de potenciales V()=0 Unidad SI: voltio (V)
CargaCarga puntualpuntual
r4QV
0pi=
=pi
=
n
1i i0iR4
QV
pi=
V0 RdV
41V
DistribDistrib. . discretadiscreta DistribDistrib. continua. continua
-
FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 45
Disco de radio a con una densidad superficial de carga uniforme .
dS
R
Z
ad
dr
r
Como dS=(rd)dr, queda dq=rdrd
2200 rz4rdrd
R4dqdV
+pi
=
pi=
[ ]zaz2
rz4
drz
rdr4rz
rdrd4
V
22
0
20
a
022
0
a
0
2
0220
a
0
2
0220
+
=
=+pi
=
+pi
=
+
pi
=
pipipi
kaz
z
z
z
2k
z
VVE220
rrrr
+
=
==El campo elctrico valdr:
Potencial elctrico debido a un disco cargado
-
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Superficies equipotenciales
Conjunto de puntos donde V=cte. Son normales a las lneas de fuerza de E
-
FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 47
Superficies equipotenciales
-
FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 48
Energa potencial elctrica
Potencial: significado energtico. Un cuerpocargado en el interior de un campo elctricotiene una cierta energa potencial elctrica, igual que un cuerpo con masa tiene energapotencial gravitatoria.
i fq0dl
( )fi0f
i0
f
i0
f
i0 VVqWdVqdVqdEqW ==== l
rrlrr
El trabajo es independiente del camino seguido desde i a f, slo depende de la d.d.p. entre estos dos puntos.Esto se debe a que el campo es irrotacional y por tanto conservativo.
lrr
dEqdW 0=Trabajo elemental en :lr
d
carga q0 en un campo elctrico
-
FisicaFisica II. 1II. 1 dede GradoGrado en en QuQumicamica 49
Energa potencial elctrica
( )0
fi qWVV =
Diferencia de Potencial (d.d.p.) entre dos puntos: trabajo necesario paradesplazar la unidad de carga de un punto a otro.
Energa potencial elctrica:
Criterio de signos: energa es negativa si es aportada al sistema.
i0i VqW =
El movimiento de la carga ser de puntos de mayor a menor energapotencial. Para el movimiento inverso es preciso aportar energa externa, igual que en el caso gravitatorio.
=f
iif dEVV l
rrConocido el campo elctrico se puedenobtener diferencias de potencial: