Exercici núm. 5 (1,5 punts) En 1900, l’enginyer alemany Otto Mohr va proposar el mètode següent per esbrinar, a partir de dades experimentals, si un estat tensional origina l’esgotament del material o no ho fa:

- Es dibuixen els cercles de Mohr corresponents als instants d’esgotament en els assaigs realitzats.

- Es dibuixa l’envolupant de les circumferències principals de tots aquests cercles (La circumferència que Mohr anomenava principal s’indica a la figura).

- Un estat tensional produeix l’esgotament del material si la circumferència principal del cercle de Mohr que el representa es tangent a l’envolupant esmentada. A més, el trencament es produeix pel pla sobre el que actua el vector tensió corresponent al punt de tangència.

Avui sol acceptar-se que l’esmentada envolupant està formada per dues rectes, simètriques respecte l’eix d’abscisses i tangents a les circumferències principals dels estats d’esgotament en dos assaigs diferents; el criteri d’esgotament definit així s’anomena de Mohr-Coulomb. Per definir el criteri de col·lapse d’una mostra de formigó s’assagen dues provetes d’aquest material, una a compressió simple i l’altra a tracció simple. En tots dos casos l’estat tensional, en un sistema cartesià l’eix X del qual coincideix amb l’eix de les provetes, es pot escriure com σX = C, σY = σZ = τXY =τXZ = τYZ = 0, on C representa la tensió longitudinal aplicada. La primera proveta s’esgota quan la compressió és de 30 MPa i la segona quan la tracció és de 3 MPa. Es demana: 1) Dibuixar el cercle de Mohr de l’assaig de compressió simple, en l’instant del trencament, indicant l’àrea que

representa els vectors tensió possibles així com l’abscissa del centre i el radi de la circumferència principal. (10% qualificació)

2) Dibuixar les dues rectes que defineixen el criteri d’esgotament, acotant l’abscissa del punt on tallen l’eix σ i l’angle que formen amb aquest eix. (10% qualificació)

3) Dibuixar el cercle de Mohr de l’estat de triple tracció definit a l’esquema (a), indicant l’àrea que representa els vectors tensió possibles així com l’abscissa del centre i el radi de la circumferència principal. (10% qualificació)

4) Determinar el valor de la tensió σ que origina l’esgotament del material en un estat de triple tracció. (20% qualificació)

5) Dibuixar el cercle de Mohr de l’estat de tall pur definit a l’esquema (b), indicant l’àrea que representa els vectors tensió possibles així com l’abscissa del centre i el radi de la circumferència principal. (15% qualificació)

6) Determinar el valor de la tensió τ que origina l’esgotament del material en un estat de tall pur. (20% qualificació)

7) Calcular el vector unitari normal al pla pel qual es produirà el trencament en un cas de tall pur, indicant-ne els components en el sistema definit a l’esquema (b) amb una precisió de tres xifres decimals. Si hi ha més d’una solució, determineu-les totes. (15% qualificació)

ALERTA!

- La resposta ha d’escriure’s emprant, com a màxim, dos fulls per les dues cares.

- Indiqueu clarament quina és la resposta a cadascuna de les set qüestions plantejades. Separeu-les unes de les altres amb una línia horitzontal de marge a marge de la pàgina.

Temps 40 min

Ejercicio nº (1,5 punts) En 1900, el ingeniero alemán Otto Mohr propuso el siguiente método para averiguar, a partir de datos experimentales, si un estado tensional origina el agotamiento del material o no lo hace:

- Se dibujan los círculos de Mohr correspondientes a los instantes de agotamiento en los ensayos realizados.

- Se dibuja la envolvente de las circunferencias principales de todos estos círculos (la circunferencia que Mohr llamaba principal se indica en la figura).

- Un estado tensional produce el agotamiento del material si la circunferencia principal del círculo de Mohr que lo representa es tangente a la envolvente citada. Además, la rotura se produce por el plano sobre el que actúa el vector tensión correspondiente al punto de tangencia.

Hoy suele aceptarse que la mencionada envolvente está formada por dos rectas, simétricas respecto al eje de abscisas y tangentes a las circunferencias principales de los estados de agotamiento en dos ensayos diferentes. El criterio de agotamiento así definido se denomina de Mohr-Coulomb. Para definir el criterio de colapso de una muestra de hormigón se ensayan dos probetas de este material, una a compresión simple y la otra a tracción simple. En ambos casos el estado tensional, en un sistema cartesiano cuyo eje X coincide con el eje de las probetas, se puede escribir como σX = C, σY = σZ = τXY =τXZ = τYZ = 0, donde C representa la tensión longitudinal aplicada. La primera probeta se agota cuando la compresión es de 30 MPa y la segunda cuando la tracción es de 3 MPa. Se pide: 1. Dibujar el círculo de Mohr del ensayo de compresión simple, en el instante de la rotura, indicando el área

que representa los vectores tensión posibles así como la abscisa del centro y el radio de la circunferencia principal. (10% calificación)

2. Dibujar las dos rectas que definen el criterio de agotamiento, acotando la abscisa del punto donde cortan al eje σ y el ángulo que forman con este eje. (10% calificación)

3. Dibujar el círculo de Mohr del estado tensional de triple tracción definido en el esquema (a), indicando el área que representa los vectores tensión posibles así como la abscisa del centro y el radio de la circunferencia principal. (10% calificación)

4. Determinar el valor de la tensión σ que origina el agotamiento del material en un estado de triple tracción. (20% calificación)

5. Dibujar el círculo de Mohr del estado tensional de corte puro definido en el esquema (b), indicando el área que representa los vectores tensión posibles así como la abscisa del centro y el radio de la circunferencia principal. (15% calificación)

6. Determinar el valor de la tensión τ que origina el agotamiento del material en un estado de corte puro. (20% calificación)

7. Calcular el vector unitario normal al plano por el que se producirá la rotura en un caso de corte puro, indicando las componentes en el sistema definido en el esquema (b) con una precisión de tres cifras decimales. si hay más de una solución, determínelas todas. (15% calificación)

ATENCIÓN!

- La respuesta se ha de escribir utilizando, como máximo, dos hojas por las dos caras.

- Indique claramente cual es la respuesta a cada una de las siete cuestiones planteadas. Sepárelas unas de otras mediante una línea horizontal de margen a margen. de la página

Tiempo 40 min.