Tendencias Iberoamericanas en EduMat

7/23/2019 Tendencias Iberoamericanas en EduMat

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Instituto Superior Pedaggico "Enrique Jos Varona"

Facultad de Ciencias

Departamento de Matemtica-Computacin

TENDENCIAS IBEROAMERICANAS EN LAEDUCACION MATEMATICA.

Dr. Paul Torres Fernndez.MSc. Eva Escalona Serrano.

MSc Martin Jon PeaLic.Cristina Gonzlez Dosil.

MSc. Miriam Ibaez Fernndez.Msc. Jos B. Rodrguez Sosa.Lic. Luisa Garca de la Vega.Lic. Judith Fernndez Avila.

Msc. Deysi Fraga Cerd.Lic. Nilda Izquierdo Garca.

Lic. Carlos M. Fernndez Padn.Prof. Carolina Oramas Hernndez.

Msc. Mercedes Leal Acosta.Dr. Armando Flrez Arco.

Ciudad de la Habana, marzo de 1998.


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INDICE DE CONTENIDOINDICE DE CONTENIDO.........................................................................................................................................................2Introduccin:................................................................................................................................................................................3Captulo 1: EL OPERACIONALISMO EN EDUCACION MATEMATICA. .................................... .7Captulo 2: APRENDER DESCUBRIENDO ? UNA NUEVA TENDENCIA DE LA EDUCACIN MATEMTICA....14Captulo3: TEORIAS DEL PROCESAMIENTO DE LA INFORMACIN...........................................................................23Captulo 4: LA ENSEANZA DE LA MATEMTICA POR PROBLEMAS.......................................................................29Captulo 6: RAZONAMIENTO MATEMATICO, TENDENCIA METODOLOGICA ACTUAL........................................41Captulo 7: EL USO DE COMPUTADORAS Y SUPERCALCULADORAS EN LA ENSEANZA DE LAMATEMTICA........................................................................................................................................................................46Captulo 8: APENDIZAJE VIVENCIAL DE LA MATEMATICA........................................................................................52


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Introduccin:

Dr. Paul Torres Fernndez.

El desarrollo de una investigacin acerca de las tendencias contemporneas de la enseanza de laMatemtica en Iberoamrica, como la que describe la presente monografa, se justifica a partir de dosrazones fundamentales.

Por un lado, en la necesidad de contribuir -con informacin actualizada- a satisfacer el creciente inters delos docentes e investigadores cubanos en Educacin Matemtica por ampliar el espectro de alternativasdidcticas, potencialmente tiles para enfrentar el permanentemente deficiente estado del aprendizaje de laMatemtica, no slo en Cuba sino en casi todo el mundo. (Montero, 1989) (Del Ro et al.., 1992)

Ese manifiesto inters por la Didctica de la Matemtica en Cuba en los ltimos aos puede explicarse -ajuicio de este autor- a partir de tres factores esenciales:

El fortalecimiento profesional de los colectivos de profesores de Didctica de la Matemtica de losInstitutos Superiores Pedaggicos del pas, con alrededor de 20 aos de experiencia en la imparticin de ladisciplina1.

La toma de conciencia de la necesidad de una mayor integracin de los Institutos SuperioresPedaggicos con el subsistema de educacin para los que forma profesionales.

El creciente vnculo de los educadores matemticos cubanos con colegas iberoamericanos en eventoscientficos internacionales efectuados con el auspicio del Ministerio de Educacin o diversas universidadesdel pas.

Y es as que en los crculos cientficos nacionales del rea se han venido presentando diversos proyectosdidcticos que, o bien pretenden perfeccionar los tradicionalmente establecidos (Torres, 1992) (Torres,1994) (Torres, 1996a), o bien constituyen alternativas significativamente diferentes a stos (Torres,1996b).

La segunda razn que justifica una investigacin como la que recoge esta monografa es la de alertaracerca de las limitaciones que pudieran presentar los proyectos no cubanos, deseando evitar as unaadmisin superficial e incondicional de los mismos. No debe perderse de vista que lo usual es que sedivulguen las ventajas que los autores les atribuyen a los proyectos que intentan difundir, y raramente lereconozcan obstculos o limitaciones. Slo un estudio crtico de ellas puede ayudar a evadir el sesgo.

La monografa se ha estructurado de la siguiente forma: un captulo para cada una de las tendenciasidentificadas, y dentro de ellos: una caracterizacin general del proyecto didctico, ejemplos de suconcrecin a la enseanza de la Matemtica , fundamentos tericos generales en que se sustenta,ventajas, y limitaciones del mismo.

Al final de cada captulo se declaran las fuentes primarias y secundarias consultadas. Es propsito de losautores que los lectores puedan profundizar en las obras estudiadas y realizar un anlisis crtico de lasconclusiones a que se arribaron como resultado de la investigacin.

La monografa qued finalmente compuesta por nueve captulos, adems de la presente introduccin.Llegar a la delimitacin de los mismos fue una tarea harto difcil para el colectivo de autores. Despus de

1 Pruebas palpables de ello lo constituyen la introduccin de nuevos programas de Metodologa de la Enseanza de laMatemtica y la elaboracin de un nuevo texto de la disciplina por un colectivo de autores cubanos.


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PSICLOGOS

casi un ao de trabajo se arrib a la conclusin de que resultaba inconsistente la suposicin de la existenciade una teora didctica por reas del conocimiento matemtico (lgebra, Geometra, Anlisis Matemtico,etc); ni siquiera poda identificarse una Didctica general de la Matemtica consolidada en la reginiberoamericana. (Del Ro et al., 1992)

Y es que la Didctica de la Matemtica es una disciplina cientfica ciertamente muy joven. Aun cuando hayquienes ubican su origen a comienzos del presente siglo, fundamentalmente en Inglaterra y Estados Unidos(Kilpatrick et al.., 1994), se insiste en atribuir su surgimiento a la actividad desplegada por matemticos enlos Institutos de Investigacin sobre la enseanza de las Matemticas creados en Francia, a fines de losaos 60, bajo el influjo del movimiento de la Matemtica Moderna. (Glvez, 1994) (Steiner, 1993)2

Es as que el trmino tendencias didcticas (de la Matemtica) es utilizado aqu con todo propsito. Setrata de intenciones, de lneas de desarrollo; no de proyectos consolidados.

Finalmente, el equipo de investigacin arrib a la conclusin de que, ms que todo, lo que se tiene es lainfluencia de dos comunidades cientficas que tradicionalmente han tratado de incidir en la enseanza de laMatemtica: psiclogos y matemticos, y la aparicin de lneas generadas ms propiamente poreducadores matemticos. El resultado puede ilustrarse de la siguiente manera:

Claro que las fronteras entre ellas no estn absolutamente determinadas. Mas bien lo que se aprecia es unentrelazamiento de algunas tendencias; lo que obviamente hizo ms difcil el trabajo del equipo deinvestigacin. As se tiene, por ejemplo, aspectos abordados por los matemticos tambin han sidotrabajados profundamente por los psiclogos (v.g. la resolucin de problemas matemticos), que lneasdesarrolladas por la naciente comunidad de educadores matemticos iberoamericanos se nutre en granmedida de resultados terico-experimentales de la psicologa contempornea (v.g. aprendizaje vivencial),o que tendencias adjudicadas a los psiclogos han encontrado aplicacin en el campo de la EducacinMatemtica gracias a la contribucin creadora de especialistas de esta ltima rea (v.g. el constructivismooperacionista y el aprendizaje de la Matemtica por descubrimiento).

Los autores de la presente monografa desean declarar aquellos factores que han constituido obstculospara la realizacin de la investigacin, y que pudieran explicar -en alguna medida- las imprecisiones quepudiera observar el lector.

En primer lugar estn las limitaciones que se tuvieron con la bibliografa especializada. Result en extremodifcil para este colectivo de autores cubanos adquirir literatura actualizada sobre el tema, por razones

2 Fuera de Cuba suele desconocerse los aportes de la Pedagoga del desaparecido campo socialista al desarrollo de la

Didctica de la Matemtica. Un ejemplo elocuente del desarrollo alcanzado en esa direccin es el texto "MetodikMathematikunterricht", elaborado en Berln oriental en 1975 por un numeroso colectivo de autores, bajo la direccin de losdoctores Werner Walsch y Karlheinz Weber.

MATEMTICOS EDUCADORES MATEMTICOS

PedagogaOperatoria.

Organizacindel

conocimiento.

Aprendizaje pordescubrimiento.

Enseanza porproblemas.

Enseanza porcomputadoras y

supercalculadoras

ComunicacinMatemtica. RazonamientoMatemtico.

Aprendizajevivencial.

IngenieraDidctica.


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harto conocidas. Mucho ayud a vencer en alguna medida ese obstculo la colaboracin generosa decolegas e instituciones hermanas que dieron respuesta a los reclamos de ayuda difundidos. Los autoresaprovechan la ocasin para expresar pblicamente el ms sincero agradecimiento por semejante gesto atodos los que le tendieron la mano desinteresada y fraterna.

Un segundo gran obstculo lo constituy el marcado carcter referativo de la inmensa mayora de losreportes de investigacin y ponencias consultadas. En efecto, las proyecciones didcticas que se han estadodifundiendo comprenden en pocos casos experiencias de campo, e incluso pocos o ningn ejemplo decmo concretarlas en el saln de clases. Predomina, casi de manera generalizada, el discurso tericocentrado en la justa crtica a la enseanza tradicionalista de la Matemtica.

Unido a ello se encuentra el inconveniente de la falta de transparencia en los presupuestos tericosgenerales en los que se apoyan las propuestas, exigiendo frecuentemente del equipo una lectura entrelneas. (Torres, 1995)

Una tercera exigencia consisti en el reto que entraa para un colectivo de autores cubanos penetrar en lasteoras epistemolgicas y psicolgicas que, an implcitamente, manejan los difusores de los proyectos dela regin iberoamericana, diferentes a las asumidas por las didcticas cubanas (Torres, 1995). Ello oblig alcolectivo a un sostenido trabajo de profundizacin a lo largo de la investigacin.

Finalmente est el hecho de que abunda en la literatura internacional el uso indiscriminado de tminosespecializados, que en ocasiones se estn refiriendo a un mismo objeto o fenmeno. sto es resultadodirecto -segn cree este autor- del estado incipiente en que se encuentra la Didctica de la Matemtica enel rea, a la falta de una teora comn.

Por otra parte, es importante explicar que la investigacin se realiz pensando bsicamente en elperfeccionamiento de la enseanza de la Matemtica en Cuba. Vencido el propsito de difundir entre loseducadores matemticos cubanos las experiencias de avanzada de los colegas iberamericanos, es un

propsito determinar las posibilidades reales de esos proyectos en las condiciones concretas de la escuelacubana actual.

Lo que se pretende es desencadenar investigaciones que permitan precisar cundo y cmo debenconcretarse las tendencias estudiadas en la prctica educativa cubana, de acuerdo con las caractersticas delos estudiantes cubanos, el nivel profesional de los docentes, y las particularidades del sistema educativocubano. En fin, proveer al educador matemtico cubano de nuevas y ms amplias alternativas didcticas.

Si en alguna medida los resultados alcanzados por los investigadores resultaran de utilidad para loscolegas iberoamericanos, el colectivo de autores se sentira agradecido por la posibilidad de saldar la deudade gratitud contrada con la colaboracin intelectual devenida de su quehacer investigativo, con el apoyo

material ya referido, y con las amplias y sinceras muestras de respaldo recibidas en ocasin de lapresentacin de los resultados parciales de la investigacin en sesiones de la Oncena ReuninLatinoamericana en Matemtica Educativa (RELME-11).

Finalmente, hay que decir que los resultados obtenidos a lo largo del proceso de investigacin han sidoexpuestos en las siguientes actividades cientficas: ponencias de los eventos internacionales Varona95 yII Taller de la enseanza de la Matemtica y la Computacin de la Ctedra Dulce Mara Escalona(ambos auspiciados por la Universidad Pedaggica de la Habana), en la X Reunin Cientfica de

profesores ( de esa misma institucin), en los eventos nacionales sobre Educacin Matemticaorganizados por las Universidades Pedaggicas de Mateanzas y Holgun; como tema de una conferenciamagistral en un evento nacional sobre enseanza de la Matemtica auspiciado por la Universidad

Pedaggica de Pinar del Ro, y como grupo de trabajo en la Oncena Reunion Latinoamericana enMatemtica Educativa (Morelia, 1997).


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Tambin ha constituido tema de cursos de postgrado a educadores cubanos de la Habana, Camagey, yHolgun. Sobre su base se han diseado sendos cursos del Diplomado y la Maestra en Didctica de laMatemtica de la Universidad Pedaggica de la Habana. Asmismo, es considerado un pilar de la estrategia

pedaggica que actualmente se valida en la Provincia La Habana para el mejoramiento de la enseanza dela Matemtica escolar, y se han elaborado algunos artculos cientficos que se hayan en proceso de

publicacin.Bibliografa:1. Del Ro, J. et al. (1992) Anlisis comparativo del currculo de Matemtica (nivel medio) en Iberoamrica. Mare

Nostrum, Ediciones Didcticas. Madrid.2. Glvez,G. La Didctica de las Matemticas En: Parra,C. y Sainz,I. Didctica de las Matemticas. Aportes y

reflexiones. Editorial Paids. Buenos Aires, pp. 39-50.3. Kilpatrick,J. et al. (1994) Educacin Matemtica e investigacin. Editorial Sntesis. Madrid.4. Montero,B. (1989) Un programa de accin en la enseanza de la Matemtica (ponencia). En: Primer Simposio

Iberoamericano sobre enseanza de la Matemtica. Ciudad de la Habana.5. Steiner,G.H. (1994) Didattica della Matematica: importante anniversari e memorie italo-germaniche. En:

Linsegnamento della Matematica e delle scienze integrate. CRD U. Morin. Padermo del Grappa, pp. 426-438.6. Torres, P. (1992) Hacia una metodologa de la enseanza de la Matemtica, cul? En: Boletn No.14 de la Sociedad

Cubana de la Matemtica y la Computacin. Ciudad de la Habana, pp. 21-31.7.________ (1994) La Didctica de los matemticos en la escuela cubana actual: origen, fundamentos, estructura,proyecciones. En: Educacin Matemtica Vol. 6 No.3. Editorial Iberoamericana. Ciudad Mxico, pp. 82-89.

8. ________ (1995) Las investigaciones sobre mtodos de enseanza en Educacin Matemtica dentro y fuera de Cuba. En:IX Reunin Centroamericana y del Caribe sobre formacin de profesores e investigadores en Matemtica Educativa.La Habana, pp. 285-290.

9. ________ (1996a) Didcticas cubanas en la ensenza de la Matemtica. Editorial Academia. Ciudad de la Habana.10. ________ (1996b) La Educacin Matemtica en la escuela cubana de los aos 90. Tendencias y retos. En: Memorias

del II Taller internacional sobre la enseanza de la Matemica para ingeniera y arquitectura. ISPJAE. Ciudad de laHabana, pp. 392-397.


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Captulo 1: EL OPERACIONALISMO EN EDUCACION MATEMATICA.

Dr. Paul Torres Fernndez.

El estado del aprendizaje de la Matemtica sigue preocupando a muchos; padres, directivos, y hasta lospropios estudiantes ven con desaliento que no decrece el nivel de reprobados que ella provoca en loscursos de formacin bsica general. La comunidad cientfica se afana en la bsqueda de vas queconduzcan a la solucin de esa problemtica sin resultados convincentes; psiclogos, matemticos, yeducadores laboran insistentemente desde hace ya varias dcadas para eliminar la paradoja que conformanel creciente significado cientfico y social de la Matemtica y el bajo nivel de aprovechamiento escolardurante su aprendizaje.

El impacto de la Tecnologa Educativa y del movimiento de la Matemtica Moderna el la EducacinMatemtica son dos ejemplos de esfuerzos de la comunidad cientfica, en lo fundamental ya superados, porresolver la situacin. Hoy en da pueden identificarse otros muchos proyectos didcticos dirigidos a esemismo fin.

El presente captulo es el resultado de una primera aproximacin al estudio de uno de los modelos msrepresentativos del intento de concretar los postulados episto-psicolgicos del Constructivismo en laEducacin: el Operacionalismo.

Aunque bajo diversas denominaciones, el Operacionalismo es identificado por diversos autores como unode los paradigmas que impactan la Educacin de la Matemtica y de las Ciencias Exactas. (Palacios-

Zambrano, 1993) (Gonzlez, et. al., 1991) (Prez y Gallego-Badillo, 1994) (Del Ro, 1991) (Cerrato,1970) (Aebli, 1966).

Su origen hay que buscarlo en los esfuerzos sostenidos de la Psicologa Cognoscitiva por obteneralternativas metodolgicas al aprendizaje expositivo y memorstico, y que trascendi con Piaget (bajo el

prisma gentico) al plano epistemolgico.

Son rasgos caractersticos de este enfoque metodolgico los siguientes:

Organizar el proceso de aprendizaje de modo que se favorezca sistemticamente el desarrollo de lasestructuras operatorias del pensamiento.

Propiciar el decubrimiento personal de los nuevos conocimientos, la conviccin de que "no slo sepuede llegar a conocer a travs de otros (maestros, libros) sino tambin por s mismo, observando,experimentando, combinando los razonamientos." (Gonzlez et al., 1991)

Asignar un lugar especial a los errores que comete el estudiante durante el aprendizaje, de modo quesean considerados como pasos necesarios en el proceso constructivo que, deben ser aprovechados paraactivar el pensamiento reflexivo, en vez de obviarlos; y

Emplear frecuentemente ejercicios mentales inteligentes, tareas docentes dinmicas y reversibles, y noslo actividades apoyadas en la memoria y los hbitos.


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Un ejemplo de concrecin de este proyecto didctico en la Educacin Matemtica lo aportan Murillo yBrenes en la introduccin del procedimiento de extraccin del factor comn:

"Se presentan figuras como:

x x

a b

y con ellas se les pide a los estudiantes que den significado a la expresin: ax + bx; y que traten deacomodarlas formando un rectngulo del cual deben dar sus dimensiones y sus reas y lograr queobtengan:

x

a+b

De donde se puede inferir que: ax +bx = x (a + b)

"La actividad contina con factorizaciones por agrupacin, trinomios cuadrticos, y otros". (Murrillo yBrenes, 1994)

Otro ejemplo lo aportan (Trujillo-Farfn, 1995) con la construccin de la funcin logaritmo...respondiendo a las siguientes cuestiones:

DISEO DE LA CLASE:

1.- Coloca los siguientes tres trminos en la sucesiones de abajo, en ambos sentidos:

..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...

...1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8,...

2.- Encuentra el patrn de comportamiento de ambas sucesiones.

3.- De acuerdo a esos patrones, cmo se les llama a esas sucesiones?

4.- Encuentra una relacin entre ambas. Puede lograrse mediante una misma operacin obtenerse elarreglo de abajo a partir del de arriba o viceversa?

5.- Hay un elemento que interviene en la relacin entre ambas sucesiones y que no est a la vista en lasprogresiones. Cul es?

6.- Con qu nombre conoces a ese elemento implcito?

7.- Expresa simblicamente la correspondencia que existe entre los elementos de las sucesiones.

8.- Expresa con palabras esta correspondencia.

9.- Qu concepto matemtico surge de esta correspondencia?

10.- Considerando la respuesta a la pregunta 9, grafica las sucesiones anteriores.

11.- Cambiando el elemento implcito a las progresiones, realiza el mismo procedimiento.


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Ahora bien, para comprender el alcance real del Operacionalismo -como el de cualquier otro proyectodidctico- es necesario penetrar en sus fundamentos tericos generales. Sin duda alguna, uno de los

pilares a considerar es el epistemolgico.

El Operacionalismo reconoce a la Epistemologa Gentica como su fundamento epistemolgico. La tesis

piagetiana bsica de que el conocimiento es una construccin que realiza el individuo a travs de suactividad con el medio sustenta las intenciones didcticas de ese proyecto metodolgico.

El esquema epistemolgico desarrollado por Piaget es, sin embargo, mucho ms profundo y abarcador, ycabe destacar de l:

la admisin del carcter objetivo del medio circundante (que contiene a los objetos cognosibles) y delsujeto que aprende (con sus estructuras cognitivas en desarrollo).

el reconocimiento del carcter activo del sujeto en el proceso del conocimiento,

la identificacin de la interiorizacin como mecanismo que explica el proceso de asimilacin del

conocimiento; es decir, el trnsito de la accin externa al plano interno (o mental) como proceso a travsdel cual se produce la asimilacin.

la consideracin del aprendizaje como un proceso dinmico -dialctico- y de aproximacin infinita alobjeto del conocimiento, y

el conocimiento del papel significativo del factor socio-cultural en el acto de aprendizaje.

Estas posiciones acercan extraordinariamente a Piaget a la teora filosfica del materialismo dialctico-histrico, considerada por muchos como una concepcin cientfica de la adquisicin del conocimientohumano. Se afirma incluso que en determinados aspectos los trabajos de Piaget la enriquece, pues "...los

continuadores de Marx... durante un largo perodo... dejaron de lado cualquier problema que concerniese ala estructura estable del pensamiento, cualquier investigacin (realmente detallada y analtica) sobre elmecanismo general de la relacin sujeto-existente-objeto..." (Dan, 1974), que es precisamente la direccinen que Piaget encamin sus estudios gnoseolgicos y en la que obtuvo resultados sorprendentes, que pordems no niegan los jalones esenciales desarrollados por el marxismo durante el anlisis de la dimensinvariable del pensamiento en el curso de la historia.2

Una valoracin completa del sustento epistemolgico del Operacionalismo debera incluir las crticas que lehan sido formuladas a las ideas de Piaget, como por ejemplo en: (Brainerd, 1983), (Hall y Kaye, 1983),(Lawton y Hooper, 1983), (Davidov, 1981), (Rubinstein, 1979a), (Rubinstein, 1979b), y (Vygotsky,1966). Sin embargo, ninguna de ellas -an aceptndolas- empobrecen su gigantesca obra, ni el valor de sus

contribuciones a la gnoseologa.Habra que tener en cuenta adems que, el Constructivismo no se agota con los trabajos de Piaget, y queotros investigadores han realizado tambin importantes aportes al desarrollo de esta corrienteepistemolgica. Ese es el caso de: J.Novak, A.R.Luria, y B.Gowin, entre otros. (Prez y Gallego-Badillo,1994).

S merecen atencin las posiciones filosficas que ha asumido aquella modalidad del Constructivismoidentificada como "radical" (Ganadis, 1994). Como bien ha sealado Acua (1996), si admisibles son los

principios bsicos del Contructivismo "simple" -tradicional- de que: "el conocimiento es activamente

2 Marx revela una dimensin desconocida e inesperada del pensamiento: su dependencia del contexto social, de la

finalidades e intereses sociales, de las relaciones entre clases sociales y de su lucha, y ms an: su dependencia de un modode produccin, de una praxis entera... el pensamiento, en su esplendor y su autonoma imaginada, no dirige nuestro destino;al contrario... (Dan, 1974).


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construido por el que aprende" y que "se viene a aprender como un proceso de organizacin y adaptacinal mundo como una experiencia de quien aprende"; inaceptable es el criterio aadido por elConstructivismo "radical"de que "el que aprende no descubre un mundo independiente y preexistente al". Aqu, sencillamente, se est acudiendo a un idealismo subjetivo que mucho puede confundir ainvestigadores y docentes interesados en concretar, en el saln de clases, didcticas pro-constructivistas.

Otros de los pilares tericos generales sobre los que se apoya el Operacionalismo es la PsicologaCognoscitiva. Como se sabe, sta tom auge durante la dcada de los '50 bajo el influjo de la revolucinciberntica y de la maduracin de la crisis del paradigma conductista.

La Psicologa Cognitiva rechaza el esquema tecnicista, que asume a la actividad mental como unmecanismo automtico de estmulo -respuesta (medida en forma de comportamiento). Tambin supera ala Psicologa Asociativista, que reduce el aprendizaje al registro de sensaciones y a la relacin entre losdatos por ellas aportados.

La Psicologa Cognitiva ha dejado igualmente atrs al esttico formato esbozado por la Psicologa de laGestalt de la intuicin de formas globales, y contrapone a l un enfoque dinmico de los procesoscognitivos, basado en una actividad real de bsqueda del individuo sobre su entorno, que se apoya en lareversibilidad de las acciones mentales que ella implica y en su coordinacin.

Se trata de un enfoque eminentemente racionalista, pero que no ha obviado -especialmente con Piaget- lanecesaria relacin entre las esferas cognitivas y afectivo-volitivas de la personalidad3.

Lo afectivo-volitivo (sentimientos, intereses, inclinaciones, etc.) intervienen de manera significativa en laactividad selectiva de los fenmenos que provocan desequilibrio y terminan propiciando (u obstaculizando)el desarrollo cognoscitivo.

El aspecto pedaggico debe ser otro importante soporte terico sobre el cual se ha de apoyar un proyecto

didctico. En el caso del Operacionalismo esos fundamentos no quedan tan claramente expuestos como lasconsideraciones epistemolgicas y psicolgicas. Esto quizs se deba a que la arista educativa no estuvo enel centro de los estudios de las fuentes primarias de este movimiento.

En cuanto a los trabajos de Piaget, el autor ms citado al penetrar en los fundamentos delOperacionalismo, ms bien lo que se recomienda es una interpretacin creativa de su teora en el saln declases.

En ese sentido seala Wadsworth (1991): "La mayora los interesados en interpretar la obra de Piagetdirigida a los docentes consideramos que el tratamiento de "receta de cocina", cuyo propsito es decirle alos maestros qu deben hacer, es inadecuada. No es posible reducir la teora de Piaget a una serie de

procedimientos operativos; su teora es una perspectiva sobre la que hay que reflexionar..."Sobre esa base, varios colaboradores de Piaget y estudiosos de su obra se han dedicado a hacer algunasinferencias de su teora al contexto educativo.

Las ms importantes de esas recomendaciones son, a juicio de este autor, las siguientes:

Propiciar la realizacin por los alumnos de acciones con el objeto de conocimiento con una intencinmayor que la de acumular experiencias; sto es, estimular el autodescubrimiento.

3 No existe un solo patrn conductual, sin importar qu tan intelectual sea, que no incluya entre sus motivos patronesafectivos... (Piaget e Inherder, 1969).


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Apoyarse en la revelacin de conflictos cognoscitivos, en la creacin de motivos para el aprendizajesobre la base de la toma de conciencia por los alumnos del desequilibrio producido.

Explotar las interacciones sociales, mediante el desempeo de roles dentro del grupo escolar, larealizacin de juegos, y la utilizacin de otras tcnicas participativas.

Atender las diferencias individuales de los estudiantes, y

Aprovechar los errores de los alumnos durante el aprendizaje, de modo que sean utilizados comofuentes de conflictos cognitivos, en vez de obviarlos.

Analizados as los fundamentos toricos generales del Operacionalismo, puede realizarse ahora unavaloracin a fondo de las ventajas y limitaciones pedaggicas que le pueden ser atribuidas.

Una primera ventaja adjudicable a este proyecto didctico es el apoyarse en la motivacin de los

estudiantes hacia el aprendizaje para introducir los nuevos conocimientos; lo cual es especialmente til enel estudio de una asignatura tan rechazada como la Matemtica.

En efecto, "...el hombre comienza a pensar cuando tiene necesidad de comprender algo. El pensamientocomienza por un problema, una pregunta, una contradiccin, asombro, o sorpresa. La efectividad delaprendizaje depende grandemente de que los alumnos hayan adquirido conciencia de la necesidad deaprender, de comprender. En relacin con esto, hay que tener en cuenta que en el caso especfico de laMatemtica, son pocas las abstracciones as como los mtodos de pensamiento y de trabajos matemticosque se derivan directamente de la experiencia cotidiana". (Ballester et al., 1992)

Resulta igualmente destacable el aprovechamiento que hace el Operacionalismo de las potencialidadesderivadas de un desempeo profundamente activo del estudiante en el acto de aprendizaje. Por un ladoest el hecho de que se interesa porque el anlisis, provocado al interactuar con el objeto del conocimiento,

penetre en su esencia, se encamine a la determinacin de los rasgos que lo caracterizan y sin los cuales nosera tal. Por otro lado, resalta la intencin de lograrlo no al margen de las particularidades de los alumnossino aprovechndolas, bien en los casos donde los preconceptos conduzcan al "error"o en los que unmayor desarrollo intelectual propicie la colaboracin entre los estudiantes.

La creacin de motivos hacia el estudio y el despliegue de un aprendizaje activo y diferenciado son, sinduda, dos grandes virtudes del Operacionalismo por sobre la Enseanza Tradicional, especialmente de laMatemtica.

Resulta, sin embargo, absolutamente eficiente?... Existen dos aspectos que, en el plano didctico puntual,

no parecen tener explicacin bajo el prisma operacionalista, y que indiscutiblemente pueden limitar laeficiencia de este proyecto metodolgico.

Por un lado est la falta de recomendaciones para desarrollar la orientacin hacia el objetivo, la cual nodebe identificarse con un simple planteamiento del objetivo4.

Y es que, la aspiracin de un aprendizaje verdaderamente activo no puede lograrse al margen del carcterconsciente de la actividad de bsqueda. El alumno necesita conocer qu fin persigue la actividad que se le

propone desarrollar y valorar en qu medida se aproxima o no al mismo durante su actuacin. No

4 "...El alumno debe ser encaminado al efecto anticipado de su actividad. Esta orientacin se hace no slo en el objetivo de la

clase, sino tambin en la va a travs de la cual puede alcanzarse un resultado determinado... No es suficiente, por tanto, darel objetivo general. Tiene que decirse tambin de qu condiciones se parte y cmo ser la va por la que se desea alcanzar elobjetivo." (Jungk, 1981)


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considerarlo significa ineludiblemente limitar la participacin del alumno y continuar ofertando el papelprotagnico al profesor.

Por otra parte, est el hecho de que, si bien se reconoce la necesidad de motivar a los alumnos al inicio dela actividad, no se hace referencia a lo imperioso de que se trabaje por conservarla a lo largo de todo el

proceso de asimilacin de los nuevos conocimientos, ni a cmo puede ser sto logrado. Y es que nisiquiera pude inferirse a partir de la ley del inters formulada Piaget. (Brained, 1983) (Lawton, 1983).

Sin embargo, sta es una exigencia que se le presenta frecuentemente al educador matemtico durante laclase, a partir del elevado nivel de complejidad que suele adquirir el contenido matemtico (inclusoescolar) y el generalmente pobre desarrollo del pensamiento flexible y creador de los alumnos. Es aqudonde los impulsos del profesor y las preguntas hbilmente formuladas entran a jugar un importante papel,e imponen al profesor serias demandas pedaggicas.

Las "ayudas" del docente deben ser lo suficientemente exigentes como para hacer tomar conciencia a losalumnos de que, a pesar de los avances, el problema (asociado a la construccin de los nuevosconocimientos) no ha sido definitivamente resuelto, pero tampoco tan exigentes que se alejenconsiderablemente del nivel de desarrollo real de los alumnos (es decir, que no vayan dirigidas hacia lazona del desarrollo prximo, al decir de Vigotsky).

En la conjuncin de las dos insuficiencias sealadas es que se concreta, a juicio de este autor, la crticaformulada al Operacionalismo de que "...su limitacin fundamental reside,..., en no comprendersuficientemente el carcter desarrollador y no slo facilitador del proceso de enseanza..." (Gonzlez et al.,1991).

En resumen, puede decirse que el Operacionalismo ha abierto para la Educacin Matemtica unaalternativa viable frente a la enseanza formalista y repetitiva que tanto la ha venido minando; pero que a lavez el Operacionalismo necesita continuar enriquecindose, sobre todo en la dimensin pedaggica.

No basta con un marco referencial epistemolgico y psicolgico adecuado, incluso tan potente como elque le ofrece el Constructivismo; hay que tener en cuenta las regularidades del proceso de enseanza-aprendizaje y el cmo potenciales en las particularidades de cada asignatura escolar. No debe olvidarse que

bajo las mismas premisas epistemolgicas y psicolgicas que las del Operacionalismo, los seguidores delgrupo de Bourbaki condujeron en los aos '60 a la Educacin Matemtica por un camino bien errado.(Kline, 1981).

Bibliografa:1.Acua,C.M. (1995). "La enseanza de la Deduccin y de la Demostracin en la Geometra del Bachillerato". Tesis

doctoral. CINVESTAV-IPN. Ciudad Mxico.2.Aebli,H. (1966). "Una didctica fundada en la psicologa de Jean Piaget". Kapeluz. Buenos Aires.3.Ballester,S. et al. (1992). "Metodologa de la enseanza de la Matemtica" (Tomo I). Editorial Pueblo y Educacin. Ciudad

de la Habana.4.Brainerd,C.J. (1983). "Investigaciones sobre aprendizaje y la teora de Piaget". En: Siegel,L.S. y Brainerd,C.J. (Edits).

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Captulo 2: APRENDER DESCUBRIENDO ? UNA NUEVA TENDENCIA DELA EDUCACIN MATEMTICA.

M. en C. Eva Escalona SerranoLic. Mara Cristina Gonzlez Dosil.

El deseo de mejorar el aprendizaje de las Matemticas y de las ciencias en general, ha hecho quesurgieran, como alternativa de la enseanza tradicional, diversas tendencias, entre las que seencuentra la enseanza por descubrimiento. Estos modelos se apoyan implcita o explcitamente enuna misma idea, defendida por autores como: Dewey, Bruner, Wertheimer o Piaget, segn la cual elsujeto es capaz de encontrar por s mismo una regla o estructura conceptual desconocida para l a

partir de un conjunto de informaciones suministradas desde el exterior.

Se trata, por tanto, de lograr que el estudiante descubra el conocimiento en vez de recibirlo ya

elaborado por el profesor, como ocurre frecuentemente en la escuela tradicional. De este modo, elestudiante desarrolla su capacidad de investigar y de resolver problemas, lo cual debe contribuir auna mayor motivacin por las Matemticas y a una mayor independencia cognoscitiva.

El aprendizaje por descubrimiento parte de asumir determinados principios tericos: (Barrn, 1988,citado por Del Ro ,J. 1991)

El sujeto est dotado de potencialidad natural para descubrir conocimientos.

El resultado del conocimiento es una construccin intrapsquica novedosa.

El aprendizaje por descubrimiento se desarrolla a travs de un proceso investigador deresolucin significativa de problemas.

El acto de descubrimiento encuentra su centro lgico en la comprobacin de conjeturas.

Para que la actividad resolutiva pueda ser caracterizada de descubrimiento ha de serautorregulada y productiva.

El aprendizaje por descubrimiento va asociado a la produccin de errores.

Al aprendizaje por descubrimiento le es consustancial la mediacin de la orientacin socio-cultural.

El grado de descubrimiento es inversamente proporcional al grado de determinacin externadel proceso resolutivo.

El aprendizaje por descubrimiento responde a ciertas regularidades en funcin de las cualespuede ser pedaggicamente promovido.

Teniendo en cuenta estos principios se puede definir el aprendizaje por descubrimiento como un

proceso cognoscitivo que parte de la identificacin de un problema y, mediante un procesoresolutivo al que le es consustancial la evaluacin de hiptesis autorregulada por el propio sujeto con


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la necesaria orientacin socio-cultural, produce una construccin intrapsquica novedosa. (Del Ro,J., 1991)

Las metodologas de enseanza por descubrimiento se han desarrollado fundamentalmente en dosdirecciones:

Enseanza por investigacin o por resolucin de problemas (descubrimiento autnomo).

Enseanza por descubrimiento dirigido o redescubrimiento (descubrimiento guiado).

La enseanza por investigacin persigue incrementar la capacidad heurstica de los estudiantes(habilidad en la resolucin de problemas, en la formulacin y evaluacin de conjeturas,descubrimiento de relaciones, mtodos demostrativos, etc.). Como herramientas instructivasemplean, sobre todo, los problemas y las investigaciones.

Para apoyar el proceso resolutivo los estudiantes reciben del profesor una gua heurstica parecida ala de Polya (Polya, 1965) que les facilite el proceso de resolucin de problemas, de modo que laactividad de investigacin del alumno no sea arbitraria, sino que tenga preciso cul es su meta y quacciones pueden ayudarlo a lograrlo, aplicando los conceptos y tcnicas de investigacin que conocey realizando nuevas elaboraciones de los mismos.

Ilustremos con un ejemplo la obtencin de un teorema:

Para obtener una caracterizacin de la relacin de perpendicularidad entre recta y plano aplicando laenseanza por investigacin o por resolucin de problemas, puede proponerse el siguiente sistema deejercicios:

1. Sea un plano, a una recta perpendicular a en el punto A, X,Y son puntos

cualesquiera de la recta a, simtricos respecto al punto A, C un punto arbitrario del plano , C A. Demuestre que C equidista de X y de Y.

2. Sean: a una recta perpendicular a en el punto A, X,Y son puntos cualesquiera de larecta a, simtricos respecto al punto A, B y C puntos distintos del plano , que no coincidencon A. Demuestre que XBC = YBC.

3. Sean: a una recta perpendicular a en el punto A, X,Y son puntos cualesquiera de larecta a, simtricos respecto al punto A, b y c rectas del plano que pasan por A y son

perpendiculares a la recta a, B b, C c. Demuestre que cualquier recta t que est contenidaen el plano , que pase por A y corte al segmento BC en un punto T es perpendicular a larecta a.

4. Sean: a una recta perpendicular a en el punto A, b y c rectas del plano que pasanpor A y son perpendiculares a la recta a. Demuestre que toda recta x contenida en es

perpendicular a la recta a.


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5. Sean b y c rectas secantes y a una recta perpendicular a ambas que no pasa por suinterseccin. Demostrar que a es perpendicular a cualquier recta contenida en el planodeterminado por las rectas b y c.

Despus de resolver cada uno de los ejercicios se pide a los estudiantes que generalicen la

proposicin demostrada y finalmente llegan a obtener el teorema siguiente:Si una recta es perpendicular a dos rectas secantes contenidas en un plano, entonces es

perpendicular al plano.

La enseanza por descubrimiento dirigido o redescubrimiento se centra ms en el contenido quedebe ser descubierto por el alumno, a diferencia del anterior, que enfatiza el procedimiento deresolucin de problemas. Se utilizan diferentes tcnicas: dilogo socrtico o heurstico con el

profesor en pequeo o gran grupo, realizacin de actividades explcitamente programadas paradirigir el razonamiento, resolucin de situacin abierta de aprendizaje, induccin a partir deejemplos, etc.

En este modelo de enseanza subyace una metodologa activa e investigadora. El profesor debeorientar el aprendizaje del alumno de manera que este se motive por descubrir el nuevoconocimiento. A partir de este momento el profesor debe poner en prctica un tratamientodiferenciado para que cada alumno pueda construir por s solo el conocimiento, ya sea del tipoconceptual o procedimental.

Los alumnos deben recibir una gua con las actividades ms generales que ha concebido el profesorpara guiarlos hacia el nuevo conocimiento. No obstante, puede ocurrir que para determinadosestudiantes esta no sea suficiente; en estos casos el profesor asume el papel de facilitador en el

proceso: mediante la conversacin heurstica debe llevar a estos alumnos a la formulacin deconjeturas y ms tarde, a su demostracin o refutacin, pero sin brindarles la informacin buscada.

Por ejemplo, para obtener los teoremas relativos a las relaciones de paralelismo de rectas yperpendicularidad entre recta y plano, aplicando el modelo de enseanza por descubrimientodirigido, se puede proponer a los estudiantes una gua como la siguiente:

1. Sean a, b, c tres rectas cualesquiera diferentes, tales que a b y b c. Qu relacin podemosestablecer entre a y c?

R: a c.

2. Cmo podemos formular esta proposicin?

R: Si a b y b c entonces a c

3. Considere un ortoedro ABCDEFGH y muestre un ejemplo que ilustre la proposicin anterior.

R: AB DC y BC AB, entonces DC BC.

4. Qu relaciones hemos utilizado en esta proposicin?

R: Paralelismo y perpendicularidad de rectas.

A partir de este momento sustituiremos la relacin de perpendicularidad de recta por la

perpendicularidad entre recta y plano.


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5. Formule una proposicin anloga a la anterior con estas nuevas condiciones.

R: a b y b entonces a .

6. Ilustre esta proposicin utilizando las aristas y caras del ortoedro.

H G

E F

D C

A B

R: Si AE BF y AE ABC entonces BF ABC.

7. Enuncie otras proposiciones que se obtengan como resultado de intercambiar una de las premisascon la tesis.

R: Si a b y a entonces b .

Si a y b entonces a b.

8.Ilustre estas proposiciones utilizando las aristas y caras del ortoedro.

R: a) Si AE BF y BF ABC entonces AE ABC ,

b) Si AE ABCy BF ABC entonces AE BF,

9.Podemos afirmar que siempre se cumplen estas relaciones?. Qu debemos hacer?

R: No, debemos demostrarlas.

10. Realice dichas demostraciones. (Hasta aqu el ejemplo)

Ambas metodologas coinciden en algunos aspectos, los cuales permiten clasificarlas como

enseanza por descubrimiento. Ellos son:

Los alumnos trabajan en pequeos grupos. de aproximadamente tres estudiantes y discutenen colectivo los resultados alcanzados.

El aprendizaje no comienza con la explicacin por parte del profesor del contenidomatemtico que los alumnos deben conocer.

El profesor orienta y controla la actividad de cada grupo, pero sin facilitar informacin.

No se ha encontrado coincidencia en los autores consultados en cuanto a las fases de los modelos de

enseanza por descubrimiento. Asumiremos la propuesta hecha por Del Ro (1991).


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Fases de la enseanza por descubrimiento de un concepto, de una estructura conceptual o de unprocedimiento algortmico:

1. Contextualizacin..

2. Construccin.3. Ampliacin.

En la fase de contextualizacin el profesor determina el nivel de partida de los estudiantes, as comolas ideas previas que tienen sobre el tema. A continuacin presenta situaciones problemticas queestimulen el pensamiento del alumno y cuyo anlisis ser el punto de partida del aprendizaje.

En esta fase el profesor prepara a los alumnos, potenciando su motivacin epistmica ypromoviendo la adquisicin de una actitud investigadora que predisponga a la actuacin resolutiva.

(Barrn, 1988)

El principal sistema de apoyo es una gua de actividades cuidadosamente planificada de modo quecada estudiante pueda ejecutarla individualmente y que lo conduzca a elaborar sus propiasconjeturas. Es conveniente que manejen la mayor variedad posible de modelos y materialesdidcticos.

En la fase de construccin el alumno debe demostrar sus conjeturas o refutarlas y elaborar otrasnuevas; la orientacin externa debe alcanzar un punto de equilibrio tal que, sin anular el procesoconstructivo autorregulado, garantice que la evaluacin de conjeturas se realice eficazmente, lo queconstituye el centro lgico del aprendizaje por descubrimiento. (Del Ro, 1991).

La gua de actividades que propone el profesor debe incluir:

Elaboracin de definiciones (a partir de observaciones o sugerencias).

Razonamientos dirigidos (proposiciones incompletas que el alumno debe llenar, odesorganizadas para que las ordene).

Correccin y/o complementacin de clculos (se presentan a los alumnos clculosincompletos, desordenados o con errores para que los escriban correctamente).

Generalizaciones y analogas.

En esta fase el profesor potencia la adquisicin significativa de los conocimientos operativosnecesarios, con lo cual favorece un ambiente seguro y estimulante para el descubrimiento.

En la fase de ampliacin se proponen tareas que permitan incrementar la significacin de los nuevosconocimientos y su posible aplicacin para obtener otros. Incluye adems el anlisis de

procedimientos utilizados para la formulacin y demostracin de las conjeturas. Esta fase puedecoincidir con la fase de contextualizacin de otro nuevo conocimiento.

En el aprendizaje dirigido por resolucin de problemas el alumno debe obtener la informacinnecesaria en el propio proceso resolutivo.


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Durante el desarrollo de estas metodologas al profesor le corresponden las funciones siguientes:

Motivar y estimular el mantenimiento del proceso resolutivo.

Orientar la atencin hacia las caractersticas esenciales del espacio del problema (objetivo,

conceptos, principios subyacentes).

Facilitar la actualizacin de conceptos y operaciones pertinentes.

Orientar la bsqueda hacia el campo adecuado de conocimiento.

Potenciar la autorregulacin del procedimiento de resolucin alertando la secuencia deestrategias ms adecuadas, y limitando el rango de las direcciones errneas.

Ayudar a tomar conciencia de los caminos errados y a hacerlos productivos.

Fortalecer la resistencia a la frustracin y el esfuerzo por mantener el proceso resolutivohasta la comprobacin y valoracin final de los descubrimientos realizados.

Organizar, estimular y encauzar la dinmica investigadora de las clases en el marco de unasadecuadas condiciones ambientales.... (Barrn, 1988, citado por Del Ro, 1991)

En la enseanza por descubrimiento adquiere una importancia decisiva la presentacin de situacionesproblemticas que induzcan a los alumnos a resolverlas activamente. Se les proporcionan uncontexto apropiado para que utilicen su pensamiento intuitivo en la formulacin de hiptesis y su

pensamiento inductivo para hacer abstracciones a partir de los datos.

La organizacin del material de enseanza se realiza de acuerdo con la estructura fundamental de lamateria y procediendo inductivamente, de los simple a lo complejo, de los concreto a lo abstracto, delo especfico a lo general, permitiendo as descubrir a los alumnos la estructura y la generalizacin

por s mismos.

El movimiento del aprendizaje por descubrimiento surge como alternativa a los mtodos expositivosy memorsticos propios de la enseanza tradicional. Los orgenes del mismo se encuentran enScrates y Rouseau. Un ejemplo que pone de manifiesto la utilizacin del trmino en el discursoeducativo a finales del siglo pasado lo constituye el siguiente prrafo, que recoge una intervencin de

M.B.Cosso en el Congreso Nacional Pedaggico, Madrid (Cosso,1882):No hay resultado positivo si el nio no crea e investiga por s. Colocadlo realmente ante elespectculo que queris que le impresione, ... , y no anticipis jams la conclusin: espesar siempre aque l la descubra, dejndole la iniciativa y el placer de su obra y este procedimiento individual eindagador se aplica igualmente al nio de cuatro aos que al joven de veinte, que al hombre durantetoda su vida.

No ha sido hasta finales de la dcada del cincuenta y principios del sesenta que los trminos deenseanza y aprendizaje por descubrimiento se han popularizado en diferentes mbitos educativos atravs de las obras de J. Piaget, J. Bruner, Kersch (1958), R. Gagn y Brown (1961).


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Estos dos ltimos experimentaron con alumnos de secundaria y las muestras se dividieron para laaplicacin de metodologas de descubrimiento abierto (resolucin de problemas), descubrimientodirigido o la metodologa tradicional.

Los resultados arrojaron que los subgrupos que se aplicaron metodologas de descubrimiento

obtenan mejores resultados en las pruebas de retencin y transferencia.Similares resultados fueron obtenidos posteriormente por otros investigadores, entre los que

podemos mencionar a: Worthen (1968), Olander y Robertson (1973), Hersch (1977), etc.

Estas investigaciones responden a la necesidad de encontrar una metodologa didcticaabsolutamente eficaz, e intentan analizar la interaccin entre los distintos tratamientos instructivos ylas caractersticas individuales de los alumnos.

Otro problema que se plantearon los investigadores estuvo dirigido a detectar y analizar lasconcepciones errneas de los estudiantes, tanto aquellas que tienen origen pre-instruccional (en lafamilia, medio social, etc.), como las que se generan en el propio proceso instructivo (con la

metodologa expositiva tradicional). En esta direccin estn encaminados los trabajos de J. del Ro(Grupo Gauss , Instituto de Ciencias de la Educacin, Universidad de Salamanca) y A. Barrn.

La metodologa expositiva tradicional puede generar en los estudiantes estas concepciones errneas,ya que :

No se dan oportunidades a los estudiantes de debatir sus conocimientos previos sobre eltema.

El estudiante no interviene en la elaboracin del concepto o del procedimiento.

No se comprueba la comprensin, sino la memorizacin.

No se analizan sistemticamente los errores ms frecuentes.

Resulta evidente que para lograr un cambio sustancial en el aprendizaje es necesario realizar cambiosprofundos. Al respecto se plantea: es necesario comprender que tras la idea vaga de la enseanzatradicional existe un modelo coherente de enseanza aprendizaje por transmisin-recepcin deconocimientos ya elaborados y que la renovacin de la enseanza no puede ser cuestin de simplesretoques, sino que presenta las caractersticas y dificultades de un cambio de paradigma (Gil, D. yGuzmn, M., 1993, citado por Feria, F.,1996)

La enseanza por descubrimiento pretende lograr un aprendizaje significativo, se inserta en lascorrientes constructivistas del conocimiento, la mayora de las cuales parte de posicionesracionalistas. No obstante, no existe entre ellas una tendencia nica, tanto desde el punto de vistaontolgico, epistemolgico, como metodolgico. Desde el punto de vista psicolgico estos modelosde enseanza parecen basarse en las obras de Piaget y Vigotsky.

La aplicacin experimental de estos modelos didcticos ha permitido llegar a la conclusin de quetanto en la superacin de concepciones errneas como en el aprendizaje de los mismos conceptos,las metodologas que favorecen el aprendizaje por descubrimiento son ms eficaces que lastradicionales, y se obtienen mejores resultados en tareas que implican transferencia y retencin.

La implicacin activa del sistema cognitivo comprensivo y actuacional de los estudiantes - en labsqueda y comprobacin de las respuestas resolutivas permite afirmar que el conocimiento derivado


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quedar sustancialmente integrado con esquemas asimilativos, de lo que puede derivarse que elgrado de retencin y transferencia del mismo ser alto.(Barrn, A., 1988, citado por Del Ro, J.,1991).

Ventajas:

Se ha comprobado que estas metodologas producen efectos educativos relacionados con los valoresy actitudes propias de una mente investigadora, entre los cuales podemos mencionar:

Habilidad analtica (observacin, comprensin y estructuracin de una situacinproblemtica).

Habilidad heurstica (formulacin de hiptesis, manejo de estrategias heursticas, control delproceso resolutivo). Se propicia de modo indirecto, como resultado de la reflexin grupal.

Desarrollo del pensamiento lgico (induccin y deduccin).

Precisin en el lenguaje.

Tendencia a revisar y comprobar los procesos.

Tenacidad en la bsqueda.

Curiosidad y, al mismo tiempo, actitud crtica.

Autoestima y confianza en las propias capacidades.

Independencia y autonoma en el aprendizaje.

Limitaciones:

Sin embargo, no todos los contenidos curriculares se pueden tratar fcilmente con esta metodologa.El profesor puede combinarla con la metodologa tradicional a lo largo de un curso, para ello debedecidir y escoger para cada unidad didctica el tratamiento que considere ms conveniente.

Otro elemento importante a tener en cuenta es el tipo de alumno a quien va dirigida la aplicacin delos mtodos de descubrimiento, pues ellos son ms eficaces que los expositivos en alumnos con un

bajo nivel de ansiedad y extrovertidos, pero menos eficaces en alumnos con un nivel intelectual bajo.

En cuanto a las diferentes formas que adoptan estas metodologas (descubrimiento dirigido odescubrimiento autnomo) no se obtienen resultados unnimes acerca de la mayor efectividad de unau otra en las obras consultadas.

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doctorado. Centro de Investigacin y de Estudios Avanzados del I.P.N. Mxico.

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4. Del Ro, J.(1991) Aprendizaje de las matemticas por descubrimiento. Estudio comparado de dos metodologa.Centro de publicaciones del Ministerio de Educacin y Ciencia CIDE. Madrid, Espaa.

5. Del Ro, J.(1992) Cmo cambiar las concepciones errneas en los estudiantes? Una experiencia enMatemticas. Revista SUMA. Nmeros 11 y 12. Espaa.

6. Feria, F.(1996) Modelo didctico orientado a la formacin de un Licenciado en Educacin en la especialidad deMatemtica-Computacin. Tesis presentada en opcin al ttulo de Master en Didctica de la Matemtica.Holgun. Gil, D. y Guzmn, M.(1993) Enseanza de las Ciencias y la Matemtica. Tendencias e innovaciones.Editorial Popular S.A. Madrid.

7. 8.Palacios, C. y Zambrano, E. (1993) Aprender y ensear ciencias. Una relacin a tener en cuenta. BoletnProyecto Principal de Educacin en Amrica Latina y el Caribe. Santiago de Chile.

8. Polya, G.(1965) Cmo resolver problemas ? Editorial Trillas. Mxico.


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Captulo3: TEORIAS DEL PROCESAMIENTO DE LA INFORMACIN.

M en C .Jos Benito Rodrguez Sosa.M. en C .Miriam Ibez Fernndez

La Psicologa-Ciberntica ha creado y aplicado un esquema conceptual que reconoce al hombre como unsistema que procesa informacin poseyendo para esto mecanismos de captacin de informacin delmedio, un conjunto de procesos de diferente cualidad que actan sobre la informacin de entrada y latransforma en estados sucesivos donde se presentan los resultados de estos procesamientos y finalmente,mecanismos de salida, a travs de los cuales el hombre acta con su ambiente (Corral, 1991).

Algunos autores consideran que la representacin interna est formada por un conjunto de nodosgenerados por los movimientos lcitos (Newell y Simn, 1972, Simn, 1978) entendindose por nodo:un posible estado de conocimiento, es decir, lo que sabe el resolutor acerca del problema en un momentoconcreto.

El resolutor construye una representacin esquematizada del problema, para lo que cambia el lenguajeutilizado en las representaciones internas, convirtindose stas en estructuras de redes semnticasconsistentes en elementos y relaciones entre elementos.

A partir de le dcada de los setenta se presta gran atencin a los esquemas por la funcionalidad que hanmostrado para entender el funcionamiento del sistema cognitivo humano.

El norteamericano J.B.Bruner es uno de los iniciadores de estas teoras al desarrollar un modelo general delos procesos cognitivos que han influido de manera notable sobre los modelos contemporneos, y que hasido objeto de continuas revisiones por parte de otros psiclogos cognitivistas.

La esencia de la concepcin de Bruner acerca del aprendizaje est dada en la adquisicin de los mediadoreso amplificadores culturales, creados, almacenados y trasmitidos por una cultura especfica y que le da la

posibilidad al hombre trascender su experiencia individual.

Ya a finales del siglo pasado el psiclogo y pedagogo funcionalista J.Dewey haba presentado un modelopara resolver problemas que contena 6 fases, las que iban desde la identificacin de las situacionesproblemticas hasta la generalizacin de los resultados.

En 1926, The Art of Thought de Wallas, aparece otro modelo para resolver problemas con 4 fases:preparacin, incubacin, iluminacin y verificacin.

Otros modelos de competencia para la resolucin de problemas son:

el modelo de Mason, Burton y Stacey que pretende ser una ayuda parra la instruccin.

el modelo de Bransford y Stein conocido como mtodo ideal, donde las letras de la palabra idealindican los elementos del mtodo.

Se han desarrollado otros modelos como el de Norman y Rumehart (1995) acerca de la forma en que secrean y desarrollan las estructuras del conocimiento y el de Riley, Greeno y Heller (1983) cuyo aporteconsiste en una nueva teora sobre la resolucin de problemas que combina el modelo de Newell y Simoncon la teora de los esquemas , y en la comparacin de un modelo de simulacin por ordenador con los

datos empricos registrados hasta ese momento.


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Los esquemas constituyen estructuras de informacin que representan conceptos genricos almacenadosen la memoria. El conocimiento especfico de una materia consiste al decir de los seguidores de este

paradigma, en un conjunto de esquemas en los que la persona ha organizado de forma determinada losconceptos, principios y frmulas que integran la materia. A travs de los esquemas la persona puedeadems interpretar y organizar informacin nueva de modo que esto sea asimilada de manera significativa.

Se dice que un esquema est completo si incluye los procedimientos y las indicaciones necesarias paraidentificar adecuadamente el tipo de problema que se pretende resolver.

Las representaciones de los problemas se forman en trminos de los esquemas. Los procedimientoscorrectos de resolucin de problemas tienen que ser recuperados de la memoria, si se conocen. El fracasoen la resolucin de un problema puede resultar de la falta de conocimientos o de la imposibilidad de acudira stos debido a una estructuracin inadecuada. (T.Chi. 1986).

Se considera al modelo de Anderson (1976) como el ms importante de los modelos proposicionalistas. Subase es la diferenciacin entre conocimiento declarativo y procedimental.

Kintsh (1988) con un enfoque neoconexionista, adjudica, por su parte, a los esquemas una naturalezaproposicional, considerndolo constituidos por una red semntica con nodos y relaciones entre los mismos,de manera que, para dotar de significado a un concepto, se activar un nodo y todos los adyacentes.

A continuacin se presentan a modo de ejemplos los siguientes modelos: (Maza, 1995)

Modelo de Siegler y Shiager.

Este modelo postula que la informacin sobre los hechos aritmticos bsicos est almacenada en lamemoria en forma de nodos que representan tanto a los problemas ( 5x7 ) como las respuestas (35,42, 45, .....).

Estos nodos mantienen una relacin entre s, una asociacin entre los nodos-problemas y los nodos-respuestas que a veces es correcta o a veces incorrecta. Esta asociacin vara por la fuerza que relacionados nodos, siendo en los adultos mayor para la asociacin con la respuesta correcta que para la incorrecta.

41

45

5x7 35

30


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El proceso de recuperacin del resultado de un hecho multiplicativo consta, en este modelo, de varias fasesque denotan su estrecha relacin con el modelo de Anderson, del que no es sino una concrecin en elterreno aritmtico.

Modelo de Mason, Burton y Stacey.

Este modelo se esquematiza de la siguiente forma:

PROCESO FASES RTULOS PROCESOS ESTADOS

Abordaje Lo que s Primeros

contactos

Lo que quiero Entrando

en materia

Lo que puedo usar

Particularizar Fermenta-

cin

Ataque Atascado! Aj Seguir

avanzando

Intentar Conjeturar Intuicin

Podra ser

Pero Por qu? Justificar

Generalizar

Revisin Comprobar Mostrarse

escptico

Reflexionar En estadocontempla-

tivo

Extender

Modelo de interferencia en red.


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Propuesto por Campbell y Graham (1985) hace mayor hincapi en el hecho de que los nodos-problemas ylos nodos-respuestas conforman una red de relaciones muy extensa: a un problema le corresponde variasrespuestas y a una respuesta, varios problemas:

36 6x7 49

42 35

54 6x8 48

40 32

5x8 45

Modelo de Aprendizaje mediante el Cambio Conceptual.

Es uno de los modelos que ms se ha popularizado en los ltimos aos. Se ve el aprendizaje comoresultado de una interaccin entre las concepciones nuevas y las ya existentes. Toma en consideracin dos

lneas de pensamientos como son el constructivismo y los estudios de las concepciones previas de losalumnos. Parte de la hiptesis de que los seres humanos construyen su propio conocimiento a partir de uncontexto de interaccin por un acuerdo social.

Como un mtodo para ayudar a estudiantes y educadores a captar el significado de los materiales que sevan a aprender se utiliza la construccin de Mapas Conceptuales, los que tienen como propsitorepresentar situaciones significativas entre conceptos en forma de proposiciones.

Una de las objeciones que se plantean a los Mapas Conceptuales es que no son muy diferentes de losesquemas. Sin embargo en los mapas conceptuales se exponen los conceptos y las proposicionesfundamentales con un lenguaje conciso y explcito. En los esquemas se mezclan los conceptos,

proposiciones y ejemplos utilizados en la enseanza en un entramado donde no se perciben las relacionesde ordenacin en cuanto al grado de generalizacin de los conceptos y proposiciones (Palacios yZambrano, 1992). Un anlisis del desarrollo de estas teoras cognitivas, ahora desde el ngulo de lasdiferentes escuelas psicolgicas, arroja lo siguiente:

Los asociacionistas no realizaron grandes aportes con respecto a los modelos, puesto que considerabanque en la resolucin de problemas slo intervena el empleo ms o menos mecnico de la experiencia

pasada.

Muy por el contrario los gestalistas influyen de manera notable en las teoras actuales sobre los modelos,consideran que la verdadera comprensin de un problema se produce cuando el resolutor logra concebirlocomo un todo y es capaz de establecer la relacin de las partes con dicho todo.


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Los proposicionalistas realizan un aporte incuestionable en los intentos de investigar la representacin deproblemas aritmticos. Sin embargo, las descripciones proposicionales no son reales mentalmente. Esdecir, la memoria no consiste en proposiciones que discurran a travs de distintas clulas cerebrales. Losmodelos proposicionales tratan de representar la actividad mental de manera que se describan susfunciones, sus procesos y lo que se pueda entender sobre ellos. Tratan, en suma, de ser simulaciones

funcionales del sistema cognitivo. Pero, para que asta simulacin lo sea realmente debe defenderse unaequivalencia del funcionamiento de estos respecto a la mente humana, lo cual es posible.

Los conexionistas y neoconexionistas presentan modelos de gran potencia y adaptabilidad a diferentessituaciones. Sus modelos se consideran poco falseables desde el punto de vista terico y consecuentemente

poco cientfico.

El aporte principal de las Teoras del Procesamiento de la Informacin se encuentra en la posibilidad realde acceder a nuevos conocimientos y de favorecer la resolucin de problemas, a partir de unaestructuracin adecuada de los esquemas cognitivos que se poseen.

Los estudiantes olvidan muy rpidamente lo que demostraron haber aprendido en un momentodeterminado porque retienen en la memoria los conceptos y procedimientos objeto de estudio comohechos aislados y no inmersos en una organizacin lgica.

Las personas difieren unas de otras por los procesos cognitivos y organizaciones mentales. Una vezadquirida la informacin sobre determinados aspectos del mundo que los rodea, organizan estructuras delconocimiento segn su naturaleza: hechos, juicios, objetos, etc., y la almacenan en la memoria. Estasorganizaciones de conocimientos influyen considerablemente en las estrategias utilizadas para resolver

problemas.

Este enfoque se aleja radicalmente de otras posiciones, como las del conductivismo, a partir delconocimiento de la participacin activa del hombre en el proceso del conocimiento, lo que le permite no

slo adaptarse a la realidad, sino anticiparse a ella y tratar de transformarla.

Entre las limitaciones ms significativas de estas teoras cognitivas se destacan las siguientes:

Se presta ms atencin a la creacin de estructuras mentales de conocimiento que a la esfera afectiva,entendiendo que sta es consecuencia de las anteriores.

Los nios ms pequeos no utilizan esquemas conceptuales (Langford, 1986) e incluso, en caso de que losposean, por problemas lingsticos les resulta ms cmodo utilizar estrategias de resolucin que no loimplican.

Se ignora en algunos modelos el papel de la comprensin lectora, sea porque se considere un obstculoen la aplicacin de esquemas conceptuales adecuado (Lewis y Mayer, 1987) o porque la comprensinlectora resulte ser la principal fuente de errores en la resolucin de problemas aritmticos (Cummins etal., 1988).

La estructuracin de los conocimientos presupone, en oportunidades, la modificacin del discursocurricular, con todos los inconvenientes que sto puede traer.

El desarrollo de este enfoque requiere de una elevada preparacin por parte de los profesores, no sloen la asignatura que explican, sino acerca de los diferentes estilos cognitivos de los estudiantes. Si el

profesor no es capaz de identificar los diferentes estilos cognitivos de sus estudiantes no puede

contribuir de la mejor manera a la organizacin de los conocimientos ya existentes, adquirir otrosnuevos o de utilizarlos en la resolucin de problemas.


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Captulo 4: LA ENSEANZA DE LA MATEMTICA POR PROBLEMAS.

M. en C. Deysi Fraga Cedr.

El deseo de mejorar el aprendizaje de la Matemtica y de las ciencias en general ha hecho que surgieran,como alternativas a la enseanza tradicional, diversos modelos didcticos de enseanza; entre ellos se

puede citar a la enseanza de la Matemtica por Problemas.

Tradicionalmente, ensear y aprender a resolver problemas se ha identificado como uno de los ejescentrales en la enseanza de la Matemtica.

Para explicar la caracterstica general de este enfoque conviene definir lo que se entiende por problema.La autora de este captulo asume la siguiente: "El problema puede ser definido como cualquier situacin,que produce por un lado un cierto grado de incertidumbre y, por otro lado, una conducta tendente a la

bsqueda de su solucin" . (Palacios, 1993; p.170)La clasificacin de los problemas puede hacerse atendiendo a diversos criterios:

Segn el campo del conocimiento implicado:

Esta dado por la diferencia entre los problemas que se plantean en la enseanza de la ciencia y aquellos quetienen lugar en la vida cotidiana. En el primer caso lo importante no es la obtencin de la solucin sino ms

bien el proceso para llegar a ellas. En cambio, ocurre lo contrario en los problemas cotidianos.

Segn el tipo de tarea:

Se pueden dividir en problemas cualitativos y problemas cuantitativos.

Se entiende por problemas cualitativos aquellos que en su resolucin no se precisa recurrir adeterminaciones numricas, debiendo resolverse de forma verbal/escrita, normalmente se refieren a lainterpretacin cientfica de fenmenos reales.

Por el contrario, los problemas cuantitativos, o simplemente "problemas", exigen clculos numricosefectuados a partir de las ecuaciones correspondientes y de los datos disponibles en el enunciado.

Segn la naturaleza del enunciado y caractersticas del proceso de solucin:

Se pueden dividir en problemas cerrados y problemas abiertos. Los problemas cerrados son aquellastareas que contienen toda la informacin precisa y son resolubles mediante el empleo de un ciertoalgoritmo por parte del solucionador.

Los problemas abiertos, por el contrario, implican la existencia de una o varias etapas en su resolucinque deben ser aportadas por el solucionador mediante la accin de pensamiento productivo. Bajo estecriterio, los problemas cualitativos pueden ser considerados en la mayora de los casos como problemasabiertos y los cuantitativos como cerrados. (Palacios, 1993 ).

Otro elemento a tener en cuenta son las variables a considerar en la resolucin de problemas. stas seagrupan entorno a:

La naturaleza del problema:

Las variables que se contemplan fundamentalmente se refiere a los aspectos formales del problema, talescomo: precisin, estructura, y lenguaje del enunciado, complejidad y tipo de tarea requerida en laresolucin, solucin abierta o cerrada, conocida o desconocida.

El contexto de la resolucin del problema:


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En este caso habra que reparar en aquellas variables que intervienen en el proceso de resolucin, sin teneren cuenta al propio resolutor. As cabra hablar de la manipulacin o no de objetos reales, la consulta o node fuentes de informacin, la verbalizacin o no de la resolucin, si se suministra o no el algoritmo puestoen juego, tiempo de resolucin, etc.

El solucionador del problema:

Se incluyen aqu las caractersticas del solucionador, tales como: conocimiento terico, habilidadescognitivas, creatividad, actitud, ansiedad, edad, sexo, etc. Igualmente se podra hablar del resolutorindividual o grupal.

La mayora de los autores coinciden en dar pautas metodolgicas para la resolucin de problemas, al estilode las dadas por Polya en su libro "Cmo plantear y resolver problemas?". (Polya, 1965). stas tienen su

basamento especial en laHeurstica y sus pasos se pueden resumir como sigue:

Comprender el problema:

Familiarizarse con el problema. Trabajar para una mejor comprensin.

El alumno debe comprender y desear resolver el problema; el problema debe escogerse adecuadamente yse debe dedicar un tiempo a exponerlo, deber ser comprendido. Se le pedir a los alumnos que interpretenel enunciado. Tambin separarn la incgnita y los datos.

El alumno debe considerar las principales partes del problema atentamente, repetidas veces, y bajo diversosngulos. Si hay alguna figura relacionada con el problema, se debe dibujar y destacar en ella la incgnita ylos datos, dar nombre a dichos elementos e introducir una notacin adecuada.

Concebir un plan.

Determinar la relacin entre los datos y la incgnita. De no encontrarse relacin inmediata puedeconsiderarse un problema auxiliar. Obtener finalmente un plan de solucin.

Se tiene un plan cuando se sabe, al menos a grosso modo, qu clculos, razonamientos, o construccioneshay que efectuar para determinar la incgnita.

Se debe cambiar, transformar o modificar el problema. Determinar si puede enunciarse el problema deforma diferente.

El problema puede ser variado mediante medios especficos, tales como: la generalizacin, laparticularizacin, el empleo de analogas, y el descartar una parte de las condiciones.

Si no se puede resolver el problema propuesto, se debe tratar de resolver primero algn problemarelacionado con l.

Ejecutar el plan y comprobar cada paso.

Para ejecutar el plan hace falta una serie de circunstancias: conocimientos ya adquiridos, concentracin,etc.

Hace falta examinar los detalles unos tras otros, para evitar cualquier error. El profesor debe insistir en quese verifique cada paso. Lo esencial es que el alumnos este seguro de la exactitud de cada paso.

El profesor debe recalcar la diferencia entre "ver"y "demostrar".

Examinar la solucin obtenida.

Visin retrospectiva, verificar el resultado, ver si se puede obtener el resultado de forma diferente, y si sepuede emplear el resultado o el mtodo en otro problema.


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Aunque el alumno haya llevado a cabo su plan y obtenido la solucin es recomendable verificarla. Alreconsiderar la solucin se obtiene la oportunidad de investigar las relaciones para no dar la impresin deque los problemas matemticos no tienen relacin entre s, ni con el mundo fsico.

Debe verse en qu caso si es posible utilizar de nuevo el mismo proceso de razonamiento o aplicar elresultado obtenido.

Los estudios sobre la resolucin de problemas han atrado la atencin de los investigadores de los msvariados campos.

La resolucin de problemas se viene tratando desde tiempos remotos. As, se tiene, por ejemplo, que:"Descartes en el siglo XVII conjetur la existencia de reglas bsicas para cualquier tipo de problema. Ensus libros "Rules for the direction of mind"y posteriormente en "Discurse on the Method" presentestrategias generales las cuales contenan reglas especficas para resolver problemas. (Santos, 1992)

Resolver problemas ha sido reconocido como un componente importante en el estudio del conocimientomatemtico.

Destacadas personalidades de esta disciplina se han pronunciado a favor de la resolucin de problemas,

entre ellos cabe citar a: Halmos, Kleiner y Diudonn. La esencia de estos planteamientos radica enreconocer la resolucin de problemas como el eje central de las Matemticas.

Kleiner enfatiz que el desarrollo de conceptos y teoras matemticas se originan a partir de un esfuerzopor resolver un determinado problema. Diudonn reconoci que "la historia de las Matemticas casisiempre se origina en un esfuerzo por resolver un problema especfico" (Santos, 1992 ,p.16).

La aparicin en 1945 del libro titulado "How to solve it?", del matemtico de origen hngaro GeorgePolya, supuso el nacimiento de una nueva doctrina. Aunque estas ideas, no tienen buena acogida hasta ladcada del 70, que es que se puede afirmar que comienza el movimiento a favor de la enseanza de laresolucin de problemas, como tal, fundamentado en el rechazo tanto de la "Nueva Matemtica" o"Matemtica Moderna", como al intento de vuelta atrs. Se comprendi, con respecto a esto ltimo, que

no era suficiente el nfasis en los ejercicios y en la repeticin, el dominio de los algoritmos y lasoperaciones bsicas, pues los alumnos tenan que ser capaces de resolver problemas complejos.

A raz de su publicacin un creciente nmero de matemticos, lgicos, pedagogos, y psiclogos se hanocupado del tema. Entre los matemticos, adems de Polya, se destacan: Schoenfeld (1985), Goldin(1985)(1987), y Miguel de Guzmn (1991).

El trabajo de Polya se centr esencialmente en la aplicacin de procesos heursticos generales en laresolucin de los mismos, teniendo en cuenta cuatros fases consideradas por l junto con preguntas quetodo resolutor debe hacerse en cada una de las fases. Estas ideas se convirtieron desde entonces en un

punto de referencia imprescindible para todo trabajo sobre el tema.

Este modelo de resolucin de problemas, ampliamente difundido entre los profesores de Matemtica,

puede servir, y as se ha utilizado en numerosas ocasiones, como un modelo para conducir la instruccinde la resolucin de problemas.

El trabajo de Schoenfeld juega un papel importante en la implementacin de las actividades relacionadascon el proceso de resolver problemas en el aprendizaje de las Matemticas. Schoenfeld fundamenta su

propuesta en lo que denomina la adopcin de un "microcosmo matemtico"en el saln de clases. Esto es,propiciar en el aula condiciones similares a las condiciones que los matemticos experimentan en elproceso del desarrollo de la Matemtica. Schoenfeld reconoce en su propuesta que, la actividad deresolver problemas es de suma importancia en el proceso de aprendizaje de esta disciplina.

Por su parte, De Guzmn al plantearse el problema de la utilizacin de juegos en la enseanza, y trassealar la semejanza de estructura entre el juego y la Matemtica, presenta un modelo para favorecer el

desarrollo heurstico a travs de los juegos basados tambin en la fases propuestas por Polya; los


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reinterpreta para mostrar la semejanza de actitudes que se dan en la realiizacin de un juego y en laresolucin de un problema matemtico.

Con esto se muestra la persistente y perdurable influencia a lo largo de los aos de las iniciales ygerminales aportaciones de Polya, as como la polarizacin de sus ideas en todos los pases.

Como afirman algunos matemticos, entre ellos Schoenfeld (1979) (1982) (1983), la instruccin en laresolucin de problemas de Matemtica se ha centrado fundamentalmente hasta la fecha, y con un xitocuestionable, en las heursticas y tcticas de resolucin. Sin embargo, se cree que no basta con ello.

Segn Schoenfeld (1989b), los principios epistemolgicos de la resolucin de problemas deben serreconocidos por los estudiantes. stos consisten en lo siguiente:

Encontrar la solucin de un problema matemtico no es el final de una empresa Matemtica, sino elpunto inicial para encontrar otras soluciones, extensiones, y generalizaciones del problema.

Aprender Matemticas es un proceso activo que requiere discusiones de conjeturas y pruebas. Esteproceso puede guiar a los estudiantes al desarrollo de nuevas ideas matemticas; es necesario consideraractividades de aprendizaje que sean consistentes con los principios epistemolgicos.

La resolucin de problemas es una aptitud cognitiva compleja que caracteriza una de las actividadeshumanas inteligentes. La teora sistemtica sobre los mecanismos de la resolucin de problemas es unavance relativamente reciente de la Psicologa Cognitiva.

Dentro de las ventajas de la resolucin de problemas se pueden citar:

Resulta un componente importante en el estudio del conocimiento matemtico.

Posibilita desarrollar conceptos y teoras matemticas, a partir de la propia resolucin del problema.

Contribuye a la solidez de los conocimientos.

Contribuye al desarrollo del pensamiento lgico y creador de los alumnos.

A su vez, tiene como limitaciones fundamentales:

La preparacin y motivacin de los alumnos para ese tipo, tan exigente, de actividad.

El tiempo disponible para trabajar con el programa.

Adems, el eje central de la resolucin de problemas es la heurstica, teniendo en cuenta los pasosmetodolgicos dados anteriormente, los cuales deberan ser utilizados por los alumnos de formasistemtica.

Sin embargo, en la enseanza de la heurstica el problema de saber cundo aplicar una heursticadeterminada es una dificultad. Existe el hecho de que, al ser las heursticas suficientemente generales

pueden no decir nada en campos donde el resolutor no tiene suficientes conocimientos.

A continuacin se ha seleccionado, de manera general, algunos problemas que pudieran dar la idea deltratamiento de la Matemtica a travs de problemas.

Ejemplos:

1-Juan tiene siete naranjas. Le da tres a Mara. Cuntas naranjas le quedan a Juan?

Ejercicios de este tipo colocan las matemticas en el contexto del mundo real, y la resolucin de tareas quetoman como modelo tales situaciones tiene, por supuesto, ms re

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