Interacción en Regresión

1.- Introducción.................................................................................................................22.- Interacción con variable moderadora cualitativa con dos niveles................................33.- Aplicación práctica.......................................................................................................53.1.-Mediante recodificación de los datos.......................................................................113.2.- Mediante macro de SPSS........................................................................................123.3.- Mediante análisis de la covarianza..........................................................................14Bibliografía......................................................................................................................20

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Interacción en regresión

1.- Introducción

Los modelos de regresión estudiados hasta el momento:

se caracterizan por presentar coeficientes de regresión constantes; esto es, los coeficientes b1, b2 ....bk permanecen fijos en sus valores para cualquier situación. Por ejemplo, si la relación entre motivación y rendimiento fuera:

entonces, por cada punto de incremento en la motivación el rendimiento mejoraría por término medio en una cantidad de 0.1 puntos, y esto independientemente de cualquier otra circunstancia. Pero supongamos que sospechamos que la personalidad en su faceta de extraversión-introversión, pueda quedar afectada en el sentido de que cuanto más extravertido mayor es esta relación, siendo menor en los introvertidos. Así:

Extrovertidos Introvertidos

Figura 1

Encontramos multitud de situaciones donde la relación entre dos variables quedan modulada por terceras variables. Por ejemplo, el efecto de los problemas sobre la depresión depende del apoyo que tenga el sujeto, en el sentido de cuanto más apoyo tiene el sujeto menos le afectan los problemas o bien, la relación entre status socioeconómico y consumo de tabaco depende del sexo, en el sentido que esta relación es positiva en las mujeres y negativa en los hombres. Decimos, entonces que existe interacción.

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De una forma esquemática, el siguiente gráfico ilustra lo que queremos decir:

Figura 2

La variable X es la variable independiente, Y es la variable dependiente, y Z la variable moderadora, en el sentido de que esta variable modula la relación entre X e Y. También podemos decir, en la medida que Z afecta a la relación entre X e Y, que nos encontramos ante un problema de relación de relaciones, en el sentido de que la relación depende de Z, como si Z fuera la variable independiente y la relación entre X e Y, la dependiente.

Vayamos a continuación a desarrollar algo más formalmente estos conceptos. Trataremos en primera instancia el caso en el que la variable moderadora es cualitativa, para tratar posteriormente el caso en el que esta variable es cuantitativa.

2.- Variable moderadora cualitativa con dos niveles

Tengamos el siguiente modelo de regresión:

Suponemos que la relación entre las variables X e Y está mediatizada por Z, esto es, el efecto de X sobre Y no es el mismo al margen de los valores de Z, sino que tal efecto depende del valor o nivel de Z. Para saber si existe o no interacción es suficiente con calcular el producto de X por Z. Así:

(1)

El conocimiento de una posible interacción, es de esta manera muy sencillo; tan sólo hay que añadir a la ecuación de regresión el producto de X y Z. La significación del coeficiente b3 nos indicará la ausencia o presencia de interacción. Obsérvese que supuesto un cierto efecto de X,

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Z

YX

si éste tiene que ver con Z, el producto tendrá un cierto peso diferente de cero, lo que no ocurrirá cuando la combinación de X y Z sea puramente aleatoria.

Otro procedimiento (que en fondo es el mismo) consiste en calcular el valor de R2 para la regresión con los dos términos independientes X y Z, y a continuación, calcular de nuevo R2

añadiendo el término de interacción. La significación del incremento en R2, nos mostrará si ha habido interacción, o lo que es lo mismo si el término de interacción proporciona una efectiva proporción de variabilidad explicada al modelo. Aplicaremos la conocida F de Snedecor:

(2)

donde:

: Proporción de varianza explicada por los tres términos del modelo : Proporción de varianza explicada por los dos términos independientes

: Grados de libertad para el modelo completo: Grados de libertad para el modelo con los dos términos independientes

Si el coeficiente b3 no es significativo (o el incremento en R2), entonces no existe interacción, y en consecuencia, hemos acabado con esta cuestión. En caso contrario, nos podemos plantear el efecto diferencial que la variable Z ejerce cuando estudiamos la relación de X con Y. A este respecto, podemos calcular el efecto de X sobre Y para los distintos valores de Z. Para ello, reestructuramos la ecuación (1) de la siguiente forma:

(3)

Si la variable moduladora Z es cualitativa con dos categorías (0 y 1), la ecuación de regresión para los valores asignados como 0 será:

(4)

Y cuando los valores de Z valgan 1:

(5)

4

A efectos de colinealidad resulta conveniente centrar las variables cuantitativas del modelo. Si asumimos que:

Entonces (4) y (5) se transforman en:

(6)

(7)

Tenemos entonces, dos ecuaciones de regresión simple. En el primer caso, la pendiente es b1 y en el segundo, (b1+b3). Puede ocurrir que uno de ellos sea significativo y no el otro, o ser ambos significativos. En cualquier caso, como ya se ha evidenciado la presencia de interacción, habrá diferencia significativa entre ambas pendientes (si fueran iguales no habría interacción), lo que nos ahorrará tener que realizar contraste entre tales pendientes para determinar cual o cuales son diferentes (que sí será necesario cuando la variable moduladora cualitativa tenga más de dos categorías).

Para conocer la significación estadística de las pendientes asociadas a tales ecuaciones, aplicaremos expresión conocida:

(8)

Para ello, deberemos conocer el error estándar de las mismas, cuyo valor genérico es:

(9)

donde es la varianza de , la varianza de y , la covarianza entre y . Para el caso concreto en que Z=0:

(10)

Obsérvese que en este caso el único componente de la pendiente es b1, y por tanto, de este único estimador será su error estándar.

Por otro lado, cuando Z=1:

(11)

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3.- Aplicación práctica.

Trabajaremos con los datos del fichero inmigracion1.sav, que hace referencia a una investigación realizada en el año 1994 en el ayuntamiento de Marbella al objeto de conocer los factores que afectaban a la depresión en un colectivo de inmigrantes (marroquíes, filipinos y senegaleses). Se estudiaron diferentes variables de carácter personal, familiar y social. Destacamos tres variables a efecto del estudio que nos proponemos: grado de depresión, problemas percibidos (vivienda, alimentación, rechazo social...etc) y apoyo recibido (0: no apoyo, 1: apoyo). Una referencia más detallada de este trabajo puede encontrarse en http://www.psicothema.com/pdf/486.pdf

Interesa conocer la influencia amortiguadora del apoyo social en el efecto que las dificultades de adaptación (problemas) ejercen sobre el estado de ánimo (depresión). Una primera aproximación, siempre conveniente, es a través de los recursos gráficos. Procederemos a una visualización de las rectas de regresión (y sus ecuaciones correspondientes) para cada uno de los contextos de apoyo. Nos dirigiremos a Gráficos/Interactivos/Diagrama de dipersión:

Indicando en Ajuste, lo siguiente:

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Obtendremos el siguiente gráfico:

Regresión lineal

0,00 2,50 5,00 7,50 10,00

Problemas totales

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

depr

esió

n

1depresión = 14,34 + 0,83 * problemaR-cuadrado = 0,08

No apoyo Apoyo

0,00 2,50 5,00 7,50 10,00

Problemas totales

1depresión = 16,30 + -0,04 * problemaR-cuadrado = 0,00

Figura 3

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Obsérvese que en el caso de los sujetos carentes de apoyos (suficientes) los problemas parecen ejercen su influencia en el estado depresivo, lo que no sucede en los sujetos con apoyo. No obstante, como siempre en estadística, no son suficientes las primeras impresiones y es necesario descender a un mayor nivel de precisión. A este respecto determinaremos las distintas rectas de regresión y la significación de sus coeficientes asociados.

A tal efecto elaboraremos un modelo de regresión donde las variables que explican la depresión sean los problemas, los apoyos, y la interacción entre apoyo y problemas. En este sentido, el modelo será:

donde:

A efectos de colinealidad se centran las variables explicativas cuantitativas. Así pues, calculemos la media en problemas y restémosla de ella misma. Tendremos la siguiente variable:

cproblemas = problemas - 6.474

A continuación, calculemos el producto de esta variable con apoyo. Tendremos el término de interacción que añadiremos como una tercera variable a problemas (centradas) y apoyo. Calculemos la ecuación de regresión con tales variables:

Coeficientesa

19.721 1.112 17.738 .000.831 .320 .313 2.597 .010

-3.655 1.411 -.195 -2.591 .010-.866 .408 -.253 -2.125 .035

(Constante)Problemas (centrada)ApoyoProblemas*Apoyo

Modelo1

B Error típ.

Coeficientes noestandarizados

Beta

Coeficientesestandarizad

ost Sig.

Variable dependiente: Depresióna.

Tabla 1

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Se observa que todas las variables explicativas, incluyendo el término de interacción, tienen un efecto significativo. En este sentido la ecuación de regresión será:

(12)Reestructurando dicha expresión:

Cuando el sujeto carece de apoyo suficiente (Z=0), el efecto que los problemas (X) ejercen sobre la depresión será:

(13)Y cuando dispone de apoyo suficiente (Z=1):

(14)

¿Cómo interpretar los distintos coeficientes de regresión de la ecuación (12)?. Más fácilmente a la luz de las ecuaciones (13) y (14).

19.721 es el grado de depresión cuando todas las variables explicativas valen cero. Aquí hay que tener en cuenta que la variable problemas está centrada, lo que significa que su valor de cero es precisamente el valor de la media, o sea que 19.721 es el valor esperado en depresión para las personas sin apoyo y con 6.474 puntos en problemas (su valor medio). En este sentido obsérvese que las ecuaciones de regresión de la figura 3 no están centradas.

0.831 es el incremento en depresión por cada unidad de incremento en problemas, y todo ello en ausencia de apoyo (apoyo=0).

-3.655 es la disminución en depresión cuando hay apoyo (apoyo=1) y para la media en problemas (problemas=0, en diferenciales o centradas). Obsérvese que en este caso la depresión pasa de 19.721 a 16.066

-0.866 hace referencia al cambio en el efecto de los problemas cuando hay apoyo. Como en ausencia de apoyo el efecto de los problemas es 0.831, en la presencia de apoyo el efecto será = 0.831-0.866 = -0.035, es decir, con apoyo los problemas dejan de tener efecto sobre la depresión.

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Sabemos por la tabla 1 que existe interacción, y conocemos por las ecuaciones (11) y (12) el efecto de los problemas sin y con apoyo. Si deseamos profundizar algo más en aspectos formales nos detendremos en la significación estadística de los coeficientes de regresión para las distintas condiciones de apoyo. A este respecto aplicaremos la siguiente expresión:

Conocemos los coeficientes, y procederemos al cálculo de los errores tipos asociados a los mismos. Nos dirigimos a Regresión Lineal/Estadísticos, y marcamos en matriz de covarianzas:

Obtendremos:

Correlaciones de los coeficientesa

1.000 .190 -.785.190 1.000 -.090

-.785 -.090 1.000.102 .086 -.102.086 1.990 -.052

-.102 -.052 .166

Problemas (centrada)ApoyoProblemas*ApoyoProblemas (centrada)ApoyoProblemas*Apoyo

Correlaciones

Covarianzas

Modelo1

Problemas(centrada) Apoyo

Problemas*Apoyo

Variable dependiente: Depresióna.

Vayamos a la ecuación de regresión entre problemas y depresión cuando la variable apoyo vale 0:

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El error estándar asociado a tal coeficiente será:

Valor que obtenemos directamente de la tabla 1, sin necesidad de la matriz de varianzas covarianzas. La significación estadística, según se observa en dicha tabla es 0.01. Concluiremos con un riesgo de equivocarnos de 0.01 que los problemas conllevan un incremento en el estado depresivo de tales inmigrantes.

Por otro lado, en presencia de apoyo, la ecuación es:

En este caso la situación es algo más compleja, ya que el coeficiente de regresión asociado a la variable X (-0.035) es la suma de 0.831 y -0.866, esto es, los coeficientes b1 y b3. Considerándolos, la expresión del error estándar de este coeficiente compuesto por una suma de coeficientes será:

En consecuencia, la significación de dicho coeficiente:

Podemos comparar el valor 0.140 con el de las tablas, que al nivel de 0.05 vale 1.96 (muestra grande), o bien, si deseamos ser más exactos, buscando en cualquier tabla on-line, como en http://math.uc.edu/%7Ebrycw/classes/148/tables.htm#t, donde obtendremos que la probabilidad asociada es 0.888, valor muy superior a 0.05. Dicho coeficiente no es estadísticamente diferente de cero.

3.1.-Mediante recodificación de los datos

Otra solución para resolver la interacción con cualitativas sin tener que realizar estos últimos cálculos para la determinación e incluso sin tener que recomponer las ecuaciones de la forma expuesta en (12), consiste en hacer una nueva codificación de las variable dicotómica dando el valor de 1 a la que anteriormente era 0 y viceversa. La lógica reside en que tanto el coeficiente de regresión de X como su error estándar asociado, cuando Z=0, es todo lo que necesitamos, sin más operaciones. En este caso, la presencia de apoyo se codifica como 0 y la

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ausencia como 1. Calculamos el nuevo término de interacción problemas*apoyo, y obtendremos la siguiente salida del SPSS:

Coeficientesa

16.066 .868 18.506 .000-.036 .253 -.013 -.141 .8883.655 1.411 .195 2.591 .010.866 .408 .203 2.125 .035

(Constante)Problemas (centrada)apoyo2problemaxapoyo2

Modelo1

B Error típ.

Coeficientes noestandarizados

Beta

Coeficientesestandarizad

ost Sig.

Variable dependiente: Depresióna.

Obsérvese que ahora el coeficiente asociado a problemas es precisamente el calculado anteriormente. Igualmente con su error tipo, valor de t y significación. Todo ello sin necesidad de cálculos adicionales que puedan inducir a error.

3.2.- Mediante macro de SPSS.

Mostraremos a continuación un procedimiento alternativo en el que tan sólo se nos exige definir las variables que deseamos estudiar. Se trata de una macro del SPSS (conjunto de instrucciones en SPSS), denominada simple2, y elaborada por el profesor Jason T. Newsom de la Universidad de Portlan, que se encuentra en Internet, en la dirección http://www.upa.pdx.edu/IOA/newsom/macros.htm . Esta macro nos evita todo los cálculo anteriores y nos proporciona además una salida gráfica de las distintas ecuaciones de regresión. No es necesario centrar la variable cuantitativa, ni generar la nueva variable correspondiente al término de interacción. Tan sólo es necesario definir la variable cualitativa como 0 y 1 (ausencia y presencia). Así en el caso que nos ocupa, crearemos la siguiente sintaxis del SPSS:

COMPUTE x=problema. COMPUTE z=apoyo. COMPUTE y=depresion. INCLUDE 'C:\interaccion\simple2.sps'. SIMPLE2 VARS= .

En las tres primeras líneas se indican cuál va a ser la variable independiente cuantitativa (x), la variable moduladora cualitativa (z) y la variable dependiente (y). En la cuarta línea se llama a la macro para su ejecución en el lugar donde se encuentre; aquí en el disco C, carpeta interacción. Por último este programa permite operar con covariables. Aquí no se hace por lo que se deja vacío (un vacío) tras VARS= . Los resultados más relevantes para el caso que estamos tratando:

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Coeficientesa

19.721 1.112 17.738 .000.831 .320 .313 .121 2.597 .010

-3.655 1.411 -.195 .075 -2.591 .010-.866 .408 -.253 .119 -2.125 .035

(Constante)xzxz

Modelo1

B Error típ.

Coeficientes noestandarizados

Beta Error típ.

Coeficientesestandarizados

t Sig.

Variable dependiente: ya.

Unstandardized Simple Slopes for X b at Z = 0: .83 at Z = 1: -.04

Significance SE t-value p-value at Z = 0: .32 2.60 .010 at Z = 1: .25 -.14 .888

Igualmente, proporciona la siguiente salida gráfica, donde se observa las ecuaciones de regresión tanto para los sujetos con apoyo como para aquellos que carecen de él:

-4 0 4

x

16

18

20

22

Valo

r

lowz

highz

LOWZ is Z= 0 group, HIGHZ is Z = 1 group

Simple Slopes for Y on X at Values of Z

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3.3.- Mediante análisis de la covarianza.

El tema de la interacción con cualitativas puede plantearse también desde la perspectiva de análisis de la covarianza, donde se viola, y se estudia, en consecuencia, la constancia del efecto de la covariable sobre el factor. Se analiza, para ello, el efecto que la covariable ejerce sobre los diferentes niveles de la variable de agrupamiento. Un estudio detallado para la interacción entre variables continuas y categóricas se ilustra en la siguiente dirección de la Universidad de California: http://www.ats.ucla.edu/stat/spss/library/hetreg.htm#heading8.

Para nuestros propósitos inmediatos, para ver cómo afecta la covariable, esto es, si existe interacción, recurriremos a Modelo lineal general/Univariante, indicando las siguientes variables:

En Modelo, especificamos que nos interesa la interacción de apoyo*problemas:

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Los resultados:

Pruebas de los efectos inter-sujetos

Variable dependiente: Depresión

1298.219a 3 432.740 5.549 .00150195.509 1 50195.509 643.676 .000

523.508 1 523.508 6.713 .010296.662 1 296.662 3.804 .053352.182 1 352.182 4.516 .035

13179.064 169 77.98369063.000 17314477.283 172

FuenteModelo corregidoIntersecciónapoyocprobapoyo * cprobErrorTotalTotal corregida

Suma decuadrados

tipo III glMedia

cuadrática F Significación

R cuadrado = .090 (R cuadrado corregida = .074)a.

Obsérvese en primer lugar cómo existe interacción entre apoyo y problemas (apoyo*cprob), con la misma significación que en el modelo de regresión (probabilidad=0.035).

Si deseamos estudiar por separado el efecto de los problemas con y sin apoyo, deberemos primeramente segmentar el archivo en la variable apoyo, con lo que crearemos dos bloques de datos (los que tienen apoyo y los que no lo tienen) e indicarle a continuación que en los análisis posteriores compare ambos grupos. Así, en Datos/Segmentar archivo:

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A continuación ejecutamos de nuevo el Modelo Lineal General, pero esta vez con la especificación de que opere con el grupo de apoyo y no apoyo. En primer lugar, haremos como anteriormente:

Ahora en el modelo no contemplamos la variable apoyo, que es obviamente constante en cada uno de los grupos (no tiene ningún efecto) y por tanto, tampoco la interacción. Así pues, en Modelo indicaremos:

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También le indicaremos que nos estime los parámetros para cada uno de los grupos en Opciones:

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Obtendremos primeramente los modelos por separado para no apoyo y apoyo, donde se observa que los problemas tienen efecto sólo entre los sujetos que no tienen apoyo, con la misma significación que en la Regresión:

Pruebas de los efectos inter-sujetos

Variable dependiente: Depresión

525.922a 1 525.922 5.699 .02024537.267 1 24537.267 265.892 .000

525.922 1 525.922 5.699 .0205998.376 65 92.283

34456.000 676524.299 66

1.548b 1 1.548 .022 .88126707.985 1 26707.985 386.820 .000

1.548 1 1.548 .022 .8817180.688 104 69.045

34607.000 1067182.236 105

FuenteModelo corregidoInterseccióncprobErrorTotalTotal corregidaModelo corregidoInterseccióncprobErrorTotalTotal corregida

Apoyo.00

1.00

Suma decuadrados

tipo III glMedia

cuadrática F Significación

R cuadrado = .081 (R cuadrado corregida = .066)a.

R cuadrado = .000 (R cuadrado corregida = -.009)b.

Cuando no hay apoyo, el efecto de los problemas tiene un valor de R2=0.081, con una significación de 0.02. Por el contrario, con apoyo, deja de tener efecto los problemas. Incluso, nos ofrece las ecuaciones de regresión (estimación de parámetros) correspondientes:

Estimaciones de los parámetros

Variable dependiente: Depresión

19.721 1.209 16.306 .000 17.305 22.136.831 .348 2.387 .020 .136 1.525

16.066 .817 19.668 .000 14.446 17.686-.036 .238 -.150 .881 -.507 .436

ParámetroInterseccióncprobInterseccióncprob

Apoyo.00

1.00

B Error típ. t Significación Límite inferiorLímite

superior

Intervalo de confianza al95%.

Equivalentes a las obtenidas en (11) y (12).

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Como resumen de lo anterior y para una mayor facilidad en los distintos cálculos del Modelo Lineal General ofrecemos la siguiente sintaxis equivalente a lo realizado mediante los cuadros de diálogo del SPSS:

glm depresion by apoyo with cprob/design apoyo cprob apoyo*cprob.sort cases by apoyo.temporary.split file by apoyo.glm depresion by apoyo with cprob/design cprob/print = parameter.

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Bibliografía

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Dear, K. & Brennan, R. (1999). SurfStat statistical tables. Dirección Internet: http://math.uc.edu/%7Ebrycw/classes/148/t.

Jaccard, J, Turrisi, R. and Wan, C. K 1990. Interaction Effects in Multiple Regression. Newbury Park, CA: Sage  Publications.

Martínez García, M. F., García Ramírez, M., y Maya Jariego, I (2001). El Efecto Amortiguador del Apoyo Social Sobre la Depresión en un Colectivo de Inmigrantes. Psicothema. Vol. 13. Núm. 4. Pag. 605-610. Disponible también en: http://www.psicothema.com/pdf/486.pdf.

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