tensorial01

7/28/2019 tensorial01

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PRODUCTO TENSORIAL DE ESPACIOSVECTORIALES

1. Producto Tensorial.2. El Funtor Producto Tensorial.3. Propiedades del Producto Tensorial.4. lgebra Tensorial de un Espacio Vectorial.5. El Funtor lgebra Tensorial.

1. Producto Tensorial:

Consideremos los n espacios vectoriales V1, ..., Vn, sobre el cuerpo conmutativo K,y sea la categora cuyos objetos son los pares (f,T), donde T es un k-espaciovectorial y f:V1x...xVnTes una aplicacin multilineal, tales que si (f,T) es otroobjeto de la categora , entonces todo morfismo del conjunto ( ) ( )( )',',, TfTf esun homomorfismo g:TTtal que f=g.f.

Definicin 1:

Se denominaproducto Tensorialde los k-espacios vectoriales V1,...,Vn a un objetoinicial (f,T) de la categora . El espacio vectorial T se denomina tambinproductotensorial de V1,...,Vn, y se denota por

),...,(

1

... 11 nin VVTV

i

n

VVT =

=

==

Definicin equivalente a la anterior:

Un Producto Tensorial de los k-espacios vectoriales V1,...Vn, es un k-espacio vectorial T junto con unaaplicacin multilineal

);,...,( 1 TVVLf nn tal que para todo k-espacio vectorial T y toda

)';,...,(' 1 TVVLf nn , se cumple que)',( TTHomg nico tal que el

tringulo de la figura es conmutativo,es decir, f=g.f.

Proposicin 1:

Si (f, T) es un producto tensorial de los k-espacios vectoriales V1,...,Vn, entonces

se verifica que TxVxVf n )...( 1 genera T.


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2

Demostracin:

Sea TA el subespacio de T engendrado por

)...( 1 nxVxVfy

( )AVVLf nn ;,...,' 1tal que e.f=f, donde

es TAe : la identidad sobre A. Por tanto, existe unnico ATg : tal que

'ffg =o

Premultiplicando por e resulta: ffefge == 'ooo .Considerando el segundo diagrama: existe un nicohomomorfismo (la identidad) i:TT tal que i.f=f. Perotambin es: e.g.f=f por lo que e.g=i lo que implica quee es sobreyectiva, por lo que A=T

Proposicin 2 (unicidad):

Si (f,T) y (f,T) son productos tensoriales de los k-espacios vectoriales V1,...,Vn,existe un nico isomorfismo j:TT tal que 'ffj =o .Demostracin:

Puesto que ( ) ( )';,...,';,..., 11 TVVLfyTVVLf nnnn se tiene que existen homomorfismos j:TT y k:TT,nicos, tales que

'.'..

'...

'.

'.

ffjfkj

ffkfjk

ffk

ffj

==

==

=

=

Observando este segundo diagrama, se tiene queexiste un nico homomorfismo (la identidad) iT:TT

tal que i.f=f. Pero tambin hemos visto que:Tijkffjk == ...

Anlogamente obtendramos que Tikj =. . Y deambas, que j=k-1 es un isomorfismo.

Proposicin 3 (existencia):

Dados los k-espacios vectoriales V1, ..., Vn, existe su producto tensorial.

Demostracin:


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3

Consideremos el k-mdulo libre (i, F) sobre el conjunto nxVxV ...1 , que es,

evidentemente, un k-espacio vectorial. Y sea N el subespacio vectorial engendradopor los elementos del tipo siguiente:

( ) nininii xxxixxxixxxxi ,...,...,.,...,...,.,...,...,'

11

'

1 +

Y sea NFT /= con la proyeccin natural p:FT. Sea TxVxVipf n = ...:. 1 .Vamos a probar que (f, T) es un producto tensorial de V1, ..., Vn.

1) Veamos que f es multilineal:

[ ] [ ] [ ][ ] 0),...,,...,(),...,,...,(),...,,...,(

),...,,...,(.),...,,...,(.),...,,...,(

),...,,...,(.),...,,...,(.),...,,...,(

'

11

'

1

'

11

'

1

'

11

'

1

=+=

=+=

=+

nininii

nininii

nininii

xxxixxxixxxxip

xxxipxxxipxxxxip

xxxfxxxfxxxxf

Por tanto, es ),...,,...,(.),...,,...,(.),...,,...,( '11'

1 nininii xxxfxxxfxxxxf +=+ y es faplicacin multilineal.

2) (f,T) es un producto tensorial:

Sea ( )EVVLg nn ;,...,1 . Como (i,F) es un k-mdulo libre, EFj : tal quegij =o

[ ][ ] [ ] [ ]

0),...,,...,(.),...,,...,(.),...,,...,(

),...,,...,(),...,,...,(.),...,,...,(

),...,,...,(.),...,,...,(.),...,,...,(

'

11

'

1

'

11

'

1

'

11

'

1

=+=

=+=

=+

nininii

nininii

nininii

xxxgxxxgxxxxg

xxxijxxxijxxxxij

xxxixxxixxxxij

Esto nos indica que )( jKerN , lo que implica que j induce un homomorfismoh:TEtal que jph =o , por lo que en el siguiente diagrama se verifica que:

gijiphfh === oooo

3) h es nico:

Sea k:TEcualquier homomorfismo de espacios vectoriales que satisfaga gfk =o .Como TxVxVf n )...( 1 genera a T, entonces, cualquier elemento de T puede

escribirse como combinacin lineal de elementos de )...( 1 nxVxVf :

=

= r

i

niii xxftTt1

1 ),...,(.,


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4

lo cual nos indica que

= =

====r

i

r

i

nini hkthxxgxxfktk1 1

11 )(),...,(.),...,(..)(

Por tanto, (f,T) es un producto tensorial de los espacios vectoriales V1,...,Vn.

Nota: Si (f,T) es el producto tensorial de V1, ...,Vn, como las aplicaciones multilinealesno son inyectivas ya que se tiene por ejemplo que

),...,(),...,(),...,(),...,( 1111 nnnn xxxxyxxfxxf =

nos indica que no podemos identificar V1,...,Vn con un subconjunto de iV

i

n

T

1=

=

La imagen por f del elemento nn xVxVxx ...),...,( 11 se denota por

nn xxxxf = ...),...,( 11

Como )...( 1 nxVxVf genera a T, Tt puede escribirse:

=

=r

i

niii xxt1

1 ,.... tal que jji Vx

expresin que no es nica. En particular si

nnnini IiuBIiuB n == ,,......,, 1111 1

son bases de V1,...,Vn respectivamente, un sistema de generadores de nVV ...1 sera:

jjnii IiuuB n = ,...11


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2. El Funtor Producto Tensorial:

Consideremos una familia de homomorfismos entre k-espacios vectoriales:

),...,1(: ' niVVf iii =

Se tiene, entonces, una aplicacin

)1(......: ''11 nni xVxVxVxVf

Consideremos la categora cuyos objetos son n-plas de k-espacios vectoriales ycuyos morfismos son aplicaciones del tipo (1) anterior. Sea tambin la categoracuyos objetos son los pares (f,A) donde A es un k-espacio vectorial y asimismo es

AxVxVf n ...: 1 una aplicacin multilineal entre k-espacios vectoriales, y tal que

si (f, A) es otro objeto de , todo morfismo del conjunto ( ) ( ){ }',',, AfAf es unhomomorfismo g:AA.

La operacin Producto Tensorial de n k-espacios vectoriales nos permite definir unafuncin T: integrada por dos funciones:

1) Funcin objeto:

A cada n-pla de la categora , V1,...,Vn , le hace corresponder su producto tensorial:

=

=i

n

in VfVVT

11 ,),...(

2) Funcin morfismo:

Si es ''11 ......: nni xVxVxVxVf , entonces );,...,(''

11 i

n

inni VVVLff

=o y esto implica

que'

11: i

n

ii

n

i VVh == nico tal que ifffh = oo ' . Definimos, a partir de esto:


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hfT i = )( , que denotamos de la forma nn ffffT = ...),...,( 11

Es inmediato que T es un funtor de la categora a la categora , :T ,puesto que si es

""'' ......: ninii xVxVxVxVg , entonces: ( ) )()(' iiii fTgThhfgT == ooo

El funtor T se denomina funtor producto tensorial. Si es V1=V2=...=Vn=V, sedenomina Funtor Producto Tensorial n-simo, y lo podemos indicar por Tn(V).


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7

3. Propiedades del Producto Tensorial:

Proposicin 4

Sean V1,...,Vn, E n+1 k-espacios vectoriales. Entonces:

1) ( )EVVLEVHom nnin

i;,...,, 1

1

=

2) [ ] ( )kVVLVV nnn ;,...,... 1*

1

Demostracin:

1) Sea in

in VxVxVf

11 ...:

= la aplicacin tensorial. Se tiene que:

( )EVVLgfhEVHomh nnin

i;,...,, 1

1=

=o

Queda as definida una aplicacin ( )EVVLEVHom nnin

i;,...,,: 1

1

= que se prueba

fcilmente es un homomorfismo. Puesto que por hiptesis:

( ) gfhEVhEVVLg in

inn =

=

o/:,;,...1

1

es claro que el homomorfismo es un isomorfismo, como se pretenda probar.

2) Es consecuencia de 1). Bastara hacer E=k.

Proposicin 5:

Sean V1,...,Vn k-espacios vectoriales. Entonces:

1) 111 VkVkV .2) Sea ( )( ) ;;,...,1 nVV un producto tensorial construido combinando

adecuadamente V1,...,Vn (en este rden), parntesis y el smbolo . Se tiene

que existe un isomorfismo:

( )( ) nn VVVV ...;;,...,: 11 llamado isomorfismo de asociatividad, tal que si ii Vx es:

( )( ) nn xxxx ...;;,...,: 11

3) Existe un nico isomorfismo, llamado isomorfismo de conmutatividad, talque

Demostracin:


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1) Sea la aplicacin bilineal 11: VxkVg tal que KdVxdxdxg = ,,),( 1 .En tales condiciones existe un nico homomorfismo h:

gfhVkVh = o/: 11 en el tringulo anejo.

Como = 1,)1,( Vxxxg g es suprayectiva esepimorfismo.

Para probar que ha es isomorfismo consideremos que 111 ,...,, VxxxkVt n y

tambien kn ,...,1 tales que

( ) ( ) ( )===

===n

i

ii

n

i

ii

n

i

ii xxxt111

11

( ) ====

=

=

=

=

n

i

ii

n

i

ii

n

i

ii

n

i

ii xxgxfhxhth

1111

1,1,1)(

Por tanto, === 000)( ttth h es monomorfismo 11 VkV

Un razonamiento anlogo prueba que 11 VVk

2) Aqu nos limitaremos a probar el caso de n=3, y tambin se cumple que

( )( ) ( ) 321321 ;;,, VVVVVV =

Se tiene:

- La aplicacin ( ) 321321: VVVxVxVVg , tal que( ) zyxzyxg =),,( es trivialmente multilineal.- La aplicacin, 321213 :, VVVxVVbVz z , tal que

zyxyxbz =),( es trivialmente multilineal. Esto implica que

existe un homomorfismo nico 32121: VVVVVbz

, tal que es

zyxyxbz =

)(

- La aplicacin ( ) 321321:' VVVxVVVg , definida por

( ) ( ) ==

)()(),(' iiiiiiiziii zyxcyxcbzyxcg


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es, por todo lo dicho, una aplicacin bilineal.

- Como consecuencia, existen h, h, homomorfismos nicos tales que

( ) zyxzyxgzyxfhzyxhgfh ==== )(),,(),,(..

( ) ( ) ( ) zyxzyxgzyxfhzyxhgfh ==== ),'),(''.)(''''. Veamos que h.h.f=f:( ) ),,()(')('.),,(.'. zyxfzyxzyxhzyxhhzyxfhh ====

- En el segundo diagrama existe un solo homomorfismo i (identidad)tal que i.f =f. Pues ihhffhh == '..'. . Anlogamente, siconsideramos ( ) 321 VVV en lugar de 321 VVV obtendramos

ihh ='. , y de ambas que h=h-1es un isomorfismo, como se pretendademostrar.

Para n>3 y combinaciones distintas a la no considerada aqu, la

demostracin es anloga, aunque obviamente ms laboriosa.

3) Es anlogo al caso anterior 2). Basta considerar el diagrama siguiente, endonde se verifica que

21 ,,),(',),( VyVxyxxygxyyxg ==

Proposicin 6:

Si los k-espacios vectoriales A y B son descomponibles en suma directa de espacios

BBAANM

== ,

Entonces se verifica que

BASBA =,

Demostracin:


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Sean los dos homomorfismos de inclusin BBjAAi :,: junto con su

producto tensorial: BABAji : . Por definicin, Ss es:

=F

xs

,

, donde MxNF es finito y BAx

Definamos el homomorfismo BASh : tomando:

( )

=F

xjish

,

)()(

Consideremos las proyecciones naturales: BBqAAp :,: junto con su

producto tensorial BABAqp : . La aplicacin

SBAk : tal que ( ) =

,

)()( baqpbak

es trivialmente un homomorfismo. Vamos a probar que h.kes el homomorfismoidentidad sobre AB. Sean ., BbAa Entonces:

( )[ ] ( ) ( )( )

( )[ ] ( )[ ]{ } ( ) ( ) babqjapibqjapi

baqpjibaqphbakh

=

==

==

=

)(.)(.)(.)(.

)()(

,

,,

Como el conjunto { }ba genera khBA . es el homomorfismo identidad sobreBA . Para probar que k.h es el homomorfismo identidad sobre S, sean

BbAaNM ,,, arbitrariamente dados. Entonces:

[ ] ( )[ ] ( ) ( )( )[ ]

( ) ( ) babjqaip

bajiqpbajikbahk

=

=

===

)(.)(.

)()(,

Como { }ba genera S k.h es el isomorfismo identidad sobre S h,k son

isomorfismos y la proposicin queda probada.n

Corolario:

Sean B1,...,Bn bases de los k-espacios vectoriales V1,...,Vn respectivamente.Entonces jjnii IiuuB n = ,...11 es una base de nVV ...1 .

Demostracin:

Por la anterior proposicin es inmediato que21 21 ii

uu es una base de 21 VV ya

que jjii IiuuVV ,21 2121 . Supngase el corolario cierto para n-1 y


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vamos a probarle para n. Hacemos nn VBVVA == ,... 11 . Por la proposicin

precedente, la familiann niini

uuu 11 ,11

... es una base BA . Si aplicamosahora el isomorfismo de asociatividad (proposicin 5) resulta inmediatamente que Bes una base de nVV ...1 .

Es inmediato que ( ) nn VVVV dim.....dim...dim 11 = .

En particular si es VVV n === ...1 y es { }ruuB ,...,1= una base de V, una base delproducto tensorial Tn(V) ser:

nrjnii VRiuu n ,,..., ,1

donde = nrn VRii ,1 ),...,( variaciones n-arias con repeticin de los elementos (1,..r)


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4. lgebra Tensorial de un Espacio Vectorial:

La suma directa )()(0

VTVT rr

== es obviamente un espacio vectorial N-graduado.

Vamos a probar en lo que sigue que, definiendo cierta operacin, T(V) es un lgebratensorial del k-espacio vectorial V.

Sea la categora cuyos objetos son pares (f, A) donde A es una k-algebraasociativa y unitaria y f es un homomorfismo de k-espacios vectoriales f:VA, y estal que si (f, A) es otro objeto de , todo morfismo g del conjunto{ })','(),,( AfAf es un homomorfismo de k-lgebras g:AA tal que g.f=f yg(1)=1.

Definicin 2:

Un lgebra tensorial del k-espacio vectorial V es un objeto inicial de la categora .La k-algebra asociativa y unitaria T se denomina tambin lgebra tensorial de V.

Definicin equivalente a la anterior:

Un lgebra tensorial del k-espacio vectorial Ves una k-algebra asociativa y unitariaT junto con un homomorfismo de k-espacios vectoriales TV : tal que paratoda k-algebra asociativa y unitaria T y todo homomorfismo de k-espaciosvectoriales ':' TV exista un solo homomorfismo de k-algebras g:TTy g(1T)=1T,y .' g=

Proposicin 7:

Si ),( T es un lgebra tensorial de V, entonces el conjunto { }1)( = VA engendraa T.

Demostracin:

Es anloga a la Proposicin 1. Basta considerar M sublgebra de T engendrada porA.

Proposicin 8 (unicidad):

Si ),( T y )','( T son dos lgebras tensoriales de V, existe un nico isomorfismo

de k-lgebras j:TT tal que '. =j

Demostracin:

Anloga a la Proposicin 2.


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Proposicin 9 (existencia):

Existe un lgebra tensorial del k-espacio vectorial V.

Demostracin:

La demostracin consiste en su construccin, que haremos sobre el k-espaciovectorial T(V).

- 1) Para que T(V) sea un k-lgebra asociativa y unitaria es precisodefinir en T(V) una nueva operacin o aplicacin T(V)xT(V)T(V) quesea bilineal, asociativa y unitaria. Aprovecharemos para ello elisomorfismo de asociatividad del producto tensorial (Proposicin 5).

Existe un nico isomorfismo )()()(: VTVxTVT srsr + tal que:

( ) ( )[ ] )(............ 1111 VTyyxxyyxxsr

srsr

+=

Este isomorfismo nos permite definir una aplicacin bilineal :

)()()(: VTVxTVT srsr +

tal que:

( ) ( ) ( )

sr

srsr

yyxx

yyxxyyxx

=

==

......

.........,...

11

1111

que es asociativa, pues:

( ) ( ) ( )

tsr

tsr

zzyyxx

zzyyxx

=

=

.........

.........

111

111

( ) ( ) ( )

tsr

tsr

zzyyxx

zzyyxx

=

=

.........

.........

111

111

Adems, trivialmente se verifica que ( ) rr xxxx =

...1... 11

Como )(VTx es: = rr xcx . tal que )(, VTxkc rrr , laaplicacin )()()( VTVxTVT que buscamos, denotada tambin por

, es:

( ) )(., VTxxccxcxc srsrssrr =

Conclusin:

+

,),(VT es un k-lgebra N-graduada asociativa

y unitaria.


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- 2) Sea )(: VTV tal que )()(')(, VTVTxxVx = . Vamos aprobar que el par ( ))(, VT es un lgebra tensorial de V. Sea (g, A)otro objeto de la categora y vamos a demostrar que existe un solohomomorfismo de k-lgebras AVTh )(: tal que 1)1( =h y que

gh =. :

a) Definimos h(1)=1.b) El homomorfismo de espacios vectoriales AVg : , puede

ampliarse hasta una aplicacin r-lineal AVg rr : , definidapor

( ) )()...(,..., 11 nnr xfxgxxg =

Puesto que ( ))(, VTf rr es un producto tensorial r-simo de V,lo que implica que existe un nico homomorfismo de

espacios vectoriales AVTh rr )(: tal que rrr gfh =. y, por

tanto, tal que:)()...(),...,(),...,(.)...( 1111 rrrrrrrr xgxgxxgxxfhxxh ===

c) Consideremos la aplicacin AVTh )(: tal que se cumpla

( ) )(.,)(.. VTxcxhcxch rrrrrrr =

se prueba trivialmente que est bien definida y que es unhomomorfismo de k-lgebras unitarias tal que 1)1( =h y que

gh =. .

- 3) Veamos que h as definido es nico. Si hubiese otro( )AVTHomk ),( tal que gkk == .,1)1( , debera ser:

( )===

===

)(...)()(...)(

)(...)()(...)(...

11

111

rr

rrr

xhxhxgxg

xkxkxkxkxxk

Como la familia { } ,,...1 Nrxx r es un sistema de generadoresde T(V), lo que implica que k=h, y por tanto es nico.

Queda as probado que ( ))(, VT es un lgebra tensorial de V.


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5. El Funtor lgebra Tensorial:

Sea la categora cuyos objetos son k-espacios vectoriales y cuyos morfismos sonhomomorfismos de k-espacios vectoriales. Sea la categora cuyos objetos sonpares (f,A) donde f:VA es un homomorfismo de k-espacios vectoriales, V un k-

espacio vectorial, y A un k-lgebra arbitrario y tal que si (f,A) es otro objeto de todo morfimo del conjunto ( ) ( ){ }',',, AfAf es un homomorfismo de k-lgebrasg:AA.

La operacin lgebra tensorial nos permite definir una funcin T: integrada pordos funciones:

1) Funcin objeto:

A cada objeto V de adjudica su lgebra tensorial ( ) )(, VT

2) Funcin morfismo:

Si ':,', VVfVV , entonces )'(:'. VTVf es un homomor-fismo de k-lgebras tal que .'. hf = Definimos:

( ) ( ){ }= )'(,',)(,)( VTVThfT

Es trivial comprobar que la funcin :T es un funtor.

En efecto, si g:VV, entonces:

( ) ( ){ }( ) ( ){ }=

==)(,,)(,)(

)"(,",)(,)().('.).(VTVTiiT

VTVTfTgThhfgT

dd

Esto implica que T es un funtor covariante, que se llama Funtor lgebra Tensorial.

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