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Matemáticas DiscretasL. Enrique Sucar
INAOE
Teoría de Grafos
Problema de los puentes de Königsberg [Euler]
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Teoría de Grafos
• Definición y terminología• Tipos de grafos• Trayectorias y circuitos• Isomorfismo• Árboles• Cliques• Grafos triangulados
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Definición
• Un grafo es una representación gráfica de objetos y relaciones binarias entre éstos
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Definición
• Grafo no-dirigido: es un par ordenado (V, E), donde V es un conjunto de nodos y E es un multi-conjunto 2 elementos de V (orillas o arcos)
• Grafo dirigido: es un par ordenado (V, E), donde V es un conjunto de nodos y E es una relación binaria en V
G = (V, E)Ei = (Vj, Vk)
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Definiciones
Ei = (Vj, Vk)• Vj es adyacente a Vk
• El grado de un nodo V es el número de orillas incidentes en V
• Teorema 1: el número de vértices de grado impar en un grafo es par
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Definiciones
• Dos orillas asociadas al mismo par de vértices son orillas paralelas
• Una orilla incidente en un solo vértice es un ciclo
• Un vértice que no es incidente en ninguna orilla es un vértice aislado
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Tipos de Grafos• Grafos no-dirigidos• Grafos dirigidos• Grafos de cadenas (chain graphs) – dirigido y no dirigido• Grafo simple – no tiene ciclos ni arcos paralelos• Multigrafo – no hay restricciones en el # de arcos entre nodos• Grafo completo – arcos entre cada par de nodos• Grafo bipartita – dos subconjuntos de nodos• Grafo pesado – pesos asociados a nodos y/o arcos• Grafo acíclico dirigido (DAG) – no hay circuitos dirigidos
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Subgrafos
• G’ = (V’, E’) es un subgrafo de G = (V, E) si:– V’ es un subconjunto de V– E’ es un subconjunto de E– Los arcos en E’ son sólo incidentes en vértices
en V’
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Trayectorias
• En un grafo dirigido, una trayectoria es una secuencia de orillas, tal que el vértice inicial de cada orilla coincida con el vértice inicial de la siguiente
• Simple: no incluye la misma orilla (arco) 2 veces• Elemental: no incide en el mismo vértice (nodo) 2
veces
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Trayectorias
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Trayectorias
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Circuitos
• Un circuito es una trayectoria en que el vértice inicial coincide con el final
• Circuitos simples• Circuitos elementales
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Circuitos
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Circuitos
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Problemas de Trayectorias y Circuitos
• Encontrar si existe una trayectoria entre un par de nodos
• Encontrar la trayectoria más corta entre un par de nodos
• Encontrar trayectoria / circuitos que pasen por cada orilla una vez (Euler)
• Encontrar trayectoria / circuito que pase por cada vértice una vez (Hamilton)
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Problema de Euler
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Trayectoria y Circuitos Euler
Teorema 2• Un grafo no dirigido tiene una trayectoria
de Euler si el número de nodos de grado impar es 0 o 2
Teorema 3• Un grafo no dirigido tiene un circuito de
Euler si todos los nodos tienen grado par
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Problema del Agente Viajero
• Dado un grafo pesado con pesos asociados a cada arco, encontrar un circuito de Hamilton del menor peso (suma de los pesos de los arcos en el circuito)
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Problema del Agente Viajero
A B C
I
D E F
M
3
34
4 4
42
4
5 5
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Isomorfismo entre Grafos
• Dos grafos son isomorfos si existe una correspondencia 1:1 entre nodos y orillas de forma que se mantengan las incidencias
• Isomorfismo de subgrafos: un grafo es isomorfo a un subgrafo (subconjunto de nodos y orillas) de otro grafo
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Isomorfismo entre Grafos
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Tipos de isomorfismos
• Isomorfismo de grafos– correspondencia 1:1 entre dos grafos G1 - G2
• Isomorfismo de subgrafos– correspondencia entre un grafo G1 y los
subgrafos de G2• Doble isomorfismo de subgrafos
– correspondencia entre los subgrafos de G1 y los subgrafos de G2
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Técnicas para isomorfismo
• Búsqueda con backtracking• Búsqueda de cliques
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Búsqueda con backtracking• Se construye un árbol en el que las
trayectorias corresponden a isomorfismos:– se toma un nodo de G1 y todas sus posibles
correspondencias en G2 (primer nivel)– se buscan los nodos conectados a los nodos
correspondientes del primer nivel (segundo nivel)– se continua hasta que no existan correspondencias– las trayectorias en el árbol corresponden a
isomorfismos de subgrafos entre G1 y G2
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Búsqueda con backtracking
A/A’ A/A’’
B/B’
C/C’’
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Búsqueda de cliqués
• Cliqué: conjunto de nodos en un grafo que están todos conectados entre sí (se define más adelante)
• Algoritmo:– construir un grafo asociativo entre G1 y G2– buscar cliqués en el grafo asociativo– cada cliqué corresponde a un isomorfismo
• Grafo asociativo:– un nodo por cada par de nodos compatibles– ligas entre nodos conectado en grafos originales
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Búsqueda de cliqués
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Árbol• Grafo conectado no dirigido que no
contiene circuitos simples– Hoja o nodo terminal: grado 1– Nodo rama o interno: grado > 1
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Árbol
• Propiedades:– Hay una trayectoria simple entre cada par de
nodos– El número de nodos = número de orillas + 1– Un árbol con 2 o más nodos tiene al menos dos
nodos hoja
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Árboles dirigidos• Árbol (enraizado): un nodo con grado de
entrada 0 (raíz) y los demás con 1• Poliárbol (árbol dirigido): se vuelve un
árbol al quitar las direcciones
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Árbol dirigido
• Terminología:– Raíz: vértice con grado de entrada 0– Hoja: vértice con grado de salida 0– Interno: vértice con grado de salida > 0– Hijo / Padre: arco de A a B, A es padre de B y
B es hijo de A– Hermanos: tienen el mismo padre– Descendientes / Ascendientes: trayectoria de A
a B, A es ascendiente de B y B es descendiente de A
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Árbol dirigido• Terminología:
– Subárbol con A raíz: A y todos sus descendientes
– Subárbol de A: subárbol con hijo de A como raíz
– Árbol ordenado: arcos salientes de cada nodo etiquetados con enteros
– Árbol de aridad “m”: cada nodo rama (raíz o interno) tiene máximo m hijos. Es regular si c/u tiene exactamente m hijos (binario m =2)
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Clique
• Grafo completo: cada par de nodos distintos son adyacentes
• Conjunto completo: subconjunto W de G que induce un subgrafo completo de G
• Clique: subconjunto de nodos que es conjunto completo y máximo (no hay un conjunto completo que lo contenga)
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Cliques
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Cliques
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Ordenamiento Perfecto
• Un ordenamiento O = [v1, v2, ...., vn] de los nodos es perfecto si todos los vecinos anteriores al nodo están completamente conectados
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Ordenamiento Perfecto
1
32
4 5
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Ordenamiento de Cliques
• Un ordenamiento de cliques [C1, C2, ... Cp] tiene la propiedad de intersección secuencial si todos los nodos comunes con cliques previos están contenidos en el mismo clique (padre)
• Esto se cumple si los nodos tienen un ordenamiento perfecto y los cliques se ordenan de acuerdo al nodo con número mayor
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Ordenamiento de Cliques
1
32
4 5
C1
C2
C3
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Grafos Triangulados
• Un grafo dirigido es triangulado si cada circuito simple de longitud > 3 tiene una cuerda
• Para tener un ordenamiento de cliques con la propiedad de intersección secuencial es necesario que el grafo sea triangulado
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Grafos Triangulados
1
32
4 5
1
32
4 5
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Grafos Triangulados
1
32
4
5
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Búsqueda de Máxima Cardinalidad
• Para obtener un ordenamiento de nodos con máxima cardinalidad:
1. Seleccionar cualquier nodo como inicial: 12. Seleccionar el nodo adyacente al mayor número de
vértices previamente numerados y asignarle el siguiente número
3. Romper empates en forma arbitraria
• Si el grafo es triangulado, este algoritmo provee un ordenamiento perfecto
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Ejemplo• Ordenamiento de acuerdo a búsqueda de máxima
cardinalidad
1
32
4 5
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Algoritmo de triangularización
• Ordenar los nodos de acuerdo a máxima cardinalidad
• Obtener el llenado del grafo:– Procesar los vértices en orden inverso, de n a 1– Para cada nodo w obtener los nodos de índice
mayor que estén conectados a w y llamarlos A– Agregar arcos a nodos mayores (sucesores) que
no están contenidos en A
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Ejemplo• Triangulación
Conjuntos “A”:• 5:• 4:• 3: 4 y 5• 2: 4 – arco de 2 a 3• 1: 2 y 3
1
32
4 5
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Ejemplo• Grafo triangulado
1
32
4 5
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Referencias
• Liu, Cap. 5• Libros de matemáticas discretas o teoría de
grafos, por ejemplo:– R. Gould, Graph Theory, Benjamin/Cimmings,
1988
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Ejercicios
1. Demuestra el teorema 12. Para el siguiente grafo (figura 1),
determina:a) Si existe una trayectoria de Eulerb) Si existe una trayectoria de Hamiltonc) Si el grafo es trianguladod) Si no es triangulado, hazlo trianguladoe) Los cliques del grafo
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Figura 1
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Ejercicios
3. Demuestra el teorema 24. Para los grafos en la siguiente figura (figura 2):
a) Encuentra los subgrafos de A que son isomorfos a Bb) Triangula el grafo A y ordena los nodos de acuerdo a
máxima cardinalidad
5. Encuentra la mejor ruta para el agente viajero en el siguiente mapa (figura 3)
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Figura 2
5 6
43
2
1
7
BA
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Figura 3
A B C
I
D E F
M
3
34
4 4
42
4
5 5