Teoría de la Comunicación

Enero 2009

Realice cada ejercicio en hojas separadas.

No se permite uso de teléfono móvil.

Escriba su nombre en todas las hojas.

Indique claramente el apartado al que está respondiendo.

Lee bien todo el enunciado del problema.

Tiempo: 2 horas 30 min

Problema 1 (25 p.)

Sea una señal analógica siempre positiva con un ancho de banda de 4 kHz, definida entre [xmin,xmax] V, con una función de densidad de probabilidad uniforme y una media de valor 1 V, cumpliéndose que: minmax 2 xx . Esta señal se muestrea a la frecuencia mínima para que no

haya aliasing y posteriormente se desea cuantificar la señal, de forma que el error de cuantificación sea menor o igual que 0.01 V. Para ello se disponen de cuantificadores uniformes de 6, 8 y 10 bits que operan entre [-2,2] V.

a) Elegir el cuantificador que con el menor número de bits, que cumpla con los requisitos.

b) Calcular la relación (SX/NQ), siendo SX la potencia total de la señal de entrada y NQ la potencia del ruido de cuantificación.

c) ¿Qué tipo de distribución de probabilidad tiene el error de cuantificación? Dibujarla.

Problema 2 (25 p.)

Un enlace de comunicaciones digitales utiliza las siguientes formas de onda equiprobables:

bbc Tttrfts 1 Bit 0))5.0(2cos()(1 bbc Tttrfts 0 Bit 0))5.0(2cos()(2

donde y . bc rf 5.999 bpsrb 1000

Las señales transmitidas se transmiten por un canal que introduce ruido gaussiano blanco con

Densidad Espectral de Potencia Hzw /1042

5

.

a) Diseñar el receptor óptimo indicando el valor del umbral.

b) Calcular la probabilidad de error.

Problema 3 (35 p.)

El siguiente esquema permite realizar la medida de la potencia de un proceso estacionario. En el esquema, el primer módulo es un dispositivo no lineal con función caracterísica:

2)( xxfy .

(·)2 E{·}

x(t) y(t) z(t)

(·)2 E{·}

x(t) y(t) z(t)

En este ejercicio vamos a analizar el funcionamiento de este esquema.

Considere el proceso de entrada al sistema x(t) real, estacionario, de media cero y gausiano, con varianza 2.

a) Calcule la media del proceso de salida y(t) del dispositivo cuadrático.

b) Calcule la función de autocorrelación del proceso y(t) en función de Rx() (función de autocorrelación del proceso x(t)). Utilice para ello el hecho de que siendo Xi, Xj, Xk y Xl variables aleatorias gaussianas de media cero, se cumple que:

jlikiljkklijlkji CCCCCCXXXXE

En donde los Cij son las covarianzas cruzadas de las variables Xi y Xj.

c) Calcule la DEP de y(t), Gy(f), en función de Gx(f).

d) Calcule la autocovarianza Cy() del proceso y(t).

e) Calcule la varianza del proceso y(t).

Suponga que para la implementación del segundo módulo se utiliza un filtro con respuesta al impulso hT(t). Vamos a llamar a la salida que obtenemos de este filtro zT(t). Una condición necesaria para que este filtro realice la función deseada (es decir para que zT(t) se aproxime a z(t)) es que )}({)}({ tyEtzE T .

f) ¿Cuánto debe valer HT(0) para que se cumpla dicha condición?

g) Escriba la expresión de la potencia de zT(t) en función de Gx(f) y de HT(f).

h) Escriba la expresión de la varianza de zT(t) en función de Gx(f) y de HT(f).

Considere ahora que el filtro hT(t) es un promediador temporal:

t

Tt

T dyT

tz )(1

)(

i) ¿Cuál es la respuesta al impulso hT(t)? ¿Cumple la condición calculada en el apartado f)?

j) Si el proceso x(t) es estacionario y ergódico, al crecer T, y para que )( ¿cuánto debe valer la varianza del proceso z

)( 2 txEtzT T(t)?

k) Dibuje HT(f). Estimar el valor de la varianza de zT(t) cuando T es grande (recuerde la condición del apartado f)). Si T→∞, ¿se cumple la condición del apartado anterior? Nota: Si le sirve de ayuda, suponga que el proceso x(t) es un proceso paso bajo limitado en banda a BHz.

Problema 4 (15 p.)

Ua señal x(t)=cos200t modula a una portadora de 1kHz y amplitud 1v para formar una señal AM, con índice de modulación m. En esta señal AM se elimina mediante filtrado ideal la banda lateral inferior (manteniendo totalmente la portadora).

a) Escriba la expresión de la señal obtenida

b) ¿Cuánto vale m si la potencia de la señal resultante es de 0.58w?

ANEXO