Capítulo 2

Teoría de Wavelets

En este capítulo se describe la teoría de wavelets y los conceptos matemáticos

relacionados con ésta. Se presentan características importantes de las wavelets u onditas,

utilizadas para la simulación de los algoritmos de compresión de imágenes, pasando por

espacios vectoriales, bases ortogonales, bases ortonormales, complementos vectoriales.

Se revisan las características de la transformada de Fourier y la transformada de Fourier

de período corto. Después, se estudia con detalle el análisis multiresolución y la

representación wavelet, primero en una dimensión y por último en dos dimensiones que

es el dominio que nos interesa debido al manejo de imágenes.

2.1 Introducción.

Durante la primera década del siglo antepasado, un matemático francés llamado Jean

Baptiste Joseph Fourier afirmó que cualquier forma de onda repetitiva podía ser

expresada en una sumatoria infinita de ondas sinusoidales y cosinusoidales [POL96].

De ahí, esta teoría denominada transformada de Fourier (FT), se convirtió en una

herramienta ideal para analizar señales estacionarias, esto es, señales cuyas

componentes frecuenciales no cambian en el tiempo. La transformada de Fourier tiene

problemas para reconstruir señales fugaces o señales con cambios abruptos [ALA03],

[POL96], [GRO01]. La función que define a la transformada de Fourier es la siguiente:

16

∫∞

∞−

−= dtetxfFT fti π2)()( (1)

Lo que hace la FT es multiplicar la señal por una exponencial, la cual por Euler,

es descompuesta en una sumatoria de senos y cosenos, siendo la parte sinusoidal la que

lleva el término imaginario. Sin embargo, aunque es una herramienta muy útil, su

limitante son las señales no estacionarias, es decir, aquellas cuyas componentes

frecuenciales cambian en el tiempo. La información que nos proporciona la FT son las

componentes frecuenciales de una señal pero no nos proporciona el tiempo en el que

ocurren [POL96]. De hecho, la gráfica de una FT se hace comparando frecuencia contra

amplitud, por esto, el tiempo no tiene cabida en esta teoría.

Al observarse este inconveniente, surgió una versión de la FT para poder

analizar las señales no estacionarias. El principio de este nuevo concepto fue el tomar

una porción de la señal y asumir que ésta fuese estacionaria y así sucesivamente

mediante pequeñas ventanas deslizantes [POL96]. Esta nueva versión se denominó

STFT, la cual está definida por la siguiente ecuación:

∫ −−=t

fti dtetttxftSTFT πω 2'* )()(),( (2)

Donde se puede notar que es la misma FT, sólo que ahora con una ventana

deslizante en el tiempo , lo que nos da una descripción de la señal en el

tiempo, es aquí donde se resuelve la limitante de la FT. En la ecuación 2, es la señal

),'(* tt −ω

)(tx

17

a analizar siendo la exponencial junto con la integral, la que nos da la suma senoidal y

cosenoidal y es la ventana que se desliza en el tiempo. *ω

Una vez surgida la STFT el problema sobre la obtención de información acerca

de la frecuencia y el tiempo de una señal había sido resuelto. Sin embargo, lo que hace

la STFT con la señal es analizarla mediante sus ventanas deslizantes las cuales poseen

dimensiones fijas, es decir, la resolución con la que pueden ver a la señal es la misma

tanto para altas frecuencias, como para bajas frecuencias [ALA03], [POL96], [AMA97].

De hecho lo que prohíbe tener una ventana con una buena resolución tanto en

tiempo como en frecuencia es el principio de incertidumbre de Heisenberg, el cual dice

que "nunca se podrá conocer de manera exacta la posición y la velocidad de una

partícula atómica al mismo tiempo", esto se aplica a la frecuencia como, "nunca se

podrá conocer de manera exacta la componente frecuencial de una señal y el tiempo en

el que ocurre ésta, simultáneamente" [AMA97], [ALA03], [POL96].

Este último punto tratado acerca de la STFT sobre la resolución que maneja, es

la línea de partida de la transformada wavelet, pues es este concepto, el que viene a

revolucionar mediante el manejo de distintas resoluciones para distintas frecuencias y

tiempos. Ya que generalmente en las bajas frecuencias de una señal es donde se

encuentra la mayor parte de la información, y en las altas frecuencias se encuentran los

detalles específicos [MAC01]. Por ello resulta poco viable analizar una señal con la

misma resolución para todas las frecuencias [POL96]. A continuación se presenta un

gráfico sobre la comparación de las resoluciones que manejan la STFT (figura 1a) y la

WT (Wavelet Transform, figura 1b) y la diferencia evidente entre las dos:

18

a) b)

Figura 1. a) Resolución de la FT. b) Resolución para la WT.

2.2 Ortogonalidad.

Antes de comenzar a explicar la transformada wavelet y el análisis multiresolución, se

explica de manera general algunos conceptos claves sobre espacios vectoriales. Todo lo

aquí contenido se obtuvo de [GEO99].

2.2.1 Subespacios Vectoriales.

Para que un subconjunto no vacío W de un espacio vectorial V sea un subespacio, debe

cumplirse lo siguiente:

1. Si u y v están en W, entonces u+v está en W.

2. Si u es cualquier escalar y u está en W, entonces u está en W.

19

2.2.2 Independencia Lineal entre Vectores.

Un conjunto de vectores n es linealmente independiente si en la siguiente

ecuación :

nvv ,...,1

0,...,01 == kcc

0...221 =+++ kk vcvcvc (3)

2.2.3 Producto Punto entre Vectores.

Sean y dos vectores cualesquiera, el producto punto, o

producto escalar de u y v es el número siguiente:

),...,( 1 nuuu = ),...,( 1 nvvv =

nnvuvuvu ++= .... 11 (4)

Si el producto punto de dos vectores es 0, se dice que son ortogonales entre sí

.

2.2.4 Producto Interno.

Un producto interno (inner product) en un espacio vectorial (real) V es una función que

asocia a cada par de vectores u y v, un número real (u,v) que satisface las propiedades o

axiomas siguientes. Para todo vector u, v y w cualesquiera, y cualquier escalar c,

1. (u,v)=(v,u) Axioma de simetría

2. (u+w,v)=(u,v+w,v) Axioma de aditividad

20

3. (cu,v)=(u,v) Axioma de homogeneidad

4. (u,u) > 0, y (u,u) = 0 si y solo si u = 0 Axioma de positividad

Todo espacio vectorial real con un producto interno se llama espacio de

producto interno, siendo el producto interno un tipo de producto punto que funciona

con vectores generales y no es tan restrictivo como el producto punto.

Sea V un espacio de producto interno. Dos vectores u y v se llaman ortogonales

si su producto interno es cero.

u y v son ortogonales si (u,v) =0

La norma de v es el número no negativo v definido por:

2 ),( vvv = (5)

Se define la raíz cuadrada positiva, porque (v,v)>0, según el axioma de

positividad. De igual forma,

),(2 vvv = (6)

También se define la distancia entre dos vectores, u y v, por medio de

d(u,v)= vu − (7)

21

2.2.5 Base Ortogonal.

Se dice que un conjunto { de vectores n es ortogonal si dos vectores distintos

cualesquiera en él son ortogonales, esto quiere decir que:

}nvv ,...,1

jivv ji ≠= ,0 (8)

Cualquier conjunto ortogonal S ={ }nvv ,...,1 de vectores-n distintos de cero es

linealmente independiente.

El conjunto de todos los vectores n ortogonales a V se llaman complementos

ortogonales de V y se representa por V perpendicular. Un conjunto ortogonal de

vectores distintos de cero es una base para su generador.

2.2.6 Conjuntos Ortonormales.

Se dice que un conjunto de vectores es ortonormal si es ortogonal y está formado por

vectores unitarios. Así { es ortonormal si: }nvv ,...,1

jivv ji ≠= ,0. y kivi ,...,1,1 == (9)

2.3 Wavelets: Definición y Características.

Una wavelet es una función integrable y oscilatoria cuya media es 0:

∫ = 0)( dttψ (10)

22

Las wavelets son funciones matemáticas que separan la información en

diferentes componentes frecuenciales, y de ahí estudia cada componente con una cierta

resolución asociada a la escala. [AMA97]. La familia de wavelets esta definida por:

0,,;1)( , >∈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= aRbaa

bta

t ba ψψ (11)

Donde a es el parámetro de escalamiento o dilatamiento y b el de

desplazamiento o traslación. Entonces, esta familia de funciones son una copia de una

función prototipo )(tψ , denominada wavelet madre, trasladada y escalada mediante las

variables b y a [ALA03], [GRO01], [HER03].

A continuación se revisarán tres conceptos importantes en las wavelets:

momentos de desvanecimiento, soporte compacto y simetría.

Los momentos de desvanecimiento nos permiten conocer la forma de la wavelet

y es un parámetro para saber que tan hábil es la wavelet para suprimir un polinomio

dado [HER03], [POL96]. Y los momentos de desvanecimiento están definidos por

[ALA03], [POL96]:

∫∞

∞−

= 0)( dttt iψ (12)

De lo anterior se determina que una función tiene v momentos de

desvanecimiento si la integral es 0 para i=0, 1,…,v-1. Generalmente el número de

momentos de desvanecimiento de una wavelet determina el orden de la transformada

23

wavelet (este concepto se explica a detalle en el subcapítulo 2.5). Ahora todas las

señales que posean polinomios de grado menor a tendrán cero coeficientes wavelets

[GRO01], [HER03].

El soporte compacto de una wavelet se refiere a que las funciones base son no

cero en un intervalo finito (de este concepto sale el nombre de "onditas", wavelets u

ondellettes) y esto se define de la siguiente manera [ALA03]:

0)( =tψ si Nt > para alguna N (13)

La simetría en los filtros se busca con el fin de evitar distorsiones en la

información mediante la fase lineal, esto se expresa en la ecuación 14 donde k es una

constante y w es la fase [ALA03]:

kww =)(ϕ (14)

2.4 Algunas wavelets.

2.4.1 La Wavelet de Daubechies.

Dentro de la familia de la wavelet Daubechies [MAT02], encontramos la notación 'dbN'

donde N indica el orden y N Z∈ . Algunos autores utilizan 2N en lugar de N [MAT02].

Esta wavelet posee soporte compacto [ALA03] y con N momentos de desvanecimiento.

Puede ser ortogonal, biortogonal y no posee simetría (de hecho en algunas wavelets la

asimetría es muy pronunciada [MAT02], [HER03].

24

El número de momentos de desvanecimiento para ψ es N. El número de filtros

es 2N. Estas wavelets no tienen una expresión determinada, excepto por la wavelet de

Haar o db1, la cual está determinada por la siguiente expresión y cuya apariencia se

muestra en la figura 2:

otherwiset

tth

:012/1:1

2/10:1)( <<−

<<= (15)

Figura 2.La wavelet de Haar.

La wavelet de Haar o Daubechies de orden 1, es la primera y la más sencilla de

las wavelets [MAT02]. Y aunque tiene soporte compacto, no tiene buena localización

tiempo-frecuencia [ALA03]. Esta wavelet no es continua, y por ende no diferenciable.

La apariencia de las wavelets de Daubechies es la siguiente:

25

Figura 3. Las wavelets de Daubechies (dbN). Donde N es el orden y N +∈ R .

Con el fin de agregar un poco de simetría a sus wavelets, Daubechies creo la

siguiente familia de wavelets: Symmlets. Esta familia es de soporte compacto y puede

realizar la transformada continua y discreta wavelet (conceptos explicados en los

subcapítulos 2.5 y 2.6). Las Symmlets pueden ser ortogonales, biortogonales, y están

cerca de ser simétricas. El número de momentos de desvanecimiento es N. Y su

apariencia es la siguiente:

Figura 4. Symmlets (symN). Donde N es el orden.

26

2.4.2 Wavelet Coiflet.

Estas wavelets fueron igualmente creadas por Daubechies con ayuda de Coifman

[MAT02]. Esta familia de wavelets posee un mayor número de momentos de

desvanecimiento: 2N . La función wavelet y la de escalamiento son mucho más

simétricas que las wavelets presentadas con anterioridad. Poseen igualmente soporte

compacto y el número de filtros es 6N. Su apariencia es de la siguiente manera:

Figura 5. Coiflets (coifN). Donde N indica el orden.

2.4.3 Wavelets Biortogonales.

Poseen soporte compacto y la simetría, así como la reconstrucción exacta de la señal

son posibles con filtros FIR (Finite Impulse Response), lo cual en las wavelets

ortogonales es imposible excepto en la wavelet Haar. El orden de estas wavelets está

dado por Nr y Nd, la primera para la reconstrucción y la segunda para la

descomposición.

Los momentos de desvanecimiento de ψ están dados por Nr. Y la apariencia de

las wavelets es de la siguiente manera:

27

Figura 6. Wavelets Biortogonales (biorNr.Nd). Donde Nr es el orden de reconstrucción y Nd es

el orden de descomposición.

2.4.5 La Wavelet Mexican Hat.

Otra wavelet muy recurrida para el análisis de señales es la wavelet mexican hat por la

forma de su gráfico [ALA03] y es la segunda derivada de la función de densidad de

probabilidad Gaussiana:

28

3)1(2)(

4/1

2/2

π

ttettmex −= (16)

Esta wavelet posee fase lineal y su apariencia es la siguiente:

Figura 7. Mexican Hat.

2.5 Transformada Wavelet Continua (CWT).

Como se mencionó anteriormente, la transformada wavelet surge como una alternativa

de resolución a la STFT, al analizar a la señal con diferentes resoluciones tanto en altas

y bajas frecuencias y de acuerdo a las limitaciones que presenta el principio de

incertidumbre de Heisenberg. La CWT tiene una buena resolución en tiempo y mala en

frecuencia cuando se trata de altas frecuencia. Y por el contrario, cuando se habla de

frecuencias bajas, ésta posee una resolución buena en frecuencia y pobre en tiempo

[AMA97]. La CWT de una señal que existe en (conjunto de señales de

energía finita [ALA03] , [MAT02]) está definida por la siguiente ecuación:

)(tx )(2 RL

29

dtbtfftx

fffbCWT ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= )()(),(

0

*

0

ψ (17)

El término )(tψ se refiere a la wavelet madre, que es una función prototipo que

se traslada y escala para analizar a la señal a diferentes resoluciones. Sea ff

a 0= el

parámetro de escalamiento [ALA03], la ecuación 17 queda de la siguiente manera:

dtbta

txa

ttxabCWT ba ∫∞

∞−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −== )(1)(1)(),(),( *

2 1, ψψ (18)

La CWT es el resultado del producto interno entre la señal y la wavelet

madre y depende de dos parámetros muy importantes: a y b. El primero se refiere a la

traslación de la wavelet y el segundo parámetro al escalamiento, que es el inverso de la

frecuencia [POL96]. La constante numérica

)(tx

2 1−a tiene el propósito de normalizar

energías, por lo tanto la transformada de la señal tendrá la misma energía en cada escala

[POL96], [MAL88].

Como resultado del análisis wavelet tenemos una serie de coeficientes, los cuales

nos indican que tan parecida es la señal a una cierta base de funciones [ALA03],

[POL01], [AMA97]. En la ecuación 18 se realiza el proceso de análisis y en la siguiente

ecuación el proceso inverso que consiste en una sumatoria de las proyecciones

ortogonales de la señal sobre las wavelets [ALA03]:

2

*,

1 1),()(a

dadba

bta

abCWTCtx ba ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

= ∫− ψψ (19)

30

Donde es una constante que depende de la wavelet que se vaya a

usar[ALA03]. El éxito de la reconstrucción de la señal depende de la constante en

mención, la cual recibe el nombre de constante de admisibilidad, y está definida por:

1−ψC

∞<Ψ

= ∫∞

∞−

dfff

C2)(

ψ (20)

Esto implica que la transformada de Fourier de la wavelet debe decaer

suficientemente tan rápido como se acerca a infinito [ALA03].

2.6 Transformada Wavelet Discreta (DWT).

La transformada wavelet discreta tiene el mismo propósito que la transformada wavelet

continua, solo que aquí se utilizan técnicas de filtrado digital, es decir, valores discretos

de frecuencias de corte de diferentes filtros son utilizados para analizar a la señal a

diferentes escalas. La señal se pasa a través de una serie de filtros, donde los pasa-altas

se utilizan para las altas frecuencias y los pasa bajas para sus respectivas.

La resolución de la señal depende de las operaciones de filtrado y de las

variaciones de la escala determinadas por las operaciones de muestreo (upsampling y

downsampling). La primera significa que se remueven ciertas muestras durante el

análisis de la señal y así reducir en un factor de n el número de muestro de la señal que

31

se esta analizando. Por el contrario, upsampling, significa añadir nuevas muestras a la

señal.

El procedimiento comienza haciendo pasar la señal a través de un filtro digital

pasa baja. La operación matemática equivalente es la convolución de la señal con

respuesta al impulso del filtro y esta definida por [POL96]:

∑∞

−∞=

−=k

knhkxnhnx )(*)()(*)( (21)

Ahora se submuestrea la señal en un factor de dos, esto implica que la señal

tendrá la mitad de los puntos, esto no afecta la escala y la mitad restante de los puntos

puede ser descartada con una eliminación de redundancia en un factor de dos [POL96].

Y esto se expresa como:

∑∞

−∞=

−=k

knxkhny )2(*)()( (22)

En el proceso de analizar la señal, esta se hace pasar por una serie de filtros.

Supongamos que la hacemos pasar por un filtro pasa altas y uno pasa bajas. Después de

este proceso la mitad de la señal que sale del filtro pasa altas forma los primeros

coeficientes wavelet de la señal [POL96], pues se tiene un proceso de descomposición

mediante filtros pasa- altas y pasa- bajas cuyas salidas (incluyendo el submuestreo en un

factor de dos) están determinadas por las siguientes formulas:

∑ +−=n

high kngnxky )2(*)()( (23)

32

∑ +−=n

low knhnxky )2(*)()( (24)

A estos filtros se les conoce como Filtros Espejo de Cuadratura (Quadrature

Mirror Filters) y las respuestas al impulso del filtro pasa-altas y del filtro pasa-bajas

están relacionadas mediante la siguiente ecuación, donde L es la longitud de muestras

de los filtros, g(n) es el filtro pasa-altas y h(n) es el filtro pasa-bajas [POL96].

)()1()1( nhnLg n−=−− (25)

Este procedimiento es conocido como codificación subbanda, en donde la

incertidumbre del valor de la frecuencia se reduce a la mitad. Y los puntos que se

obtienen al final de cada filtrado son los coeficientes wavelets.

Para explicar este procedimientos supongamos una señal a analizar x(t) con un

rango de entrada de 80MHz y un nivel de descomposición L=4. La señal se hace pasar

por el primer conjunto de filtros, uno pasa altas y el otro pasabajas. El primero se queda

con el rango de 40MHz a 80MHz y de ahí se submuestrea en un factor de dos,

reduciendo las muestras de la señal después del filtrado pasa-altas. Ahora después del

filtrado pasabajas tenemos la primera mitad de la señal, es decir, el rango de 0 a 40MHz

y de ahí se vuelve a submuestrar en un factor de dos. En este punto ya se han obtenido

los primeros coeficientes wavelets de la Transformada Discreta. Ahora viene el segundo

nivel de descomposición de la señal, es decir, L=2. Como tenemos una serie de tiempo

en un rango de 0 a 40 MHz, esta se vuelve a hacer pasar por un par de filtros uno pasa

altas y otro pasa bajas. De aquí el proceso que se lleva acabo es el mismo que en L=1

33

[HRT02]. Al llegar a L=4 tenemos una serie de tiempo en un rango de 5MHz. Esto se

explica gráficamente en la figura 8.

Figura 8. Descomposición de la señal x(t) en 4 niveles: L=4 .

La ecuación matemática que define este análisis se basa en los parámetros de dilatación

y traslación a y b, los cuales son muestreados sobre una rejilla denominada dyadic grid

en el plano tiempo - escala. Para esto tenemos que a=2 y b=1. Con esto tenemos una

familia de wavelets ortonormales de la siguiente forma:

)2(2)( 2, btt j

j

ab −= −−

ψψ (26)

2.7 Análisis Multiresolución.

La representación multiresolución es una herramienta muy útil cuando se trata de

analizar la información contenida en una imagen. El contenido frecuencial de una

34

imagen posee variaciones, de manera que no podemos definir a priori una resolución

óptima fija para analizar la información de ésta imagen. Ha habido muchas

investigaciones cuyo fin es el de procesar la imagen a diferentes resoluciones [MAL98].

Dada una secuencia de resoluciones ascendentes , los detalles de una

imagen en la resolución están definidos como la diferencia de la información entre la

aproximación a la resolución y la aproximación a una resolución menor

[MAL98].

Zjjr ∈)(

jr

jr 1−jr

La descomposición multiresolución nos permite tener una interpretación de la

imagen invariante a la escala. La representación multiresolución puede ser parcialmente

invariante a la escala si la secuencia de los parámetros de resolución varían de

manera exponencial. Ahora, supongamos que existe una etapa de resolución

Zjjr ∈)(

R∈α tal

que para todos los enteros . Entonces los detalles de una imagen a la

resolución corresponden a los detalles de la imagen a la resolución . Si

procesamos los detalles de la imagen de manera idéntica para todas las resoluciones,

nuestra interpretación de la información de la imagen no se modifica [MAL88].

jjrj α=,

jα 1+jα

La representación multiresolución provee una plataforma de trabajo jerárquica

(niveles de descomposición de la señal) muy simple para interpretar la información de

la imagen [MAL88]. Por esto es natural analizar los detalles de la imagen a una

resolución "burda" y luego incrementarla gradualmente (la resolución) [YUE94].

35

Burt y Crowley [BUR83] introdujeron el algoritmo piramidal con el fin de

procesar las señales a diferentes resoluciones. Con el fin de simplificar las operaciones,

Burt eligió una etapa de resolución α =2.

A continuación se presenta las propiedades matemáticas del operador que

transforma una función en una aproximación en la resolución . Sea el operador

que aproxima la señal a la resolución , se esperan las siguientes

propiedades:

j2 jsA

)()( 2 RLxf ∈ j2

(i) ;)()()()(,)(22

xfxfAxfxgVxg jj −≥−∈∀

(ii) ; 122, +⊂∈∀ jj VVZj

(iii) ; 122 )2()(, +∈⇔∈∈∀ jj VxfVxfZj

(iv) donde ),()(, 11 kxfAxfAZk k −=∈∀ );()( kxfxf k −=

(v) esta en y ; jj VVjj

22lim ∪∞

−∞=∞→

= )(2 RL { }02lim == ∩

∞

∩−∞=−∞→jV

jj

La primera de estas propiedades se refiere a que, entre todas las aproximaciones

a la resolución es la función que más se asemeja a , mientras la

propiedad (ii) indica que la aproximación de la señal a la resolución contiene toda

la información necesaria para procesar la misma señal a una resolución menor . La

propiedad (iii) denota que está conformado por versiones rescaladas de ,

mientras la propiedad (iv) tiene que ver con la translación de las aproximaciones y la

propiedad (v) se refiere a la aproximación de la señal a la resolución es igual a la

proyección ortogonal en el subespacio [MAL88][ALA03], [YUE94].

j2 , )(2 xfA j )(xf

12 +j

j2

12 +jV jV

j2

jV2

36

Entonces a los espacios vectoriales que cumplen con estas propiedades

se les denomina aproximación multiresolución de . El operador que satisface

estas propiedades, nos da la aproximación de cualquier función en la

resolución

ZjjV ∈)( 2

)(2 RL jsA

)()( 2 RLxf ∈

j2 .

2.8 La Representación Wavelet.

La representación multiresolución está basada en la diferencia de información que

existe entre dos resoluciones sucesivas . A esta diferencia de información se le

denomina detalles de la señal [YUE94], [MAL98].

j2 y 12 +j

Lo anterior significa que podemos representar una señal como un límite de

aproximaciones sucesivas, después de haber elegido una resolución inicial J, de la

siguiente manera [HRT02], [HER03]:

)(nx

∑ ∑∑=

+=L

j nnjnjnj

nnj tcttdtx

1,,,, )()()()( φψ (27)

y se refiere a los coeficientes wavelets o los detalles de la señal (resultado del

filtrado pasa altas) y se definen como:

njd ,

∫∞

∞−

−−

−= dtnthtxd jnj

j

nj )2()(2 ,2

, (28)

37

y representa los coeficientes de escala o las aproximaciones (resultado del filtrado

pasa bajas) y se denotan con la siguiente expresión:

njc ,

∫∞

∞−

−−

−= dtnttxc jnj

j

nj )2()(2 ,2

, ϕ (29)

Así es como se representa una señal en términos de los coeficientes

wavelets y los de escalamiento como se puede observar en la figura 8 [ALA03],

[HER03]

)(tx

2.9 Representación Wavelet en Dos Dimensiones: Mapeo a Imágenes.

De hecho el modelo wavelet puede ser generalizado para cualquier dimensión .

Para el caso de las imágenes trabajaremos en dos dimensiones, . La señal es

ahora una función de energía finita . Sea una aproximación

multiresolución de . La aproximación de la señal a la resolución es

igual a la proyección ortogonal sobre el espacio vectorial [MAL88].

0>n

2=n

)(),( 2 RLyxf ∈ ZjjV ∈)( 2

)( 22 RL ),( yxf j2

jV2

Ahora, existe una única función de escalamiento ),( yxϕ cuya dilatación y

traslación nos dan una base ortonormal de cada espacio . Sea

[YUE94]. La familia de funciones

jV2

)2,2(2),( 22 ysyx jjj

j ϕϕ =

2),(2 ))2,2(2( Zmnjjj mynxj ∈

−−− −−ϕ (30)

38

forma una base ortonormal en . La secuencia de espacios vectoriales forma

una aproximación multiresolución en si y solo si es una aproximación

multiresolución de . De hecho de acuerdo a los teoremas de Mallat [MAL88], la

función de escalamiento

jV2 ZjjV ∈)( 2

)( 22 RL ZjjV ∈)(2

)(2 RL

),( yxϕ puede ser escrita como [YUE94]:

)()(),( yxyx ϕϕϕ = (31)

donde )(xφ es la función de escalamiento en una dimensión de la aproximación

multiresolución . ZjjV ∈)( 2

Y la aproximación de la señal a la resolución esta dada por los

siguientes productos internos:

),( yxf j2

( ) 2),(222)2()2(),,(

Zmn

jjd mynxyxffA jjj∈

− −−= ϕφ (32)

Y la imagen discreta resultante tendrá pixeles. Nj2

Ahora, al igual que en una dimensión, los detalles de la señal a la resolución

son iguales a las proyecciones ortogonales de la señal en el complemento ortogonal de

y .

j2

jV2 12 +jV

Se tienen ahora cuatro funciones definidas en el siguiente listado de ecuaciones.

La ecuación 33 es la función de escalamiento y las expresiones 34, 35 y 36 son las

wavelet bidimensionales:

39

)()(),( ysyx ϕϕϕ = (33)

)()(),( yxyxH φψψ = (34)

)()(),( yxyxV ψφψ = (35)

)()(),( yxyxD ψψψ = (36)

Estas wavelets miden las variaciones de intensidad. La wavelet de la ecuación 34

mide las variaciones a lo largo de las columnas (esquinas horizontales), la de la

ecuación 35 lo hace para los renglones (esquinas verticales) y la wavelet de la ecuación

36 mide las variaciones diagonales.

Figura 9. Descomposición en frecuencia de la imagen en detalles y aproximaciones. A,

aproximaciones. DD, detalles diagonales. DH, detalles horizontales. DV, detalles verticales.

40

Figura 10. Descomposición de una imagen en aproximaciones y detalles.

Figura 11. Reconstrucción de una imagen a partir de sus detalles y aproximaciones.

Para explicar como se forman las imágenes y como es que se presentarán en las

simulaciones posteriores, se hará desde el punto de vista de descomposición de la señal

41

en subbandas de frecuencia. Partamos del punto en donde la DWT de una dimensión

descompone una serie de muestras en una banda de frecuencias bajas (Li) y en una

banda de frecuencias altas (Hi). Entonces para las imágenes es una descomposición

subbanda en dos dimensiones, producto de la descomposición subbanda en una

dimensión. De hecho el proceso de la DWT en una dimensión se lleva acabo dos veces:

primero horizontal y luego vertical. Por ejemplo Li resulta de la DWT en dirección

horizontal, y de aquí se realiza otra vez la DWT solo que en dirección vertical,

produciendo las subbandas LLi y LHi (i representa el nivel de descomposición). Y de

esta misma forma la subbanda de frecuencias altas Hi, produce HLi y HHi. Hasta este

punto ha terminado el primer nivel de descomposición. Sin embargo, si aplicamos la

DWT de dos dimensiones a la subbanda LLi se forma el análisis por niveles y se elige el

nivel de descomposición deseado L. La figura 12 y 13 muestran gráficamente esta

explicación:

Figura 12. Descomposición en dos niveles de la figura de Bárbara.

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Figura 13. Subbandas formadas en la descomposición.

Una vez explicada la teoría de wavelets, la transformada discreta wavelet, el

análisis multiresolución y el mapeo al dominio de las imágenes. Se continuará con el

tema de los algoritmos de compresión de imágenes. El proceso de compresión de una

imagen posee básicamente tres pasos [MAT02]. El primero de ellos es la transformada

de la señal de dos dimensiones que en este caso es la DWT, El segundo paso es la

eliminación de ciertos coeficientes tal que no afecte la inexistencia de los mismos la

representación de la imagen. Y por último viene la reconstrucción de la imagen con los

coeficientes del segundo paso.

Al termino de este capítulo se han cubierto el primer y último paso, por ello se

procederá con el paso intermedio que es donde entran los seis algoritmos que se

mencionaron en la introducción: Balance Sparsity Norm, Remove Near 0, Scarce High,

Medium and Low.

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