Teoría del Portafolio
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CAPITULO IV Teoría del Portafolio
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
CAPITULO IV
Teoría de l Portafo lio
4Teoría del Portafo lio
C O N T E N I D O
4.
O B J E T I V O
El obje tivo de l pres ente capítulo co ns is te en proporc ionar al lec tor
de los conoc imie ntos para la cons trucc ión de un portafolio , y para
que al finalizar tenga la capac idad de :
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
Teoría del Portafolio
1. Conceptos Básicos1.1.Selección de Cartera1.2.Cartera Eficiente (Frontera
Eficiente)1.3.Pasos en la Selección de
Cartera
2. Razones para la Diversificación
3. Medida del Riesgo de la Cartera
3.1. Medida Aritmética (Rendimiento
Esperado del Valor)3.2.Riesgo de un Activo3.3.Rendimiento de un Portafolio3.4.Riesgo de un Portafolio3.5.Reducción del riesgo vía
diversificación.
Diversificación por Media –Varianza
Preguntas de Autoevaluación.REFERENCIALES
Dar una definición de Cartera, cartera eficiente.
Identificar los pasos para realizar el proceso de la teoría del portafolio
Qué clase de activos van a ser incluidos en un portafolio
Medir el riesgo utilizando la desviación típica
Desarrollar y construir un proceso de selección de cartera de acuerdo a la tolerancia al riesgo de cada inversor
Aplicar una metodología estándar para estructurar el proceso de la teoría del portafolio, que permita sistematizar y analizar la información de cada activo (valor) y tomar la decisión final de inversión
Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla Pág. 101 Cap.IV
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Teo ría de l Portafo lio
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Teoría del Portafolio
En las empresas se dan dos realidades muy importantes. La primera de estas, es
que en la mayoría de las empresas no existe suficiente dinero disponible para
satisfacer todas las inversiones atractivas. Como resu de ello, todos los
fondos disponibles deben ser racionados. La segunda es que no deberíamos
considerar los proyectos en forma aislada. Las decisiones son un factor muy
importante en las empresas, en ese sentido, el administrador financiero debe
considerar el efecto de un proyecto propuesto sobre su portafolio si desea actuar
considerando el interés de la totalidad del sistema financiero.
La teoría de la cartera fue desarrollada por Harry Markowitz1, al final de la década
de los años cincuenta, publicó su libro “
, texto en el que exponía toda su teoría sobre los modelos de inversión
en carteras de acciones. En ella desarrolló un modelo análisis por el cual el
inversor optimiza su comportamiento en ambientes de incertidumbre a través de la
maximización de la rentabilidad y la minimización del go. En este modelo se
utilizó como medida de la rentabilidad la esperanza de valor actual de la cartera
de acciones y como medida del riesgo su varianza.
Según la teoría de Markowitz los inversionistas construyen portafolios ba dos
exclusivamente en el riesgo y en el rendimiento esperado. Aquí el riesgo es
entendido como la variabilidad del retorno de la inver ión, y los inversionistas –en
este modelo– prefieren lograr rendimientos con la menor variabilida posible, es
decir, que tienen aversión al riesgo. Cuando se invierte un capital en un portafolio
se logra conseguir un rendimiento particular con menor riesgo que el de invertir
todo el capital en un solo activo. Este fenómeno es co ocido como
"diversificación".
Actualmente la teoría de las carteras se ha vuelto un tema mucho más interesante
Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla Pág. 102 Cap.IV
Harry Max Markowitz; Chicago, 1927. Economista estadou idense especializado en el análisis de
inversiones. Recibió el Premio Nobel de Economía en 1990 junto a Merton Miller William Sharpe por sus aportaciones al análisis de carteras de inversión y a los métodos de financiación corporativa.
S ele cción de carteras : dive rs ificación
e ficie nte ”
1
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1. Conce pto s Bás ic os
S ele cc ión de Carte ra:
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y necesario que nunca. Existen un gran número de oportunidades de inversión
disponibles y la cuestión de cómo los inversionistas d berían de integrar sus
carteras de inversión es una parte central de las finanzas.
Para poder integrar una cartera de inversión equilibrada lo más importante es la
diversificación ya que de esta forma se reduce la variación de los precios. La idea
de la cartera es, entonces, diversificar las inversiones en diferentes mercados y
plazos para así disminuir las fluctuaciones en la rentabilidad total de la cartera y
por lo tanto también del riesgo.
1.1.
La selección cartera o portfolio es conocido como: “el problema de
posibilidades de inversión dentro del marco de decisio s de
multiproyectos, único-período”2; es decir, es el conjunto de activos
financieros compuesto por una combinación de instrumentos de renta fija y
renta variable. Por ello se aplica en la selección de conjuntos compues os
de derechos de propiedad sobre activos financieros o f sicos. La teoría de
selección de cartera toma en consideración el retorno sperado a largo
plazo y la volatilidad esperada en el corto plazo.
La volatilidad se trata como un factor de riesgo, y la cartera se conforma
en virtud de la tolerancia al riesgo de cada inversor n particular, tras
comparar el máximo nivel de retorno disponible para el nivel de riesgo
escogido.
Los instrumentos de renta fija aseguran un retorno "fijo" al momento de
invertir, pero normalmente con una rentabilidad menor a la de uno de renta
variable, que no asegura un retorno inicial pero puede ofrecer retornos
más altos.
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2 Philippatos, G.P. “Fundamentos de Administración Finan a- Texo y Casos”; Editorial McGRAW-HILL – 1974; pág. 432.
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1.2. Cartera Eficie nte (Frontera Eficie nte ):
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Para poder integrar una cartera de inversión equilibrada lo más importante
es la diversificación ya que de esta forma se reduce la variación de los
precios. La idea de la cartera es, entonces, diversificar las inversiones en
diferentes mercados y plazos para así disminuir las fluctuaciones en la
rentabilidad total de la cartera y por lo tanto también del riesgo.
Acorde al criterio usual abordaremos la formulación es ndar del problema
de selección de cartera dentro del tema de instrumentos financieros. Sin
embargo este problema se puede aplicar en términos de posibilidades de
inversión en activos físicos.
Se denomina así a “Un grupo de activos (valores) con un rendimiento
máximo para niveles dados de rendimiento”3. Es la cartera de valores que
está completamente diversificada, que ofrece la mayor rentabilidad
esperada con respecto a su nivel de riesgo, compensando los riesgos de
los distintos componentes de dicha cartera en relación con su rentabilidad
esperada.
La idea fundamental de la frontera eficiente de inversión, consiste en que,
dada una serie de rentabilidades esperadas y su riesgo combinándolas de
manera apropiada, se puede encontrar la cartera de rie o mínimo, y a
partir de ella, todas las combinaciones posibles efici s de inversión.
Esto se debe a que, una diversificación conveniente de nuestra cartera,
nos puede permitir reducir el riesgo y mejorar la rent lidad esperada.
Es necesario hacer notar los vínculos de relación funcional sucesiva que
se dan entre los problemas de valuación de valores y selección de cartera;
es decir, una parte del resultado del primer problema nforma
parcialmente el segundo y viceversa. Asimismo, el inversionista al aplicar
algún modelo de valuación aceptable, selecciona un número de
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3 Idem.
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Pas os en la S ele cc ión de Cartera
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instrumentos financieros para su posible inclusión en su cartera. Dados los
valores seleccionados y una monto inicial de efectivo, el inversionista
recurre a técnicas de selección de cartera para decidi qué proporción de
capital debe invertirse en cada valor.
Para nuestro propósito, interesa el estudio de la formación cartera
compuesta de diversos instrumentos financieros y efectivo. En este
contexto,
Los subconjuntos de la cartera son el efectivo, y los iversos tipos
de inversión en valores.
Las razones por las que los individuos desean conserva algunos de sus
fondos en forma de activos líquidos en una cartera son la conveniencia y
la fácil convertibilidad en efectivo, además de un ren ento esperado
sobre su inversión. Como la cartera de un individuo es ultado final de
las decisiones acumuladas de inversión, representa sus actitudes y
preferencias ante ciertos tipos de activos financieros y ante el riesgo y el
rendimiento. Por ello una cartera no debe considerarse como una simple
lista de acciones, bonos y efectivo, sino como un orig l sistema de
activos cuya finalidad es la satisfacción de las necesidades del propietario.
1.3.
Al seleccionar una cartera de activos debemos seguir los siguientes
pasos: 1) Pre selección de instrumentos financieros, que permitan
posteriormente derivar en subconjuntos potenciales; 2) Estimación de las
características de riesgo-rendimiento en cada uno de los valores elegibles.
Este paso involucra generalmente tres tipos de análisis: rendimientos
futuros esperados, Varianzas de rendimiento esperados, y, Covarianzas
estimadas; 3) Finalmente, asignamos proporcionalmente los fondos del
inversionista de tal forma que el riesgo de cartera sea mínimo, conforme a
un rendimiento preestablecido.Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla Pág. 105 Cap.IV
una cartera e s un conjunto com puesto de derechos de pr piedad
s obre los activos financieros , e n los que el inversionis ta des e a invertir s us
fondos .
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Razone s para la Divers ific ac ión
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A lo largo del análisis sobre selección de cartera, no guiaran las
siguientes dos suposiciones:
1) El inversionista prefiere rendimientos mayores a menores, en cualquier
nivel dado de riesgo.
2) El inversionista prefiere rendimientos ciertos a incie s, en cualquier
nivel dado de rendimiento.
Por ello apelamos a diversas técnicas que capacitarán inversionista en
la programación de sucesivas carteras, que satisfagan sus expectativas de
acuerdo con el equilibrio entre riesgo y rendimiento.
2.
La diversificación es una estrategia de inversión que onsiste en distribuir
dinero en diferentes valores, en vez de concentrar éste en un solo valor, para
evitar los desastrosos efectos de una decisión no exitosa. Diversificar significa
seleccionar inversiones en sectores diferentes, ofrecidos por compañías de
diferentes tamaños, y en el caso de bonos, con plazos y emisores diferentes,
dentro de una clase de activos, en lugar de concentrar el dinero en sólo uno ó
dos sectores.
La diversificación es el equivalente del antiguo refrá que dice: "No ponga
todos los huevos en la misma canasta".
Si un inversionista decide concentrar todo su dinero en una ola inversión,
corre el riesgo de que la inversión obtenga malos resultados y llegue a perder
parte o el total de su dinero.
En cambio, si invierte de manera diversificada reduce inimiza el riesgo, ya
que para perder su dinero, varias de las inversiones a quiridas tendrían que
tener malos resultados al mismo tiempo.
Toda inversión siempre conlleva un riesgo, por lo general, mientras más
potencial de rentabilidad ofrezca una inversión, mayor será el riesgo que
conlleva y, por el contrario, mientras menos rentabili ofrezca, menor será
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Teoría del Portafoliosu riesgo.
Por lo que lo ideal al momento de diversificar es crea un portafolio o cartera
de inversiones que combine inversiones que ofrezcan un alta rentabilidad
aunque también un alto riesgo (por ejemplo, negocios o ac nes), e
inversiones que ofrezcan una baja rentabilidad, pero una mayor seguridad (por
ejemplo, depósitos a plazo o fondos mutuos).
La proporción de estos dos tipos de inversiones estará dada por nuestros
objetivos de rentabilidad, el riesgo que estaremos dis uestos a asumir, o el
perfil de inversionista que tengamos.
Para entender el significado de la diversificación se antea el siguiente
ejemplo: Un comerciante peruano de pisco selecto, que envía 100 valiosas
botellas de Pisco a Bogotá. En vista de los altos costos que la operación
conlleva, a nuestro comerciante le preocupan seriamente las probabilidades
de perder la totalidad del cargamento durante el viaje. Si hay 20% de
probabilidades de que asalten al transporte, entonces el comerciante cree que
habrá 20% de probabilidades de que pierda la totalidad del embarque y quede
arruinado.
Sin embargo, si envía la mitad de la carga en “Cermeño”, y la otra mitad en
“TRAPSA”, como cada uno tiene 20% de probabilidades de perder la totalidad
de la mercancía, entonces la probabilidad de perdida s n solamente de 0.20
x 0.20 = 0.04 ó 4% de probabilidades. La probabilidad e que el total del
embarque llegue a salvo es ahora de 0.8 x 0.8 = 0.64%, o 64% de
probabilidades comparadas con el 80% de antes. Pero la p porción de vinos
que espera lleguen a salvo es todavía de 80%. Es decir un solo embarque es
igual a 0.80 del embarque total. Los dos embarques son guales a 0.50 x 0.80
+ 0.50 x 0.80 = 0.80 del embarque total.
Por lo tanto, al aplicar una forma sencilla de diversificación, el valor espera o
del comerciante, 80% permanece. Sin embargo, las proba ilidades de perder
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Núme ro de bo te llas
Probabilidad de que lle gue
Valo r e s pe rado
Un e mbarque
Do s embarques
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el total del embarque y sufrir la consiguiente ruina f nanciera, se reducen de
20% a 4% de probabilidades. El precio que paga por la circunsta cia adicional
de seguridad es la pequeña diferencia entre 80% y 64% probabilidades, de
que el embarque de 100 botellas llegue a salvo: Esto, sin embargo, representa
un valor insignificante respecto al mismo valor esperado (80 botellas a salvo) y
una reducción en las probabilidades de ruina total. De este modo, sin reducir
el valor esperado (rendimiento), ha disminuido el riesgo de ruina total.
Un sumario de la oportunidad de diversificación del comerciante en vinos se
muestra en seguida.
100 0.80 80
50 0.80 40
50 0.80 40
Total (dos embarques) 80
Probabilidad de pérdida total es:
Un embarque: (1.00 – 0.80) = 0.20
Dos embarques: (1.00 – 0.80) x (1.00 – 0.80) = 0.04
La probabilidad de que la cantidad total llegue es:
Un embarque: = 0.80
Dos embarques: = 0.64
El ejemplo anterior muestra como la diversificación es útil al tomar decisiones
en el caso de carteras riesgo-aversivas. La diversificación es el principio
aplicado por los inversionistas, cuando tienen carteras en valores provenientes
de empresas de diversas ramas industriales, con objeto de reducir el riesgo de
rendimientos más bajos. El efecto real de la diversificación es reducir la
inestabilidad de los rendimientos de cartera Por ello, la diversificación reduce
la probabilidad de rendimientos más altos a los espera os, y reduce también
la probabilidad de rendimientos más bajos que los espe s. Pero como la Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla Pág. 108 Cap.IV
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3. Medida de l Ries go de la Carte ra
3.1. Me dia Aritmé tic a (Re ndimiento Es perado de l Valor)
3.2. Rie s go de un Ac tivo
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mayoría de los inversionistas tienen funciones de utilidad riesgo-aversivas, la
diversificación es un enfoque deseable para la selecci n de carteras.
Con base de los puntos de referencia ya mencionados. Pero todavía no
sabemos cómo estimar el riesgo de la cartera. Para hacer esto, es ecesario
aprender las siguientes medidas claves que debe entender todo administrador
de carteras:
Es por eso que lo primero que se debe considerar a la ra de armar un
portfolio, es el cálculo del rendimiento y riesgo de u activo.
La media aritmética se calcula sumando los rendimientos ponderados de
las rentabilidades esperadas de los títulos individual s. La fórmula se
puede definir de la siguiente manera:
En dónde:
= rentabilidad esperada
Oi = rendimiento del valor i
Pi = Probabilidad de ocurrencia del resultado i, donde i , 2, …, n
n = número de observaciones
Las medidas más conocidas del riesgo de un activo son Varianza y su
Desviación Standard. Estas representan la desviación de la media, o dicho
de otra manera, cuanto es probable que se desvíen los endimientos
esperados respecto del valor más probable o medio esperado. Al riesgo
que corre un activo en finanzas se lo conoce como , que debe
entenderse como la “fluctuación” que puede sufrir un activo en el tiempo.
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volatilidad
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GRAFICO A GRAFICO B
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Para entender mejor el concepto de volatilidad veamos siguientes
gráficos:
Precio
En el gráfico A, el activo que es una línea recta carece de volatilidad, pues
siempre sube, lo que se constituye una excelente inversión. El activo de
líneas onduladas, si bien también es una excelente inv rsión, es muy
volátil, pues su precio fluctuaría ampliamente.
En el gráfico B, el activo que es una línea recta también carece de
volatilidad, pues siempre baja, pero es una pésima inversión. El activo de
líneas onduladas, no sólo es volátil sino que también s una pésima
inversión.
Es así que la volatilidad de un activo, si no se manej adecuadamente,
puede ser peligrosa
De esta manera el riesgo se asocia con estas medidas de desviación. Se
parte de calcular la media aritmética de los retornos luego, para cada
observación, se calcula el desvío (o diferencia) con e a media. Como hay
desvíos negativos esto llevaría a que la sumatoria sea cero. Para evitar
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Precio
Tiempo Tiempo
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Varianza
Des viación Típica ó S tandard
.
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esto se eleva al cuadrado cada uno de esos desvíos y luego de sumarlos
todos, posteriormente se los divide por la cantidad de observaciones. El
resultado de esto es la medida estadística conocida como . O
sea, la misma es un promedio ponderado de las desviaciones respecto del
valor medio. Como está elevada al cuadrado, tanto sus res como sus
unidades (elevadas al cuadrado) no son representativas pues serían
unidades al cuadrado y no sirve para sumar y restar al valor medio. Para
lograr esto, se le aplica la raíz cuadrada, obteniendo la medida de
desviación llamada que es la verdadera
medida de volatilidad Las fórmulas se pueden definir así:
Respecto de la desviación estándar se debe tener presente lo siguiente:
a) A mayor desviación estándar, mayor es la variabilidad e activo y por lo
tanto mayor es su riesgo
b) Es una medida estadística muy útil siempre y cuando la distribución de
probabilidad del rendimiento del activo siga una .
La pregunta que el lector se debe estar haciendo es si la distribución de
los rendimientos de los activos financieros en la realidad es normal.
Diversos análisis estadísticos demuestran que los retornos de los activos
financieros tienen una distribución que no es perfectamente normal, si no
que tienen lo que se llama colas elevadas o leptocurtosis: esto implica
que las crisis y las euforias suceden más veces que lo que predice la
distribución normal. Pero dado que esta desviación no es tan pronunciada,
casi toda la teoría de las finanzas está construida sobre la base de que la
distribución de los rendimientos de los activos es normal.
Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla Pág. 111 Cap.IV
Varianza:
Desviación Standard:
s å2 = P i ( - )2
dis tribución norm al
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Lo importante de una distribución de probabilidad es que permite plantear
un modelo de comportamiento que tendría un activo y por lo tanto permite
realizar predicciones. La distribución normal es senci la de describir pues
se necesitan los dos primeros momentos de la distribuc ón de
probabilidad, que son la media y la varianza. Es importante tener presente
que en una distribución normal el intervalo conformado por la media más
un sigma y la media menos un sigma contempla el 68,27% de las
observaciones. En términos de finanzas, significa que observamos el
rendimiento de un activo o un portfolio, 68 veces de cada 100 veces en
distintas muestras el rendimiento del activo se ubicar en ese intervalo. Si
el intervalo se construye sumando y restando 2 sigmas se concentrarán el
95,45% de las probabilidades y si se construye con 3 s gmas o desvíos, el
99% de las observaciones. O sea, cuanto más amplio es intervalo,
mayor cantidad de observaciones se incluyen pero es más impreciso.
Debe tenerse presente que a los fines de la utilización de las medidas de
rendimiento y de riesgo se deben usar en la misma unidad de tiempo.
Como el rendimiento esperado en general es anual, también lo es la
volatilidad esperada.
Si bien la desviación estándar es una de las medidas d riesgo más
conocidas, no es la única y no siempre es la que mejor predice el riesgo
Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla Pág. 112 Cap.IV
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3.3. Re ndimie nto de un portfo lio
Rp = a * wa + b * wb + c * wc + d * wd +....+ n * wn
w
3.4. Rie s go de un portfo lio
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futuro. De hecho, el CAPM4 no utiliza el desvío estándar como medida de
riesgo sino sólo una parte. Más adelante y en especial en el capítulo de
opciones se hará referencia a otras medidas de riesgo.
El rendimiento esperado de un portfolio de activos puede ser calculado
como el promedio ponderado de los rendimientos esperados de los activos
que componen ese portfolio. La ponderación de cada activo se realiza en
función de su capitalización o valor de mercado respec el portfolio total.
La función puede expresarse de la siguiente forma:
En donde:
a,b,c,d ...n representan los rendimientos de cada activo del portfolio
a,b,c,d ..n representa la participación porcentual de cada activo entro del
portfolio en términos de su valor de mercado.
Ejemplo: Supongamos que tenemos 2 activos. El activo A tiene un
rendimiento esperado de 18% mientras que el activo B un rendimiento
esperado de 15%. A su vez, se invierten S/. 400.000 en el activo A y S/.
600.000 en el activo B. ¿Cuál es el rendimiento del portfolio?
Rp = (0.18 * 0.40) + (0.15 * 0.60) = 0.162
Rp = 16.20%
Se había expresado que la medida de volatilidad es la desviación típica o
estándar y eso se relacionaba con el concepto de riesgo. El cálculo del
riesgo de un portfolio no es tan sencillo como en el c del rendimiento
dado que no sólo influye el promedio ponderado de las esviaciones de
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4
CAPM (Capital Asset Pricing Model)
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²p = w² * ² + w²2 * ²2 + 2 * w * w2 * , 2
w²
²
12 = P i * (Oi - µi) * (Oj – µj )
12 = 12 / 1 * 2
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cada activo sino que también influye la correlación ent los mismos, que
permite disminuir el riesgo total del portfolio.
El efecto de la diversificación se mide entonces, con as medidas de
dispersión de la media. Así la varianza de un portfoli de 2 activos puede
expresarse con la siguiente fórmula:
Es decir, la varianza del portafolio depende de las va nzas de cada
activo, pero también depende de la covarianza que existe entre ellos.
En donde:
representan la proporción al cuadrado de cada activo.
representan la varianzas de cada activo.
12 representa la covarianza entre los activos. La misma m como se
relacionan dos activos pero cada uno respecto de su me ia
La ecuación de la covarianza es la siguiente:
El problema que tiene la covarianza es que está expres do en unidades
de la media, por lo que se hace difícil hacer comparac ones entre
covarianzas para ver si dos pares de activos están muy o poco
relacionados. Para solucionar este problema se usa el oeficiente de
correlación, que en realidad es la covarianza estandarizada. O sea que es
igual al cociente de la covarianza ( 12) respecto al producto de sus
desviaciones estándares. O sea
El coeficiente de correlación puede tomar valores entre 1 y –1. Si dos
activos tienen correlación igual a 1, es que tienen co elación perfecta, o
Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla Pág. 114 Cap.IV
s s s s
s
s
s å
r s s s
1 1 1 1
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i
σ
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2p = w 2
1 * 2
1 + w 22 *
22 + 2 * w 1 * w 2 * 1 * 2 * 12
2p = X2
j * 2
j + * * Xj * Xk * jk
²p = X²j * ²j + * * Xj * Xk * j * k * jk
2p = X2
j * 2
j + * * Xj * Xk * jk
Ó
2p = X2
j * 2
j + * * Xj * Xk * j * k * jk
? ??
?
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Teoría del Portafolio
sea que cuando el precio de un activo sube 10% el otro activo sube 10%;
si dos activos tienen correlación igual a –1, es perfecta la correlación pero
inversa, o sea, que cuando un activo baja 10% el otro baja 10%. Y luego
existen todas las correlaciones en el medio.
La varianza de un portfolio de 2 activos usando el coe ente de
correlación se puede escribir como sigue:
La fórmula general para el cálculo del riesgo de un po olio de n activos es
la siguiente:
o también
La fórmula de la varianza del portfolio es:
Una de las cosas más importantes en el cálculo de la varianza del portfolio
es la matriz de varianzas y covarianzas o la matriz de correlaciones, ue
es lo que va a mostrar las relaciones entre todos los ctivos
Matriz de Correlaciones
Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla Pág. 115 Cap.IV
.
s s s s s s
s å s å å s
s å s å å s s r
s å s å å s
s å s å å s s r
1
11
1
1
12 1K
21
K1
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3.5. Re duc c ión de l ries go v ía divers ific ación
2p = (1/N) 2
j + (N-1)/N * jk
e ntonc es s i
N 1/N = 0 y (N-1)/N = 1
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Teoría del PortafolioMatriz de Varianzas y Covarianzas
Si consideramos que tenemos N activos e invertimos la misma proporción
en cada uno de ellos 1/N la fórmula de varianza de un portfolio se puede
reescribir así:
2p = [ ) ]² *
2j + * * [ ] * [ ] * jk
Si sacamos afuera 1/N y (N-1)/N para el segundo término tenemos
2p = [ ] * [ 2
j / N] + (N-1)/N * * * [ jk / (N*(N-1)]
Los términos entre corchetes son promedios o medias. En el primer caso
es simple de ver. En el segundo, hay N valores de j y (N-1) valores de k y
hay (N-1 valores de k, pues k no puede ser igual que j y por eso hay 1
valor menos de k que de j (la covarianza de j y j es la varianza). Por lo
tanto hay un total de N(N- l) o (N2-N) covarianzas. Que sale de la matriz
de varianzas y covarianzas. Por lo tanto el segundo término es la
sumatoria de las covarianzas dividido el número total e covarianzas.
Reemplazando las sumatorias por medias o promedios tenemos:
Esta expresión es una versión más realista de lo que o cuando
invertimos en un portfolio de activos. La contribución de las varianzas de
los activos individuales a la varianza del portfolio es 0 (primera parte de la
Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla Pág. 116 Cap.IV
σσ
σ
σ
σ ∑ σ ∑ ∑ σ
σ ∑ σ ∑ ∑ σ
²1 ?12 ?13 ?1k
²2 ?23
²3
…
²n
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4. Dive rs ific ación por Me dia – Varianza
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fórmula). Sin embargo, la contribución de las covaria zas, a medida que
crece N se asemeja a la media de las covarianzas. Entonces, se puede
decir que el riesgo individual de cada activo se puede eliminar o
diversificar: esto es lo que se llama riesgo no sistemático; pero la
contribución al riesgo total provocado por las covaria zas no, esto es lo
que se llama riesgo sistemático o de mercado. Esto im lica que la mínima
varianza se obtiene para portfolios bien diversificado y es igual a la
covarianza promedio entre todos los activos de la población.
.
Con cuantos activos se puede minimizar el riesgo del portfolio? Se dice
que con 20 o 25 activos se minimiza al máximo el riesgo.
Ya hemos dado las bases de cómo se reduce el riesgo me iante la
diversificación. Estamos listos para mostrar cómo actú el principio de
diversificación. Para entender mejor el significado de la diversificación lo
veremos a través de un ejemplo:
Suponga que el portafolio de un inversionista está conformado por tres valores
en el mercado. En el esquema siguiente se presentan la probabilidades y los
iesgoRiesgo
RiRiesgo
Riesgo SistemáticoDes
viac
iónD
esvi
aci
Cantidad de Acciones
Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla Pág. 117 Cap.IV
En
conclus ión, s i bie n e xis ten be neficios de la dive rs ificación, e l rie s go de un
portfolio no s e puede elim inar totalm e nte sino m inim iz r
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
CAPITULO IV
Teo ría de l Portafo lio
TABLA 1
R E N D I M I E N T O S
PROBABILIDAD A B C
0.10 0.25 0.25 0.100.40 0.20 0.15 0.150.40 0.15 0.20 0.200.10 0.10 0.10 0.25
% de Inve rs ión 35% 30% 35%
Oi
Pi
Rp =
²
?
ij
Re ndimie nto es perado de cada valor
Varianza: 2 = P i ( - )2
De s viación S tandard
Coe fic iente de Correlac ión
Covarianza e ntre lo s re ndimientos ij ?
Re ndimie nto es perado de la Cartera:
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
Teoría del Portafolio
rendimientos posibles. El inversionista cuenta con un capital, que debe
distribuirlo entre los tres, conforme a la información de la tabla.
Las notaciones y fórmulas que se utilizan en el desarrollo del presente
ejemplo son las mismas que se han desplegado en el transcurso del
presente capítulo, y tiene el siguiente significado:
= Rendimiento de valor
= Probabilidad
Rendimiento esperado de la Cartera
Rentabilidad esperada del Valor (Media)
= Varianza
= Desviación Estándar (Típica)
Coeficiente de Correlación
= Covarianza
Las Fórmulas a aplicar en el ejemplo son las siguientes:
:
=
Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla Pág. 118 Cap.IV
:
•
•
� i =
� � � � �? �?�� � �
�
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� � �? � � � � � � �
� �? ��?
� � �
� � ��
ss
s
s å
Ã
s
ij
ij x (
=
�
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
CAPITULO IV
Teo ría de l Portafo lio
Rp = a * wa + b * wb + c * wc + d * wd +....+ n * wn
S OLUCIÓN
Primer pas o
²))
² =
² =
² =
=
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
Teoría del Portafolio
:
En la siguiente tabla se va hacer los siguientes cálculos:
1) Rentabilidad Esperada ( ;
2) Varianza ( ; y
3) Desviación Estándar (Típica) ( , de cada valor:
Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla Pág. 119 Cap.IV
� � � � �
� )s
s
s
s A =
s s B =
ss
TABLA 2
VALOR
A
A
B
B
C
C
C
Oi Pi Pi x Oi (Oi - µ) (Oi - µ)² Pi x (Oi - µ)²
0.09 0.1 0.009 -0.045 0.002025 0.0002025
0.12 0.4 0.048 -0.015 0.000225 9E-050.15 0.4 0.06 0.015 0.000225 9E-05
0.18 0.1 0.018 0.045 0.002025 0.0002025
µ = 0.135 0.000585
0.024186773
0.25 0.1 0.025 0.075 0.005625 0.0005625
0.15 0.4 0.06 -0.025 0.000625 0.00025
0.2 0.4 0.08 0.025 0.000625 0.00025
0.1 0.1 0.01 -0.075 0.005625 0.0005625
0.175 0.001625
0.040311289
0.1 0.1 0.01 -0.006 0.000036 0.00000360.08 0.4 0.032 -0.026 0.000676 0.00027040.12 0.4 0.048 0.014 0.000196 0.0000784
0.16 0.1 0.016 0.054 0.002916 0.0002916
0.106 0.000644
0.025377155
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CAPITULO IV
Teo ría de l Portafo lio
Los re s ultados s e mue s tran en la s iguie nte tabla
TABLA 3
VALOR Re ntabilidad Es pe rada
µi
Varianza
²
De s viac ión Típic a (Es tándar)
A
B
C
S egundo Pas o :
Rp = a * wa + b * wb + c * wc + d * wd +....+ n * wn
Terc er Pas o
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Teoría del Portafolio
Calculo del Rendimiento Esperado de la Cartera (Rp
:
Mientras que la varianza y la desviación estándar mide la variabilidad de las
acciones individuales. Ahora, para que nuestro análisis sea más preciso,
vamos a proceder a ponderar la relación entre la renta idad de dos valores, y
para eso necesitamos hacer uso de dos medidas estadísticas, la Covarianza y
el Coeficiente de variación.
Se ha mencionado que la Covarianza y el Coeficiente de variación. Son
maneras de medir si dos variables al azar se relaciona En nuestra cartera de
tres valores, necesitamos exactamente tres coeficiente de correlación, a
saber:
Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla Pág. 120 Cap.IV
s s
0.135 0.000585 0.024186773
0.175 0.001625 0.040311289
0.106 0.000644 0.025377155
TABLA 4
VALOR
A
BC
Ep = Ep =
)
� � � � �
W i µi Wi x µi
0.35 0.135 0.04725
0.3 0.175 0.05250.35 0.106 0.0371
0.13685
13.69%
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CAPITULO IV
Teo ría de l Portafo lio
? AB
?
?
Calc ulo de la Covarianza ij)
ij = P i * (Oi - µi) * (Oj – µj )
ij ?
Coe ficie nte de Corre lac ión:
TABLA 5
Covarianza AB
Coe ficie nte de Corre lac ión ? AB
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Teoría del Portafolio
coeficiente de correlación para los rendimientos de los valores A y B
coeficiente de correlación para los rendimientos de los valores A y C
coeficiente de correlación para los rendimientos de los valores B y C.
Explicaremos estas medidas en el presente ejemplo apli o en la Tabla 5
los datos ya calculados, en la que procederemos hacer los siguientes cálculos:
1) ( : Se puede calcular en dos pasos:
=
2) Es necesario un paso adicional
-0.384615386043
Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla Pág. 121 Cap.IV
=
AC =
BC =
ij x (
VALORES A y B
Pi
ss å
s å
s
� � ��
� �? ��?
� � �
�� � ??:?:
� ??:? � � ??:? �
•
σ
•
Desviación de la (µi)
(Oi - µi) (Oj - µj) (Oi - µi)*(Oj - µj) Pi*(Oi - µi)*(Oj - µj)
0.1 -0.045 0.075 -0.003375 -0.00033750.4 -0.015 -0.025 0.000375 0.000150.4 0.015 0.025 0.000375 0.00015
0.1 0.045 -0.075 -0.003375 -0.0003375
AB = -0.000375
Paso 1 Paso 2
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Teo ría de l Portafo lio
Covarianza AC
Coe ficie nte de Corre lac ión ? AC
Covarianza BC
Coe ficie nte de Corre lac ión ?BC
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Teoría del Portafolio
Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla Pág. 122 Cap.IV
•
σ
•
σ
•
s
s
VALORES A y C
Pi
VALORES B y C
Pi
Desviación de la (µi)
(Oi - µi) (Oj - µj) (Oi - µi)*(Oj - µj) Pi*(Oi - µi)*(Oj - µj)
0.1 -0.045 -0.006 0.00027 0.0000270.4 -0.015 -0.026 0.00039 0.000156
0.4 0.015 0.014 0.00021 0.000084
0.1 0.045 0.054 0.00243 0.000243
AC = 0.00051
Desviación de la (µi)
(Oi - µi) (Oj - µj) (Oi - µi)*(Oj - µj) Pi*(Oi - µi)*(Oj - µj)
0.1 0.075 -0.006 -0.00045 -0.0000450.4 -0.025 -0.026 0.00065 0.000260.4 0.025 0.014 0.00035 0.00014
0.1 -0.075 0.054 -0.00405 -0.000405
BC = -0.00005
Paso 1 Paso 2
Paso 1 Paso 2
�� � ?????
� ??:? � � ??:? � � � ??:°
�� � ?????
� ??:? � � ??:? � � ??:À
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
CAPITULO IV
Teo ría de l Portafo lio
Covarianza AA
Coe ficie nte de Corre lac ión ? AA
Covarianza BB
Coe ficie nte de Corre lac ión ?BB
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
Teoría del Portafolio
Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla Pág. 123 Cap.IV
•
σ
•
σ
•
s
s
VALORES A y A
Pi
VALORES B y B
Pi
Desviación de la (µi)
(Oi - µi) (Oj - µj) (Oi - µi)*(Oj - µj) Pi*(Oi - µi)*(Oj - µj)
0.1 -0.045 -0.045 0.002025 0.0002025
0.4 -0.015 -0.015 0.000225 0.000090.4 0.015 0.015 0.000225 0.00009
0.1 0.045 0.045 0.002025 0.0002025
AA = 0.000585
Desviación de la (µi)
(Oi - µi) (Oj - µj) (Oi - µi)*(Oj - µj) Pi*(Oi - µi)*(Oj - µj)
0.1 0.075 0.075 0.005625 0.00056250.4 -0.025 -0.025 0.000625 0.000250.4 0.025 0.025 0.000625 0.00025
0.1 -0.075 -0.075 0.005625 0.0005625
BB = 0.001625
Paso 1 Paso 2
Paso 1 Paso 2
�� ?????
� ??:000 � � ??:000 � � ??:?:
�� ?????
� ??:001 � � ??:001 � � ??:?:
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
CAPITULO IV
Teo ría de l Portafo lio
Covarianza CC
Coe ficie nte de Corre lac ión ?CC
Terc er Pas o Calculo de la Varianza ( ²p) y la De s v iac ión típica ( p) de la c arte ra
Wj ij
²p =
p =
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
Teoría del Portafolio
:
Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla Pág. 124 Cap.IV
•
σ
•
s
s s
s s
ss
VALORES C y C
Pi
COMBINACIONES Wi Wi * Wj * ij
AAABAC
BABBBC
CA
CB
CC
Desviación de la (µi)
(Oi - µi) (Oj - µj) (Oi - µi)*(Oj - µj) Pi*(Oi - µi)*(Oj - µj)
0.1 -0.006 -0.006 0.000036 0.00000360.4 -0.026 -0.026 0.000676 0.00027040.4 0.014 0.014 0.000196 0.0000784
0.1 0.054 0.054 0.002916 0.0002916
CC = 0.000644
0.35 0.35 0.000585 0.00007166250.35 0.3 -0.000375 -0.00003937500.35 0.35 0.00051 0.0000624750
0.3 0.35 -0.000375 -0.00003937500.3 0.3 0.001625 0.00014625000.3 0.35 -0.00005 -0.0000052500
0.35 0.35 0.00051 0.0000624750
0.35 0.3 -0.00005 -0.0000052500
0.35 0.35 0.000644 0.0000788900
0.0003325025
0.0182346511
Paso 1 Paso 2
�� ?????
� ??:? � � ??:? � � ??:?:
� �
�
�� �
� �? � �? � �? �
� � �
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
CAPITULO IV
Teo ría de l Portafo lio
p
Pre guntas de Autoe valuación
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
Teoría del PortafolioObserve que la diversificación redujo la varianza de la totalidad de la cartera
de un promedio simple de las desviaciones típicas indi duales:
, a una desviación
típica de la cartera = para el mismo rendimiento esperado
de la cartera El efecto de diversificación representa una
reducción de 0.01172015557 ( , es decir de
un 39.12% en el contenido del riesgo de la cartera.
1. Explique el concepto de cartera.
2. Relacione la valuación de valores y la teoría de cartera.
3. ¿Qué es un riesgo? Explique ¿por qué el gerente de finanzas debe omar
en cuenta tanto sobre la rentabilidad y el riesgo?
4. Cite los pasos que deben seguirse al seleccionar una c rtera. ¿ Qué
problemas se presentan en cada uno de estos pasos?
5. ¿Cuál es el argumento que fundamenta la diversificación? ¿Cuál es el
efecto de esta?
6. ¿Qué medidas estadísticas pueden aplicarse a las carteras p ra preveer
su desarrollo? ¿Qué criterio determina la aplicación de un parámetro?
7. ¿Qué es el coeficiente de correlación? ¿Qué papel desempeña en la
medición del desarrollo de la cartera?
8. Defina la media y la varianza de una cartera con n valores.
9. Usted como inversionista a considerado adquirir tres v lores para su
cartera por lo que ha conseguido la siguiente informac ón:
Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla Pág. 125 Cap.IV
�� � ??: � � ??: � � ??: �
�� � ??:
� ??: � � ??: �
s 0.0182346511
0.13685. Ep =
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CAPITULO IV
Teo ría de l Portafo lio
RENDIMIENTOS
1)
2)
3)
4)
5)
R E N D I M I E N T O S
PROBABILIDAD A B C
0.10 0.15 0.20 0.150.40 0.20 0.15 0.150.40 0.25 0.20 0.200.10 0.10 0.15 0.20
% de Inve rs ión 30% 30% 40%
1)
2)
3)
4)
5)
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
Teoría del Portafolio
Con los datos mencionados calcule:
El Rendimiento esperado para cada acción.
La Varianza para cada acción
La Covarianza para las diferentes combinaciones de valores
El Rendimiento esperado de la Cartera
La Varianza y la Desviación estándar de la Cartera
10. Suponga que el portafolio de un inversionista está conformado por tres
valores en el mercado. En el esquema siguiente se presentan las
probabilidades y los rendimientos posibles. El inversionista cuenta con
un capital, que debe distribuirlo entre los tres, conf rme a la información
de la tabla.
Con los datos mencionados calcule:
El Rendimiento esperado para cada acción.
La Varianza para cada acción
La Covarianza para las diferentes combinaciones de valores
El Rendimiento esperado de la Cartera
La Varianza y la Desviación estándar de la Cartera
Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla Pág. 126 Cap.IV
0.25 0.00 0.04 0.090.25 0.08 0.08 0.120.25 0.16 0.12 0.150.25 0.32 0.16 0.18
% de Inversión 40% 30% 30%
PROBABILIDAD A B C
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
CAPITULO IV
Teo ría de l Portafo lio
REFERENCIALES
DUMRAUF, Guille rmo L.,
GITMAN, Lawrence J.;
JOHNSON, Robe rt; y KUBY, Patric ia
GALLAGHER, To mothy J. – ANDREW Jr., Jos e ph D.
PHILIPPATOS , G.C. “
ROS S, S te phe n A. WES TERFIELD, Rando lph W.; y JORDAN, Bradford
D.;
7. WES TON, J. Fre d – COPELAND Tho mas E.;
WES TON, J. Fred - BRIGHAM, Eugene F.
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
Teoría del Portafolio
1. “Finanzas Corporativas”; Colombia: Edit.
GUIA; Tercera Edición. 2003
2. “Administración Financiera”, México: Edit.
Pearson - Educación, Octava Edición, 2000.
3. ; “Estadística Elemental”;
México. Edit. THOMSON. Tercera Edición 2003
4. “Administración
Financiera”, Colombía: Edit. Prentice Hall, Segunda Edición, 2001
5. Fundamentos de Administración Financiera – Texto y
casos”; México. Edit. Mc Graw Hill. Primera Edición 19 9..
6. ;
“Fundamentos de Finanzas Corporativas”: España: Edit. Mc Graw Hill.
Segunda Edición, 2000
“Finanzas en
Administración”, México: Edit. Mc Graw Hill; Novena Edición – Volumen II,
Enero 1997.
8. “Fundamentos de
Administración Financiera”, México: Edit. Mc Graw Hill; Décima Edición,
1995.
Autor: Lic. Adm. Abdias Armando Torre padilla Pág. 127 Cap.IV