TEOREMA DE BAYES*

Apuntes 1 Bachillerato CT

TEOREMA DE BAYESBayes, con su Teorema, fue el primero en unificar las distintas probabilidades que se pueden dar en un suceso complejo: Probabilidades simples (probabilidades a priori), probabilidades condicionadas (verosimilitudes) y las nuevas probabilidades a calcular (a posteriori).Y todo ello con la ventaja de poder utilizar al diagrama del rbol. Si A1, A2, A3, es un sistema completo de sucesos, y B es un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionadas, entonces las probabilidades de la forma P(Ai / B) se calculan mediante la expresin:

P(Ai).P(B / Ai)P(Ai / B) = ------------------------------------------------------------------------------- P(A1).P(B / A1) + P(A2).P(B / A2) + + P(An).P(B / An)

DondeP(Ai) son las probabilidades a priori.P(Ai / B) son las probabilidades a posteriori.P(B / Ai) son las verosimilitudes.

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Ejemplo 1

En un instituto el 60% de estudiantes son chicas. Asimismo sabemos que el 70% de los chicos viven en la localidad donde est ubicado el instituto, siendo este porcentaje del 85% en las chicas.. Se elige un estudiante al azar y resulta que ha nacido en la localidad. Cul es la probabilidad de que sea chico?.

Resolucin:Probabilidades a priori:P(A)= 60% = 60 / 100 = 0,6 Sea chica.P(O)= 1 P(A) = 1- 0,6 = 0,4 Sea chico.Verosimilitudes: P(A / L) = 85% = 85 / 100 = 0,85 Sea chica y viva en la localidad.P(O / L)= 70% = 70 / 100 = 0,7 Sea chico y viva en la localidad.Probabilidades a posteriori: Por el Teorema de Bayes

P(O).P(L/O) 0,4.0,7 0,28P(O/L) = ---------------------------------- = ------------------------ = -------- = 0,3544 P(A).P(L/A)+P(O).P(L/O) 0,6.0,85 + 0,4.0,7 0,79

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Empleando el diagrama del rbol

P(L/A)=0,850,6.0,85 = 0,51Chica y viva en LP(A)=0,6

P(NL/A)=0,150,6.0,15 = 0,09 Chica y no viva en L

P(L/O)=0,70,4.0,7 = 0,28 Chico y viva en LP(O)=0,4

P(NL/O)=0,30,4.0,3 = 0,12 Chico y no viva en L

P(O/L) = 0,28 /(0,51+0,28) = 0,28/0,79 = 0,3544

De igual manera podemos calcular la probabilidad de que sea chica:P(A/L) = 0,51 /(0,51+0,28) = 0,51/0,79 = 0,6456Observar que la suma de todas las probabilidades resultantes es 1. *

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