Teorema de Taylor

Lafuncin exponencial(lnea roja continua) y su aproximacin mediante un polinomio de Taylor alrededor del origen de coordenadas (lnea verde discontinua).Enclculo, elteorema de Taylor, recibe su nombre delmatemticobritnicoBrook Taylor, quien lo enunci con mayor generalidad en1712, aunque previamenteJames Gregorylo haba descubierto en1671. Este teorema permite obtener aproximaciones polinmicas de una funcin en un entorno de cierto punto en que la funcin sea diferenciable. Adems el teorema permiteacotar el errorobtenido mediante dicha estimacin.ndice 1Caso de una variable 1.1Demostracin 2Caso de varias variables 2.1Demostracin 3Referencia 3.1BibliografaCaso de una variable[editareditar fuente]Esteteoremapermite aproximar unafuncinderivableen elentorno reducidoalrededor de un punto a: (a, d) mediante unpolinomiocuyos coeficientes dependen de lasderivadasde la funcin en ese punto. Ms formalmente, si 0 es unenteroyuna funcin que es derivableveces en elintervalo cerrado[,] y+1 veces en elintervalo abierto(,), entonces se cumple que:1(1a)O en forma compacta(1b)Dondedenota elfactorialde, yes el resto, trmino que depende dey es pequeo siest prximo al punto. Existen dos expresiones paraque se mencionan a continuacin:(2a)dondey, pertenecen a los nmeros reales,a los enteros yes un nmero real entrey:2(2b)Sies expresado de la primera forma, se lo denominaTrmino complementario deLagrange, dado que el Teorema de Taylor se expone como una generalizacin delTeorema del valor medioo Teorema de Lagrange, mientras que la segunda expresin de R muestra al teorema como una generalizacin delTeorema fundamental del clculo integral.Para algunas funciones, se puede probar que el resto,, se aproxima a cero cuandose acerca al ; dichas funciones pueden ser expresadas comoseries de Tayloren un entorno reducido alrededor de un puntoy son denominadasfunciones analticas.El teorema de Taylor conexpresado de la segunda forma es tambin vlido si la funcintienenmeros complejosovalores vectoriales. Adems existe una variacin del teorema de Taylor para funciones con mltiples variables.Demostracin[editareditar fuente]La demostracin de la frmula (1a), con el resto de la forma (2a), se sigue trivialmente delteorema de Rolleaplicado a la funcin:

Un clculo rutinario permite ver que la derivada de esta funcin cumple que:

Se define ahora la funcinGcomo:

Es evidente que esta funcin cumple, y al ser esta funcin diferenciable, por el teorema de Rolle se sigue que:

Y como:

Se obtiene finalmente que:

Y substituyendo en esta frmula la definicin deF(a), queda precisamente la frmula (1a) con la forma del resto (2a).Caso de varias variables[editareditar fuente]El teorema de Taylor anterior (1) puede generalizarse al caso devarias variablescomo se explica a continuacin. SeaBunabolaenRNcentrada en el puntoa, yfuna funcin real definida sobre laclausuracuyas derivadas parciales de ordenn+1 son todas continuas en cada punto de la bola. El teorema de Taylor establece que para cualquier:

Donde la suma se extiende sobre los multi-ndices (esta frmula usa lanotacin multi-ndice). El resto satisface ladesigualdad:

para todo con ||=n+1. Tal como sucede en el caso de una variable, el resto puede expresarse explcitamente en trminos de derivadas superiores (vase la demostracin para los detalles).Demostracin[editareditar fuente]Para demostrar el teorema de Taylor para el caso multidimensional, considrese un funcino campo escalar, que suponemos continuo y, para simplificar lo expuesto (aunque una generalizacin es trivial), de clase. Seauna funcin vectorial que va de, y definmosla como(de ahora en adelante, se omitirn las flechas de los vectores). PongamosAhora hagamosy recordemos que. Notemos ahora que:

Ahora, derivando sucesivas veces, encontramos que podemos poner de forma muy cmoda:

donde el exponente sobre el gradiente es entendido como las sucesivas veces que hacemos el gradiente; es decir, hacemos el producto escalar que est dentro del parntesis, luego volvemos a derivar otra vez la funcin, obteniendo otro producto escalar, y as "n" veces. Ahora, empleando el teorema de Taylor para una variable real, expandimosen su serie de McLaurin:

y haciendo t=1 y sustituyendo las derivadas por las expresiones antes hallada se evidencia que:

Obsrvese que el primer trmino aparece el gradiente y en el segundo la matriz hessiana, pero escrito con esta notacin particular que resulta ms cmoda y compacta. La expresin obtenida es equivalente a la expresada ms arriba mediante la notacin multindice.DESARROLLO EN SERIE DE TAYLOR

La funcinp(x)=a0+a1x+a2x2+..........+anxn, en la que los coeficientes akson constantes, se llama polinomio de grado n. En particular y=ax+b es un polinomio de primer grado e y=ax2+bx+c es un polinomio de segundo grado. Los polinomios pueden considerarse las funciones ms sencillas de todas. Para calcular su valor para una x dada, necesitamos emplear nicamente las operaciones de adicin, sustraccin y multiplicacin; ni siquiera la divisin es necesaria. Los polinomios son funciones continuas para todo x y tienen derivadas de cualquier orden. Adems la derivada de un polinomio es tambin un polinomio de grado inferior en una unidad, y las derivadas de orden n+1 y superiores de un polinomio de grado n son nulas.Si a los polinomios aadimos las funciones de la forma y=p(x)/q(x) (cociente de polinomios, para cuyo clculo necesitamos tambin de la divisin), las funciones raz cuadrada de x y raz cbica de x, y finalmente, las combinaciones aritmticas de los tipos anteriores, obtenemos esencialmente las funciones cuyos valores pueden calcularse por mtodos aprendidos en el bachillerato.A este nivel se tienen nociones de algunas otras funciones tales como log(x), sen(x), ex, ..., pero, aunque se estudian sus propiedades ms importantes, no se da una respuesta a las preguntas: Cmo calcularlas? Qu clase de operaciones, por ejemplo, es necesario realizar sobre la x para obtener log(x) o sen(x)?. La respuesta a estas preguntas la proporcionan los mtodos desarrollados por el anlisis matemtico. Examinemos uno de estos mtodos.Frmula de TaylorSea f(x) una funcin definida en un intervalo que contiene al punto a, con derivada de todos los rdenes.El polinomio de primer grado p1(x) = f(a) + f ' (a) (x-a) tiene el mismo valor que f(x) en el punto x=a y tambin, como se comprueba fcilmente, la misma derivada que f(x) en este punto. Su grfica es una recta tangente a la grfica de f(x) en el punto a.Es posible elegir un polinomio de segundo grado, p2(x) = f(a) + f ' (a) (x-a) + f ' ' (a) (x-a)2, tal que en el punto x=a tenga el mismo valor que f(x) y valores tambin iguales para su primera y segunda derivadas. Su grfica en el punto a se acercar a la de f(x) ms que la anterior. Es natural esperar que si construimos un polinomio que en x=a tenga las mismas n primeras derivadas que f(x) en el mismo punto, este polinomio se aproximar ms a f(x) en los puntos x prximos a a. As obtenemos la siguiente igualdad aproximada, que es la frmula de Taylor:f(x) f(a) + f '(a) (x-a) + (1/2!) f ' '(a) (x-a)2+ ...... + (1/n!) f(n)(a) (x-a)nEl segundo miembro de esta frmula es un polinomio de grado n en (x-a). Para cada valor de x puede calcularse el valor de este polinomio si se conocen los valores de f(a) y de sus n primeras derivadas.Para funciones que tienen derivada (n+1)-sima, el segundo miembro de esta frmula, como se demuestra fcilmente, difiere del primero en una pequea cantidad que tiende a cero ms rpidamente que (x-a)n. Adems, es el nico polinomio de grado n que difiere de f(x), para x prximo a a, en un valor que tiende a cero (cuando x tiende a a) ms rpidamente que (x-a)n.Si f(x) es un polinomio algebraico de grado n, entonces la igualdad aproximada anterior es una verdadera igualdad.Para que sea exacta la igualdad aproximada anterior, debemos aadir al segundo miembro un trmino ms, llamado resto:f(x) = f(a)+f '(a)(x-a)+(1/2!) f ' '(a)(x-a)2+ ...... +(1/n!) f(n)(a)(x-a)n+(1/(n+1)!) f(n+1)(c)(x-a)n+1El resto tiene la peculiaridad de que la derivada que en l aparece debe calcularse en cada caso, no en el punto a, sino en un punto c convenientemente elegido, desconocido, pero interior al intervalo de extremos a y x.La demostracin de la igualdad anterior es bastante engorrosa, aunque sencilla en esencia.Las leyes naturales pueden expresarse, por regla general, con buena aproximacin por funciones derivables un nmero arbitrario de veces, y por ello pueden ser aproximadas por polinomios cuyo grado viene determinado por la precisin deseada.La frmula de Taylor, que abre el camino para la mayora de los clculos en el anlisis aplicado, es muy importante desde el punto de vista prctico.La idea de aproximar una funcin mediante polinomios o de representarla como suma de un nmero finito de funciones ms sencillas alcanz un gran desarrollo en el anlisis, donde constituye ahora una rama independiente: la teora de la aproximacin de funciones.En las siguientes escenas podemos observar cmo lagrfica de las funcionesse va "tapando" con lagrfica del polinomio de Tayloral aumentar el grado del polinomio. Para un valor de x calculamos ladiferenciaentre el valor real y el valor del polinomio correspondiente. Al aumentar el grado del polinomio esa diferencia es cada vez menor. Hemos calculado los polinomios de Taylor para a=0.1.- Aproximacin de la funcin y = sen (x)

Actividades1.- Observa que la funcin y=sen(x) es una funcin impar sen(-x)=-sen(x). El polinomio de Taylor correspondiente slo tiene potencias impares de x.2.- Da valores a x y observa cmo el polinomio de Taylor se aproxima al valor real al aumentar el grado del polinomio.

2.-Aproximacin de la funcin y = cos (x)

Actividades1.- Observa que la funcin y=cos(x) es una funcin par cos(-x)=cos(x). El polinomio de Taylor correspondiente slo tiene potencias pares de x.2.- Da valores a x y observa cmo el polinomio de Taylor se aproxima al valor real al aumentar el grado del polinomio.

3.-Aproximacin de la funcin y = ex

Actividades1.- Observa que para x=1 obtenemos el valor del nmero e.2.- Da valores a x y observa cmo el polinomio de Taylor se aproxima al valor real al aumentar el grado del polinomio.

4.-Aproximacin de la funcin y = ln (1+x)

Actividades1.- Da valores a x (entre -1 y 1) y observa cmo el polinomio de Taylor se aproxima al valor real al aumentar el grado del polinomio.