Teoremas Cálculo Diferencial
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Teoremas importantes del C´ alculo Diferencial Teorema del Valor Intermedio Teorema del Valor Intermedio: Si la funci´ on f (x) es continua en el in- tervalo [a, b], y K es alg´ un n´ umero entre f (a)y f (b), entonces existe al menos un n´ umero c en el intervalo [a, b] tal que f (c)= K. Ejemplo 1: Consideremos la funci´ on f (x)= x 2 . Consideremos el intervalo [0, 4]. Tenemos que f (0) = 0 y f (4) = 16. El n´ umero K = 9 est´ a entre 0 y 16. Por el teorema del valor intermedio, existe al menos un valor c en el intervalo [0, 4] tal que f (c) = 9. En este caso podemos determinar c, pues se tiene que c = 3. Ejemplo 2: Consideremos la funci´ on f (x) = sen(x). Consideremos el in- tervalo π 2 , 3π 2 . Tenemos que f ( π 2 ) =1y f ( 3π 2 ) = -1. El n´ umero K = 0 est´ a entre -1 y 1. Por el teorema del valor intermedio, existe al menos un valor c en el intervalo π 2 , 3π 2 tal que f (c) = 0. Con la misma funci´ on y en el mismo intervalo, para el n´ umero K = 17 22 , el teorema del valor intermedio afirma que existe un valor c en el intervalo [ π 2 , 3π 2 ] tal que f (c)= 17 22 . ¿Cu´ al es ese n´ umero?. Una ra´ ız de una funci´ on es un valor r para el cual f (r) = 0. En muchas ocasiones es de gran inter´ es determinar las ra´ ıces de una funci´ on, problema que puede llegar a ser muy complicado. M´ etodos num´ ericos (como el m´ etodo de Newton-Raphson) se han desarrollado para dar soluci´ on a este problema, bajo ciertas hip´ otesis. En particular, el teorema del valor intermedio se puede usar para demostrar la existencia y el c´ alculo de ra´ ıces de las funciones continuas en algunos intervalos. El c´ alculo de las ra´ ıces de una funci´ on tomar´ a importancia en el estudio de m´ aximos y m´ ınimos. 1
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Teoremas útiles en el Cálculo Diferencial, que nos pueden ayudar para resolver ciertos problemas.
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Teoremas importantes del Calculo Diferencial
Teorema del Valor Intermedio
Teorema del Valor Intermedio: Si la funcion f(x) es continua en el in-tervalo [a, b], y K es algun numero entre f(a) y f(b), entonces existe al menosun numero c en el intervalo [a, b] tal que f(c) = K.
Ejemplo 1: Consideremos la funcion f(x) = x2. Consideremos el intervalo[0, 4]. Tenemos que f(0) = 0 y f(4) = 16. El numero K = 9 esta entre 0 y 16.Por el teorema del valor intermedio, existe al menos un valor c en el intervalo[0, 4] tal que f(c) = 9. En este caso podemos determinar c, pues se tiene quec = 3.
Ejemplo 2: Consideremos la funcion f(x) = sen (x). Consideremos el in-
tervalo[pi
2,
3pi
2
]. Tenemos que f
(pi2
)= 1 y f
(3pi2
)= 1. El numero K = 0 esta
entre 1 y 1. Por el teorema del valor intermedio, existe al menos un valor cen el intervalo
[pi2,
3pi
2
]tal que f(c) = 0.
Con la misma funcion y en el mismo intervalo, para el numero K =17
22, el
teorema del valor intermedio afirma que existe un valor c en el intervalo [pi
2,
3pi
2]
tal que f(c) =17
22. Cual es ese numero?.
Una raz de una funcion es un valor r para el cual f(r) = 0. En muchasocasiones es de gran interes determinar las races de una funcion, problema quepuede llegar a ser muy complicado. Metodos numericos (como el metodo deNewton-Raphson) se han desarrollado para dar solucion a este problema, bajociertas hipotesis. En particular, el teorema del valor intermedio se puede usarpara demostrar la existencia y el calculo de races de las funciones continuas enalgunos intervalos.
El calculo de las races de una funcion tomara importancia en el estudio demaximos y mnimos.
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Teorema de Rolle
Teorema de Rolle: Sea f(x) una funcion continua en el intervalo [a, b] yderivable en el intervalo (a, b). Si f(a) y f(b) valen ambos cero, existe al menosun numero c en el intervalo (a, b) para el cual
f (c) = 0.
Ejemplo 1: Consideremos la funcion f(x) = x2 1 y el intervalo [1, 1].Se tiene que f(1) = 0 y que f(1) = 0, por lo que existe algun numero c en elintervalo (1, 1) tal que f (c) = 0.
Ejemplo 2: Consideremos la funcion f(x) = sen (x) y el intervalo [0, 2pi].Se tiene que f(0) = 0 y que f(2pi) = 0, por lo que existe al menos un numero cen el intervalo (0, 2pi) tal que f (c) = 0.
Los valores en los que la derivada se anula (o no existe) son llamados puntoscrticos de la funcion. El teorema de Rolle establece condiciones para las cualesse puede determinar la existencia de un punto crtico en un intervalo.
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Teorema del Valor Medio
Teorema del Valor Medio: Si f(x) es una funcion continua en el intervalo[a, b] y derivable en el intervalo (a, b), entonces existe al menos un valor c en elintervalo (a, b) para el cual
f (c) =f(b) f(a)
b a .
Ejemplo 1: ;)
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