Teoria Cuerpos Dario Sanchez 2004

Darío Sánchez H Teoría de Cuerpos y de Galois 1

Teoría de CuerposJosé Darío Sánchez Hernández

Bogotá-Colombia, Junio del [email protected]@tutopia.com

El objeto de estas notas es brindar al lector un modelo de aprendizaje. A continuaciónencontrará más de cien resultados básicos, entre los cuales se hallan definiciones, teoremas,corolarios y algunos ejemplos, es posible que encuentre la manera de volver a redactar algunos,por favor hágalo, de forma que los pueda recordar después. Para las demostraciones esindispensable el uso de una biblioteca con un buen número de textos de teoría de Cuerpos yteoría de Galois, en esta forma el estudiante utiliza tácticas de investigación y empleará labiblioteca. Luego encontrará resultados en donde se ha dado una posible demostración, la cualse supone es correcta, sin descartar la posibilidad de que haya algunos errores; el lector deberárevisarlas analizando cual de los resultados básicos se han utilizado en la prueba.

§1. RESULTADOS BASICOS1.Un dominio es Euclidiano ( anillo conmutativo con elemento unidad)V V

si existe tal que. À V Ö!× , I À a+ß , − V Ö!× . +, . +"

tal que con .I À a+ß , − V Ö!×ß b;ß < − V + œ ,; < < œ !ß ” ß . < . ,#

2. Un dominio es principal si todo ideal de es principal.V V

3. Un dominio es factorial si (no inversible), puede ser escrito como producto finito deJ À a+ − V"

elementos irreductibles Si es una colección de elementos irreductibles y J À Ö: × Ö; ×# 3 "Ÿ3Ÿ8 4 "Ÿ4Ÿ7

es otra colección de elementos irreductibles de tales queV : † : † á † : œ ; † ; † á † ;" # 8 " # 7

entonces y permutaciones de tales que 8 œ 7 b − Ö "ß #ßá ß7× : µ ;3 3 Ð3Ñ3

(es decir, esta asociado con ): ;3 Ð3Ñ3

4. , donde forma una clase de elementos asociados y esB µ " Í B − Y YE E

llamada una clase minimal ( es un anillo conmutativo . ConsideramosE Ñ

los elementos de E œ E Y ∪ Ö!×µ

E

•B Í B E Í B − E aC − E ÒClB Ê C µ BÓµ µ µ es irreducible es minimal en Š ‹Š ‹

•B Í B − E aCß D − E B µ C † D Ê BlC ” BlDµes irreductible Š ‹

5. dominiosŠ ‹ Š ‹ Š ‹dominios dominios dominiosEuclidianos principales factoriales § § § Ö ×

ÁÁ ÁÅ Å

&™ ™ ™ ™Š ‹ È" "*#

È


3 V ; Í ; Ê ; un anillo, es primo es un número primo es irreductible33 V ; Í ; factorial, es primo es irreductible•V Ê Ê principal Š ‹ Š ‹Toda sucesión estrictamente Toda familia de ideales

ascendente de ideales es finito tiene un elemento maximal

•V V es llamado un anillo Noetheriano cuando todo ideal de esfinitamente generado.• Š ‹V Í anillo Noetheriano Toda sucesión estrictamente

ascendente de ideales es finita

Í Š ‹Toda familia de idealestiene un elemento maximal

•V Í V es principal es factorial y todo ideal primo es maximal

6.Sea un anillo y consideremos /E EÒBÓ œ Ö+ + B â + B + − E×! " 8 38

donde se define la adición y la multiplicación en la siguiente forma À

+:Œ Œ3 3 3

3 3 3 33 3 3+ B , B œ + , B

† À + B † , B œ + , BŒ Œ3 3

3 3 4 543 3 5

5 4œ!

5

•EÒBÓ es un anillo.

• es un dominio es un dominioEÒBÓ Í E

•Sea un elemento de , es llamado un polinomio en con0 B EÒBÓ 0 B B

coeficientes en . es el grado de y es el mayor tal queE K<0 B 0 B 8+ Á !8 .•Si es un dominio de integridad entoncesE

K< 0 B † 1 B œ K<0 B K<1 BSi no es un dominio de integridad, esta igualdad no es verdadera, comoEcontra-ejemplo tómese en 0 B œ #B $B "ß 1 B œ #B $ Î% Þ# $ ™ ™

•EÒ\ß ] Ó œ EÒ\Ó Ò] Ó \] œ ] \suponiéndose que

• EÒ\Ó Ò] Ó œ EÒ] Ó Ò\Ó

•EÒ\ ß\ ßá ß\ Ó œ EÒ\ ß\ ßá ß\ Ó Ò\ Ó" # 8 " # 8" 8

•Si es un conjunto cualquiera W EÒWÓ œ EÒW Ó

W § W

H/0∪

α

α0383>9

7.Sea un cuerpo. Entonces es un anillo euclidiano.O OÒBÓ

•OÒBÓ OÒBÓes un dominio principal, entonces es un anillo factorial

•Sea donde es un anillo. Si es tal que ,0 B − EÒBÓ E − E 0 œ !α α

entonces existe tal que .2ÐBÑ − EÒBÓ 0 B œ B † 2 Bα


•Si es un dominio y es de grado , entonces tiene a loE 0 B − EÒBÓ 8 0 B

máximo raíces en .8 E

•Sea un dominio, de grado menor o igual que , talesE 0 B ß 1 B − EÒBÓ 8

que son iguales para valores distintos entonces 0 B ß 1 B 8 " 0 B œ 1 B

•Sea un dominio infinito entoncesE 0 B ß B ßá ß B − EÒB ß B ßá ß B Ó" # 8 " # 8

existen tales que .α α α α α α" # 8 " # 8ß ßá ß − E 0 ß ßá ß œ !

8.Sea un anillo factorial entonces es un anillo factorial.V VÒBÓ

• Si es un anillo factorial entonces también es un anilloV VÒB ß B ßáB Ó" # 8

factorial.•Sea un anillo factorial, , seV 0 B − VÒBÓ 0 B œ + + B + B â + B! " # 8

# 8

define de como el máximo común divisor de suscontenido 0 B

coeficientes o sea . œ -98> 0 B œ 7Þ.Þ- + ß + ßá ß +! " 8

Así donde o igual .0 B œ . † 0 B -98> 0 B µ "" "

•Un polinomio se dice si su contenido es uno o sea1 B primitivo-98> 1 B œ " Ê 1 B se dice primitivo.•-98> 0 B 1 B œ -98> 0 B † -98> 1 B

•Sea un dominio factorial, su cuerpo de fracciones, sea V O 1 B − OÒBÓ

entonces" − O 1 B − VÒBÓ 1 B œ † 1 B Existe , existe primitivo tal que α α" "

# 1 B VÒBÓ − OSi es otro polinomio primitivo de y tal que# "

1 B œ 1 B V" %# , entonces existe elemento irreductible de tal que1 B œ 1 B 1 1 VÒBÓ" # " #% . En particular y son polinomios asociados en $ 1 B ß 2 B − OÒBÓ ß 1 B † 2 B µ 1 B † 2 B Si entonces " " "

% 1 B OÒBÓ 1 B VÒBÓ es irreductible en si y sólo si es irreductible en ."

9. Sea un anillo factorial y sea entonces es irreductibleV 0ÐBÑ − VÒBÓ 0 B

en si y solamente siVÒBÓ

" 0ÐBÑ − V V ”K<0 B " (irreductible sobre ) # 0 B es primitivo$ 0 B OÒBÓ es irreductible en .

En particular, si es mónico entonces es irreductible en0ÐBÑ − VÒBÓ 0 B

OÒBÓ 0 B VÒBÓsi y solamente si es irreductible en .ñ 0 B œ + + B + B â + BCriterio de Eisenstein: Sea un! " # 8

# 8

polinomio con coeficientes en un anillo factorial , sea su cuerpo deV Ofracciones y un elemento irreductible tal que: − V entonces es irreductible en : l + :l+ ß a3 8ß : l+ 0 B OÒBÓ

8ß 3 !#

10. Oß ß † es un cuerpo si


es un grupo abelianoG À Oß "

es un grupo abeliano, donde G À O ß O œ O Ö!×#‡ ‡†

G À - + , œ -+ -, ß a+ß ,ß - − O$

ñ P ß O § P O #ß O es un cuerpo y el cardinal de es mayor que es unsubcuerpo si es un cuerpo.Oß l ß lO O†ñ Esta definición es equivalente a WG À +ß , − O Ê + , − O"

WG À +ß , − Oß , Á ! Ê œ +, − O#+,

"

11.Sea un cuerpo, se considera definida por , O À O 8 œ 8": ™ : :O

es un homomorfismo ™ : ™Î µ Ð Ñ § O ker:

Como es un cuerpo, entonces es un dominio, luego es unO : ™ :kerideal primo. Si entonces con primo. Si ker ker ker: : ™ :Á ! œ : : œ !

entonces ker: œ ! Þ

ñ Se llama de un cuerpo a la dimensión del núcleo de lacaracterísticaaplicación , la cual es si , o, (número primo) si .: : :! œ ! : Á Ð!Ñker ker12. Sea un cuerpo. es un si no existe subcuerpoO O cuerpo primopropio en , es decir, .O P § O Ê P œ O=?,-?/<:9

ñ O Sea un cuerpo. Entonces" P O Existe un único cuerpo primo contenido en .# -+> O œ : P µ : Si entonces .…

Si entonces -+> O œ ! P µ

ñ U : y los con primo son los únicos cuerpos primos.…:

ñ O O PßSea un cuerpo. Si es un subcuerpo de un cuerpo entoncesdecimos también que es una del cuerpo Este hecho seP OÞextensión

simboliza como .OlP

13. Sea un cuerpo y una extensión . puede ser consideradoO P POlP

como un -espacio vectorial, el cual puede ser de dimensión finita oOinfinita.ñ ÒP À OÓ Se llama grado de una extensión y lo notamos por a la dimensióndel -espacio vectorial sobre .O Pñ OßPßQ Sean cuerpos y consideremos la triple extensión o torre

OlPlQ

, entonces ÒQ À OÓ œ ÒQ À PÓÒP À OÓ

14.Sea una extensión y ( un subconjunto), el menor cuerpoOlP

W § P Wentre y que contiene a , esO P W


O W œ Q∩O § Q § P W § Q

Q -?/<:9

llamado el subcuerpo de generado por P WÞ

ñ O W œ Ö0 = ß = ßá ß = Î0 B ß B ßá ß B − OÒÖB × Ó× Q . Si es el cuerpo de" # < " # < −Wα α

fracciones de tenemos entoncesOÒWÓ O W ¨ Q ¨ OÒWÓ

O W œ OÒWÓ œ 1 = ß = ßá ß = Á !œ ‚cuerpo de fracciones de 0 = ß= ßá=1 = ß= ßáß= " # >

w w w" # <

" #w w w

>

Si en ese caso W œ Ö>× O > œ 5 ß 6 − Oš ‚ ›5 5 >â5 >6 6 >â6 > 3 3! " 8

8

! " 77

6 6 > â 6 > Á !! " 77

Si , W œ Ö> ß > × O > ß > œ" # " #0 > ß>1 > ß>

0 B ßB −OÒB ßB Ó1 B ßB −OÒB ßB Ó•1Ð> ß> ÑÁ!š ‚Š ‹›" #

" #

" # " #

" # " # " #

15.Si tal que entonces decimos que es generado por W § P P œ O W P Wì W § P P œ O W ß P Si existe (finito) tal que decimos que es finitamentegenerado sobre .O

ì O P Oß PSea un cuerpo y una extensión de si puede ser obtenidoO ßlP

por para algún , entonces decimos que es una extensión simple.O > > P

ì O W § P P œ O WSea una extensión de , si existe finito tal que ,OlP

entonces se dice que es una extensión finitamente generada de .P O

16.OlP

se dice una extensión finita si y solamente si es un -espacioP O

vectorial de dimensión finita, así es una extensión finita equivale aOlP

decir que existen elementos que tal que6 ß 6 ßá ß 6 P" # <

P œ O6 O6 âO6 Ö6 ß 6 ßá ß 6 ×" # < " # < ,o sea, que es una base delO PÞ-espacio vetorial

ì Si es una extensión finita, entonces es una extensión finitamenteO Ol lP P

generada.La recíproca de esta afirmación es falsa.

ì ß ÒP À OÓ œ " Í P œ OSea una extensión entonces OlP

ì OÒBÓßO Bl

O B

[ ] es una extensión finitamete generada de pero no es unaextensión finita.

17. Sea un cuerpo, una extensión de y . es O O − POlP

α α algebraicosobre si existe tal que .O 0 B − OÐBÑ Ö!× 0 œ !α

ì − P Oα α se dice un elemento sobre si y sólo si no estrascendenteun elemento algebraico sobre .O


ì O P À OÒBÓ OÒ Ó § P

5 B È 5Sea y cuerpos es un homomorfismo< α <

αα α

33

33

,

de anillos. es algebraico si sólo si α <ker α Á !

ì OÒBÓ œ T BEl único polinomio de tal que es llamadoker<α αˆ ‰lO

polinomio irreductible polonimio sobre o también es llamado Ominimal de sobre .α O

18.Las siguientes afirmaciones son equivalentes+ O es algebraico sobre α, OÒ Ó œ O α α

- ÒO À OÓ œ K<T B es finito.α αlO

19.Si es un monomorfismos, un elemento algebraico sobre ,: αÀ O Q O

" : : :

:

una raíz arbitraria de donde ‡ ‡lO B

3 33 3

ˆ ‰T À OÒBÓ O ÒBÓ

5 B 5 BÈα

entonces existe un homomorfismo que es una extensión: α "w À O Ode o un levantamiento de .: :

20. O O − PlP

una extensión del cuerpo , , algebraico sobreα α

O − P T B O, una raíz el polinomio entonces existe un -" αlO

isomorfismo de sobre , que manda sobre . Un -: α " α "w O O Oisomorfismo es aquel que mantiene fijos a los elementos de , es decir,O:w 5 œ 5ß a5 − O.

21. Una extensión se dice;OlP

, si todo es algebraico sobre .extensión algebraica α − P OExtensión trascendente, si existe algún trascendente sobre ." − P OExtensión simple, si existe tal que .α α− P P œ OExtensión finita si el grado es finito.ÒP À OÓ

22.Si es una extensión finita, entonces es una extensión algebraica.O Ol lP P

23. Sea una extensión de , . Si es algebraico sobre OlP

O − P Oα α

entonces es una extensión finita y por lo tanto algebraica.Ol

O α


24. Sea una extensión de , tales queOlP

O ß ßá ß − Pα α α" # 8 =

P œ O ß ßá ß Í ß ßá ßα α α α α α" # 8 " # 8, así es algebraica son algebraicosOlP

sobre OÞ

25. es una extensión algebraica , es algebraico sobre .Ol

P œ O W

Í a= − W = O

26. . son algebraicos sobre sonOlP

Bß C − P Bß C Oß Ê ß C Á !ß B Cß BCß BC

algebraicos sobre .O

27.Sea una extensión de , es algebraico sobre .OlP

O P œ Ö − PÎ O×! α α

Entonces es un cuerpo llamado la de en yP O P! clausura algebraica

es claro que es una extensión algebraica sobre . OlP!

O

28.Sea , es algebraico sobre es un cuerpo que se llama

‚l α ‚ α œ Ö − Î ×

el cuerpo de los números algebraicos y Ò À Ó œ ∞

29.Sean y extensiones es algebraico y es algebraico esP O P O Ol l l l lQ P Q P Q

, . Í

algebraico.

ñ P O Sean extensiones donde es la clausura algebraica de ,P Ol lP P

!

!

, !

entonces todo elemento que es algebraico sobre , pertenece a .α − P P P! !

30. O Í Ql

Q QlP:

Sea una extensión. es algebraico para todo cuerpoO Ol lP P

intermediario entre y , y para todo -endomorfismo entonces P O Á ! O: :

es un -automorfismo de .O Q

31.Un cuerpo es algebraicamente cerrado si satisface una de lasO

siguientes condiciones equivalentes:3 O No existe extensión algebraica estricta de 33 a0ÐBÑ − OÒBÓ " 0 B O de grado , tiene una raíz en 333 0ÐBÑ − OÒBÓ O "Si es irreductible sobre entonces él tiene grado 3@ a0ÐBÑ − OÒBÓ ß ßá ß − O 0 B œ B â B , existen tal que α α α α α" # 8 " 8

32. Sea un cuerpo, una extensión de , es una cerraduraO P ¨ O O P

algebraica de siO

3 es algebraico yOlP

33 P es algebraicamente cerrado.


33.Sea un cuerpo algebraicamente cerrado, sea un cuerpo tal queP O

P ¨ O O œ Ö − PÎ O× es una extensión, sea es algebraico sobre ! α α

entonces es una cerradura algebraica de .O O!

34.Sea un cuerpo cualquiera. EntoncesO

3 OÞ Existe una cerradura algebraica de 33 P ß P O Si son cerraduras algebraicas de entonces ellos son" #

O b À P P O-isomorfos, es decir, isomorfismo que deja fijo.: " #

35.Sea un cuerpo. Sea un polinomio irreductible de gradoO 0ÐBÑ − OÒBÓ

mayor que o igual a uno, entonces existe una extensión en la cual P 0 Btiene una raíz.36.Sea un cuerpo, no necesariamente irreductible entoncesO 0ÐBÑ − OÒBÓ

existe extensión de y tal queP O ß ßá ß − Pα α α" # 8

.0 B œ B B â Bα α α" # 8

37. Si se tienen polinomios distintos entonces existe8 0 ß 0 ßá ß 0 − OÒBÓ" # 8

una extensión tal que cada polinomio puede ser factorizado en factoresPlineales.38. Sea un cuerpo entonces existe una extensión tal que para todoO P

polinomio no constante , existe tal que .0ÐBÑ − OÒBÓ − P 0 œ !α α

39. Sea una cerradura algebraica de un cuerpo , unH :O À O Ow

isomorfismo, una cerradura algebraica de . Si es una extensiónHw wO O

Pl

algebraica entonces existe la cual es un monomorfismo y que es3 HÀ P w

una extensión de tal que | =: 3 :O

40. Sea una clausura algebraica de . un -isomorfismo de sobreH :O O P

: : H < H < :P − M=9 Pß − E?> ÎO œ o sea entonces existe tal que | .O P

41.Sea , , entonces el conjuntoO − T B T B œ B â BlH

α H α αα αlO lO " 8

Ö ß ß ßá ß ×α α α α α" # $ 8 será llamado el conjunto de los conjugados de .42. Sea entonces conjugados de α H α 5 α 5 H− Ö × œ Ö Ð ÑÎ − E?> ÎO ×

43.Sea un cuerpo, . Sea , es un cuerpo de fracciones deO 0ÐBÑ − OÒBÓ O P

Pl

0 B si CF se factoriza en factores lineales en , es decir, existen" À 0 B PÒBÓ

α α α α α α α" # $ 8 " # 8ß ß ßá ß − P 0 B œ B B â B tal que CF : # " # $ 8P œ O ß ß ßá ßα α α α

44.Sea un cuerpo, . EntoncesO 0ÐBÑ − OÒBÓ

3 0 B Existe un cuerpo de factorización para 33 P ß P 0 B Si son dos cuerpos de factorización de entonces existe" #

: : :À P P O" # sobre tal que es un -isomorfismo


45.Sea . es cuerpo de fracciones de siÖ0 B Î0 B − OÒBÓß − × œ P# # # A ¹ ¹

3 0 − PÒBÓ Todos los se descompone en fractores lineales en # ¹

33 P œ O Ö 0 B − ×raíces de , para todos los # # A

46. Sea como en la definición 45, entonces¹

3 P Existe cuerpo de factorización33 OEs único módulo un -isomorfismo.

47. Una extensión es si las condiciones siguientes sonO

Pl

normalequivalentes:+ P OÒBÓ es el cuerpo de factorización de una familia de polinomios de .¹

¹ œ Ö0 B − OÒBÓ×+ + A−

, P − M=9 Pß ß ÐPÑ § PSea una cerradura algebraica de . Para todo H : H :O

- 0ÐBÑ − OÒBÓ PSi es un polinomio irreductible teniendo una raíz en ,entonces él tiene todas las raíces en .P

48.Sea un cuerpo y una extensión de . es normal si y solamenteO O O O

P Pl l

si todo .5 H 5− E?> l ß P œ PO

49. tal que , entonces es normal.O ÒP À OÓ œ # O

P Pl l

50.Sea un cuerpo, una cerradura algebraica de . Si es normal y O O O P

R

Hl

es algún cuerpo intermediario estonces es una extensiónOPR P

Rl

normal.51. Sea un cuerpo, una cerradura algebraica de cuerpoO Oß PH

intermediario. Sea es irreductible, tiene una raíz en ¹ œ Ö0ÐBÑ − OÒBÓÎ0 B 0 B P×

Sea el cuerpo de factorización de esa familia . EntoncesR ¹

" R P O

R

es la menor extensión que contiene a tal que es normall

# ÒP À OÓ ÒR À OÓSi es finito entonces es finito.

52.Sea extensión normal una familia de extensiones normales,œ O

Pl+

+ A−

entoncesŠ ‹" O

∩ P

l+ +

es normalŠ ‹

# O

O ∪ P

l+ +

es normal.


53.Sea un cuerpo de característica . es un isomorfismoO : À O OÈ

:α α:

: O œ ÖC − OÎbB − Oß C œ B×:

3 O O œ Oes perfecto si :33 O O § O

Á no es perfecto si :

ì O OSi es un cuerpo finito entonces es perfectoì O OSi es algebraicamente cerrado entonces es perfecto.54.Si es algebraicamente cerrado y entonces existe un único talH α H "−

que ." α: œ

55.Sea un cuerpo de característica , una cerradura de O : OH

.P œ O œ Ö − Î − O×":

": α H α

es perfecto si y sólo si , tiene una raíz en .O a+ − O B + − OÒBÓ O:

ì P" es un cuerpoì O œ O œ Ö − Îb8 − À − O×

8 œ !

∞" ": :∞ 8

8∪ α H α:

O O"

:∞ es un cuerpo perfecto, y el menor cuerpo de que contiene a H

ì O § Pß O ß O P

Pl extensión algebraica si es perfecto entonces es

perfecto.56.0 B es un polinomio inseparable si él satisface una de las siguientescondiciones equivalentes: PIS : tiene una raíz múltiple en " 0 B H PIS : y tienen raíces en común.#

w0 B 0 B PIS$

wÀ 0 B œ !

PIS% " 3 8<†: <" †: <3 †:À 0 B œ + B + B â + B â +

!

œ + B + B â + B â +!

: : :< <" <3" 3 8

o sea que .0ÐBÑ − OÒB Ó:

57.Un polinomio irreductible es llamado no inseparable si y sólo si es0 B

separable si y sólo si no tiene raíces múltiples.0 Bì O 0 BSi la característica de es igual a cero y es irreductible entonces0 B es separable.58. es separable si todos los factores irreductibles de son0ÐBÑ − OÒBÓ 0 B

separables.59.Sea un cuerpo perfecto esto es equivalente a decir que para todoO

polinomio irreductible entonces es separable.0ÐBÑ − OÒBÓ 0 B

60.Sea un cuerpo no perfecto, sea la característica de . SeaO : Á ! O

+ − O O / − Ö!× B + − OÒBÓ: :. Entonces para todo , es irreductible./

61.Sea , , entonces0ÐBÑ − OÒBÓ 0 B œ B + B â +8 8" 8

"

" 0 B 7 El número de raíces distintas de es igual a (= grado del!

polinomio separable grado de separabilidad de )0 C œ 0 B!


# : La multiplicidad de cada raíz es igual a (=grado de inseparabilidad/

de ).0 B

62.Sea un cuerpo una cerradura algebraica de , es separableO O O −lH

α H

sobre si es un polinomio separable.O T BαlO

ì T B Í T B Íα αlO lOes separable no tiene raíces múltiples todos losconjugados de son distintos.α

63.Sea una torre de extensiones de es separable si yO P Oß O

P

Hl

sólo si , es separable sobre .a − P Oα α

64. Sea una extensión de , se dice R R − Q

Ql

" puramente inseparablesobre si existe tal que .R 8 − R":8

ì REn particular todos los elementos de son puramente inseparables.

65.Sea , en adelante una torre de extensiones sobre .Q R Q R

Rl

lH

H

Si es puramente inseparable entonces R M=9 Qß œ ÖM.×

Ql

R H

66.Sea una extensión de y una extensión de entonces se tieneO O P P

P Ql l

O P O

P Q Ql l l

y son extensiones separables si y solamente si es una extensiónseparable.67. Sea una extensión algebraica. EntoncesP ¨ O es separable sobre y puramente inseparable sobre O œ Ö − PÎ O O×α α α

68. " O P œ OP

P

Si es una extensión separable entonces se tiene l

:

# O P œ OP O

P P

Si es una extensión finita y entonces es separable.l l

:

69. Sea un cuerpo de característica una cerradura algebraica,O :ß H

α H−

O À

O

O

α

α

H

:l

l

l Las siguientes afirmaciones son equivalentes

3 O es separable sobre .α

33 O

O

es separablelα

333 O œ O Þ α α:


70. son elementos separables sobre si y solamente siα α α" # 8ß ßá ß O

es una extensión separable.O

O ß ßá ßl

α α α" # 8

71. Sea una familia de generadores es una extensión separable si yW O

O Wl

solamente si para todo es separable sobre .B − W O

72. Sean y cuerpos y O P O § O § P =/:

" O œ Ö − PÎ O× es separable sobre es un cuerpo=/: α α

# O

O

es una extensión separablel=/:

$ O

P

es una extensión puramente inseparablel

=/:

% ÒP À O Ó ÒP À O Ó :Si es finita entonces es igual a una potencia de .=/: =/:

73. Sea un cuerpo y una cerradura algebraica de .O OH

O œ Ö − Î O ×! α H α es separable sobre es llamado la cerradura separable de .O

74. Sea un cuerpo y una extensión de . es una extensiónO P O O

Ol=/:

separable cuyo grado de de sobre se denota .separabilidad P O ÒP À OÓ=/:

es una extensión puramente inseparable cuyo grado es llamadoO

Pl

=/:

grado de de sobre y se nota y se tieneinseparabilidad P O ÒP À OÓ38=/:

ÒP À OÓ œ ÒP À OÓ † ÒP À OÓ=/: 38=/: .75. Sea un cuerpo de característica . Sea y . Sea elO : − T B 8α H αlO !

grado de separabilidad de el grado de inseparabilidad deT B ß :αlO/

T B 8 œ ÒO À OÓ ß : œ ÒO À OÓαlO ! =/: 38=/:/. Entonces .α α

76.Sea un cuerpo (en adelante denotaremos ) una extensiónO O RÎO

Rl

normal, un cuerpo intermediario tal que sea una extensión finita.P PÎO

Entonces # M=9 PßR œ ÒP À OÓO =/: .

77.Sea cuerpos tal que es normal , sonO § P § Q § R RÎO PÎOß QÎP

finitas entonces . Como consecuenciaÒQ À OÓ œ ÒQ À PÓ † ÒP À OÓ=/: =/: =/:

también los grados de inseparabilidad .ÒQ À OÓ œ ÒQ À PÓ † ÒP À OÓ38=/: 38=/: 38=/:

78.)3 3 3

À M=9 QßR M=9 PßR ‚ M=9 QßRÈ l ß

O O P

Pw

donde , es una biyección.3 3 3wP

"œ l ‰

µ


79. . Sea tal que esÒP À OÓ lE?> Pl l O § P § R RÎO =/: O

normal y finita separable entonces .PÎO ÒP À OÓ œ lM=9 PßR lO

80.Sea una extensión finita normal, es llamado PÎO E?> PÎO grupo deGalois de es un grupo con la operación composición dePÎOÞE?> PÎO

funciones. Se puede establecer una correspondencia biunívoca entre lossubcuerpos intermediarios , de a , con los subgrupos de .Q P O E?> PÎO

¹ ´ Æ Æœ ÖQÎO § Q § Pß Q × ß œ Ö Î E?> PÎO × cuerpo subgrupos de K À J À

QÈK Q ÈJ œ Ö − PÎ Ð Ñ œ ß a − ×¹ ´ ´ ¹

Æ Æ α 5 α α 5 Æ

J Æ es llamado el cuerpo fijo.81. Teorema de Galois Sea una extensión finita normal separable.PÎO

Entonces" J ‰ K œ M. • K ‰ J œ M. K K , es una biyección, es un auto-

isomorfismo de retículos

# QÎO Í E?> PÎQ œ K Q – E?> PÎOnormal -en ese caso E?> QÎO µ E?> PÎO ÎE?> PÎQ$ ‰ K Q œ lE?> PÎQ l œ ÒP À QÓ

82.TÎU ÖB − TÎ ÐBÑ œ Bß a − E?> TÎU × œ normal. 5 5

puramente inseparable sobre œ ÖB − TÎB U×

83.PÎO una extensión finita separable entonces existe solamente unnúmero finito de cuerpos intermediarios entre y .O P

84.Sea una extensión finita normal, separable, sea una extensiónPÎO R

cualquiera de entoncesOß" RPÎR normal, finita separable

# E?> RPÎR µ E?> PÎR ∩ P$ E?> RPÎR ∩ P µ E?> RPÎP ßE?> RPÎR .


ì O 0ÐBÑ − OÒBÓ P 0 BSea un cuerpo , cuerpo factorización de . El grupode Galois de es 0 B E?> PÎO Þ

ì Ö ß ßá ß × 0 B P œ O ß ßá ßSean las raíces distintas de . α α α α α α" # 8 " # 8

85. B B B œ B B $ #$ $ $

$α " # " #ˆ ‰ Š ‹ Š ‹α α α# $

$

œ B B ˆ ‰ ˆ ‰Š ‹ Š ‹Š ‹α α α α α α$ $ $ $ $ $

$" # "

# $ #

$

se toma y se tiene . cuerpo de] œ B 1 ] œ ] +] , Pα$

$

factorización de . no es cuadrado perfecto1 lE?> PÎO l œ ' Í %+ #(,$ #

en .O

86.Si es un anillo de división finito, entonces es un cuerpo.O O

ì Todo cuerpo finito tiene un número de elementos igual a una potenciade un número primo .: : œ G+<+->ÞO

87.Sea , una cerradura algebraica de . Sea un número entero… H … : : 8 −

cualquiera entonces existe un único cuerpo tal que y deO § O § … H:

manera que . Además se sigue que es el cuerpo delOl œ : O8

factorización del polinomio , de manera que es normal.B B OÎ::

8…

88. Sea un cuerpo finito, existe una única extensión de tal7 − ßO O

que .ÒP À OÓ œ 7

89. Sea un cuerpo finito entonces es un grupo cíclico.O O œ O Ö!×‡

90.Sea un cuerpo posiblemente infinito . Sea un subgrupoO § O> ‡

finito del grupo multiplicativo entonces es cíclico.>

91.Sea un cuerpo finito. Entonces es cíclico dondeO œ E?> O3

3 À B È B: el cual claramente es sobreyectivo, y conocido comoautomorfismo de Frobenius.92.Si son dos cuerpos finitos , entoncesPß O O œ P œ… …: :8 7

" § Í 8l7 … …: :8 7

Š ‹¹# E?> À B È B En ese caso es cíclico e igual a donde … … 7 7: ::

7 88

cuyo orden es 78

93. PÎO es abeliano resp. cíclico si el grupo de Galois, esdecir, es abeliano resp. cíclico . Así toda extención finita deE?> PÎO

cuerpos finitos es una extensión cíclica.94. Elemento primitivo . Sea un cuerpo y una extensión separableO P

finita de . Entonces existe tal que .O − P P œ Oα αì Toda extensión finita de los racionales es simple.95.Sea una extensión finita de . Entonces existe tal quePÎO O − Pα

P œ O α si y sólo si existe solamente un número finito de cuerpos entreO P y .


96.Sea una extensión separable. Si existe tal que PÎO 8 a − Pα

1<+.T B Ÿ 8 ÒP À OÓ Ÿ 8αlO entonces .97.Sea un grupo finito. Entonces es subgrupo de un grupo deK K

permutaciones. Tómese permutaciones del conjunto Î ÑÏ ÒK K

1 È À Kp KC 1CÈ:1

98. Teorema de Artin Supongamos que es un cuerpo, unP K § E?>Psubgrupo finito. Sea . EntoncesO œ Ö − PÎ Ð Ñ œ ß a − K×α 5 α α 5

" PÎO es normal separable# E?> PÎO œ K .

99.Sea un grupo finito entonces existe una extensión normalK PÎO

separable tal que .E?> PÎO ¸ K

100.0 œ B B â B ß 0 œ B B B B â B B B B â B B" " # 8 # " $ " 8 # $ 8" 8"#

á 0 œ B B âB 0 ß 0 ßá ß 08 " # 8 " # 8. Los polinomios son llamados polinomiossimétricos elementales en letras y son tradicionalmente designados por8= ß = ßá ß =" # 8, respectivamente.101.Si entonces se dice una -ésima raíz de la unidad.B œ "ß B 88

ì − œ Ö8 × œ " Á "Si -ésimas raíces de la unidad es tal que y para0 > 0 088 <

todo , entonces decimos que es una -ésima raíz primitiva de la< 8 80unidad. Además es generado por una de las raíces primitivas. es un> >8 8

grupo cíclico.102.Existe una -ésima raíz primitiva si y solamente si donde 8 8ß : œ " :

es la característica de .H103.Sea un cuerpo, sea una -ésima raíz primitiva de . Sea unH 0 8 " O

subgrupo de . EntoncesH" O ÎO es normal separable.0

# ÒOÐ Ñ À OÓ 8 Þ0 :es un divisor de $ E?> O lO es isomorfo a un subgrupo de0

™ ™Î8 œ Ö< − Ö!ß "ß #ßá ß 8 "×Î <ß 8 œ "×‡

que es un grupo multiplicativo que tiene elementos.: 8% O œ E?> l µ Î8 Si tenemos que y en ese caso 0 ™ ™ ‡

Ò À Ó œ 8 8 œ" 8 œ ": ß ß :ß 8 œ "

0 : : œ donde , si si

104.Sea una extensión de . Supongamos que contiene unaPÎO O O

8-ésima raíz primitiva de la unidad. Entonces" PÎO 7 PÎO Si es una extensión cíclica de grado (es decir, es normal,

separable y tal que es cíclico) entonces tal que E?> PÎO b − P P œ OÐ Ñα α

y con .T B œ B + + − OαlO7

# œ P B , Si con raíz de la ecuación , entonces la extensión es" " 7

cíclica y el grado de ella es un divisor de .ÒP À OÓ 7:


105 Artin Sea , , distintas. Entonces ellas son: : :" # < Oß ßâ − M=9 P Q

linealmente independientes sobre .Q

MÓDULOS106. Sea un anillo entonces es un -módulo a izquierda siV Q V

RM : es un grupo abeliano" Qß RM es tal que# À V ‚Q Q

<ß7 È<7

ÚÝÝÛÝÝÜ3 < 7 7 œ <7 <7 ß a< − Vß a7 ß7 − Q33 < < 7 œ < 7 < 7ß a< ß < − Vß a7 − Q333 < < 7 œ < < 7 ß a< ß < − Vß a7 − Q3@ " † 7 œ 7ß a7 − Q

" # " # " #

" # " # " #

" # " # " #

107. Sea un anillo, una familia de -módulosV ÖQ × Vα α A−

#α A

α α α−

Q œ Ö0 À Q Î0Ð Ñ − Q ×A αα∪

es un -módulo con las operaciones llamado móduloV Š ‹01 œ0 1<0 œ <†0 ß a<−V

α α αα α

producto.ì Q œ Ö0 − Q Î0 ×Si se considera con las operaciones#

α αα α α αSPUNFI

inducidas, es un -módulo llamado externaV suma directa

Con indicaremos .WTYRJM salvo para un número finito de índices108.Sea un anillo un -módulo, , es submódulo de siV ßQ V R § Q R Q

SM es un subgrupo de " À Rß Qß SM .# À V ‚ R œ VR § R109.Sean , dos -módulos y una aplicación. es unQ Q V 0 À Q Q 0" # " #

V-homomorfismo de módulos si RHM" " # " #À 0 7 7 œ 0 7 0 7 RHM , .# À 0 <7 œ <0 7 a< − V

110.Si es abeliano, sea dos -módulos entonces consideremosV Q ßQ V" #

es -homomorfismoL97 Q ßQ œ Ö0 À Q Q Î0 V ×V " # " #

L97 Q ßQ VV " # es un -módulo con las operaciones 0 1 7 Þ œ Þ0 7 1 7 0ß 1 − L97 Q ßQ V " #

<0 7 Þ œ Þ<0 7 < − Vß 0 − L97 Q ßQ V " #

111.Sea un -módulo, siendo un -módulo se puede considerar elQ V V V

conjunto de los -homomorfismos , es un -móduloV Q œ L97 QßV V‡V

llamado el .DualSe puede aún considerar Q œ L97 L97 QßV ßV œ L97 Q ßV‡‡ ‡

V V V

es también un -módulo llamado V Bidual.

112.Sea un anillo fijo y un -módulo fijoV Q V


3 ÖQ × V Q Q−

Si es una familia de -submódulos de entonces esα αα A− ∩α A

un -módulo de .V Q

33 X Q X œ Ö < > Î< − Vß > − X× Sea un subgrupo de , es un0383>+

3 3 3 3

submódulo de y es el menor que contiene a . Llamado submóduloQ Xgenerado por .X333 R Q Un submódulo de es finitamente generado si

, | | finito tal que X § Q X R œ X 3@ R X œ Ö7× es cíclico, si existe tal que

R œ 7 œ Ö<7Î< − V× œ V7Si entonces X œ Ö7 ß7 ßá ß7 × X œ Ö< 7 < 7 â > 7 Î< − V×" # > " " # # > > 3

œ V7 V7 âV7" # >

113. 3 7 − Qß 7 < Á ! Sea es un elemento de torsión si existe quepertenece a tal que V <7 œ !

33 Q V Sea un -módulo sea M œ Ö< − VÎ<7 œ !ß a7 − Q× œ Ö< − VÎ<Q œ !× œ E Q88

M V Q es un ideal bilateral de llamado el de .anulador

114.Sea un anillo y un -módulo, un submódulo de . Como V Q V R Q Q

es un grupo abeliano y es un subgrupo de podemos formar el grupoR Qcociente de por .QÎR Q R

, donde , QÎR œ ÖB RÎB − Q× B R œ ÖB 8Î8 − R×

Tomando , entonces es un -móduloV ‚QÎR QÎR QÎR V<ß7 R È <7R

llamado módulo cociente.115.Sea un -homomorfismo de módulos, entonces e0 À Q R V 0kerM71Þ0 V Q Rson -módulos de y respectivamete.116.Sean -módulos. Sea un -homomorfismo deQ ßQ V 0 À Q Q V" # " #

módulos sobreyectivo entonces .Q Î µ Q" 0 #kerñ Q V Q Q Q Sea un -módulo, y dos submódulos de . Entonces" #

Q Q ßQ ∩Q Q" # " # son submódulos de y se tiene Q Q Q

Q ∩Q Q" " #

" # #¶

117. Sea un anillo, un -módulo, una familia deV Q V ÖR ×α α A−

V Q Q-submódulos de . es interna de sus submódulos suma directaRα si," Q œ R ∪

α α

# R ∩ R œ Ö!×ß a α "∪" αÁ

α

Se denota Q œ RŠα A−

α


118. 3 V Q V W § Q W Sea un anillo, un -módulo y sea . es linealmenteindependiente sobre si entonces V < = œ ! < œ ! ß a3

038>+= −W3

3 3 3

33 Q V W § Q es un -módulo si existe tal quelibre ML es linealmente independiente sobre " À W V ML # À W œ Q

donde es finito W œ Ö < = Î < − Vß = − Wß M ×3−M

3 3 3 3

119.Sea un anillo conmutativo y un -módulo libre entonces todasV Q V

las bases de tienen el mismo cardinal llamado el de Q QÞrango

120. Sea un dominio principal. Sea un -módulo libre de rangoV Q V

finito un submódulo de , entonces7ßR Q" R 8 Ÿ 7 es un módulo libre, de rango # B ß B ßá ß B ß B ßá ß B - ß - ßá ß - − V Existe una base , y existen tal" # 8 8" 7 " # 8

que es una base de con , es decir,- B ß - B ßá ß - B R - l-" " # # 8 8 3 3"

- œ >- Í - § Ð- Ñ3" 3 3" 3 .121.Sea un dominio principal, un -módulo finitamente generadoV Q V

(eso quiere decir que puede encontrarse tal que para] ß ] ßá ß ] − Q" # 7

todo , ). Entonces existen B − Q B œ < ] B ß B ßá ß B ß B ßá ß B − Q3œ"

7

3 3 " # 8 8" 7

tales queðóóóóóóóóóóóñóóóóóóóóóóóò ðóóóóóóóóñóóóóóóóóò" Q œ VB Š VB ŠâŠVB Š VB ŠâŠVB " # 8 8" 7

TEVXI HI XSVWMSR TEVXI PMFVI

# E B œ - - − Vß E B œ - - − Vßá ßE B œ - con con 88 " " " 88 # # # 88 8 8

con , son elementos sin torsión donde (es- − V B ß B ßá ß B - l-8 8" 8# 7 3 3"

decir, ). Además esta descomposición es única, es- § - 7 83" 3

llamado el rango de . son los invariantes de torsión.Q - ß - ßá ß -" # 8

122.Todo -módulo es imagen homomórfica de un -módulo libre. SiV Q V

además es finitamente generado entonces es imagen homomorfaQ Qde un -módulo libre de rango finito:V < À V Q

È

Š7 − QV œ V

Ö< ×< † 77

7 7−Q7

7

: À V Š V ŠâŠV Q œ V] âV]7 @/-/=< ß < ßá ß <

È < ] â < ]

ðóóóóóóñóóóóóóò-

" # 7

" 7

" " 7 7

123.Sea un -módulo, es de torsión es un submódulo deQ V Ö7 − QÎ7 ×

Q Q que es llamado el submódulo de torsión de .124.Sea un -módulo de torsión, un elemento primo de R V : V

sea una potencia del ideal R œ ÖB − RÎE B : ×: 88

para algún œ ÖB − RÎE B œ : V > ×88>

Sea representantes de los elementos irreductibles de P œ Ö V×


ideales principales primos¼ œ Ö ×

Para cada escogemos un generador así entoncesM − T œ ÖT ÎM − ×ß¼ ¼M MPR œ R

: −ŠP

:.

125.Sea un dominio principal. Sea un -módulo finitamenteV R V

generado. Si es un -submódulo entonces es finitamente § R Vgenerado y tiene un número de generadores menores o iguales alnúmero de generadores de .R

126. Sea un -espacio vectorial de dimensión .Z O 8

3 L97 Z ß Z O también es un -espacio vectorial con las operacionesO

0 0 @ œ 0 @ 0 @ "" # " #

50 @ œ 50 @ #33 L97 Z ß Z " es un anillo con las operaciones, adición como en O

y como composición ‰ 0 ß 0 È 0 ‰ 0" # " #

333 50 ‰ 0 œ 0 ‰ 50 œ 5 0 ‰ 0 $ " # " # " #

Un conjunto que satisface y es llamado una -álgebra." ß # $ O

127.Sea un cuerpo, un -espacio vectorial de dimensión . es enO Z O 8 Z

particular un grupo abeliano con respecto a la adición. Si en estaZdefinida una multiplicación • tal que sea un anillo con identidad conZrespecto de y • además α α α+ † , œ + † , œ + † ,para todo y todo decimos que es una -álgebra deα − O +ß , − Z Z Odimensión finita ( cuerpo finito).8 O

128.Sean y dos -álgebras es llamado un morfismo deZ Z O 0 À Z Z" # " #

O O-álgebras o -homomorfismo de álgebras si KMA" À 0 8 7 œ 0 8 0 7 KMA# À 0 8 † 7 œ 0 8 † 0 7 KMA$ À 0 5 † 7 œ 50 7

129.Sea un -espacio vectorial sobre se puede definir unaZ O Z

estructura de -módulo medianteL97 Z ß ZO

L97 Z ß Z ‚ Z Z0ß @ 0 @È

O

aplicación ésta que es llamada .evaluación

130. Sea un -espacio vectorial de dimensión finita. Z O − L97 Z ß Z3 O

Se define < 3

3: OÀ OÒBÓ OÒ Ó § L97 Z ß Z

1 B È1

Se considera de manera natural una estructura de -módulo sobre OÒBÓ Z

de la manera siguiente OÒBÓ ‚ Z Z

1 B ß @ 1 @È 3


Se escribirá queriendo decir que se considera con su escritura deZ Z3

O-módulo definida vía el morfismo .<3

131.Z OÒBÓ OÒBÓ3 es un -módulo finitamente generado, como es undominio principal, entonces Z œ [ Š[ ŠâŠ[ Š [ ŠâŠ[3 ðóóóóóóóóóñóóóóóóóóóò ðóóóóóóñóóóóóóò" # 8 8" 7

TEVXI HI XSVWMSR TEVXI PMFVI

[ OÒBÓ [ œ OÒBÓC ß C − Z3 3 3 3 es -módulo cíclico o sea .3ì Z OÒBÓ3 es un -módulo de torsión.Se debe mostrar que a@ − Z b1ÐBÑ − OÒBÓ 1 B Á ! 1 B † @ œ 1Ð Ñ † @ œ !3 3

Se considera , es una aplicación lineal entre -< <3

3 3,Z ßZÀ OÒBÓ Z O0 B È0 † @

espacios vectoriales. Como es de dimensión infinita y es deOÒBÓ Z

dimensión finita no es inyectiva, esto prueba la afirmación.<3ßZ

132.Así con Z œ [ Š[ ŠâŠ[ E [ œ E C œ 1 B ß3 " # 8 88 " 88 " "

E [ œ E88C œ 1 B ß âßE [ œ E C œ 1 B 1 B l1 B ß88 # # # 88 8 88 " " 3 3" con 1 B − C Z3 ßC 3ker<3 33

, generador de ì 1 B Z8 es el polinomio minimal de 3

ì 1 B 1 ß 3 œ "ß #ßá ß 8 "8 3 es un múltiplo de todos los ì 1 B † 1 B † â † 1 BEl producto es llamado polinomio característico" # 8

de .3133.Los dependen de además es independiente de y1 B ß 1<+.1 B3 3

33 3

es igual a la dimensión de , y podemos escribirZ 1 B œ B + B â + œ T B âT B3 " >

> > "3"< <

3=3 3 3" 3=

Z œ [ ŠâŠ[ œ OÒBÓC ŠâŠOÒBÓC3 " 8 " 8

donde es llamado submódulo primario.[ ŠâŠ[ œ OÒBÓC"T " 3T3" 3=

134. Sea una -álgebra, sea un -espacio vectorial entonces un -P O Z O O

homomorfismo de álgebras es llamado una: À P L97 Z ß ZO

representación de .P

135.Sea se considera es unaZ œ Pß V À P L97 PßPBÈ V À P P

C CBÈ

O

B

representación llamada representación regular.ì P ZSea una representación de entonces podemos definir sobre una:estructura de -módulo de la manera siguienteP P ‚ Z Z

Bß @ È B @:

o sea se define sobre lo que se conoce con el nombre de una acción deZP Z sobre .ì Z O PRecíprocamente si es un -espacio vectorial sobre el cual actua (esdecir, tiene una estructura de -módulo) entonces podemos definir unaZ Prepresentación de de la manera siguienteP


::

À P L97 Z ß ZBÈ À Z Z

@ È B@

O

B

‡‡‡‡‡‡

§2 RESULTADOS PROBADOS.

1.Mostrar que si es un dominio principal, es un ideal primo entonces V T Á Ð!Ñ T

es un ideal máximal.SOLUCIÓN: Basta probar que si entonces .a+ − V • + Â T T ß + œ V

Sea el ideal generado por y por . Como es principal, existeT ß + T + V. − V T ß + œ . : − Ð.Ñ Í b< : œ <. tal que entonces tal que .

Sabemos que es primo, entonces es irreductible así peroo,T :

. µ "ß

. µ :œ. µ : . µ : Í . œ : œ T no se tiene ya que si , entonces+ − Ð.Ñ œ Ð:Ñ • + Á T po . µ " entonces, esta contradicción implica que así Ð.Ñ œ ÐT ß +Ñ œ Ð"Ñ œ VÞ

2.Para la otra dirección, es decir, supongamos factorial y todo idealV

primo es maximal.Á Ð!Ñ

+ Mostrar que todo ideal primo es principal, M V Si es un ideal cualquiera de , considere

ideales de tal que • •• principal•••S œ

E VE Á V E E ¨ M

œ,Þ" Á Mostrar que ø .S

,Þ# Mostrar que existen elementos minimales en S.,Þ$ œ VC Considerar un tal elemento de , y considerar el conjunto´ S

.M À VC œ ÖB − VÎBC − M×

Mostrar que es un ideal de y que .M À VC V M œ M À VC † C

,Þ% M À VC œ V M œ VC Mostrar que y que luego es principal.SOLUCIÓN: Sea un ideal primo distinto de entonces sea + T ! ! Á + − T

como es factorial existen elementos irreductibles tales que V : ß : ßá ß :" # <

+ œ : † : † á † :" # <

entonces existe un tal que 3 − Ö"ß #ßá ß <× : § T3


Si demostramos que es un ideal primo, entonces es maximal o sea:3que , teniéndose la afirmación.: œ T3

Veamos entonces que es primo, sean y . Como: 7 † 7 − Ð: Ñ 7 Â Ð: Ñ3 " # 3 " 3

V 7 : " es un anillo factorial el máximo común divisor de y es , así" 3

existen tales que multiplicando por se tiene<ß = − V " œ <7 =: 7" 3 #

7 œ >7 7 =7 :# " # # 3

aquí y , luego y por lo tanto es un7 † 7 − Ð: Ñ =7 : − Ð: Ñ 7 − Ð: Ñ :" # 3 # 3 3 # 3 3

ideal primo.,Þ" M V M § Á V Para existe un ideal maximal de tal que , además ,À À ÀÀ À maximal, tiene elemento unidad, entonces es primo, esteVresultado es un corolario de los siguientes dos hechos:" V Sea un ideal diferente de . Entonces es un ideal primo si yÈ È

solamente si no tiene divisores de cero.VÎÈ

# V VÎ Si tiene elemento unidad, es maximal si y solamente si es unÈ È

cuerpo. Luego de la parte es principal por ser primo , así y+ −À À SS Á ø.,Þ# Consideremos una sucesión estrictamente decreciente de ideales

principales que contiene M .Ò+ Ó ¨ Ò+ Ó ¨ â ¨ VC ¨ M

Á Á Á Á" #

Siendo factorial entonces (factores irreductibles)V + œ : â:" " 5

tiene por lo menos elementos irreductiblesÒ+ Ó ##

ã

tiene por lo menos elementos irreductiblesÒ+ Ó 88

Como , irreductible . Nótese que+ − Ò+ Ó Ê + œ + = œ : : á: ; á; ; a3# # " " # 8 " = 3"

la sucesión del tipo de arriba no puede ser infinita, pues en casocontrario los elementos de quedarían descompuestos en un productoMinfinito de factores irreductibles. Por lo tanto habrá un ideal menorprincipal conteniendo a . VC M,Þ$ 3 : − M À VC • ; − M À VC entonces esto significa que

: − Vß :C − M • ; − Vß ;C − Mahora como es un dominio y como es un idealV : ; − V M: ; C œ :C ;C − M : ; − Vß : ; C − Mß : ; − M À VC o sea que luego 33 V M À VC § M À VC Veamos que

Sea esto significa que existe tal que; − V M À VC B − V • > − M À VC; œ B † > > œ > C − M À VCß > − V ; œ B > C œ B> Cß B> − V pero así, como ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

se tiene que .; œ B> C − M À VC‡

Ahora ya que claramente Sea entoncesM œ M À VC † Cß M À VC † C § MÞD − M M § VC D œ BC B − V como , entonces con .Ahora que entonces en esta formaBC œ D − Mß B − M À VC ßD œ BC − M À VC C de donde se tiene la igualdad.


,Þ% M À VC Á V M À VC § V FÁ

Supongamos esto significa que , así existe

ideal maximal tal que donde no es la unidad.M † VC § F œ VDß DMultiplicando por se tieneC M œ M À VC † C § VDC § VC œ C Á ‡

‡ C − DC C œ ?DC esta contenencia es extricta ya que si entonces , comoestamos en un dominio y sería invertible o una unidad. Esto" œ ?D D

significa entonces que no es un elemento mínimo de lo cual´ œ VC poSes contradictorio.Luego , en esta formaM À VC œ V M œ M À VC † C œ VC œ Ces principal.

3.Sea ; sea un cuerpo cualquiera. Mostrar que los anillos™ œ Ö/8>/<9=× O

™ÒBÓ OÒBß CÓy son factoriales, pero no son primos.SOLUCIÓN: Como es anillo factorial entonces es factorial por lo™ ™ÒBÓ

tanto basta hallar un ideal de que sea primo pero no maximal, en™ÒBÓ

efecto, consideremos B œ ÖT B œ + B À + − ×

3 "3 3

30383>9

™

o sea el conjunto de los polinomios cuyo término constante es nulo, esclaro que es un ideal, veamos que es primo; en efecto seaB 0 œ 0 0 B 0 B â 0 B − ÒBÓ! " # 8

" # 8 ™

1 œ 1 1 B 1 B â 1 B − ÒBÓ! " # 7" # 7 ™

mostremos que o, 01 œ ! B Ê 0 ´ ! B ß 1 ´ ! Bo equivalentemente que 01 ´ ! B • 1 Î́ ! B Ê 0 ´ ! B

pero si entonces y como entonces o sea01 ´ ! B 0 1 œ ! 1 Î́ ! B 1 Á !! ! !

0 1 œ ! • 1 Á ! ÒBÓ! ! ! . Puesto que no tiene divisores de cero se tiene que™

0 œ ! 0 ´ ! B B! o sea que de donde es primo.Ahora es claro que , donde es el ideal engendrado porB § B # B #los polinomios cuyo término constante es un múltiplo de dos, esto indicaque no es maximal ya que .B B # Á ÒBÓ™

Ahora tomemos un cuerpo entonces es un anillo factorial,O OÒBß CÓ

veamos simplemente que existe un ideal primo que no es maximal.En efecto, sea un elemento irreductible, como es un dominio factorialB Oentonces es un ideal primo, el cual esta estrictamente contenido enBBß C Bß C, ideal engendrado por con término constante nulo, puesto que

B § Bß C § OÒBß CÓÁ Á

Se sigue que no es maximal, de donde no es principal.B OÒBß CÓ


4.Sea un dominio, de grado . Mostrar que si ellosV 0 B ß 1 B − VÒBÓ Ÿ 8

coinciden en valores distintos, entonces ellos son iguales8 " .SOLUCIÓN:Sean tal que , . Sea0 B ß 1 B − VÒBÓ 1<+.0 B Ÿ 8 1<+.1 B Ÿ 8

2 B œ 0 B 1 B 0 Bel polinomio formado haciendo la sustracción de con es claro que1 B ß .1<+. 0 B 1 B Ÿ 1<+.0ß 1<+.1 Ÿ 8maxPuesto que y coinciden en valores distintos entonces 0 B 1 B 8 " 2 B

tendría raíces distintas, como entonces necesariamente8 " 1<+.2 B Ÿ 8

2 B œ !ß aB

Luego 0 B œ 1 B ß aBÞ

5.Sea un dominio, si ,V 0 B œ + B + B â + B + − VÒBÓ8 8" " !8 8"

entonces se define la derivada de por0 Bw

0 B œ 8+ B â + œ 3+ Bw 8" 3"8 " 3

3œ"

8

" 0 B 1 B œ 0 B 1 B Muestre que y quew w w

0 B † 1 B œ 0 B 1 B 0 B 1 Bw w w

# 0 B 0 B 0 BMostrar que tiene una raíz múltiple si y sólo si y tienenw

una raíz en común.

SOLUCIÓN: y entoncesŒ" 0 B œ + B 1 B œ , B3œ! 4œ!

8 7

3 43 4

, así0 B 1 B œ + , B3

3 33

0 B 1 B œ 3 + , B œ 3+ 3, Bw

3 " 3 "3 3 3 3

3" 3"

œ 3+ B 3, B œ 0 B 1 B3 " 3 "

3 33" 3" w w

Ahora , con , así 0 B 1 B œ - B - œ + , 0 B 1 B œ 3- B3 ! 4œ! 3 "

3 3 4 34 33 3"

3w

Se sigue que

0 B 1 B œ 3+ B , B œ 4+ , Bw 3" 3 3"

3 " 3 ! 3 " 4œ!3 3 4 34

3

0 B 1 B œ + B 3, B œ + 3 4 , Bw 3 3" 3"

3 ! 3 " 4œ!3 3 4 34

3

3

Así

0 B 1 B 0 B 1 B œ 4+ , B + 3 4 , Bw w 3" 3"

3 " 4œ! 3 " 4œ!

3 3

4 34 4 34

œ Ö4 3 4 ×+ , B œ 3 + , B œ 0 B 1 B3 " 4œ! 3 " 4œ!

3 3

4 34 4 343" 3" w


# Ê Ñ 0 B 0 B 0 œ ! Sea una raíz común a y . Como entoncesα αw

existe tal que . Derivando tenemos2 B − EÒBÓ 0 B œ B † 2 Bα

0 B œ 2 B B 2 Bw wαhaciendo ; se tieneB œ α ! œ 0 œ 2 2 œ 2w wα α α α α α

o sea que es una raíz de por lo tanto existe tal queα 2 B 2 B − EÒBÓ"

2 B œ B 2 Bα "

o sea que en esta forma tiene una raíz múltiple en0 B œ B 2 B 0α #"

B œ α.É 0 B 2 B − EÒBÓ) Sea ahora una raíz múltiple de entonces existe α

tal que . Derivando se tiene0 B œ B 2 Bα 7

0 B œ 7 B 2 B B 2 Bw w7" 7α αTomando se obtieneB œ α

0 œ 7 2 2w 7" 7α α α α α α αentonces es una raíz de , así y tienen una raíz común,α 0 B 0 B 0 Bw w

aquí debe ser mayor que o igual a .7 #

Si entonces y no es raíz de .7 œ " 0 œ 2 Á ! 0 Bw wα α α

6.Mostrar que no es un número racionalÈ$

SOLUCIÓN: Consideremos el polinomio el cual es unT B œ B $#

elemento de . Como es un cuerpo de fracciones, según el criterio ÒBÓ

de Eisenstein

entonces es un polinomio irreductible en . Luego no existe T B ÒBÓ − α

tal que ya que, si existe , entonces paraT œ ! − T B œ B 2 Bα α α

algún y el grado de es uno. Como es irreductible2 B − ÒBÓ 2 B T B

entonces es una unidad de , esto es una contracdicción ya2 B ÒBÓ po

que las unidades en son las constantes y .ÒBÓ 1<+. 2 B œ "

Nótese que = Análogamente no es una unidad ya queα αÈ$Þ B

1<+. B œ "Þ $ ÂÈα α Luego = .

7.Sea un dominio, sea , mostrar que es invertible en si y sóloV + − V + V

si, él es invertible en es decir , que los elementos invertibles de VÒBÓß VÒBÓ

son los de VÞ

SOLUCIÓN:Si es invertible en , entonces tal que (claramente+ V b, − V +, œ "

+ Á ! , Á ! V § VÒBÓ y ). Como , entonces , y , + œ + !B â !B , œ , !B â !B8 7

entonces + !B â !B † , !B â !B œ +, !B â !B8 7 78

œ " !B â !B87


que es el elemento unidad de , luego esVÒBÓ + œ + !B â !B8

invertible en .VÒBÓ

Recíprocamente, supongamos que es invertible en esto es, existe+ VÒBÓ

: B œ , , B â , B − VÒBÓ! " 77 tal que

+ !B â !B , , B â , B œ " !B â !B8 7 <! " 7

o lo que es equivalente a +, +, B â +, B œ " !B â !B! " 7

7 <

según la definición de polinomio y la igualdad entre polinomios se sigueque: +, œ "ß +, œ !ß 3 "ß 7 œ <! 3

de aquí se recibe que elemento de o sea que es invertible en .+, œ "ß , Á ! V + V! !

8.Sea un dominio factorial, sea el cuerpo de fracciones de . SeanV O V

1 B ß 2 B − OÒBÓ OÒBÓ dos polinomios mónicos de tales que el producto1 B † 2 B − VÒBÓ. Mostrar que de hecho 1 B ß 2 B − VÒBÓÞ

SOLUCIÓN: Sea 1 B œ B B â B B ß + ß , − V+, , , ,

+ + # 8" 8+3 3

!

! " # 8"

" # 8"

Sea entonces además .+ œ , † , â, − V +1 B œ 1 B +1 B − VÒBÓ! " 8""+

Ahora 1 B œ +1 B œ -98> +1 B 1 B" "

+ + "

donde es un polinomio primitivo. Como es mónico1 B − VÒBÓ 1 B"

entonces el -ésimo coeficiente de es igual a . Como 8 +1 B + -98> +1 Bdivide a cada uno de los coeficientes de entonces+1 B -98> +1 B l+

entonces con . Ahora sea+ œ -98> +1 B − V- -

2 B œ B â B B ß + ß , − V+, , ,

+ + 7" 7 w w3 3

w!

! " 7"w w w

w"

w7"

Sea entonces, œ , , á,w w w! " 7"

2 B œ ,2 B œ -98> ,2 B † 2 B" ", , "

con es un polinomio primitivo, así también existe tal2 B − VÒBÓ − V" "

que . En esta forma se tiene, œ -98> ,2 B" 1 B œ +1 B œ -98> +1 B † 1 B œ 1 B" " "

+ + " "-

2 B œ ,2 B œ -98> ,2 B † 2 B œ 2 B" " ", , " ""

Ahora 1 B † 2 B œ 1 B 2 B"

" ""-

Como es mónico se tiene que entonces 1 B 2 B µ """-

" " ""- œ Ê b Î œ " œ. " - ". ". -

Luego 1 B œ 1 B − VÒBÓß 2 B œ 2 B − VÒBÓ" "

9.Sea . Mostrar que es irreductible sobre .0 B œ B B " 0 B% #

SOLUCIÓN:Sea 0 B œ B B " − ÒBÓ% # ™


Afirmación: es irreductible en .0 B ÒBÓ

0 B ÒBÓ K<.0 B " 0 B es primitivo en y , entonces basta verificar que ™

es irreductible en .™ÒBÓ

Paso 1. no tiene factor de grado (en ) o sea de una manera0 B " ÒBÓ™

equivalente no tiene raíz en . Es claro ya que0 B ™ 0 " œ " " " œ " Á !

0 " œ " " " œ " Á !

0 „ # œ "' % " œ "* Á !

0 „ $ œ )" * " œ )* Á !

ã ã

0 „ 8 œ 8 8 " Á !% #

o sea que no tiene factores de grado .0 B "

Paso 2. no tiene factores de grado , esto como una consecuencia0 B $

del paso 1.Paso 3. Supongamos que se tiene un factor de grado o sea que#

B B " œ B B " œ B B B B % # % # # #ˆ ‰ α " # $

o sea que B B " œ B B B B % # % $ #α # " α# $ "# α$ $"

donde son elementos de . Por definición de igualdad deα " # $ ™ß ß ßpolinomios tenemos que $" "# α$ " α# $ α #œ "ß œ !ß œ "ß œ !

Mp œ " Ê œ Ð Ñ œ „ " "$" " $

MMp œ ! Ê œ ! Ð Ñ œ ! Á !"# α$ $# α$ $ α # $ de donde , como setiene α #œ #

MMMp œ " Ê œ " œ œ „ " $" α# $ α# $ #Å

" $œ

de donde

MZ p œ ! œ œ " " " œ # œ !α # α # así implica lo cual es obviamenteÅ Å# $

una contradicción en .po ™Luego es irreductible en y por lo tanto en .0 B ÒBÓ ÒBÓ™

10.Sea un número primo impar. Mostrar que:

0 B œ B B â B ":" :#

es un polinomio irreductible sobre .SOLUCIÓN: " 0 B " Basta mostrar que es irreductible sobre .Consideremos la aplicación : À ÒBÓ ÒB "Ó

+ B + B "È

3 ! 3 !

8 8

3 33 3


3 + B œ , B esta bien definida, ya que si entonces por definición:3 ! 3 !

8 7

3 33 3

de polinomio + œ , ß a3ß 8 œ 73 3

así o sea esta bien definida.3 ! 4 !

3 43 4+ B " œ , B " :

33 es un homomofismo de anillos:

: :3 ! 4 ! 3 ! 3 !

3 4 3 3 3 33 4 3 3+ B , B œ + , B œ + , B "

œ + B " , B " œ + B , B3 ! 3 ! 3 ! 3 !

3 3 3 33 3 3 3: :

: :” •3 ! 4 ! 3 ! 4œ! 3 ! 4œ!

3 4 4 34 4 343 4 3

3 33+ B , B œ + , B œ + , B "

œ + B " , B " œ + B † , B3 ! 4 ! 3 ! 4 !

3 4 3 43 4 3 4: :

es uno a uno333 :

: :3 ! 4 ! 3 ! 4 !

8 7 8 7

3 4 3 43 4 3 4+ B œ , B Í + B " œ , B "

según la definición de polinomio se tiene .8 œ 7ß + œ , ß a33 3

Luego , en esta forma es un isomorfismo.3 ! 4 !

3 4 43+ B œ , B :

3@ ÒBÓ ÒB "Ó Así todo polinomio irreductible en es irreductible en , por

lo tanto es irreductible en si y solamente si es irreductible0 B " 0 Ben .@ 0 B " Ahora veamos que es irreductible en .

0 B œ œ B B â B "B "B"

:" :#:

por lo tanto0 B " œ œ Ò B " "Ó œ B :B : : " B â :B" "

B" " B #" ": :" :# :$

:

Como cada cociente de este polinomio con"5x : : " â : 5 "

excepción del primero, son múltiplos de y el término constante, , no es: :múltiplo de , se sigue del criterio de Eisenstein que es un: 0 B "#

polinomio irreductible, de donde es irreductible.0 B ˆ ‰# ! 3 : G œ : Mostremos que si , entonces es múltiplo de .:3 :

3

Claramente ya que G œ œ œ œ −:

3 :3 3x :3 x 3x 3† 3" â#†"

:x : :" â :3" : :" â :3"ˆ ‰

El numerador para , es un múltiplo de , mientras que el3 : :

denominador no lo es, por otra parte , ,G œ : † − 3 :ß : −:3 :" â :3"

3† 3" â#†"

lo tanto es múltiplo de .G ::3

$ 0 B " Usando el criterio de Eisenstein mostramos que es irreductibleen y desde luego también lo esÒBÓ 0 B


0 B " œ œˆ ‰ ˆ ‰ Š ‹B" "

B" " B

B B â " B â B"": : :" :": : :" 3 :"

3

œ B B â " B â Þ:" :# :3": : :" 3 :"

3ˆ ‰ ˆ ‰ Š ‹Aquí tenemos las condiciones necesarias para aplicar el criterio deEisenstein, ya que ,:l" Í c :l" :l ß a3 œ "ß #ßá ß : "ß : l Ò ÓÏ Ïˆ ‰ Š ‹: :

3 :"#

Luego es un polinomio irreducible en como 0 B " ÒBÓ À ÒBÓ ÒB "Ó :

es un isomorfismo se tiene que es también irreductible en .0 B ÒBÓ

11.Sea y .… ™ : ™ ™: : :

3œ" 3œ"

8 8

3 33 3

œ Î ß À ÒBÓ Î ÒBÓ

+ B + BÈ™ ™

Tómese . Mostrar que es irreductible sobre .0 B œ B B " 0 B:

" 0 B œ 0 B Î ÒBÓ Mostrar que es irreductible en , para eso.: ™ :™

+ 0 B Î Mostrar que no tiene raíz en .™ :™

, 0 B Mostrar que si es una raíz de en un cuerpo mayor, entoncesα

α α αß "ßá ß Ð: "Ñ son todas las raíces.- 0 B œ Î Mostrar que es irreductible sobre .… ™: :™

# 0 B ÒBÓ Mostrar que es irreductible en .™

$ 0 B Concluir que es irreductible en .ÒBÓ

SOLUCIÓN: " + − Î 0 B Supongamos que es una raíz de , esto es,α ™ :™

α α α α α α: : : " œ ! œ ! œ : ! " œ ! pero ya que así o seamodque . Lo cual es contradictorio por lo tanto no tiene raíz " œ ! po 0 Ben .™Î:™, : Como es un cuerpo de característica entonces se tiene que…:

, , .+ , œ + , • + , œ + ,: :: : : :

También se tiene que .B B œ ! : ß aB −:

:mod …

Así tomemos con , donde es una raíz deα α 3 ! Ÿ 3 Ÿ : "

0 B œ B B ":: en , entonces…

0 3 œ 3 3 " œ 3 3 "α α α α α: : :

.œ " 3 3 œ !α α: :

- Por la parte anterior

0 B œ B B " â B 3 â B : " œ B +#α α α α3œ"

:"

3

donde . Supongamos que no es irreductible en + œ 3 0 B ÒBÓ3 :α …

entonces existen en con , tal1 B ß 2 B ÒBÓ 1<+. 1 B " 1<+. 2 B "…:

que entonces existen y tales que0 B œ 1 B † 2 B - .


1 B œ B 3 â B 3 œ B 3#α α α" 55œ"

-

-

y 2 B œ B 4 â B 4 œ B 4#α α α" 5

5œ".

.

o sea que

otros términos1 B œ B 3 B Ö ×- -

4œ"

5

4"α

Como entonces , además1 B − ÒBÓ 3 − ÒBÓ… α …: 4 :4œ"

5

con 4œ" 4œ"

5 5

4 4α α 3 œ 5 3 3 Ÿ 5 Ÿ : "

entonces o sea esto es una contradicción por que 5 − − po 0 Bα … α …: :

no tiene raíces en .…:ÒBÓ

# À ÒBÓ ÒBÓ Î: ÒBÓ

+ B + BÈ Veamos que = es un homorfismo: ™ … ™ ™

3œ" 3œ"

8 8

3 33 3

:

: :Œ ˆ ‰3œ" 4œ" 3œ" 3œ" 3œ"

8 7 8 8 8

3 4 3 3 3 3 3 33 4 3 3 3+ B , B œ + , B œ + , B œ + , B

œ + B , B œ + B , BŒ Œ3œ" 3œ" 3œ" 3œ"

8 7 8 7

3 3 3 33 3 3 3: :

Ahora

: :– —Œ Œ3œ" 4œ" 3œ" 4œ! 3œ"

8 7 87 3 78

3 4 4 34 4 343 4 3 4

4œ!+ B , B œ + , B œ + , B3

œ + , B œ + B , B œ + B † , BŒ Œ3œ" 4œ! 3œ" 4œ" 3œ" 4œ"

78 3 8 7 8 7

4 34 3 4 3 43 3 4 3 4: :

Así que es un homomorfismo de anillos.:Si no es irreductible en entonces, como es un0 B œ B B " ÒBÓ: ™ :

homomorfismo, no es irreductible en lo cual es 0 B œ 0 B ÒBÓ po: …:

contradictorio ya que en la parte se mostró que era irreductible.- 0 B$ 0 B œ B B " es un polinomio mónico de grado mayor que uno,:

irreductible en luego es irreductible en .™ ÒBÓ ÒBÓ

12.Cuando ellos existan, de un ejemplo de :+ ! Un cuerpo infinito de característica ., !Un cuerpo finito de característica .- (Un cuerpo infinito de característica .. (Un cuerpo finito de característica ./ "#Un cuerpo infinito de característica


0 Un cuerpo finito de característica "#ÞSOLUCIÓN: + ! Existen cuerpos infinitos de característica podemos tomarpor ejemplo el cuerpo de los números racionales ya que : ™ À

8È 8es una inclusión., !No existen cuerpos finitos de característica .- (Existen cuerpos infinitos de característica , por ejemplo,

consideramos el cuerpo de los enteros módulo con la adición… ™( (œ Î (™

y la multiplicación módulo . El número es un elemento trascendente( 1

sobre ya que no existe tal que entonces… … 1( (0ÐBÑ − ÒBÓ 0 œ !

… 1 1 1 1(01š ›‚œ 0 ß 1 − OÐ Ñ11

es un cuerpo infinito o sea de dimensión infinita de característica ya(

que la dimensión de es , donde kerÞ ( À Ð Ñ8È" " â "

: : ™ … 1(

. - œ Î Existe como se vió en la parte donde el cuerpo de los… ™( 7™enteros módulo son un cuerpo de característica que es finito.( (

/ 0 y son falsas por que la característica de un cuerpo es cero o es unnúmero primo y claramente no es primo."#

13.Sea un cuerpo, una extensión de de grado primo. Mostrar oO P O : ß

dar un contraejemplo para ver que es una extensión simpleP .SOLUCIÓN: Se sabe de la hipótesis que es una extensión de característicaP: O Á P − P Â O primo, o sea que así existe tal que esto implica queα α

O § OÐ Ñ ÒO À OÓ Á "α α y por lo tanto . Ahora se sabe por un teoremafundamental que ¿cúal? que ÒO À PÓ œ ÒP À O Ó † ÒO À OÓ œ :α α

como es primo, entonces no admite divisores así como ,: ÒO À OÓ Á "α

se sigue inmediatamente que y por lo tanto ,ÒO À OÓ œ : ÒP À O Ó œ "α α

esto equivale a decir que .O œ Pα

Lema: Sea una extensión de se tiene .P O ÒP À OÓ œ " Í P œ O

En efecto, Es evidente, si entonces .É Ñ P œ O ÒP À OÓ œ "

Ê Ñ ÒP À OÓ œ " P O O § P Ahora si y como es un espacio vectorial sobre y por lo tanto se puede considerar como espacio vectorial sobre siOmismo, así es un subconjunto vectorial de de dimensión uno, así O P Pdebe ser igual a .O

14.Sea los números racionales, los números complejos. Sea ‚

E œ ÖB − ÎB ×‚ es algebraico sobre (llamado el cuerpo de los númerosalgebraicos). Mostrar que el grado de sobre es infinitoE .


SOLUCIÓN: Sea un número entero arbitrario, ahora 5 " œ 8 − # − E È8pues y se tiene que , así ,0 B œ B # − ÒBÓ 0 # œ ! T œ B #Š ‹È8 8

# 88È ¸

pues es irreductible, por el criterio de Eisenstein, entoncesB #8

Ò Ð Ñ À Ó œ ‰ T œ 8 # § EÁ

α Š ‹ Š ‹ÈÈ8 8

#l , así entonces

ÒE À Ó Ò À Ó œ 8 œ 5 " 5 α

es decir que , tal que .a8 − b − E ÒE À Ó 8 α α

Nótese que es un cuerpo, ya que si entonces sonE ?ß @ − E ?ß @algebraicos sobre , tomando , entonces es una extensión ? Á ! ?ß @

algebraica de así por lo tanto son ?ß @ § E ? † @ß ? @ß ?ß ß"?elementos de y por lo tanto son elementos de , así es un ?ß @ E Ecuerpo.

15. Sea un cuerpo, una extensión algebraica de . Mostrar que todoO P O

anillo entre y es algebraico. Recíprocamente, mostrar que si esV O P P

una extensión de tal que todo anillo entre y es un cuerpo,O O P

entonces es una extensión algebraica de .P O

SOLUCIÓN: " − V Á ! V § P − P Sea , , como entonces como se estaα α α

suponiendo que es una extensión algebraica sobre , existeP O0 B − OÒBÓ 0 œ ! tal que .α

Sea entonces claramente+ + B + B â + B œ 0 B! " # 8# 8

+ + + â + œ !! " # 8" # 8α α α

dividimos ahora por , supóngase + + Á !! !

" â œ !+ ++ + +

# 8+" #

! ! !

8α α α

de aquí se recibe que " œ â Š ‹ Š ‹ Š ‹+ +

+ + +# 8+" #

! ! !

8α α α

œ â α α α’ “Š ‹ Š ‹ Š ‹+ ++ + +

+ 8"" #

! ! !

8

ahora , y . Como es un anilloa3 − O § V − V V++3

!α

" α αœ â − VŠ ‹ Š ‹ Š ‹+ ++ + +

+ 8"" #

! ! !

8

Así, con de donde es invertible, como es arbitrario se" œ − Vα" " α α

sigue que cualquier elemento no cero es invertible por lo tanto es unVcuerpo.

# O

P

Recíprocamente, supongamos que no es una extensión algebraical

sobre , esto es existe tal que se tiene O C − P a0ÐBÑ − OÒBÓ 0 C Á !

consideremos entonces el anillo de los polinomios en , que es ahoraOÒCÓ C

un elemento trascendente sobre , claramente y como O O § OÒCÓ C − P

entonces , así hemos obtenido un anillo entre y OÒCÓ § P V œ OÒCÓ O P

(anillo intermediario) de la hipótesis se tiene entonces que es unOÒCÓ


cuerpo, esto es claramente una contradicción ya que sería unpo "C

polinomio.

16.Sean cuerpos. Sea , el cual es algebraico sobre .O § P § Q − Q Oα

+ P Mostrar que es algebraico sobre α

, O Cual es la relación entre el polinomio minimal de sobre y elα

polinomio minimal de sobre .α P

- Mostrar que ÒO À 5Ó ÒP À PÓα α

SOLUCIÓN: + OSea álgebraico sobre , esto es equivalente a decir que α αes raíz de un polinomio con coeficientes en , así existen noO + ß + ßá ß + ß! " 8

todos nulos, elementos en tales queO T œ + + + â + œ !α α α α! " # 8

# 8

esto es, y , T B œ + B − OÒBÓ ß T œ !

3œ!

8

33 α

Como y para cada , entonces y O § P + − O 3 T B − PÒBÓ T œ !3 α

entonces es algebraico sobre .α P, T B O T ÐBÑ Sea el polinomio minimal de sobre y el polinomioα αlO lPα

minimal de sobre .α P

Afirmación: T ÐBÑ T ÐBÑα αlO lP¹Supongamos que esta relación es falsa, o sea entoncesT ÐBÑ T ÐBÑα αlO lPÏ¹existen polinomios de grado mayor que tales queš ›B ß B "

T ÐBÑ † B T ÐBÑ † B œ "α αlP lOš ›

Ahora como esa igualdad se cumple para , en particular para se tieneB α T Ð Ñ † T Ð Ñ † œ "α αlP lOα š α α › α

Como y se sigue que , lo cual es T Ð Ñ œ ! T Ð Ñ œ ! ! œ " poα αlO lPα α

contradictorio. Esta relación nos afirma por lo tanto que 1<+. T ÐBÑ Ÿ 1<+. T ÐBÑα αlP lO

donde indica el grado del polinomio.1<+.- Ahora se sabe de la teoría general ¿cúal? , que

ÒO À OÓ œ 1<+. T ÐBÑ 1<+. T ÐBÑ œ ÒP À PÓα αα αlO lP

de donde se tiene la demostración de .-

17.Sea , donde es una raíz de 0 B œ B "ß " Á − 0 B( α ‚ α

+ Calcular el polinomio minimal de sobre α

, Calcular Ò À Ó α

SOLUCIÓN: + 0 B puede romperse en dos factores de la forma 0 B œ B " B B B B B B B "ˆ ‰' & % % $ #

Como y por un ejercicio ya efectuado, el polinomio ciclotómicoα Á "


B B B B B B B "' & % % $ #

es irreductible sobre , además es una raíz de ; por lo tanto α 0 B T ÐBÑ œ B B B B B B B "α l

' & % % $ #

, + De la parte se sabe que es algebraico sobre por lo tanto por unα teorema de la teoría general ¿cúal? se tiene que Ò À Ó œ 1<+. T ÐBÑ œ 'Þ α α l

18.Sea un cuerpo, la clausura algebraica (o la cerradura algebraica)O H

de Sea de grado Sean por otra parte lasOÞ 0 B − OÒBÓ 8Þ ß ßá ßα α α" # 8

raíces de en .0 B H

+ ÒO ß ßá ß À OÓ Ÿ 8x Mostrar que α α α" # 8

, 0 BSi además es irreductible, mostrar que 8 Ÿ ÒOÐ ß ßá ß Ñ À OÓ Ÿ 8xα α α" # 8

SOLUCIÓN: + : B Se conoce el siguiente resultado; si es un polinomio deOÒBÓ 8 " O de grado el cual es irreductible sobre , entonces existe unaextensión de tal que en donde tiene una raíz.I O ÒI À OÓ œ 8ß : B

Afirmación: Si entonces existe una extensión finita de 0 B − OÒBÓß I O!

en la cual tiene una raíz. Más aún .0 B ÒI À OÓ Ÿ 1<+. 0 B!

En efecto, sea un factor irreductible de , cualquier raíz de es: B 0 B : Braíz de . Entonces existe una extensión de con0 B I O!

ÒI À OÓ œ 1<+.: B Ÿ 1<+. 0 B : B! en el cual tiene una raíz y por lo tanto0 B I œ Otiene una raíz, digamos que es esta raíz. Sea ya que elα α" ! "

el cuerpo más pequeño que contiene a y a , y en el cual esO α α" "

algebraico o sea . Así en se factoriza como0 œ ! I ÒBÓß 0 Bα" !

0 B œ B ; B ; B 8 "α" " ", donde tiene grado , es un polinomio deI ÒBÓß J I! ! ! ahora por el mismo argumento existe una extensión de talque , en el cual tiene una raíz ,ÒJ À I Ó Ÿ 1<+.; B œ 8 " ; B! ! " " #α

podemos tomar ya que es también raíz de J œ I 0 B! ! # #α α0 œ ; œ ! J œ O œ O ß ; Bα α α α α α α α# # " " # ! " # " # " o sea que . Así

puede ser factorizado en como ,O ß ÒBÓ ; B œ B ; Bα α α" # " # #

donde tiene grado ; B 8 #Þ#

Continuando el proceso se llega a que tiene una raíz en; B# $αO ß ß ÒO ß ß À O ß Ó Ÿ 1<+.; B œ 8 #α α α α α α α α" # $ " # $ " # # y que . Además0 B O ß ßtiene tres de sus raíces en . Continuandoα α α" # $

recurrentemente el proceso obtenemos en general que ÒO ß ßá ß À O ß ßá ß Ó Ÿ 8 3ß 3 œ "ß #ßá ß 8 "α α α α α α" # 3" " # 3

y tiene de sus raíces en . Ahora0 B 3 " O ß ßá ßα α α" # 3"

ÒO ß ßá ß À OÓ œα α α" # 8

œ ÒO ß ßá ß À O ß ßá ß Ó † ÒO ß ßá ß À O ß ßá ß Ó †α α α α α α α α α α α α" # 8 " # 8" " # 8" " # 8#

â † ÒO ß À O Ó † ÒO À OÓ Ÿ " † # † â † Ð8 "Ñ † 8 œ 8xα α α α" # " "

, 0 B ÒO À OÓ œ 8 Puesto que es irreductible entonces . Por otra parteα"


ÒO ß ßá ß À O ß ßá ß Ó "ß a3 œ "ß #ßá ß 8α α α α α α" # 3 " # 3"

Luego8 Ÿ ÒO À OÓ † ÒO ß À O ÓâÒO ß ßá ß À O ß ßá ß Ó Ÿ 8xα α α α α α α α α α" " # " " # 8 " # 8"

peroÒO ß ßá ß À OÓ œ ÒO ß ßá ß 8 À O ß ßá ß ÓâÒO ß À O ÓÒO À OÓα α α α α α α α α α α α α" # 8 " # " # 8" " # " "

Luego 8 Ÿ ÒO ß ßá ß À OÓ Ÿ 8xα α α" # 8

19.Sea , donde es un número primo.0 B œ B B â B " − ÒBÓ ::" :#

Sea la cerradura algebraica de . Hallar las raíces de enE ß ßá ß 0 B α α α" # :"

E, y mostrar que .Ò ß ßá ß À Ó œ : " α α α " # :"

SOLUCIÓN: Nótese que , luego cualquier0 B œ B B â B " œ:" :# B "B"

:

raíz de es raíz de , o sea, se trata de las -ésimas raíces de la0 B B " ::

unidad distintas de o más exactamente"ß

α5 œ / ß 5 œ "ß #ßá ß : "# 35:1

Sea una raíz -ésima de la unidad, entonces cualquier otra raíz esA Á " :

una potencia de , ya que las raíces de la unidad forman un grupo cíclico.ASea las raíces de . Comoα α α" # :"

:" :#ß ßá ß : " 0 B œ B B â B "

0 B Ò À Ó œ : " es irreductible sobre se sigue que α 3

Afirmación: α α α α" # :" 3ß ßá ß œ

En efecto, se tiene trivialmente que . Ahora α α α α3 " # :"§ ß ßá ßveamos el recíproco; basta ver que cada una de las raíces ,α4

4 œ "ß #ßá ß : " esta en . Se sabe que las raíces de la unidad distintas α3

de forman un grupo cíclico, así supongamos que una cualquiera" œ Aα3

de las raíces de la unidad distitas de entonces"ß

α α α" # :"œ A ß œ A ßá ß œ A1 1 1α α α" # :"

donde es una cualquiera de las permutaciones del conjunto1α4 Ö"ß #ßá ß : "×, por lo tanto α α α α α α" 3 # 3 :" 3− UÐ Ñß − Ð Ñ ßá ß − Ð Ñ

ya que son justamente las potencias de , así como es elα α α α3 " # :"ß ßá ß

menor cuerpo que contiene a , y a entonces α α α" # :"ß ßá ß

. α α α αˆ ‰" # 3ß ßá ß § Ð Ñ:"

Luego, Ò ß ßá ß À Ó œ Ò Ð Ñ À Ó œ : " α α α α " # :" 3

esto completa la prueba.

20.Sea el cuerpo de los números racionales y sea . En el 0 B œ B #$

cuerpo las tres raíces de son:‚ 0 B

donde È È È$ $ $#ß A #ß A # A œ# " $3#

ÈHalle ’ “Š ‹È È È , . $ $ $# A #ßA # À#


SOLUCIÓN: Como ninguna de las raíces de pertence a se0 B œ B #$

sigue que es irreductible en así0 B

Ò # À Ó œ 1<+. 0 B œ $ Š ‹È$Ahora puede ser factorizado en en la siguiente forma0 B # ÒBÓŠ ‹È $

donde 0 B œ B # 2 B 2 B œ B #B #Š ‹ Š ‹È È È$ $ $##

Ahora tenemos que es un polinomio mónico" 2 B

es irreductible en , pueto que y .È È# 2 B dÒBÓ #A Â d #A Â d$ $ #

Entonces estas dos propiedades de , según uno de los criterios que se2 Bconocen para irreductibilidad de polinomios, esto equivale a decir que es irreductible sobre .ww

ww

2 B #Š ‹È $

Luego , ahora’ “Š ‹ Š ‹È È È $ $ $#ß #A À # œ 1<+.2 B œ #

Š ‹ Š ‹È È È È È$ $ $ $ $#ß #Aß #A œ #ß #A#

esto se prueba, por un argumento análogo al seguido en el problema 19de arriba, así ’ “ ’ “Š ‹ Š ‹È È È È È $ $ $ $ $#ß #Aß #A À œ #ß #A À œ# #

œ #ß #A À # † # À œ # † $ œ $x’ “ ’ “Š ‹ Š ‹ Š ‹È È È È $ $ $ $

21.Sea un grupo y dos subgrupos normales de tales que K L ßL K K À L" # "

y son finitos entonces, usando teoremas de homomorfismos, esK À L#

fácil mostrar que L L À L œ L À L ∩L" # " # " #

lo cual es equivalente a que .L L À L ∩L œ L À L ∩L † L À L ∩L" # " # " " # # " #

SOLUCIÓN: Para probar que , basta probar queL L À L œ L À L ∩L" # " # " #

.L L LL ∩L L

# # "

" # "¶

En efecto, si y entonces ya que y( (− L ∩L 2 − L 2 2 − L L – K" # " " ""

2 2 − L − L 2 2 − L ∩L" "# # " #( ( (con . Por lo tanto de donde se sigue que

L ∩L – L L L B ß B − L" # # # " " # ". Ahora es un subgrupo, ya que no es vacío y si L B œ 2 8 ß B œ 2 8# " " " # # #, entonces ; así B B œ 2 8 8 2 œ 2 8 2 œ 2 2 2 8 2 œ 28" " " $ " # $ %# # # # # #

" " " " " ""

donde y 8 œ 8 8 − L ß 2 2 œ 2 − L 2 8 2 œ 8 − L$ " " " # # $ % "# # #

" " "

ya que por hipótesis . Por lo tanto y es un-L – K B B − L L L L" " # " # "#"

subgrupo de . Sea definida por . Entonces esK À L 2 œ L 2F F F# "L LL# "

"

claramente sobre, es decir, .F L œ "#L LL# "

"


Por el teorema de homomorfismos F L #µ#

L#

kerF

donde .kerF Fœ ÖBÎB − L • ÐBÑ œ "× œ ÖBÎBL ßL B œ L ×# # " "

Si entonces y si , entonces . Por loL B œ L " † B œ B − L B − L L B œ L" " " " " "

tanto se tiene kerF œ ÖBÎB − L • B − L × œ L ∩L $# " " #

De y se tiene " ß # $ µL L LL L ∩L" # #

" " #

Luego .‰ L L ‰ L‰ L ‰ L ∩L # " " # " #

" # #

" " #œ Í L L À L œ ÒL À L ∩L Ó %c d

Ahora sea todos los subgrupos dek : L ∩L " # " #

L LL ∩L" #

" #

" #L L ß œ Ö L L ×[

[ [L ∩L " #" #œ ÖL − ÎL ∩L § L×

Tomemos en particular , en efecto;-L − ß L – L L" L ∩L " " #[" #

B2B œ 2 2 22 2 œ 2 2 2 − LÅ

" " " ‡ "

#

" # " "# " "

B − L L Í B œ 2 2

Æ

" # "

L – K • 2 − K" #-

Así como , se tiene una condición necesaria y suficiente para que-L –L L" " #

-L L L

L ∩L L ∩L" " #

" # " #–

En esta condiciones, siguiendo a el teorema de isomorfismos existe uno ysólo un isomorfismo k : L ∩L

L L L L LL L ∩L L ∩L" #" # " # "

" " # " #Š ‹‚Š ‹

tal que o sea la conmutatividad del siguientek k K kL L ∩L L ∩L L" " # " # "‰ œ ‰

µ

diagrama L L" #

L LkL ∩L" # " #L ∩L" #

k kL L" "

L LL" #

"

kµ

L ∩L" #Š ‹‚Š ‹L L LL ∩L L ∩L

" # "

" # " #

Así o sea queL LL" #

"µ Š ‹‚Š ‹L L L

L ∩L L ∩L" # "

" # " #

ÒL L À L Ó œ" # "ÒL L ÀL ∩L ÓÒL ÀL ∩L Ó" # " #

" " #

o equivalentemente ÒL À L ∩L Ó † ÒL L À L Ó œ ÒL L À L ∩L Ó" " # " # " " # " #

pero nos dice que% .ÒL L À L Ó œ ÒL À L ∩L Ó" # " # " #

Luego ÒL L À L ∩L Ó œ ÒL À L ∩L Ó † ÒL À L ∩L Ó" # " # " " # # " #

22.Vamos a ver que en la teoría de cuerpos la situación del problema dearriba no es tan buena en general. Sea un cuerpo, dos subcuerposP O ß O" #


tales que es finito. Sea el menorÒO À O ∩O Ó O O# " # " #

subcuerpo de que contiene a y a P O O Þ" #

" O O O Verificar que es algebraico sobre . " # "

# Sea una base de sobre entonces estose fα α α" # 8 # " #ß ßá ß O O ∩O

elementos son un sistema de generadores de sobre como espacioO O O" # "

vectorial.$ ÒO O À O Ó Ÿ ÒO À O ∩O Ó Concluir que ." # " # " #

% Para ver que la desigualdad puede ser estricta se considera el polinomio0 B œ B # − ÒBÓ 0 B ß$

" # $ ; sea una raíz real de y las raíces α α α

complejas; tome y mostrar queO œ Ð Ñ O œ Ð Ñ" " # # α α

+ O ∩O œ " #

, ÒO O À O Ó œ # $ œ ÒO À O ∩O Ó " # " # " #

SOLUCIÓN: Se sabe que es una extensión finita y que es" O ÎO ∩O O# " # "

una extensión de por , que mostreramos seguidamente, existenO ∩O #" #

elementos tales queα α α" # 8 #ß ßá ß − O .O œ O ∩O ß ßá ß# " # " # 8α α αEntonces y por lo tanto es finitamenteO O œ O ß ßá ß O O ÎO" # " " # 8 " # "α α α

generado por elementos algebraicos entonces es una extensiónÒO O À O Ó" # "

finita luego es algebraica así es algebraico sobre .ÒO O À O Ó O O O" # " " # " # Ö ß ßá ß × O ÎO ∩O Sean una base de . Entonces ciertamenteα α α" # 8 # " #

O œ O ∩O ß ßá ß O œ O ∩O ß ßá ß# " # " # 8 # " # " # 8α α α α α α como esfinitamente generado y es una extensión de , ambas ‡

" " # " #O O ∩O O ß Oestan contenidos en , entoncesP O O œ O ß ßá ß" # " " # 8α α αy así es finitamente generado sobre , esto significa queO O O" # "

Ö ß ßá ß × O O Oα α α" # 8 " # " es un sistema de generadores de sobre . .‡

# " #Se dice que es finitamente generado sobre si existe unaO O ∩Ofamilia finita de elementos de tales queα α α" # 8 #ß ßá ß OO œ O ∩O ß ßá ß# " # " # 8α α α .$ " # Como una conclusión obvia se sigue de las partes y que

ÒO O À O Ó Ÿ ÒO À O ∩O Ó" # " # " #


Š ‹ Š ‹ Š ‹È È ÈŠ ‹% + O œ # O œ # 3 œ #A Sea y ." #"# #

$ $ $ $ÈSabemos por el problema 20 que ya que esÒO À Ó œ 1<+. B # œ $ B #"

$ $

irreductible sobre . Ahora ÒO À Ó œ ÒO À O ∩O Ó † ÒO ∩O À Ó œ $" " " # " #

ÒO À O ∩O Ó Á " ÒO À O ∩O Ó œ " O œ O ∩O" " # " " # " " # ya que si , entonces peroesto es imposible ya que y . Luego necesariamenteO Á O O § OÎ" # " #

ÒO ∩O À Ó œ " O ∩O œ" # " # , esto es equivalente a afirmar que . Lo cualqueriamos mostrar.Š ‹È È, O O œ #ß #A . El cibernauta interesado puede demostrar esta" # $ $

igualdad como un ejercicio. Por el problema 20 sabemos que2 B œ B #B # #È È ÈŠ ‹ Š ‹#

#$ $ $es un polinomio irreductible sobre luego

ÒO O À O Ó œ # B #" # "$, por otra parte es un polinomio irreductible sobre

por lo tanto .ÒO À O ∩O Ó œ 1<+. B # œ $# " #$

Luego .ÒO O À O Ó ÒO À O ∩O Ó" # " # " #

23.Sea el cuerpo de los números algebraicos. Mostrar que tiene unE E

número infinito de automorfismos.SOLUCIÓN: Se sabe según el problema 14 que , tal que a8 − ß b − E Ò À Ó œ 8 α α

Sea otra raíz de existe un -isomorfismo tal que" : α "T B Àα lw

: α "w œ E. Con estas hipótesis y dado que es algebraicamente cerradoexiste tal que | . Así obtenemos tantos5 5 :− E?> EÎ œ α

w

automorfismos como raíces tenga . Más aún sea unT B : 8 "α l

número primo, el cual siempre es posible hallar, y consideremos las raíces: A Á " :-ésimas de la unidad, sea una raíz -ésima de la unidad se sabe que B B â B ":" :#

es el polinomio minimal de en , notémoslo , consideremos ahoraA B ¹Al

A ß A ß A ßá ß A# $ :"

y como antes;: : : " # :"

# # $ :"À A A ß À A A ßá ß À A A

Esta familia es una familia de -isomorfismose f: 33 3"À A A

distintos, así según la teoría general, existe para todo , tal3 − E?> El5 3

que 5 :3 3Al œ 3

así hemos obtenido una familia que tiene elementos, oÖ − E?> El × : "53

sea hemos obtenido por lo menos automorfismos distintos de . En total8 E primoÐa8 − ÑÐb: 8 " ÑÐbÖ − E?>ÐEl Ñ× Ñ 53 "Ÿ3Ÿ:"

Esto indica que el números de automorfismos de es infinito.E


24.Sea un cuerpo, una clausula algebraica de . Sea y elO O − T ÐBÑH α H αlO

polinomio minimal de sobre . Mostrar queα O

raíces de Ö Ð ÑÎ − E?> lO × œ Ö T ÐBÑ×5 α 5 H αlO

SOLUCIÓN: " Ð Ñ − Ö Ð ÑÎ − E?>Ð lOÑ× , supongamos que5 α 5 α 5 H

T ÐBÑ œ + + B + B â + BαlO ! " # 8# 8

Ahora veamos que es T Ð ÑàαlO 5 α

T Ð Ð ÑÑ œ + + Ð Ñ + Ð Ñ â + Ð ÑαlO ! " # 8# 85 α 5 α 5 α 5 α

œ + + + â + œ ! œ !Å Å

+ œ + − E?> lO3 3

! " # 8# 8

5 5 H

5 α α α 5

Luego raíces de 5 α − Ö T ÐBÑ×αlO

# − Ö T ÐBÑ× M. À O O Sean raíces de y es homomorfismo idéntico," αlO

entonces según la teoría general existe un homomorfismo : α "w À O O

que es una extensión de mediante la aplicaciónM. À O Oß - - - â - È - - - â -! " # 8 ! " # 8

# 8 # 8α α α " " "

:w es inyectiva: : : " " " " " " :w w w # 8 # 8 w

! " # 8 ! " # 8> œ 6 Í > œ > > > â > œ 6 6 6 â 6 œ 6

por definición de polinomio se recibe , .> œ 6 ß > œ 6 ßá ß > œ 6 ßá > œ 6! ! " " 3 " 8 8

Así > œ > > > â > œ 6 6 6 â 6 œ 6! " # 8 ! " # 8

# 8 # 8α α α α α α

Puesto que es un espacio vectorial sobre de dimensión finita seO B Osigue que es un isomorfismo:w O : α "w œ .Ya que, : α : α α α " " " "w w # 8 # 8œ ! " † ! † â ! † œ ! " † ! † â ! † œ

Se sabe que es una cerradura algebraica de y que es unH :O w

O O O − E?> lO-isomorfismo de sobre , entonces existe tal queα " G H

G : G α : α " 5 H| . Así | luego existe tal queO Ow w

α αœ œ œ ß − E?> lO

5 α " " 5 α 5 Hœ − Ö Ð ÑÎ − E?>Ð lOÑ× por lo tanto .

25.Sea un cuerpo algebraicamente cerrado unH : H H : HÀ œw

isomorfismo. Mostrar que es algebraicamente cerrado.Hw

SOLUCIÓN: 3 ÒBÓ ÒBÓ œ ÒBÓ ß

+ B + BÈ

H H : H:

:3œ! 3œ!

8 8

3 33 3

w es un isomorfismo

: es uno a uno

3œ! 4œ!

8 8

3 4 3 33 4: : : :+ B œ , B Í + œ , ß a3 œ !ß "ßá ß 8


Como es un isomorfismo de sobre entonces , de: H Hw3 3+ œ , ß a3 œ !ß "ßá ß 8

donde se tiene que 3œ! 4œ!

8 8

3 43 4+ B œ , B

: es sobreyectivaSea , puesto que entonces existe tal

3œ!

8

3 3 33- : H - : H HB − Ð ÑÒBÓ − Ð Ñß a3 - − ß a3

que . Tomando se tiene que- : H3 3 33œ!

83œ - ß a3 - B − ÒBÓ

: : -Œ3œ! 3œ! 3œ!

8 8 8

3 3 33 3 3- B œ - B œ B

:es un homomorfismo de anillos

: : : : :Œ3œ! 4œ! 3œ! 3œ! 3œ!

8 8 8 8 8

3 4 3 3 3 3 3 43 4 3 3 3+ B , B œ + , B œ + , B œ + , B

œ + B , B œ + B , BŒ3œ! 4œ! 3œ! 4œ!

8 8 8

3 4 3 43 4 3 4: : : :

8

Ahora;

: : :– —Œ Œ ŒŒ3œ! 4œ! 3œ! 3œ!

8 8 8 3 8 3

3 4 5 35 5 353 4 3 3

5œ! 5œ!

+ B , B œ + , B œ + , B

œ + , B œ + B , B œ + B † , BŒ Œ Œ3œ! 3œ! 4œ! 3œ! 4œ!

8 3 8 8 8 8

5œ!5 35 3 4 3 4

3 3 4 3 4: : : : : :

33 : B œ + B ÒBÓ : B Si es un polinomio irreductible en entonces es3œ!

8

33 H :

también irreductible en . En efecto, supongamos que no esH :wÒBÓ : B

irreductible entonces esto significa que existe tal que2 B − Ð ÑÒBÓ: H

2 B l : B Þ ÒBÓ ÒBÓ: : H H Puesto que es un isomorfismo de sobre entoncesw

tomamos la aplicación inversa:"

: : : :" " "2 B l : B Í 2 B l: B

como es también un polinomio con coeficientes en entonces: H" 2 Bresultaría que no es irreductible.: B333 0 B − ÒBÓ Ð Ñ 0 B Sea una raíz de entonces es una raíz de , enα H : α :

efecto, supongamos que y 0 B œ + + B â + B 0 œ !! " 8

8 α

Ahora, : : : : :0 B œ + + B + B â + B œ J B! " # 8

# 8:

así J Ð Ñ œ + + + â +: : α : : : α : : α : : α! " # 8

# 8

œ + + â + œ ! œ !: α α :! " 88

3@ 1 B − Ð ÑÒBÓ 3 0 B − ÒBÓ Sea un polinomio arbitrario por existe tal: H H

que . Ahora es algebraicamente cerrado entonces existen: HÐ0ÐBÑÑ œ 1ÐBÑ

α α α α α α" # 8 " # 8ß ßá ß 0 B 0 B œ B B â B raíces de tales que .


Por se concluye que son raíces de 333 ß ßá ß 0 B œ 1 B: α : α : α :" # 8

por lo tanto , esto implica que 1 B œ B B â B: α : α : α H" # 8w

es algebraicamente cerrado.

26.Sea una cerradura algebraica de un isomorfismo.H : H H : HOß À œw

Mostrar que es una cerradura algebraica de . Si en particular esH : :w O

un -isomorfismo, entonces es una cerradura algebraica de .O OHw

SOLUCIÓN: Ya sabemos por el problema 25, que es algebraicamente: Hcerrado, sólo resta probar que es algebraico sobre , en efecto,: H : Osea , entonces existe tal que pero es algebraico> − Ð Ñ 7 − 7 œ >: H H : H

sobre entonces existeO tal que .0 B œ + + B â + B − OÒBÓ 0 7 œ !! " 8

8

Según la parte del problema 253 es un polinomio en : : : : : :0 B œ + + B + B â + B O ÒBÓ! " # 8

# 8

tal que es una raíz, en efecto,> : : : :+ + > + > â + > œ! " # 8

# 8

œ + + 7 + 7 â + 7: : : : : : :! " # 8# 8

œ + + 7 + 7 â + 7 œ 0 7 œ ! œ !: : :! " # 8# 8

Luego es álgebraico sobre y por tanto una cerradura algebraica deH :w O: O .Si es un -isomorfismo es una raíz de: :O 7 œ > 0 B œ + + B â + B − OÒBÓ! " 8

8

En efecto,+ + 7 + 7 â + 7 œ + + 7 + 7 â + 7

Å+ œ + ß a3

! " # 8 ! " # 8# 8

3 3

# 8: : : :

: œ 0 7 œ ! œ !: :

En este caso es una cerradura algebraica de : H Hœ OÞw

27. Sea un cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a . MostrarY O

que es álgebraico sobre , es la única cerradura algebraicaH α αœ Ö − YÎ O×

de contenido enO .Y

SOLUCIÓN: Es fácil mostrar que si es algebraicamenta cerrado, entoncesYH α αœ Ö − YÎ O× O Y es álgebraico sobre es la cerradura algebraica de en .En efecto sea de grado , se tiene por otro lado que0 B − ÒBÓ "H

0 B − ÒBÓ § Y ÒBÓ Y − YH α, siendo algebraicamente cerrado existe tal que0 œ !α α H, en esta forma es algebraico sobre , pero ahora por latransitividad de la algebrización se tiene que es algebraico sobre α Oentonces . Se sigue entonces de la definición que es algraicamenteα H H−cerrado y se concluye finalmente que es cerradura algebraica de H OÞ

Sea otra cerradura algebraica de en H" O Y


α H α α− Ê − Y O y es algebraico sobre entoncesH α H H" " " es una extensión algebraica sobre , como es algebraicamentecerrado se sigue que entonces en esta forma .H α H α H H H" " " "œ − ß §De una manera totalmente semejante, se prueba que , luego .H H H H" "§ œ

28.Sea un cuerpo, . Sea su cuerpo de factorización de O 0 B − OÒBÓ P 0 B

sobre . Sea un cuerpo algebraicamente cerrado, y unO Y À O Y:

isomorfismo. Sea donde 0 B œ + + B â + B + ß + ßá ß +" ! " 8 ! " 88: : :

son los coeficientes de (es decir, ).0 B 0 B œ + + B â + B! " 88

" P Sea una extensión de hasta (la cual sabemos que existe, puesG :

PÎO P es algebraico). Mostrar que es un cuerpo de factorización deG

0 B O" sobre .:

# P P œ P Si y son dos extensiones de hasta , entonces .G G : G G" # " #

SOLUCIÓN: " 0 B 0 B Sea una raíz de entonces es una raíz de . Enα G α "

efecto, ahora0 œ + + â + œ !α α α! " 88

0 œ + + â +" ! " 88G α : : G α : G α

La construcción de es tal que | por lo tantoG G :O œ ya que : G+ œ + ß a3ß + − Oß a3 œ !ß "ß #ßá Þ83 3 3

Así .0 œ + + â + œ ! œ !" ! " 8

8G α G α α G

Por hipótesis es el cuerpo de factorización de entonces existenP 0 Bα α α α α α α" # 8 " # 8 3ß ßá ß − P P œ O ß ßá ß 0 B tal que como cada es raíz de entonces es también raíz de , asíG α3 "0 B .0 B œ B B â B" " # 8G α G α G α

Ahora como es el cuerpo más pequeño que: G α G α G αO ß ßá ß" # 8

contiene a se sigue queG α G α G α" # 8ß ßá ß .G : G α G α G αP œ O ß ßá ß" # 8

Por lo tanto es el cuerpo de factorización de .G P 0 B"

# " P P 0 B Según la parte y son cuerpos de factorización de G G" # "


Según la parte y son cuerpos de factorización" P PG G" #

de sobre o sea que0 B O" : ,G : α α α G : α α α" " # 8 # " # 8P œ O ß ßá ß ß P œ O ß ßá ßdonde son las raíces de y como se encuentran dentro deα α α" # 8 "ß ßá ß 0 Bun cuerpo algebraicamente cerrado se sigue de la teoría general queG G" #P œ P .

29.Sea . Hallar: Todos los -isomorfismos de en P œ # 3 P ‚Š ‹È$33 P Todos los isomorfismos de en ‚333 P Todos los -automorfismos de

3@ PÞTodos los automorfismos de SOLUCIÓN: Š ‹È È3 P œ # ß œ #Sea puesto que es álgebraico sobre α $ $

entonces los -isomorfismos de en son dados por ‚P

" "Š ‹È$$# : B œ B # donde es cualquier raíz de È#l

$

… „ Š ‹ÈPor lo tanto los -isomorfismos son : M. œ À #"$

Š ‹È$ #

donde : : # $#À # #A ß À # #AŠ ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹È È È È$ $ $ $

A œ " $3#

È Puesto que una extensión de , entonces son

| : : :

Š ‹È$ # ß ß" # $

los únicos -isomorfismos porque si es un nuevo 3 ‚À #Š ‹È$-isomorfismo, entonces, él debe mandar una raíz de en una raízB #$

de 3 3 3B # œ " B # œ B #$ $ $

Å/= ?8 3=979<03=793

Así que coincide con alguno de los -isomorfismos anteriores,3 : : :" # $ß ßya que según el teorema fundamental del álgebra sólo tiene raíces.B # $$

Š ‹ Š ‹È È33 # œ P # Los isomorfismos de y como es una extensión ‚ $ $

de ellos deben mantener a fijo por lo tanto son los -isomorfismos : : :" # $ß ß 3 determinados en la parte .333 Para calcular el número de -automorfismos aplicamos el problema 24


š ›Š ‹Š ‹È5 α 5 Î − E?> # l œ$

números de raíces de que hay en œ B # # œ #š › š ›Š ‹È È$ $ $

Luego es la aplicación que deja a fijo y manda en o sea es el5 5È È$ $# #automorfismo idéntico.3@ 33 P Análogamente al caso los automorfismos de deben mantener a

fijo ya que es una extensión y es álgebraico sobre por lo tanto el |P

#È$único automorfismo es el idéntico.

30. " O O 8 "ßSea un cuerpo, una cerradura algebraica de . Para seaH

O œ Ö − Î − O×":8

8α H α:

" O Í OMostrar que es perfecto es perfecto":

# à O Í O a7Mostrar que más generalmente es perfecto es perfecto " ": :8 7

$ O OLlamando a la cerradura perfecta de en . Mostrar que":∞ H

’ “ , oO À O œ ""

:∞ , ∞SOLUCIÓN: " Ê O À O O

B È B) Si es perfecto y entonces eso quiere decir:

:

que . Ahora , o sea : : : : Š ‹O œ O O œ O œ O O œ O œ O" " ": : : :

"#

":

Å

O œ O œ O:":

de donde es perfecto.O":

É O œ O O œ O œ O) Se sabe que por lo tanto Š ‹ Š ‹ Š ‹” •" " ": : : :

"#

":: : :

Por lo tanto, sabemos que es perfecto esto es ahoraO O œ O" ": :

"T#

Š ‹ Š ‹O œ O œ O": :#

": :

y

Š ‹ Š ‹” •O œ O œ O": : :#

" "":: :

de donde .O œ O œ O œ O

" ": : :

"#Š ‹ Š ‹: :

de donde es perfecto.O

# Ê ÑO O œ O"

T8": :8 8"

"

es perfecto si y sólo si así

O œ O œ O œ O" "

: : : :7 8 8" 7"

" ": :78 78" "Š ‹ Š ‹

de donde es perfecto para todo .O 7"

:7

É 7 œ 8 O œ O) Es evidente pues en particular para se tiene que o": :8 8"

"

sea es perfecto.O":8


$ O " # O œ O Si es perfecto entonces se sigue de las partes y que "

:∞

por lo tanto en ese caso .’ “O À O œ ""

T∞

Supongamos que no es perfecto, en ese caso se tiene la siguienteO

cadena ascendente y su reunión es , ademásO § O § O § â O": :

"#

"T∞

’ “O À O œ : a8": :8 8"

"

, por lo tanto

’ “ ’ “ ’ “ ’ “O À O œ O À O † O À O † O À O †â œ : † : † : † â † : † â" " "

: : : : : :∞ # $ #" " "

œ : œ ∞lim8p∞: "

8

31.Sea un cuerpo, una cerradura algebraica. Sea la característica deO :H

O : ! 0 B œ B + B â + − OÒBÓ puede ser . Sea 8 8"" 8

0 B œ 8B 8 " + B â +w 8" 8#" 8"

" Mostrar que las condiciones siguientes son equivalentes: 3 0 B œ !w

es del tipo 33 0 B 0 B œ B , B â , B â ,<: <" : <3 :" 3 <

# Ya fue demostrada la equivalencia de las siguientes condiciones tiene una raíz múltiple en 333 0 B H

y tienen una raíz en común en 3@ 0 B 0 Bw H

+ 0 B 3 333 Mostrar que si es irreductible, entonces las condiciones y son también equivalentes., 0 B 3 333Dar un ejemplo para mostrar que si no es irreductible y no

serán equivalentes.SOLUCIÓN: " : œ ! 0 B œ + + B â + B â B Si se tiene 8 8" 3

! ! 3" <†!

entonces 0 B œ !w

Recíprocamente, si entonces .0 B œ ! 0 B œ -98=>w

Si entonces , derivando se: Á !ß 0 B œ B , B â , B â ,<: <" : <3 :" 3 <

tiene 0 B œ :B : < " , B â : < 3 , B â :,w < :" <" :" <3 :"" 3 <"

puesto que y característica de entonces , luego, − O : œ O :, œ !ß a33 3

0 B œ !w .Recíprocamente derivando se tiene0 B œ B + B â +8 8"

" 8

0 B œ 8B 8 " + B â #+ B +w 8" 8#" 8# 8"

puesto que se sigue de la definición de igualdad de polinomios0 B œ !ßw

que pero esto8B œ !B ß 8 " + B œ !B ßá ß #+ œ !ß + œ !ß8" 8" 8# 8#" 8# 8"

significa que salvo en8 œ 7:ß 8 " + œ 7 " :ßá ß #+ œ 7 < :" 8#

aquellos coeficientes donde , así+ œ !3

0 B œ B + B â + B â +7: 7" : 73 :" 3 7

lo cual deseabamos mostrar.


# + 3 Ê 333 B œ + 0 B 0 B œ B + 1 B Sea una raíz de entonces en ,Hderivando se tiene ahora por ser raíz y0 B œ B + 1 B 1 B ß 0 + œ ! +w w

0 + œ ! 3 0 B 0 Bw w por la hipótesis . Luego y tienen una raíz en comúnpuesto que se sigue que tiene una raíz múltiple en .3@ Ê 333 0 B H333 Ê 3 0 B Si es irreductible, eso significa que los únicos divisores de0 B " 0 B 0 B 0 B 0 Bson y . Si tiene una raíz múltiple entonces y tienenw

un factor común no trivial en ; luego , como esOÒBÓ 0 B ß 0 B Á " 0 Bw

irreductible entonces en particular0 B ß 0 B œ 0 Bw

0 B l0 B Ê 0 B œ !Å

1<+.0 B 1<+.0 B

w w

w

, œ Î Tomando el cuerpo de los enteros módulo 5… ™& &™

0 B œ $ & % & B $ & B % & B − ÒBÓ™ ™ ™ ™ …& "! "&&

este polinomio no es irreductible ya que 0 B œ $ & % & B " & " & B™ ™ ™ ™& "!

aquí se tiene 0 B œ & % & B "! $ & B "& % & Bw % * "%™ ™ ™

y no se tiene claramente que tenga raíces múltiples0 B tiene 15 raíces en y como sólo tiene 51<+. 0 B œ "& Ê 0 B … …& &

elementos, entonces estas raíces tiene que ser múltiples.Un segundo ejemplo es el siguiente: Sea un cuerpo de característicaO

: Á # 0 B œ B " 0 B − OÒBÓ. Sea , no es irreductible. Ahora#

0 B œ # B " Á ! 0 Bw . Además tiene una raíz múltiple .

31.Muestre que si es perfecta y irreductible entonces yO 0 B 0 B Á !w

luego no tiene raíces múltiples.0 B

SOLUCIÓN: Supongamos que , entonces según la parte del0 B œ ! "w

problema 30 es del tipo se considera 0 B : Á ! 0 B œ B , B â , B â ,<: <" : <3 :

" 3 <

ahora puesto que todos los coeficientes 0 B − OÒBÓ , − O œ O œ O3::

(donde ) por lo tanto para cada existe un de tal forma que: À O O , +B ÈB: 3 3

, œ + ß a3 œ "ßá ß <3 3: , así

0 B œ B , B â ,<: <" :" <

œ B + B + B â + B â + œ + B<: <" : <# : <3 : : 4" #: : :

3 <4œ!

<

4

:

lo cual es una contradicción con el hecho de que era un polinomio0 Birreductible. Por lo tanto y se sigue que no tiene raíces0 B Á ! 0 Bw

múltiples en esto según la parte del problema 30. Si entoncesH 333 : œ !

sea y considérese . Entonces y tiene grado+ − : B œ T B : B Á ! : BH αlOw w

menor que el de . Puesto que no devide a se sigue que: B : B : Bw

: + Á ! + O lOw , así es separable sobre y se concluye que es separable.H


32. Sea una familia de extensiones normales de todasÖP × O Ð3 3−M

contenidas en la misma cerradura algebraica de Mostrar queH OÑÞ

" P OÞ es normal sobre ∩3 − M

3

Š ‹# O P3 O es normal sobre ∪3 − M

SOLUCIÓN: Œ" − M=9 P3ß l − M=9 P ß ß3

Sea tal que así: H : HO P O 3∩3

: :Š ‹∩ ∩ ∩3 − M 3 − M 3 − MÅ

P § P P O

P § P § P 3 3 3

: 3 3 3es normal sobre por lo tanto es normal.∩

3 − MP3

También se puede hacer, tomando un polinomio irreductible0 B − OÒBÓ

teniendo una raíz en , esto significa que es irreductible y∩3 − M

P 0 B − OÒBÓ3

tiene una raíz en para todo , puesto que es normal sobre seP 3 − M P O3 3

sigue que tiene todas sus raíces en , para todo , así siguiendo la0 B P 3 − M3

definición de intersección es irreductible y tiene todas sus0 B − OÒBÓ

raíces de donde es normal sobre .∩ ∩3 − M 3 − M

P P O3 3

Š ‹ Š ‹Š ‹# − M=9 O P3 ß ß À O P3 O Sea es decir, es un -: H : HO ∪ ∪3 − M 3 − M

isomorfismo. Sea entonces 0 0− O P3 œŠ ‹∪3 − M

"Ÿ3 â3 Ÿ8" 5

3 3 â3" # 8 "3"

838

"4 ß4 ßáß4 Ÿ8" # 84 ßâß4" 5 "

4"5

45

+ â

, â

α α

α α

de esto, puesto que es un -isomorfismo, tenemos: O

: 0 œ"Ÿ3 â3 Ÿ8" 5

3 3 â3" # 8 "3 3"

88

"4 ß4 ßáß4 Ÿ8" # 84 ßâß4" 5 "

4 4"5

5

+ â

, â

: α : α

: α : α

Ahora, puesto que los son normales, entonces .P ß − P3 3 3 33 4: α : α5 5 ∪

3 − M

Luego , así es: 0 :Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹Š ‹− O P O P § O P Ê O P∪ ∪ ∪ ∪3 − M 3 − M 3 − M 3 − M

3 3 3 3

normal sobre .O

33.Sea considérese .α œ # à #È ÈŠ ‹' '

È" # Calcular el polinomio minimal de sobre .'

Š ‹È# # Mostrar que no es normal sobre . '

È$ P P ¨ Ð #Ñ P Sea el menor cuerpo tal que y además que sea normal '

sobre . Calcular .ÒP À Ó

SOLUCIÓN: " T B œ B # es el polinomio irreductible, según el criterio de'

Eisenstein, ya que y . Así #l "ß #l# % l # # À œ 1<+. T B œ 'Ï Ï ’ “ Š ‹Š ‹È ''È#l

Š ‹È# # no es normal sobre , ya que '


B # œ B # B # B #B % B #B %' # #Š ‹Š ‹Š ‹Š ‹È È È ÈÈ È' ' ' '' '

los dos últimos polinomios no tienen raíces reales ya que = .f % % % !È È' '

Por lo tanto no tiene todas las raíces de , por lo tantoŠ ‹È' # B #'

Š ‹È' #Î no es normal.

Š ‹ Š ‹È ÈÈ$ P œ #ß $3 P ¨ # P ' 'es el menor cuerpo tal que de manera que es normal sobre , ya que si es otra extensión normal de que Q

contiene las raíces de entonces va a contener en particular a yB # #' È'È$3 B # ya que cualquier raíz de es una combinación lineal sobre de' È È' # $3y . Ahora ÒP À Ó œ #ß $3 À $3 † $3 À ’ “ ’ “Š ‹ Š ‹ Š ‹È È È È'

œ 1<+. T B † 1<+. T B œ ‰ B # B $Œ Š ‹È Š ‹È È' #l $3 $3l' #

œ ' ‚ # œ "#

34.Hallar un ejemplo de un cuerpo y de una extensión algebraica talO P

que pero no sea separable (Nota; por un resultado básico unaOP œ P PÎO:

tal extensión deberá ser infinita)SOLUCIÓN: Sea un cuerpo de característica no perfecto (un tal cuerpoO :

existe, por ejemplo ). Tomando se tiene que…: B P œ O"

T∞

OP œ O O œ OO œ O œ P::Š ‹" "

: :∞ ∞"

T∞

puesto que no es perfecto entonces existe tal que porO 8 − O § OÁ

": :8 8"

"

lo tanto existe y lo cual es equivalente a/α α− O − O"

: :8""

, œ − O • Â Oα α: " :8 8

entonces entonces es irreductible sobre además, − O Ï O B , O: :8"

además es una raíz de este polinomio entoncesα

B , œ T B:lO

8"

α

su derivada, T B œ : B œ !αl5

w 8" : "8"

por lo tanto no es separable.PÎO

35.Sea un cuerpo, su cerradura perfecta. Sea una extensiónO O P"

:∞

algebraica de Mostrar que es perfecto . En particular unaOÞ P Í P ¨ O"

:∞

extensión algebraica de un cuerpo perfecto es perfecto.SOLUCIÓN: Ê Ñ P − OSupogamos que es perfecto, entonces sea α

":∞

entonces existe tal que entonces8 − œ − O § P α αŠ ‹: ::

8" 8


α α α α: : : :8 8" 8# 8": :œ −P œ −P

P P

Š ‹ Š ‹perfecto perfecto

Ê Ê â

prosiguiendo este proceso se llega finalmente que , así α − P O § P"

:∞

É Ñ O O œ O Obsérvese que es perfecto, entonces . Toda" " "

: : :∞ ∞ ∞Š ‹:

extensión algebraica de un cuerpo perfecto es perfecta, demostremos quesi es algebraico entonces es perfecto, es decir,PÎO P

":∞ ˆ ‰a, − P b- − P - œ ,à / " • : œ -+<+->ÞP:/

O − P T B œ T B "ß ß ßá ßl

O

":∞

":∞

":∞

α α α α α Sea y es una base deαlO

# 8"

O O , − O , œ ,"

T∞" "

: :∞ ∞α α α sobre . Sea entonces , tomando la4œ!

8"

44

potencia se tiene:/

como Entonces, œ , ß , − O œ O Þ: :

4œ!

8"

4 4: :4 :

/ // / " ": :∞ ∞

/ˆ ‰ Š ‹α

, œ - œ - ß - − O: :

4œ!

8"

4 44/ / "

:/ˆ ‰α

puesto que son base de se sigue que"ß ßá ß O œ Oα α α α: 8" : ::

/ / /" ": :∞ /

/Š ‹ ˆ ‰ por lo tanto .- − O - − P

":∞

36.Sea un cuerpo de característica una extensión puramenteO : ß P

inseparable de grado finito. Mostrar que es igual a una potencia de ÒP À OÓ :

SOLUCIÓN: Puesto que es de grado finito la podemos considerar, sin perderPgeneralidad, como simple, digamos que . Sea el másP œ O / !α

pequeño entero tal que , y sea . Entonces no es unaα α: :/ /− O œ + +

: O B +-ésima potencia de algún elemento de , y por lo tanto es:/

irreductible en (puesto que . Se sigue que es una raíz delO + − O ÏO Ñ: α

polinomio , este es el polinomio minimal de por lo tantoB +:/ α .ÒP À OÓ œ ÒO À OÓ œ 1<+. B œ :ˆ ‰α α: //

37.Sea un cuerpo de característica . una cerradura algebraica. SeaO : H

α H− T B O 8 y su polinomio minimal sobre . Sea el grado deαlO !

separabilidad de , su grado de inseparabilidad.T B :αlO/

" œ OÞ Mostrar que es separable sobre " α:/

# O § OÐ Ñ § OÐ Ñ Naturalmente, tenemos las inclusiones . Mostrar que" α

O OÐ Ñα " es puramente inseparable sobre $ OÐ Ñ œ Ö − OÐ ÑÎ O× Mostrar que es separable sobre " 0 α 0

% ÒO À OÓ œ 8 ß ÒOÐ Ñ À OÓ œ :Concluir que α α=/: ! 38=/:/


SOLUCIÓN: " : œ T B : B œ !Sea si no es separable entonces por lo/ lO: w

/α://

α

tanto así existiría un con y: B − O B : B œ : B : B − OÐBÑ/ / / /: :

" " "

: B œ : B : : B/ lO/

lO" : "/α α, así no sería el grado de inseparabilidad de ,por lo tanto: entonces = es: B œ M<< Oß ß • ß : B Â OÒB Ó/ /

: : :ˆ ‰α " α/ /

separable.# − O œ / ! − OÐ Ñ Puesto que y entonces existe tal que o" " " α α ": :/ /

sea es puramente inseparable sobre .O OÐ Ñα "

$ OÐ Ñ OÐ Ñ Puesto que es una extensión de sólo debemos ver queα "

O œ Ö − OÐ ÑÎ O ×" 0 α 0 " es separable y puramente inseparable sobre .En efecto, sea una base de donde es el grado de"ß ßá ß OÐ Ñ 8α α α8"

: B − OÐ Ñ œ :αlO3œ"

8"

33 /, y sea entonces ; elevando a la potencia se0 α 0 - α

tiene

0 - α - α . " "

- .

: 3 : 3

3œ" 3œ" 3œ"

8" 8" 8"

3 3

:

3: 3

3:

3

/ /

/

/

/

œ œ œ − OÅœ

Œ ˆ ‰Así para existe tal que o sea que es puramente0 α 0 " 0− OÐ Ñß : − OÐ Ñ/ :/

inseparable en .OÐ Ñ"

Puesto que es separable sobre entonces es separable sobre de0 "O OÐ Ñ

aquí se sigue que es separable sobre O œ Ö − OÐ ÑÎ O×" 0 α 0

% " Por la parte sabemos que es separable y que el grado deα:/

separabilidad de es . Entonces y: ÐBÑ 8 O À O œ 8αlO ! !: ‘ˆ ‰α/

’ “Š ‹O À O œ :α α: //

.También por la parte se sigue que es separableˆ ‰" O ÎOα:/

O § OÐ Ñˆ ‰α α:

=/:/ .

Sea es separable sobre y también separable sobre , − OÐ Ñ Ê , O OÐ ÑÞα α=/::/

Por la es puramente inseparable sobre . Entonces según un# , O Ð Ñα:/

resultado básico . Así tenemos de donde se, − OÐ Ñ O Ð Ñ œ O Ð Ñα α α:=/:

/ :/

sigue que . ComoÒOÐ Ñ À OÓ œ 8α =/: !

ÒOÐ Ñ À OÓ œ ÒOÐ Ñ À OÓ ÒOÐ Ñ À OÓ œ 8 ÒOÐ Ñ À OÓα α α α=/: 38=/: ! 38=/:

y ÒOÐ Ñ À OÓ œ 1<+. : B œ 8 :α ˆ ‰αlO !

/

Entonces ÒOÐ Ñ À OÓ œ :α 38=/:/

38.Sea una extensión finita y . Mostrar quePÎO 7 œ ÒP À OÓ=/:

" 7 lE?> PÎO l # 7 œ lE?> PÎO l PÎO si y solamente si es normal.

SOLUCIÓN: Sea la menor extensión" R œ P Ö Ð ÑÎ − Pß − M=9 Pß ×5 α α 5 HO

normal de , la cual siempre existe, una cerradura algebraica de P OH


suficientemente grande. La construcción de es hecha de manera queRRÎO E?> PÎO § M=9 P À Osea normal, es evidente que por lo tantoO

lE?> PÎO l Ÿ lM=9 P À O l œ ÒP À Ol œ 7O =/:

# Ê Ñ7 œ lE?> PÎO l œ lM=9 P À O lO entoncesa − E?> PÎO P œ P PÎO5 5 se tiene esto significa que es normal.É PÎO a − E?> RÎO ß) Si es normal, esto equivale a decir que 5

5 7 7P § P Í a − M=9 RßP ß P § P O o sea que en particular |E?> PÎO l œ lM=9 PàR l œ ÒP À OÓ œ 7ÞO =/:

39.Sea un automorfismo de : d

" Mostrar que deja a fijo:

# Mostrar que manda todo elemento positivo sobre un elemento:

positivo.$ Concluir que tiene que ser la identidad: .

SOLUCIÓN: Puesto que es un automorfismo entonces Ahora" " œ "Þ: :

: : : :# œ " " œ " " œ " " œ #

o sea que en general : : : :8 œ Ò 8 " "Ó œ 8 " " œ 8 " " œ 8

o sea .: ™8 œ 8ß a8 −Ahora : : : : :ˆ ‰8 8

7 7" " ""œ 87 œ 8 7 œ 8 † 7 œ 8 † 7 œ

o sea que : < œ <ß a< −Esto implica que queda fijo por . :# + ! b − d + œ ! Sea , entonces tal que ahora- -#

.: : - : - - : - : - : -+ œ œ † œ † œ !# #

En particular es estricamente creciente ya que si ,: - - - -" # # " Í !

aplicando se tiene: : - - : - : - : - : -# " # " " # ! Í ! Í

lo cual afirma que es creciente.:$ aB − Ê ÐBÑ œ B Sabemos que deja a fijo o sea que: ; o sea que: :

: : l œ M. d + − d , veamos pues que es la identidad en . Tomemos yveamos que , en efecto supongamos que y que .: :+ œ + + œ , , Á +Puesto que es un conjunto totalmente ordenado entonces podemosdsuponer que .+ ,Puesto que es un conjunto denso en se tiene que existe tal que d - −+ - ,. Ahora aplicando , la cual ya sabemos que es creciente, se tiene: , œ Ð+Ñ Ð-Ñ Ð,Ñ: : :


pero deja fijo a , por lo tanto , así: :Ð-Ñ œ -

, œ + - ,: :De aquí se recibe que esto es totalmente contradictorio en, - , pod + œ +, por lo tanto .:Otra forma de probar esta afirmación es la siguiente:Sea entonces existe una sucesión tal que- − d Ö< Î< − ×8 8 8−

< p 8p∞ Þ l À8 - : cuando Puesto que es la identidad entonces es

continua y se tiene .: - : : -

:

Š ‹œ < œ < œÅ

< œ <

lim lim8Ä∞ 8Ä∞

8 8

8 8

40.Sea una extensión algebraica, una cerradura algebraica de .PÎO PH

P PÎO M=9 Pà|

|

O

H

Mostrar que si es separable infinita, entonces es infinito,O H

de manera que si es normal, separable, infinita entonces, esPÎO E?> PÎO

infinito.SOLUCIÓN: Sea un número entero arbitrario, puesto que es8 − PÎO

infinito existen elementos de tales que es unα α α α α α" # 8 " # 8ß ßá ß P Ö ß ßá ß ×

conjunto linealmente independiente sobre , como es una extensiónO PÎO

algebraica, entonces se puede considerar el cuerpo O ß ßá ß œ Qα α α" # 8

entonces tenemos, ÒQ À OÓ 8

entonces lM=9 Qà l œ ÒQ À OÓO H

Ahora para todo sabemos existe una extensión tal5 H 3 H− M=9 Qà À PO

que es un -isomorfismo y que | , entonces tenemos que3 3 5O œQ

|M=9 Pà l lM=9 Qà l 8O OH H

Ahora si se toma normal y como es una extensión finitaPÎO QÎO

separable se sigue que | .E?> QÎO l œ lM=9 Q À l œ 8O H

Así cada automorfismo de que deja fijo puede ser extendido a unQ Oautomorfismo de que deja fijo a así queP Oß lE?> PÎO l lE?> QÎO l œ 8

entonces para cada 8 − | es infinito.E?> PÎO l 8 Ê E?> PÎO

41.En las hipótesis del problema 40 anterior, mostrar que si es unaPÎO

extensión separable, infinita entonces puede ser finito. Para eso,E?> PÎO


muéstrese que tomando la cerradura algebraica de yO œ ß E

P œ E ∩ d se tiene+ PÎO separable infinita, lE?> PÎO l œ "

- PÎO Dando un ejemplo, mostrar que es posible tener algebraica infinitatal que lM=9 Pß l œ "O H

SOLUCIÓN: Puesto que y tiene característca , se sigue+ O œ !

inmediatamente que es separable. Veamos que es infinita. SeaPÎO PÎO

8 − # − P œ E ∩ d un número entero arbitrario, ahora puesto queÈ80 B œ B # − ÒBÓß 0 # œ ! 0 B œ B #Š ‹È8 8 y se tiene que , además es un8

polinomio irreductible, esto según el criterio de Eisenstein, entoncesT B œ B #Þ # À œ ‰ T œ 8 # § PÈ È8 8

8 8

#l #l8

’ “ Š ‹ Š ‹Š ‹È È Ahora , además

entonces ,ÒP À Ó # À œ 8 ’ “Š ‹È8es decir que , tal quea8 − b − P œ E ∩ d α ÒP À Ó ÒP À Ð ÑÓ 8 α

o sea que la extensión es infinita.PÎO

, − E?> PÎO O œ " œ " Sea , entonces deja fijo a , en efecto, y: : :

repitiendo el problema 39 se tiene : : : :8 œ Ò 8 " "Ó œ 8 " " œ 8 " " œ 8

por otra parte, : : : : :ˆ ‰8 8

7 7" " ""œ 87 œ 8 7 œ 8 † 7 œ 8 † 7 œ

es claro que se debe tener .7 Á !

: : : ya que, si , entonces por loes creciente + œ < ! < œ < !ß# # #

tanto, si en esta forma + , Ê , + ! , + ! Í , + !: : :

Í + ,: : .: - -deja fijo a P œ E ∩ d − P œ E ∩ d, en efecto, sea , es algebraico sobre - : - - : y . Si entonces como de donde se recibe que− d Ð Ñ œ − E?> PÎOy

b, − P œ E ∩ d œ , ß , − d ß , − E tal que . Como es denso y ( y ): - - -entonces existe tal que , aplicando que es creciente se- − , - - :sigue que : : : -Ð,Ñ Ð-Ñ Ð Ñ

pero y , así que lo cual es contradictorio. Por: : -- œ - œ , , - , polo tanto .: œ M.P- O :ß O Sea un cuerpo de característica no perfecto. Tomando la

":∞

cerradura perfecta de , se sigue que es una extensión infinita yO PÎO

puramente inseparable se sigue de un resultado básico queŠ ‹P œ O ß"

T∞


PÎH es normal M=9 Pß œ ÖM.×O H

42.Sea una extensión algebraica normal. Sea una cerraduraPÎO H

algebraica de la cerradura perfecta de Pß O O"

T∞

" O œ O ∩ PßVer que y por lo tanto es un cuerpo38="

:∞

# + O ÎO es puramente inseparable, normal38=

, P O/ es normal38=

SOLUCIÓN: : y es puramente inseparable sobre " § − O Í − P O α α α38=

entonces tal que esto es loα α α α− P • b8 − Î − O Ê − P • b8 − − O:8":8

mismo que α α α α α− P • − O Í − P • − O Í − P ∩O8∪

" " ": : :8 ∞ ∞

tal que¨ À C − P ∩O Í C − P • C − O œ O Ê C − P • b8 − 8

" " ": : :∞ ∞ 8∪

C − O C − P • b8 − C − O C − P • C":8

8 entonces tal que o sea que es :

puramente inseparable sobre de donde .Oß C − O38=

# + O ÎO O es puramente inseparable por construcción de . Ahora38= 38=

sabemos que es normal. Sea un polinomio irreductible talPÎO 0ÐBÑ − OÒBÓ

que es una raíz de y , esto significa que" "0 B − O38=

3 0ÐBÑ − OÒBÓ 0Ð Ñ œ ! es irreductible, ."

33 O es puramente inseparable sobre ."Esto significa que es la única raíz de o sea que si entonces" α0 B 0 œ !

" αœ 0 B O O ÎO. Por lo tanto todas las raíces de estan en luego es38= 38=

una extensión normal., PÎO es normal.38=

Sabemos que es normal y es un cuerpo. Sea se tienePÎO O − E?> ÎO38= 5 H

que . Ahora puesto que es5 5 H 5 HP § P − E?>Ð ÎO Ñ Ê − E?>Ð ÎOÑ PÎO " 38= "

normal se sigue que , en esta forma es separable.5" 38=ÐPÑ § P PÎOSea y sea es el polinomio minimal de en , por loα α− P Q œ O T B Q

":∞

αlQ

tanto es irreductible, como es perfecto, se sigue de un resultadoT B QαlQ

básico ¿cuál? que es separable por lo tanto es separable sobreT BαlQ α

Q œ O T B œ T B"

:∞

38=, nos resta ver que .α αlO lQ

Sea , , sea el más grande tal queα − P T B − O ÒBÓ 7 2αlO 38=38=

T B − O ÒB Ó T B œ 1 Bα αlO lO38=: :

38= 38=

2 7ˆ ‰ se puede escribir donde1 − O ÒBÓ • 1 Â O ÒB Ó 1 B 1 Â O ÒB Ó38= 38= 38=

: : : entonces es irreductible, como ˆ ‰7

1 ß 1ß tiene , así que es una raíz de es separabletodas sus raíces simples α:7


sobre además es el polinomio minimal (es claro que esO ß 1 138=

irreductible) de por lo tanto y se tiene queα:7"

:∞1 B − O ÒBÓ

T B œ 1 B œ T Bα

αlO

lO":∞

:7

38=Š ‹

43.Con las mismas hipótesis del problema 42" O ÎO Muestre que es normal.=/:

# E?> PÎO œ E?> PÎO E?> PlO E?> O lOÈ l

Mostrar que y que es=/: 38= =/:

O: :=/:

un isomorfismo de grupos.SOLUCIÓN: En efecto, sea entonces es separable" − E?>ÐO lOÑ O5 5=/: =/:

sobre ya que si tal que . Sea elOß − ÐO Ñ Í b − O Ð Ñ œ T B" 5 α 5 α "=/: =/: lOα

polinomio minimal de sobre y por lo tanto es separable o sea que α αOes una raíz simple. Ahora T œ T Ð Ñ œ T œ ! œ !

Å Ål œ M. T œ !

α α α

α

lO lO lO

O O lO

ˆ ‰" 5 α 5 α 5

5 α

por lo tanto y tienen el mismo polinomio minimal por lo tanto, comoα "T B OαlO =/: es separable, es separable luego es separable. Como" 5

5 O O O O=/: =/: =/: esta contenido en y es la cerradura separable de sesigue que , por lo tanto es normal.5 O œ O O ÎO=/: =/: =/: # + ÒO À OÓ œ " − O T B Primero se tiene que , en efecto, sea y 38= =/: 38= lOα α

su polinomio minimal, puesto que es puramente inseparable α T BαlO

debe dividir a algún polinomio de la forma el cual tiene una únicaB +:8

raíz. Por lo tanto cualquier isomorfismo de sobre dejando fijo esO O O ß38=

la identidad en cada , por lo tanto es la identidad en y comoα O38=

conclusión . Según el teorema de GaloisÒO À OÓ œ "38= =/:

E?> O ÎO µ38=E?> PÎO

E?> PÎO38=

Ahora como es normal, se sigue queO ÎO38=

|E?> O ÎO l œ lM=9 O ßO l œ ÒO À OÓ œ "38= O 38= 38= =/:

por lo tanto , asíE?> O ÎO œ Ò3.×38=

E?> PÎOE?> OÎO 38=

38=µ M. Í E?> PÎO œ E?> PÎO Þ

, À E?> PlO E?> O lO œ l Sea dado por G G : :38= =/: =/:

Se puede mostrar que si entonces : G : :− E?> PlO œ l − E?> O lO38= =/:O=/:

lo cual nos indica que está bien definida.G

G es un homomorfismo ,G : ) : ) : ) : )‰ œ ‰ l − E?>ÐO lOÑ Ê ‰ l œ l ‰ lO =/: =/: O O=/: =/: =/:

así .G : ) G : G )‰ œ ‰

G es inyectivaPara probar esta afirmación basta con demostrar que kerG œ ÖM. ×P


En efecto, sea entonces por lo tanto, deja: G G : : :− œ l œ M.ker O O=/: =/:

fijo a . Ahora entonces se tiene que deja fijo aO − E?>ÐPlO Ñ=/: 38=: :

O ß O † O38= 38= 38=entonces se tiene que deja fijo . Se demostrará en el:problema que sigue que de donde se tiene que deja fijo aP œ O † O=/: 38= :

P œ M. o sea que .: P

G es sobreyectiva.Sea , entonces puesto que es una extensión algebraica5 − E?>ÐO lOÑ PÎO=/:

P P À P P − E?>ÐPlOÑ3

3 3 entonces sea una extensión tal que tal quel l œ |3 5O=/:

O O + E?> PÎO œ E?> PÎO=/: =/: 38=5 se sabe por que , por lo tanto

| | y se tiene que3 − E?>ÐPlO Ñ38=

O O Ð Ñ œ l œM. .< 3 3 5O=/:

45.En las hipótesis del problema 42 se tiene" ÒP À OÓ ÒP À O Ó œ ÒO À OÓ ÒO À OÓ œ ÒP À O Ó Si es finito, entonces y 38= =/: 38= =/:

# ÒP À OÓSi es finito, entonces existe una biyección entre el conjuntoÖ P O × Ö O O×cuerpos entre y y el conjunto cuerpos entre y 38= =/:

$ O † O œ P Muestre que y que38= =/: .O ∩O œ O38= =/:

SOLUCIÓN: Como es finito entonces se tiene que" PÎO

ÒP À OÓ œ ÒP À O Ó † ÒO À OÓ38= 38=

También ÒP À OÓ œ ÒP À O Ó † ÒO À OÓ=/: =/:

Por otra parte se conoce el siguiente resultado: .ÒP À OÓ œ ÒP À OÓ † ÒP À OÓ œ ÒP À O Ó † ÒP À O Ó=/: 38= =/: 38=

De estos tres resultados se tiene lo siguiente ÒP À O ÓÒO À OÓ œ ÒP À O ÓÒP À O Ó "38= 38= =/: 38=

ÒP À O ÓÒP À O Ó œ ÒP À O ÓÒO À OÓ #=/: 38= =/: =/:

Puesto que y se sigue de y respectivamenteÒP À O Ó Á ! ÒP À O Ó Á ! " #38= =/:

que y ÒO À OÓ œ ÒP À O Ó ÒP À O Ó œ ÒO À OÓ38= =/: 38= =/:

# Según el teorema de Galois subgrupos de Cuerpos entre y Ö E?> PÎO × µ Ö P O ×p38= 38=

"G

también subgrupos de Cuerpos entre y Ö E?> O Î5 × µ Ö O O×p=/: =/:

#G

por la parte del problema 43 se sabe que#

.E?> PÎO Ä E?> O ÎOµ38= =/:

<


Luego existe que es una biyección, ya que es compuesta deG G G# ""‰ ‰

biyecciones, entre Cuerpos entre y y Cuerpos entre y .Ö P O × Ö O O×38= =/:

$ + − Pß ß ßá Sea , un subconjunto maximal de elementos deα 5 5 5" # <

E?> PÎO ß ßá ß tales que son distintos. Entonces algún es la5 α 5 α 5 α 5" # < 3

identidad y es raíz del polinomio .α 5 α0 B œ B #3œ"

<

3

Para todo se tiene7 − E?>ÐPlOÑ

7 7 5 α 7 5 α 5 α0 B œ B œ B œ B œ 0 BŒ# # #3œ" 3œ" 3œ"

< < <

3 3 3

esto es debido al hecho de que permuta las raíces.7Notemos que es separable y que sus coeficientes estan en el cuerpo fijo0O P38=. Sabemos por un resultado básico (¿cuál?) que es puramenteinseparable sobre por lo tanto puramente inseparable sobre O O † O Þ=/: =/: 38=

Por otra parte es separable sobre esto según la parte delP O #38=

problema 42 por lo tato es separable sobre . Puesto que P O † O=/: PÎO38=

es una extensión algebraica, se sigue que .P œ O † O38= =/:

, PÎO Por un resultado básico (¿cuál?) y dado que es algebraica O œ Ö − PÎ O O×α α α es separable sobre y es puramente inseparable sobre

œ Ö − PÎ O× ∩ Ö − PÎ ÎO×α α α αes separable/ es puramente inseparableœ O ∩O=/: 38=.

45.Sea 0 B œ B " B ## #

" R 0 B Hallar el cuerpo de factorización de sobre y determinar el

grado de .ÒR À Ó

# 0 B Hallar el grupo de Galois de .$ Determinar la correspondencia de Galois entre el conjunto de los

cuerpos intermediarios y de los subgrupos de .E?> Rl

% Probar que todos los cuerpos intermediarios son (o no son) normalessobre .SOLUCIÓN: Š ‹Š ‹È È" 0 B œ B " B # œ B 3 B 3 B # B ## #

El cuerpo de factorización de esta dado por0 B

R œ #ß #ß 3ß 3 œ #ß 3 Š ‹ Š ‹È È ÈÒR À Ó œ R À # † # À œ ‰ T B † ‰ T B ’ “ ’ “ Š ‹Š ‹ Š ‹È È Œ 3l # #l Š ‹È È

œ ‰ B " † ‰ B # œ # † # œ %Å‡ ‡‡

# #

ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ

‡ T B œ B " 8381?8+ <+ D ./ B " /=>+ /= #3l #

# #Š ‹È Š ‹Š ‹Èí


‡‡ T B œ B "È#l#

( es irreductible por el criterio de Eisenstein)ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ

Š ‹ ’ “È È ÈŠ ‹ Š ‹# #ß 3 #ß 3 À # œ #‡

Puesto que entonces

‚ ƒ Š ‹Š ‹ Š ‹È È . Digamos quelE?> #ß 3 Î # l œ #

7Š ‹ Š ‹È È ÈŠ ‹ Š ‹# 3 E?> #ß 3 Î # œ ÖM.ß ×

ƒ ‚ donde

así 7 7 7À 3 œ 3 œ 3 œ 33 È 3

# È #œ È È #

.’ “Š ‹ Š ‹È È Œ‡ #ß 3 À # œ ‰ T B œ ‰ B " œ # ya que

3l ##

Š ‹È .Ahora así ’ “ Š ‹Š ‹È #ß 3 À 3 œ ‰ T œ 1<+. B # œ # E?> Rl 3È#l 3

#

tiene dos elementos digamos pues que dondeE?> #ß 3 l 3 œ ÖM.ß ×Š ‹Š ‹È 5

. Por lo tanto 5 7 5 57À E?> #ß 3 l œ ÖM.ß ß ß ×# È #3 È 3

œ È È Š ‹Š ‹Èdonde 57 5 7 753 œ 3 œ 3 œ 3 œ 3

57 5 5 75Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹È È È È È# œ # œ # œ # œ #

Además , ya que57 5757# œ œ M. 5757 575 57 53 œ 3 œ 3 œ 3 œ 3

5757 575 57 5Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹È È È È È# œ # œ # œ # œ #

Luego el grupo de Klein.E?> #ß 3 l œ ZŠ ‹Š ‹È %

$ R Para establecer los cuerpos intermediarios entre y tenemos en

cuenta que una base para el espacio vectorial sobre es dada por Š ‹È#

Ö"ß #×Þ #ß 3 # Ö"ß 3×È È ÈŠ ‹ Š ‹ Ahora una base para sobre esta dada por .

Así una base del espacio vectorial sobre será dada por: Š ‹È#ß 3

Ö"ß #ß 3ß #3×ßÈ Èy los cuerpos intermediarios serán . Š ‹ Š ‹È È# ß 3 ß #3

Para calcular los subgrupos de establecemos el siguiente cuadroE?> Rl

M.

# # # # #3 3 3 3 3

5 7 57È È È È ÈAsí tenemos


En el diagrama de arriba indicamos la correspondencia entre los cuerposintermediarios y los subgrupos así a corresponde , a K #3Š ‹Ècorresponde ya queÖ3ß ×57

57 5 5Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹È È È È È#3 œ #3 œ 3 # œ 3 # œ 3 #

A corresponde , a corresponde y finalmente 5 7Š ‹È3 ÖM.ß × # ÖM.ß ×

Š ‹È#ß 3 ÖM.× corresponde .% Sabemos que toda extensión de grado dos es normal. Puesto que todas

las extensiones intermediarias son de grado dos, se sigue que los cuerposintermediarios son normales sobre . Entonces según el teorema de Galoistodos los subgrupos de orden dos del grupo de Klein son normales.

46. Sea una cerradura algebraica de . Sean y tales queE P § E Q § E

ÒP À Ó œ $ ÒQ À Ó œ &Þ y Mostrar que E " ÒPQ À Ó œ "&

‚ ƒ # PQÎ PÎ QÎ es normal si y sólo si y son normales

P Q $ PQÎ P Q En el caso de que sea normal, y son los

únicos cuerpos entre y ƒ ‚ PQ .

SOLUCIÓN: Como entonces es una extensión algebraica" ÒP À Ó œ $ PÎ

finita de dimensión entonces existen tales que es$ ß ß − P Ö ß ß ×α α α α α α" # $ " # $

base de sobre y se tiene .P P œ ß ß α α α" # $

Afirmación " P œ ß ß œ α α α α α" # $ donde es igual a uno de losα α α" # $ß ß o sea la extensión es simple. Sabemos que ÒP À Ó œ Ò ß ß À ß Ó † Ò ß À Ó † Ò À Ó œ $ α α α α α α α α α " # $ " # " # " "

Sea asíÒ ß ß À ß Ó œ 7ß Ò ß À Ó œ 8ß Ò À Ó œ >ß α α α α α α α α α " # $ " # " # " "

tenemos que , puesto que es un número primo se sigue que se$ œ 7 † 8 † > $

tienen las siguientes posibilidades en ese caso , esto3 7 œ $ß 8 œ "ß > œ "ß ß œ ß œ α α α α " # " "

implica entonces que , así tenemos que yα α α α α α" # " # $ $ß − P œ ß ß œPÎ es simple.


en ese caso 33 7 œ "ß 8 œ $ß > œ "ß ß ß œ ß ß œ α α α α α α " # $ " # "

entonces y se tiene y una vez másα α α α α α α" " # $ " # #− ß ß œ ß œPÎ es simple. en ese caso ,333 7 œ "ß 8 œ "ß > œ $ ß ß œ ß α α α α α" # $ " #

entonces y se tiene que es α α α α α α α " # " " # $ "ß œ ß ß œ PÎ

simple con .P œ α"

Ahora entonces es una extensión algebraica finitaÒQ À Ó œ & QÎ

de dimensión entonces existen elementos de de tal& ß ß ß ß Q" " " " "" # $ % &

manera que es una base de sobre entoncesÖ ß ß ß ß × Q" " " " " " # $ % &

Q œ ß ß ß ß " " " " "" # $ % &

Afirmación # Q œ ß ß ß ß œ donde es igual a uno de " " " " " " "" # $ % &

los elementos Sabemos que" " " " "" # $ % &ß ß ß ß Þ

ÒQ À Ó œ ÒQ À ß ß ß Ó † Ò ß ß ß À ß ß Ó † " " " " " " " " " " "" # $ % " # $ % " # $

Ò ß ß À ß Ó † Ò ß À Ó † Ò À Ó œ & " " " " " " " " " " # $ " # " # " "

Sea ÒQ À ß ß ß Ó œ 7ß Ò ß ß ß À ß ß Ó œ 8ß " " " " " " " " " " "" # $ % " # $ % " # $

Ò ß ß À ß Ó œ :ß Ò ß À Ó œ ;ß Ò À Ó œ < " " " " " " " " " " # $ " # " # " "

así , puesto que es número primo se tiene las& œ 7 † 8 † : † ; † < &

siguientes posibilidades 7 œ &ß 8 œ : œ ; œ < œ "

8 œ &ß7 œ : œ ; œ < œ "

: œ &ß 7 œ 8 œ ; œ < œ "

; œ &ß7 œ 8 œ : œ < œ "

< œ &ß7 œ 8 œ : œ ; œ "

Análogamente al caso anterior se tiene que o sea es simple.Q œ QÎ "

Así .PQ œ ∪ œ ß α " α "

Afirmación $ Ò ß À Ó œ $ α " " , basta ver queT œ T B 1<+. T B œ $α " α α l l lˆ ‰. Se sabe que , además por un problemaanterior se tiene que . Sea entonces T B T B œ 1<+. Tα " α α "l l l¹ ˆ ‰$ $

puede ser , o, o, . Pero dado que ." #ß $ Á " Â Ð Ñ$ α "

Si entonces existe factor lineal tal que $ "œ # 1 B 1 B − Ð ÑÒBÓ

1 B † T B œ : B Ð ÑÒBÓα " α l Ð Ñ l . Como es un dominio euclidiano entonces "

T B − Ð Ñ − T Bα α l l tiene una raíz y esto dado que es irreductible,/# " #

por definición de polinomio mínimo sobre entonces ÒBÓ T B œ T Bα # l l


y se considera la extensión intermediaria / , así # Ð Ñ

& œ Ò Ð Ñ À Ó œ Ò Ð Ñ À Ð ÑÓ † Ò Ð Ñ À Ó Ò Ð Ñ À Ó œ $ " " # # # , como , entonces aquíse sigue que lo cual es contradictorio así , luego ,$l& po ß Á # œ $$ $

entonces , de donde se tiene . AsíT B œ T B Ò Ð ß Ñ À Ð ÑÓ œ œ $α " α l Ð Ñ l α " " $

ÒPQ À Ó œ Ò Ð ß Ñ À Ó œ Ò Ð ß Ñ À Ð ÑÓ † Ò Ð Ñ À Ó œ $ ‚ & œ "& α " α " " "

# PQ œ Ð ß Ñ Sabemos que α "

Ê Ñ PQÎ ! es normal, ya que es un cuerpo de característica , además

PQÎ es normal y separable, entonces por el teorema de Galois, el grupode Galois es tal que , donde , entonces por ellKl œ "& K œ E?> PQÎ

teorema de Lagrange admite subgrupos de órdenes y K "ß $ß & "&

respectivamente. Según el primer teorema de Sylow posee por lo menosKun -grupo de Sylow y un -grupos de Sylow, y son las máximas$ & $ &" "

potencias de y que dividen al orden por el primer teorema de$ & ‰ K

Sylow, existen 3-grupos y 5-grupo de Sylow de órdenes 3 y 5L ßL" #

respectivamente. Así y . Como y son números‰ L œ $ ‰ L œ & $ &" #

primos, entonces y son grupos cíclicos por lo tanto L L L œ + ß" # "

L œ ,# . Por el teorema de Galois

cuerpos intermediarios subgrupos deentre y

œ œPQ E?> PQÎ biyección

Así cuerpos intermediarios

entre y œ e fPQ

œ PQß Ð Ñß Ð Ñß

α "

Como :c d α Ð Ñ À œ $ œ ÒK L Ó# Ò Ð Ñ À Ó œ & œ ÒK À L Ó " "

Entonces cuerpo fijo de L œ Ð Ñ œ P# α

cuerpo fijo de L œ Ð Ñ œ Q" "

Por el segundo teorema de Sylow, los -grupos de Sylow de son: Kconjugados dos a dos. Luego entonces por el teorema deL – Kß L – K " #

Galois es normal y / es normal.PÎ Q

É Ñ P œ Ð ÑÎ Q œ Ð ÑÎ ÒP À Ó œ $ Sea normal y normal, como α "

entonces por el teorema de Galois , entonces eslK l œ lE?> PÎ l œ $ KP P

cíclico y se tiene K œ Ö"ß ß × œ E?> PÎP

#5 5

Como entonces por el teorema de Galois ÒQ À Ó œ & lK l œ lE?> QÎ l œ & Q

entonces K œ Ö"ß ß ß ß ß × œ Q# $ % &7 7 7 7 7 7

PQ œ š ›‚Š ‹+ , + , â+ ,- . - . â- . , ß. −Q

+ ß- −P" " # # 8 8

" " # # 7 7 3 3

3 3

Sea entonces veamos que para todo ,: :− M=9 ÐPQ À EÑ B − PQ B − PQ

en efecto


B œ + , + , â+ ,- . - . â- . , ß. −Q

+ ß- −P" " # # 8 8

" " # # 7 7 3 3

3 3

Ahora: :Š ‹B œ œ œ+ , + , â+ ,

- . - . â- . - . - . â- . - . + , + , â+ , + , + , â + ," " # # 8 8

" " # # 7 7 " " # # 7 7 " "

" " # # 8 8 " " # # 8 8: : : : : : :: : : : - . â - .# # 7 7: : :

Pero | y como y son: : P Q− M=9 P À E l − M=9 ÐQß Ñ PÎ QÎ

normales se sigue que y luego: :l P § P l Q § Q ß P Q

: B œ + , + , â+ ,- . - . â- . , ß. −Q

+ ß- −Pw w w w w w" " # # 8 8w w w w w w" " # # 3 3

w w7 7

w w3 3

o sea que .: B − PQ$ # K œ E?> PQÎ L ßL $ Según se tiene que tiene a -subgrupos y " #

&-subgrupos de Sylow respectivamente. Sea es un -subgrupo de Sylow de V œ Ö Î? ? $ K×

es un -subgrupo de Sylow de D œ Ö Î & K ×? ?

El tercer teorema de Sylow nos dice que #V œ " 79.Þ$ #D œ " 79.Þ&pero es el único elemento de clase de módulo y respectivamente que" " $ &

divide a de esto se sigue que‰ K œ "&

# #V Dœ " œ

Esto implica que y son únicos subgrupos de . Por el teorema deL L K" #

Galois existe una biyección entre los subgrupos de y los cuerposKintermediarios, esto implica por consiguiente que entre y existenPQ solamente y subcuerpos intermediarios correspondientes justamenteO O" #

a y que son subgrupos cíclicos normales.L L" #

47.Sea 0 B œ B "!$

Š ‹È" 0 B # Muestre que es irreductible sobre .

Š ‹È# # Hallar el grupo de Galois y los cuerpos intermediarios entre y el

cuerpo de factorización de 0 B Þ

SOLUCIÓN: Si no es irreductible sobre entoncesŠ ‹È" B "! #$

0 B œ B B B B − # B B − # ßŠ ‹ Š ‹È Èα " # α " # # #, donde y ahora se sabe que puede ser factorizado en en la formaB "! d$

B "! œ B "! B "!B "!! ‡$ #Š ‹Š ‹È È È$ $ $

Ahora ya que .B "! Â # "! Â #È ÈŠ ‹ Š ‹È È$ $

También dado que ni , ni pertencenB "!B "!! Â # "! "!!# È È È ÈŠ ‹È$ $ $ $

a . Como la factorización de es única en se sigue queŠ ‹È# B "! d$

y B œ B "! B B œ B "!B "!!α " #È È È$ $ $# #

esto es contradictorio ya que se tendría y B − # B Â #α α Š ‹ Š ‹È È


Luego es irreductible sobre .B "! #$ Š ‹È# B "! Las raíces de son$

.α α α" # $" $3 " $3

# #œ "!ß œ "! ß œ "!È È ÈŠ ‹ Š ‹$ $ $È ÈLuego el cuerpo de factorización de estará dado por0 B œ B "!$

P œ "!ß "! ß "! œ "!ß $3 Š ‹ Š ‹È È È È ÈŠ ‹ Š ‹$ $ $ $" $3 " $3# #

È ÈAhora considerando sobre se sigue que el cuerpo de0 B #Š ‹È

factorización será P œ # "!ß $3 œ #ß "!ß $3Š ‹È#

Š ‹ Š ‹ Š ‹È ÈÈ È È È$ $

Š ‹È È È#ß "!ß $3 œ P$

Š ‹È#Todas extensiónes son normales separables

por lo tanto podemos afirmar que‚ ƒ Š ‹Š ‹ Š ‹Š ‹ ¹ ¹È ÈÈ È Œ# "! # $3 E?> P l œ ÒP À Ó œ$

Š ‹ Š ‹È È# #

ƒ ‚Š ‹ ’ “È ” •# œ †P À # "! # "! À #

Š ‹È# Š ‹Š ‹ Š ‹Š ‹ Š ‹È È ÈÈ È$ $

œ ' , ya que

” • ŒŠ ‹Š ‹È ÈP À # "! œ ‰ T B œ ‰ B $ œ # Š ‹ Š ‹Š ‹È ÈÈ È# $3l # "!

# $$

y ’ “Š ‹Š ‹ Š ‹È ÈÈ Œ # "! À # œ ‰ T B œ ‰ B "! œ $$$È Š ‹È"!l #

$

K œ E?> Pl E?> P # "!Œ ¹ Š ‹Š ‹È È tiene por subgrupos a yŠ ‹È#

$

E?> P # $3 P # "!Œ ¹ Š ‹Š ‹ ‚ Š ‹Š ‹È ÈÈ È Š ‹ Š ‹È È# #

. Como y$

P # $3Š ‹È#

‚ Š ‹Š ‹È È son extensiones normales separables y finitas, se

tiene ¹ Š ‹Š ‹ ¹ Š ‹Š ‹Œ ” •È ÈÈ ÈE?> P l # "! œ P À # "! œ #ß Š ‹ Š ‹È È# #

$ $

entonces tiene dos elementos dondeE?> P # "! Ö3.ß ×Œ ‚ Š ‹Š ‹È ÈŠ ‹È#

7$

7 7 7 7:Š ‹ Š ‹ Š ‹È È ÈÈ ÈÈ È$3È $3

"!È "!# #

$ $ $3 œ $3 œ $3ß œ 3.

Ahora entonces” • ŒŠ ‹Š ‹È ÈP À # $3 œ ‰ T B œ $ Š ‹ Š ‹Š ‹È ÈÈ È# "!l # $3

$

E?> P l # $3 $Œ Š ‹Š ‹È ÈŠ ‹È#

tiene elementos por lo tanto debe ser un

grupo cíclico, sea , se define sobre las5 5− E?> P # $3Œ ¹ Š ‹Š ‹È ÈŠ ‹È#

raíces de así y así tenemosB "! À "! È "!$ " $3#5 È È Š ‹$ $ È


5 5 5 5 5# " $3 " $3# #Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹È È È ÈŠ ‹ Š ‹$ $ $ $"! œ "! œ "! œ "! †È È

Ål œ 3.5Š ‹Š ‹È È# $3

œ "! œ "!È ÈŠ ‹Š ‹ Š ‹$ $" $3 " $3 " $3# # #

È È È5 5 5 5 5$ # " $3 " $3

# #Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹È È È ÈŠ ‹ Š ‹Š ‹$ $ $ $"! œ "! œ "! œ "! †È È

œ "! œ "! œ "! œ "!È È È ÈŠ ‹Š ‹$ $ $ $

##

" $3 " $3# # % %

" $3%È È Š ‹È

.

Luego E?> P l # $3 œ Ö3.ß ß × œ ÞŒ Š ‹Š ‹È ÈŠ ‹È#

# 5 5 5

Por lo tanto , obtenemos el siguiente cuadroK œ Ö3.ß ß ß ß ß ×7 5 5 75 57#

3.

$3 $3 $3 $3 $3 $3 $3

"! "! "!A "!A "! "!A "!A

5 5 7 75 57#

È È È È È È ÈÈ È È È È È È$ $ $ $ $ $ $

donde , de aquí se concluye que , entonces no esA œ Á K" $3#

È75 57

abeliano, así es isomorfo a . Ahora se tiene el siguiente cuadro paraK W$

los subgrupos

Los cuerpos intermediarios se presentan en el siguiente cuadro:

Así los cuerpos intermediarios son: Š ‹Š ‹ Š ‹Š ‹ Š ‹Š ‹ Š ‹Š ‹È È È ÈÈ È È È# 3 $ ß # "! ß # "!A ß # "!A$ $ $

que son los cuerpos fijos de cada uno de los subgrupos de , esto segúnKel teorema de Galois.

48.Sea un cuerpo de característica , y dos indeterminadas.O : Á ! Bß C

Sean y P œ O Bß C œ O B ß CŠ : :

" B PÎ Mostrar que no es separable sobre , de manera que no esŠ Š

separable.


# ÒP À Ó œ : Mostrar que Š #

ˆ ‰$ a- − 1<+. T B œ : Mostrar que , Š B-ClŠ

% P Þ Mostrar que no es una extensión simple de Šˆ ‰& a − P 1<+. T B Ÿ : Mostrar que ,0 0 Šl

SOLUCIÓN: Es claro que cuando " B Â O B ß C : Á ": :

Afirmación: T D œ D B − ÒDÓ œ O B ß C ÒDÓBl: : : :

Š Š

Para la verificación mostremos que es irreductible sobre .D B ÒDÓ: : Š

Supongamos que no es irreductible sobre entonces existenD B ÒDÓ: : Š

0 D ß 1 D − ÒDÓŠ tales que D B œ D B œ 0 D 1 D: : :

esto implica que para .Š ‹0 D œ DB1 D œ DB

8

:8 8 :

Desarrollando, por el binomio de Newton se tiene 0 D œ D G BD G B D â " B Â ÒDÓ8 " 8" # # 8# 8

8 88 Š

puesto que . En forma análoga se tiene queBß B ßá ß B Â œ 5 B ß C# 8 : :Š

1 D Â ÒDÓ D BŠ , esta contradicción nos afirma que es irreductible sobre: :

ŠÒDÓ T D œ D B, luego .Bl: :

Š

Ahora entonces no es separable sobre , esto muestraT œ :D œ ! BBlw :"Š

Š

que no es separable.PÎŠ

# ÒP À Ó œ : Mostremos que . Considérese la siguiente torre deŠ #

extensiones P œ O Bß C œ O B ß C B œ Q B:

l

Q œ O B ß C œ O B ß C C œ C: : : Š l

Š œ O B ß C: :

l

O3 PÎQ Como es una extensión simple se tiene

ÒP À QÓ œ ÒQ B À QÓ œ 1<+. T D œ :ˆ ‰BlQ

pues en efecto, si es irreductible sobre T D œ D B − QÒDÓ D B Q DBlQ: : : :

entonces , entoncesD B œ 0 D 1 D œ D B ß 1 D ß 0 D − QÒDÓ: : :

,Š ‹1 D œ DB0 D œ DB

8

:8 ß 8 :

pero ,1 D œ D B Â QÒDÓ œ O B ß C ÒDÓ8 :

pues 1 D œ D G BD â " B Â QÒDÓ œ O B ß C ÒDÓ ß8 " 8" 8 :

88

ya que Bß B ßá ß B Â Q œ O B ß C po# 8 :

33 QÎ es extensión simpleŠ

ÒQà Ó œ ÒO C À OÓ œ 1<+. T D œ :Š ˆ ‰ClO


pues en donde es irreductible, como ya fueT D œ D C − ÒD Ó8lO: : Š

mostrado en la parte . Luego" ÒP À Ó œ ÒP À QÓÒQ À Ó œ : † : œ :Š Š #ˆ ‰$ 1<+. T D œ : Mostremos que ,B-ClŠ

Afirmación: T D œ D B - CB-Cl: : : :

Š

En efecto, + es irreductible ya que en caso de no serlo existiránD B - C: : : :

0 D ß 1 D − ÒDÓ D B - C œ D B -C œ 0 D 1 DŠ tales que esto: : : : :

significa que . Como se0 D œ ÒD B -C Ó œ D â " B -C 8 :8 8 8 8

sigue que , entonces .B -C Â œ O B ß C 0 D Â ÒDÓ • 0ÐDÑ − ÒDÓ po8 : :Š Š Š

Por lo tanto , luego .T D œ D B - C 1<+. T D œ :B-Cl B-Cl: : : :

Š Šˆ ‰% # PÎ O B ß C ÎO Por tenemos que es una extensión finita, ahora esŠ : :

una extensión infinita; luego en particular es un cuerpo conŠ œ O B ß C: :

un número infinito de elementos. Luego el conjunto es infinitoÖO B ß C ß B -C Î- − œ O B ß C × œ Ö B -C À - − ×: : : :Š Š Š

Por . Luego$ Ò B -C À Ó œ :ß a- − Ê ÒP À B -C Ó œ :ß a- −Š Š Š Š Š

P Á B -C ß a- − • Á B -C ß a- −Š Š Š Š ŠPor consiguiente, existe un número infinito de cuerpos intermediariosentre y además, como es una extensión finta, por un resultadoŠ ŠPß PÎ

básico (¿cúal?), esto equivale a decir que no es una extensión simple.PÎŠ

& # ÒP À Ó œ : Ya vimos en la parte que . Para todo cuerpo intermediarioŠ #

Qß § Q § P ÒP À QÓ œ ÒQ À Ó œ :Þ − PÁ Á

Š Š 0 entonces Sea entonces

3 œ PŠ 0 33 § Ð Ñ § P

Á ÁŠ Š 0

333 œ Ð ÑŠ Š 0

3 % PÎ No es verdad ya que por no es una extensión simple.Šˆ ‰33 1<+. T B œ Ò Ð Ñ À Ó œ :0 Šl Š 0 Š ya que se trata de una extensiónintermediaria ˆ ‰333 − T B œ B 1<+. T B œ " entonces esto implica que .0 Š 00 Š 0 Šl l

Entonces 1<+. : B Ÿ :ˆ ‰0 Šl

49.Mostrar que un cuerpo finito no puede ser algebraicamente cerrado.SOLUCIÓN: Sea un cuerpo finito de característica primo . TenemosJ : Á ! :

que . Si entonces . El grupo multiplicativoJ § J ÒJ À J Ó œ 8 lJ l œ : œ ;: :8

J œ J Ö!× J : " œ ; "‡ 8 de tiene orden entonces para todoα α α α α α− J ß œ " − J ß œ − J Ð § JÑ‡ ;" ‡ ; ‡ entonces para todo , o sea que es raíz de la ecuación asíB Bß;

todas las raíces de .Ö B B × ¨ J;

Para ver que no es algebraicamente cerrado, basta tomar el polinomioJ0 B œ B B " − J ÒBÓ 0 B J:8 , teniéndose que no admite raíces en lo cualimplica que no es algebraicamente cerrado.J


50.Sea un anillo, una familia de -módulos, seaV ÖQ × V a −α α A− α A

R § Q V Q− −

α α α α un -submódulo. Mostrar que : :α A α AŠ Š Q

Rα

es un -homomorfismo cuyo núcleo es , luego como consecuencia,V R−Š

α Aα

tenemos que es un -submódulo de .Š Šα A α A− −

R V Qα α

SOLUCIÓN: Veamos primero que es un -módulo. La adición en se3 VQ QR R

α α

α α

define así: À ‚

7 R ß7 R 7 R 7 R œ 7 7 RÈ

Q Q QR R R

" # " # " #

α α α

α α α

α α α α α

La adición esta bien definida, en efecto 7 R 7 R œ 7 R ß7 R Í" ß # " #

w wα α α α

7 R œ 7 R ß • ß7 R œ 7 R Í" #" #w w

α α αα 7 œ 7 R ß • ß 7 œ 7 R Í 7 7 œ 7 7 R Í " # " #" # " #

w w w wα α α

7 7 R œ 7 7 R" # " #w wα α

Es ahora inmediato verificar que es un grupo abeliano.Q ÎR ß α α

La ley de composición externa o multiplicación escalar estradicionalmente definida como sigue ì À d ‚Q ÎR Q ÎR

<ß7 R < † 7 R œ <7RÈα α α α

α ααPara ver que la función está bien definida tenemos<ß7 R œ < ß7 R Í < œ < •7R œ 7 R Í < œ < •7 œ 7 Rα α α α α" " " " " "

Ê <7 œ < 7 R Í <7R œ < 7 R " " " "α α α.Es inmediato ahora verificar las propiedades de -módulo.3 ß 33 ß 333 ß 3@ V33 Ö × V Se considera ahora la familia de -módulos cocientes. Se tomaQ

R −α

αα A

ahora .# š ›‚α A−

Q Q QR R Rα α α

α α αœ 0 À 0 −A α

α∪

Se considera SPUNFIŠα

α αQ QR Rα α

α αœ 0 − 0 œ !œ # ‚

α

(aquí SPUNFI significa ) es unsalvo para un número finito de índicesV-módulo con las operaciones 0 1 œ 0 1 ß <0 œ < † 0 < − Vα α α α α333 À Q

7 È7 RSea el homomorfismo canónico: α

α α α

QRα

α

7 œ 8 Í 7 œ 8 R Í 7 R œ 8 R Í 7 œ 8α α α α α α α α α α α α α: :Afirmación es un -homomorfismo" V:αEn efecto; 3 7 8 œ 7 8 R œ 7 R 8 R œ

Å:α α α α α α α α α α

QRα

αes un -móduloV

œ 7 8: :α α α α

# <7 œ <7 R œ < 7 R œ < 7Å

: :α α α α α α α α

QRα

αes un -móduloV


3@ À Q−

7 È −7 œ 7

./0 :

α A α A: :

Š α

α α A α α α α A−

QR

−

Š α

α

Afirmación # está bien definida:Ya que si , según la definición de -upla, esto equivale aB œ 7 8α αα A α A− −

decir que para cada , puesto que y está bienÀ B œ 7 − B ß7 − Qα α α α αα A :α

definida, se sigue que o sea que: : α AαB œ 7 a − ßα α α

: : α Aα α α αα AB œ 7 −−

de donde finalmente : :B œ 7α αα A α A− −

Afirmación es un -homomorfismo de módulos$ V:: : :Ò 7 8 Ó œ 7 8 œ 7 8 œ

Åα α α α α α αα A α A α A α A− − − −

Šα A−

Q Vαes un -módulo

œ 7 8 œ 7 8 œ 7 8Æ c d c d: : : : : :α α α α α α α α α αα A α A α A α A α A− − − − −

: : : : :Ò< 7 Ó œ <7 œ <7 œ < 7 œ < 7α α α α α α αα A α A α A α A α A− − − − −

.œ < 7:c dα α A−

Afirmación % Þ œ R−

ker :α AŠ α

kerÞ œ 7 − Q Ò 7 Ó œ ! −− −

: :α A α A

œ ‚ ˆ ‰α α α αα A α A α A− − −QRŠ Š α

α

œ 7 − Q 7 œ ! −− −

œ ‚ ˆ ‰α α α α αα A α A α A− − −QRŠ Š

α A α A: α

α

œ 7 Î 7 œ ! − ß a − œ 7 Î 7 œ R ß a −š › e fα α α α α α α αα A α A− −QR: α A : α Aα

α

œ 7 Î7 − R ß a − œ R−

e fα α α αα A− α Aα AŠ

Ahora como es un -homomorfismo, . es un -submódulo de: :V Vker

Š Š Šα A α A α A− − −

Q ß R V Qα α α se sigue así que es un -submódulo de , del

teorema fundamental de isomorfismos y del hecho que es sobreyectiva:se sigue que

.M7 œ ¸ œ−

:α AŠ Q

R Þ− −

Q Q

−R

α

α

α α

α

Š Š

Šα A α A

:α A

ker

51.Sea un dominio principal. Sea un -módulo de torsión. SeaV Q V

Ã Ãœ Ö V× : −representantes de los primos de . Para cada seaQ œ Ö7 − QÎ 7 : ×: el anulador de es una potencia del ideal ." Q V Q Mostrar que es un -submódulo de :

# Q Mostrar que œ Q: −ŠÃ

:

SOLUCIÓN: para algún " Q œ Ö8 − QÎE 7 œ : V >×: 88>

Q Q: .es un subgrupo de


Sean esto equivale a decir que existen y tales que7 ß7 − Q > >" # : " #

E 7 œ : V E 7 œ : V88 " 88 #> >" # y , ahora

7 7 : œ 7 : : 7 : : œ !" # " #> > > > > >" # " # # "

esto significa que existe tal que , o sea que> œ > > E 7 7 œ : V" # 88 " #>

7 7 − Q" # :.VQ § Q: :

Sea y , esto es equivalente a decir que, existe tal que7 − Q < − V >:

E 7 œ : < < − V <7 : œ < 7: œ ! b> œ >88> > > ‡ y , ahora , o sea que tal que

E <7 œ : V <7 − Q88 :> de la última proposición se tiene que por lo tanto

VQ § Q Q V QÞ: : : y se tiene que es un -submódulo de # Para probar esta parte veamos primero que+ Q œ Q

: − ∪

Ã:

Afirmación: y (o sea que cada elemento7 − Q E 7 œ : : â :88 3 3 35 5 5ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰" # <

" # <

de es anulado por un producto de potencias de idealesQˆ ‰: 4 œ "ß #ßá ß < 53 34 diferentes los son enteros positivos ). Entonces

existen elementos tales queB 4 œ "ßá ß <4

con 7 œ B B â B B − Q" # < 4 :34

Para mostrar esta afirmación procedemos por inducción sobre .<Si entonces esto significa que donde< œ " E 88 7 œ : 7 œ Bˆ ‰

35

""

"

B − Q 7 :" : 33 ""o sea que es anulado por una potencia de por lo tanto basta

tomar con .7 œ B B − Q" " :3"

Supongamos la afirmación verdadera para los elementos de cuyoQanulador es un producto de potencias, menores de de ideales primos<distintos.

Sea y sea esto implica queˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰8 œ : : â : œ : â : ; œ :•

< 3 3 3 3 3 35 5 55 5 5" # < " <" <

" # "< <" <

;ß 8 œ 7Þ-Þ. ;ß 8 œ " ; 8< < < (eso según la construcción de y además los: 3 =ß >

34

454 son elementos irreductibles para cada ) por lo tanto existen tales

que así multiplicando por se tiene ." œ =; >8 7 7 œ =;7 >8 7< <

Puesto que el anulador de es un subideal de , entonces es un7=; 8<

producto de potencias de los ideales primos< "

: ß : ßá ß :3 3 3" # <"

por lo tanto existen por la hipótesis de inducción B ß B ßá ß B − Q ß 4 œ "ßá ß < "" # <" :34

tales que 7=; œ B B â B ß B − Q ß 4 œ "ß #ßá ß < "" # <" 4 :34

Ahora como es un subideal de entonces es una potencia delE 7>8 ; ß88 <

ideal o sea conseguimos que; con : 7>8 œ B B − Q3 < < < :< 3<

Así obtenemos que con 7 œ 7=; 7>8 œ B B â B B B − Q ß 4 œ "ßá ß << " # <" < 4 :34


” •, Q ∩ Q œ Ö!×3 Á 4

: :4 3∪

Supongamos que . Entonces7 − Q ∩ Q3 Á 4

4 : :4 3” •∪

donde 7 œ B B â B B − Q4 " # < 2 :32

y los son índices distintos de Sea3 4Þ2

donde > œ : : â: E B œ :3 3 35 5 5

88 35

"

" #

# 3<

< 3ˆ ‰el producto de los representantes de los anuladores de los B ß B ßá ß B" # <

Puesto que es un -módulo y los anuladores son ideales biláterosQ V 7 > œ B B â B > œ B > B > âB >4 " # < " # <

œ B : : â: : B : â: â : : â: B : œ !" # <3 3 3 3 3 3 35 5 5 5 5 55 5 5 5" # " # " # <

" # " # " #

3 3 3< <

< < <"

<"

<ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰así, 7 > œ !Þ4

Puesto que el representante del anulador de y el entero son primos7 >4

relativos, se sigue que . Teniendo probado que .7 œ ! Q œ Q: −

4 :ŠÃ

Definición: Si es un dominio de ideales principales, un primo de yV : V\ V \ es un -módulo tal que cada elemento de es anulado por unapotencia de entonces es llamado un -módulo -primario.: \ V :Supongamos ahora que existe otra sucesión de sub-módulos deÖL ×: :−Ã

Q L V : : − tal que es un -módulo -primario para cada . Por la definición: Ã

de , para cada . Si entonces existen enterosQ L § Q : − B − Q B Á !: : : 3 : 3Ã3

positivos y elementos tales que3 ß 3 ßá ß 3 2 ß 2 ßá ß 2" # < " # <

B œ 2 2 â 2 ß 2 − L ß 4 œ "ß #ßá ß <3 " # < 4 :34

Por lo tanto el anulador de es una potencia positiva de y también unB :3 3

producto de las potencias para algún y: ß : ßá ß : œ : > > œ "ß #ßá ß <3 3 3 3" # >

: œ " 4 Á >34 para .Pero entonces y se sigue que y por lo tantoL œ Q B − L L ¨ Q: : 3 : : :3 3 3 3 3>

L œ Q: :3 3. Así la descomposición es única.

52.Sea un dominio principal. Sea un -módulo cíclico, deV Q œ VC V

torsión. Sea anulador de M œ E C

•Como es principal, con .V M œ - - − V

•Como es de torsión, , luego .Q M Á Ð!Ñ - Á !

Sea una descomposición de como producto de elementos- œ : : â: -" #<

8<" #< 8

irreductibles (eso es posible, pues siendo un dominio factorial esV

factorial)." : V 7 Á ! Sea un elemento irreductible de tal que existe un elemento deQ : † 7 œ ! >Þ : − Ö: ß : ßá ß : ×tal que para alguna potencia Mostrar que .>

" # 8

Concluir que .Q œ Q ŠQ ŠâŠQ: : :" # 8


# Q Mostrar que el anulador de es :3 :3<3

SOLUCIÓN: con entonces así" : 7 œ ! 7 − Q œ VC 7 œ <C>

: <C œ : < C œ !ß < − V> >

entonces, , eso quiere decir que: < − E C œ ->88

: < œ -7 œ : † : â: † 7> ‡ < ‡" #< <

8" # 8

además es decir o sea que existe tal que . Por la unicidad< Â Ð-Ñ - l < 3 : l <Ï3<3 Ï

de la factorización se sigue que divide a o sea entonces: : : œ : 73 3> >

: − : : − Ð: Ñ>3 el cual es un ideal primo, así de donde tenemos la

3

siguiente implicación , de donde se tiene: œ : 8 Ê : œ :3 3

: œ : Ê : − Ö: ß : ßá ß : ×3 " # 8

Ahora para cada sea como3 œ "ß #ßá ß 8 ; œ : † : â: â:•

3 " #< <

3<

8<" # 3 8

7Þ-Þ. ; ß ; ßá ß ; œ " ß ßá ß − V 7 − Q" # 8 " # 8 existen tales que entonces- - -

- - - - - -" " # # 8 8 " " # # 8 8; ; â ; œ " 7 œ ; 7 ; 7â ; 7, de donde Para cada tenemos ; concluimos que3 œ "ßá ß 8 : ; 7 œ -7 œ !3

83 3 3- -

-3 3 : : : :; 7 − Q Q œ Q Q âQ3 " # 8 y por lo tanto tenemos que .

Resta mostrar que la suma es directa.Sea . Podemos escribir7 − Q ∩ Q âQ âQ

•3 " 3 8Œ

con .7 œ 7 â7 7 â7 7 − Q" 3" 3" 8 4 :4

Sea tal que y para cada , sea tal que . Si= ! : 7 œ ! 4 Á 3 = ! : 7 œ !3 43 4= =3 4

; œ : â: : â: ;7 œ ! 7Þ-Þ. : ß ; œ "" 3" 3"= = ==

8=

3" 3" 33" 8 entonces . Como existen

- . - . - ., tales que entonces − V : ; œ " 7 œ : 7 ;7 œ !Þ3 3= =3 3

# 7 ß7 ßá ß7 Q Sea un conjunto de generadores de . Para cada" # > :3

4 œ "ß #ßá ß > < ! : 7 œ ! < œ Ö< ßá ß < × sea tal que . Tomemos . Es4 " >‡ ‡ ‡

3

<4 3

4‡

maxclaro que es el representante de que anula a los elementos de: :3 3

< <3 3

Q Q: :3 3 (ya que cada elemento de puede ser obtenido como una

combinación de los generadores) por lo tanto . Por otroE Q § Ð: Ñ88 : 3<

33

lado (para cada )4 œ "ß #ßá ß >

: 7 œ : : 7 œ !3 3 3<

4 4< < <

3 3 4 4‡ ‡

se sigue que (para cada 7 − Q Ñ:3

: 7 œ !3<

43

y por lo tanto o sea esto completa la: − E Q : § E Q3 3< <

88 : 88 :3 3

3 3

demostración.

53.Enunciar el teorema de Galois para extensiones finitas.SOLUCIÓN: Sea una extensión finita, normal, separable, entoncesPÎO

" Existe una correspondencia biunívoca uno a uno y sobre entre loscuerpos intermediarios entre y y los subgrupos de .P O E?> PÎO

# QÎO O § Q § P Si es una extensión normal entoncesE?> PÎQ – E?> PÎO y se tiene que


E?> QÎO ¸ E?> PÎOE?> PÎQ

$ lE?> PÎQ l œ ÒP À QÓÞ

54.Responder solamente si o no a las siguientes preguntas" O 0 B − OÒBÓß P Sea un cuerpo primo; sea y el cuerpo de factorización

de sobre 0 B OÞ

Entonces ¿ es una extensión separable sobre ?+ P O

¿ tiene un elemento primitivo? (es decir, ¿ es una extensión, P P

simple de ?)O

# PÎOSea una extensión finita. Entonces ¿existe solamente un númerofinito de cuerpos intermediarios?$ O K Sea un cuerpo finito, un grupo abeliano finito. Entonces ¿existe una

extensión tal que ?P E?> PÎO œ K

% O P PÎO Sea un cuerpo finito, una extensión finita. Entonces ¿ es unaextensión normal, separable y finita?& œ Ö!×à 7 − Sea el cuerpo de los números complejos, ‚ ‚ ‚ ‡

¿ contiene un subgrupo de orden ?+ 7‚‡

¿ contiene un subgrupo cíclico de orden ?, 7‚‡

¿En número de subgrupos de orden es igual a módulo ?- 7ß # 7

SOLUCIÓN: Si Si" + ß ,# $ % No No Si& + , - Si Si No.

Un buen ejercicio es justificar las afirmaciones anteriores.

55. Sea un cuerpo de característica tal que no admite extensiónO ! + O

de grado cuyo grado no es un múltiplo de , es&Þ , a0 B − OÒBÓ &

reducible o de grado uno .Mostrar que no admite extensión algebraica propia (es decir; esO O

algebraicamente cerrado).SOLUCIÓN: Si no admite extensión finita propia entonces no admiteO Oextensiones propias, en efecto; si es una extensión algebraica propia3 Hde , entonces existe tal que es una extensiónO − O Oα H αalgebraica finita propia de .O33 PÎO ÒP À OÓ œ 8 8 Sea una extensión finita propia tal que y no es

múltiplo de .&Ahora es un cuerpo perfecto, por lo tanto esG+<+-> O œ ! Ê O PÎO

separable. Se tiene que y separable entonces existeÒP À OÓ ∞ PÎO


α α− P P œ O T ÐBÑ œ 0ÐBÑ − OÒBÓ 0 B tal que . Sea , entonces es unαlO

polinomio irreductible y su grado no es múltiplo de 5, lo cual escontradictorio .poSe concluye que no admite extensión finita propia cuyo grado no esOmúltiplo de .&333 O Resta probar que no admite extensiones finitas propias cuyo grado

sea un múltiplo de . Supongamos que es una extensión finita propia& PÎO

tal que . Podemos suponer que es normal,ÒP À OÓ œ & † 7ß &ß7 œ " PÎO=

pues si no tomamos tal que sea normal, ademásP ÎP P ÎO" "

ÒP À OÓ œ ÒP À OÓ œmúltiplo de 5. Entonces múltiplo de 5, en esta forma"

PÎO à es finita, normal y separable por el teorema de Galois| . Por los teoremas de Sylow, existe talE?> PÎO l œ & † 8 K § E?> PÎO

=

que .lKl œ &=

Sea el cuerpo fijo de ; entoncesQ K E?> PÎQ œ K Ê lE?> PÎQ l œ & œ ÒP À QÓ=

Ahora ÒPàOÓ œ ÒP À QÓ † ÒQ À OÓ Ê ÒQ À OÓ œ 7

7 33 Q œ O Ê 7 œ " no es múltiplo de 5, entonces por tenemos Entonces lE?> PÎQ l œ ÒP À OÓ œ & Þ=

Se sigue que tiene un subgrupo orden . Sea elE?> PÎO L & R="

cuerpo fijo de es decir, . AhoraLß E?> PÎO œ L

& œ ÒP À OÓ œ ÒP À RÓÒR À OÓ œ & ÒR À OÓ= ="

entonces lo cual es contradictorio , pues por hipótesis ÒR À OÓ œ &ß po +

O &Þno admite extensiones de grado

56.Sea un cuerpo, una extensión de Defina grado O P O À " ÒP À OÓ

# PÎO Defina lo que es extensión finita.$ PÎO Definición de es finitamente generada.% ¿Cúal es la relación entre los dos últimos conceptos?

SOLUCIÓN: Considerando como espacio vectorial sobre entonces" P OßÒP À OÓ Oes la dimensión de este -espacio vectorial.# P O Si la dimensión del espacio vectorial sobre es finita, entonces se

dice que es una extensión finita.PÎO


$ P œ O W œ OÐQÑ O Q ÎO y es una extensión finita, siendo∪Q § WÐ0383>9Ñ

O Q œ R∩Q ¨ R ¨ O

% PÎO PÎO es una extensión finita entonces se puede considerar comouna extensión finitamente generada.

57.Sea el cuerpo de los números racionales. Cuando cada una de las

siguientes extensiones exista, dar un ejemplo." P Una extensión algebraica / # PÎ Una extensión algebraica que sea finita, pero no finitamente

generada.$ PÎ Una extensión algebraica que sea finitamente generada , pero no

finita.% PÎ Una extensión algebraica que no sea finita ni finitamente generada.

& PÎ Una extensión algebraica que sea finita y finitamente generada.

' PÎ Una extensión que sea finita pero no sea algebraica.

SOLUCIÓN: Sea de los números álgebraicos entonces es una" E œ Ö × EÎ

extensión algebraica.# No existe$ O œ ! Puesto que y tiene característica , se sigue inmediatamente

que es separable. Veamos que es infinita. Sea un númeroPÎO PÎO 8 −

entero arbitrario, ahora puesto que yÈ8 # − P œ E ∩ d 0 B œ B # − ÒBÓß8

se tiene que , además es un polinomio irreductible,0 # œ ! 0 B œ B #Š ‹È8 8

esto según el criterio de Eisenstein, entonces AhoraT B œ B #ÞÈ8 #l8

’ “ Š ‹ Š ‹Š ‹È È 8 88# À œ ‰ T œ 8 # § PÈ#l , además entonces

ÒP À Ó # À œ 8 ’ “Š ‹È8es decir que , tal quea8 − b − P œ E ∩ d α ÒP À Ó ÒP À Ð ÑÓ 8 α

o sea que la extensión es infinita.PÎO

% P œ E PÎ entonces no es finita ni finitamente generada.

Š ‹È& P œ # es finita y finitamente generada.

' No existe.

58. + B #à Sea una raíz cualquiera del polinomio entonces hallarα %

Ò À Ó α ., B % Sea una raíz cualquiera del polinomio ; entonces deteminar" %

Ò " À Ó .


SOLUCIÓN: ˆ ‰ Š ‹ Š ‹+ Ò À Ó œ ‰ T B œ ‰ T B œ ‰ T B œ %Þ α α l „ # „3 #È È% %

ˆ ‰ Š ‹ Š ‹, Ò À Ó œ ‰ T B œ ‰ T B œ ‰ T B œ # " " l „ # „3 #È È

59.Dar la definición de es un cuerpo algebraicamente cerradoÀ " O

# es una cerradura algebraica de un cuerpo H OÞ

SOLUCIÓN: Cuando cumple una de las siguiente afirmaciones" Oequivalentes:+ O ß no admite extensión estrictamente mayor, a0 B − OÒBÓ " Oß de grado tiene una raíz en - a0ÐBÑ − OÒBÓ ‰ Ð0ÐBÑÑ œ " , polinomio irreductible tiene grado uno . a0ÐBÑ − OÒBÓ + ß + ßá ß + − O , existen tales que" # 8

.0 B œ B + B + â B +" # 8

# Si es tal que:H es algebraicamente cerrado+ H es una extensión algebraica., ÎOH

60. Cuando existan dar un ejemplo" O un cuerpo que no es algebraicamente cerrado# O un cuerpo que admite una cerradura algebraica.

SOLUCIÓN: El cuerpo de los números racionales." # E El mismo cuerpo admite al cuerpo de los números algebraico como

cerradura algebraica.

61.Sea una extensión algebraica. Dar dos cracterísticas para que seaPÎO P

una extensión normal sobre .O

SOLUCIÓN: Sea una extensión de es normal si satisface una de lasH Pß PÎO

afirmaciones siguientes:+ a − M=9 Pß P § P entonces : H :O

, 0 B − OÒBÓ P Si todo polinomio es irreductible y tiene una raíz en ,entonces las tiene todas en .P

62.Dar un ejemplo de: Una extensión que sea normal+ PÎ

, P Una extensión / que no sea normal.

SOLUCIÓN: entonces es normal ya que Š ‹È+ P œ # PÎ ÒP À Ó œ #

Š ‹È, P œ # PÎ entonces no es normal ya que el polinomio %

B # œ T B P%#lÈ% no tiene todas sus raíces en .


63.Sea una extensión finita; una cerradura algebraica de .PÎO PH

+ ÒP À OÓ Defina ( o sea grado de separablidad).=/:

, ÒP À OÓ Defina ( o sea grado de inseparablidad).38=

- ÒP À OÓ œ lM=9 Pß l¿Es siempre verdad que ? En caso de ser falso dar=/: O H

una condición necesaria y suficiente sobre PÞ. ÒP À OÓ œ lE?> PÎO l¿Es siempre verdadero que ? En caso de ser falso=/:

dar una condición necesaria y suficiente sobre PÞ/ ÒP À OÓ œ lE?> PÎO l¿Es siempre verdadero que ? En caso de ser falso dar

una condición necesaria y suficiente sobre PÞSOLUCIÓN: Sea es separable sobre entonces+ O œ Ö − PÎ O×=/: α α

ÒP À OÓ œ ÒO À OÓ=/: =/: ., ÒP À OÓ œ ÒP À O Ó œ : 38=/: =/:

/

- . Una condición necesaria y suficiente para tener la igualdad esFalsoque sea una extensión normal.PÎO

. . Pero una condición necesaria y suficiente para tener la igualdadFalsoes que sea una extensión normal.PÎO

/ PÎOFalso. Necesaria y suficiente para tener la iguadad es que sea unaextensión normal y separable.

64.Sea una extensión ¿ si es algebraica no normal PÎO + PÎO Ê bR ¨ Ptal que es normal?. Si es verdad, dar un ejemplo. Si es falso, ¿por qué?PÎO

, PÎO Ê bR ¨ P RÎO ¿ es algebraica no separable tal que es separable?.Si es verdad, dar un ejemplo. Si es falso, ¿por qué?SOLUCIÓN: Es verdad. Veamos un ejemplo:+

entonces existe tal que Š ‹È È' #ß $3

, Falso, porque

65.Sea un dominio pricipal, y un -módulo finitamente generado. SeaV Q V

R § Q R un submódulo. Probar que es finitamente generado.SOLUCIÓN: Como es un -módulo finitamente generado entonces existeQ VP V un -módulo libre de rango finito tal que


es un submódulo del móduloP Q R § Qß R

R R œ R

=9,</¹ ¹: : :

::

" "

"

libre de rango finito entonces tiene que ser libre y de rangoPß R:"

finito, menor o igual que el rango de , entonces .P R œ R: :"

66.Sea una extensión finita. Entonces ¿existe solamente un númeroPÎO

finito de cuerpos intermediarios?SOLUCIÓN: . tome un cuerpo de característica Sea Falso O :Þ P œ O Bß C

donde son indeterminadas, ahora sea entonces tieneBß C R œ OÒB ß C Ó PÎR: :

grado y una infinidad de cuerpos intermediarios:#

67.Sea . Hallar el cuerpo de factorización de0 B œ B " B ( + P# #

0 B , 0 B sobre . Hallar el grupo de Galois de . Mostrar que él es

abeliano pero no cíclico. Hallar todos los subgrupos del grupo de-

Galois y los cuerpos fijos correspondientes. Determinar además los.

cuerpos intermediarios que son normales sobre Þ

SOLUCIÓN:Las raíces de son ,0 B À 3ß 3 (ß (È È+ P 0 B El grupo de factorización de sobre es

P œ 3ß 3ß (ß ( œ 3ß ( Š ‹ Š ‹È È ÈObservamos que

ÒP À Ó œ (ß 3 À ( † ( À œ ’ “ ’ “Š ‹ Š ‹ Š ‹È È È .œ ‰ T B † ‰ T B œ ‰ B " † B ( œ # † # œ %Œ Š ‹

3l ( (l# #

Š ‹È È, 0 B El grupo de Galois de deberá ser un grupo con cuatro elementos.

Sabemos que los únicos subgrupos con cuatro elementos son y el™ ™% %œ Î ™

grupo de Klein. Como es una extensión normal y separable, podemosPÎ

usar el teorema de Galois. Se recibe entonces que .% œ ÒP À Ó œ lE?> PÎ l

Sabemos también que los automorfismos que dejan a fijo, deben llevarlas raíces en raíces y son


5 5 5 5" # $ %À ß À ß À ß À( È ( ( È ( ( È ( ( È (3 È 3 3 È 3 3 È 3 3 È 3

(3 È (3 (3 È (3 (3 È (3 (3 È (3

È È È È È È È ÈÈ È È È È È È È

los automorfismos de que preservan a y son únicos puesP % œ lE?> PÎ l E?> PÎ œ Ö ß ß ß × 5 5 5 5, entonces . Observemos por otro" # $ %

lado que 5 5 5 5#

## # #Š ‹ Š ‹ Š ‹È È È ÈŠ ‹( œ ( œ ( œ ( à

5 5 5 5##

# # #3 œ 3 œ 3 œ 3

5 5 5 5$#

$ $ $Š ‹ Š ‹ Š ‹È È È ÈŠ ‹( œ ( œ ( œ ( à

5 5 5 5$#

$ $ $3 œ 3 œ 3 œ 3

Por lo tanto 5 5 5 5# $# #

" "œ ß œ Þ

Observamos que verificando solamente para estos tres elementos deßE?> PÎ E?> PÎ Á ™ ™, se concluye que , pues en no existen dos% %

elementos diferentes de la unidad que elevados al cuadrado den la unidad.Por lo tanto, grupo de Klein. Entonces como el grupo de KleinE?> PÎ ¸

es abeliano todo grupo de orden 4 es abeliano concluimos que el grupode Galois de es un grupo abeliano no cíclico.PÎ

- E?> PÎ l œ % E?> PÎ Como | , sabemos que los únicos subgrupos de

serán aquellos que tienen orden pues si es un subgrupo de%ß #ß " L

K œ E?> PÎ ß ‰ L ‰ K œ ‰ E?> PÎ debemos tener que .Los subgrupos de orden son y . Sabemos que los# Ö ß ×ß Ö ß × Ö ß ×5 5 5 5 5 5" # " $ " %

subgrupos de orden dos son normales, por lo tanto los subgruposanteriores son normales. Tenemos así que los subgrupos son: yK œ Ö ×ßK œ Ö ß ×ßK œ Ö ß ×ßK œ Ö ß × K" " # " # $ " $ % " %5 5 5 5 5 5 5

y son todos los subgrupos de .KAhora los cuerpos fijos serán J K œ Ö − PÎ Ð Ñ œ ß a − K × œ P œ (ß 3Š ‹È

" "α 5 α α 5

J K œ Ö − PÎ Ð Ñ œ ß a − K × œ 3# #α 5 α α 5

J K œ Ö − PÎ Ð Ñ œ ß a − K × œ (Š ‹È$ $α 5 α α 5

J K œ Ö − PÎ Ð Ñ œ ß a − K × œ (3Š ‹È% %α 5 α α 5

J K œ Ö − PÎ Ð Ñ œ ß a − K× œα 5 α α 5

Š ‹ Š ‹È È. P 3 ß ( ß (3 Los cuerpos intermediarios entre y son ,

como estos cuerpos corresponden a los subgrupos normales de Kque son todos de orden dos , sabemos que todos ellos son normales

sobre esto según el teorema de Galois.ß

Subcuerpos propios de isomorfos a d ß d‡ ‡

Los números reales , como conjunto ordenado, posee subconjuntosdpropios isomorfos a , basta recordar que los intervalos abiertos sondisomorfos a según el orden. Sin embargo, no existen subcuerpos propiosd


isomorfos a a causa de la completez. En cambio, el teorema dedisomorfismos de cuerpos real cerrados, garantiza la existencia de variostipos de subcuerpos propios de isomorfos a , enunciemos ested d‡ ‡

teorema estudiado en 1955 por Erdös-Gillman.TEOREMA: Todo cuerpo real cerrado y superdenso con cardinal es isomorfoœa .d‡

Estudiemos algunos de estos subcuerpos de . Donde es el conjuntod d‡ ‡

de los números reales no estandarò

68. .El cuerpo !‡

Sea la cerradura (o clausura) real del cuerpo ordenado de los números !

racionales, esto es es algebraico sobre ! œ ÖB − dÎB ×

‚! Sea la cerradura algebraica de sobre , entonceses un cuerpo Àse sabe que es un conjunto numerable ver.S.Lang. página 173 ! !§ ß + − + − d +porque si entonces y es álgebraico sobre comod § + − + + −‚ ‚ , entonces y es algebraico sobre así . Luego es!

numerable, podemos escribir y es algebraico sobre .U œ Ö+ ß + ßá ß + ßáÎ+ − d + ×! " # 8 8 8

Sea , entonces es un anillo, como es un cuerpo entonces+ − Ò+ Ó" ! " Ò+ Ó" es un anillo principal, factorial y euclidiano. ConsidéreseT B œ T B +" "+ l" el polinomio irreductible de sobre , entonces

¼ " " " "œ T B T B Ò+ Ó el ideal generado por , es un ideal primo. Como esun anillo factorial se sigue que es un ideal maximal. Tomando¼"P œ Ò+ ÓÎ P" " " " ¼ , entonces es un cuerpo extensión de . Sea ahora entonces es un anillo factorial como + − ß P Ò+ Ó § P# ! " # "

entonces podemos así tomar el polinomio irreductibleÒBÓ § P ÒBÓ T B" + lP# "

de sobre y considerar el ideal primo el cual resulta+ P œ T B# " # + lP¼ ˆ ‰# "

maximal. Tomando se obtiene que es un cuerpoP œ P Ò+ ÓÎ ß P# " # # #¼

extensión de .P"

Procediendo en forma inductiva supongamos construida la extensión P8"

y tomemos , se considera el anillo factorial y se toma el+ − P Ò+ Ó8 ! 8" 8

polinomio irreductible de sobre , entonces el idealT B + P+ lP 8 8"8 8"

¼ ¼8 8 8" 8 8+ lPœ T B P œ P Ò+ ÓÎˆ ‰8 8"

es maximal y es un cuerpo extensión deP8", obteniendo así la siguiente torre sobre qP qP qâqP qâ" # 8

Resulta entonces en este caso que es un cuerpo extensión de que∪∞

8 œ !P8

contiene a todos los elementos de y como es el menor cuerpo! 8∪∞

8 œ !P

con esta condición se sigue que ! 8 !œ P P œ∪

∞

8 œ !En esta forma es un cuerpo.!


òTómese la extensión elemental de dentro de , esto es !

‡ ‡! d

! !‡ ‡

8 8 !8−œ ÖÒ < ÓÎ< − × , entonces es un subcuerpo real cerrado ysuperdenso de cuyo cardinal es (bajo la hipótesis del continuo)d‡ œVeámoslo:3 d Þ !

‡ ‡es un subcuerpo de Sea , esto es , entonces α " α " α "ß − œ Ò < Óß œ Ò = Ó œ Ò < = Óß!

‡8 8 8 88 8 8

con para todo . Se sigue que para todo < ß = − 8 − < = − 8 − ß8 8 ! 8 8 ! luego .α " − !

‡

Ahora si tenemos que , como y para" α" Á ! < = < ß = − = Á !" "8 8 8 ! 88 8c d

todo entonces para todo , por lo tanto8 − < = − 8 − 8 !8"

c d< = −8 8 !" " ‡

8 = .α"

33 .!‡ es real cerrado

" § d d Como y es ordenado, entonces es ordenado con el orden ! !‡ ‡ ‡ ‡

inducido. Sea entonces la ecuación tieneα α αœ Ò < Ó − ß ! B œ !8 8 !‡ #

solución, basta tomar dado que si y entoncesB œ Ò „ < Ó < − < !ˆ ‰È 8 8 ! 88

la ecuación tiene solución en dado es la clausura realB < œ !#8 ! !

de . Así . αB œ Ò „ < Ó Ò < Ó œ !# #8 88 8

ˆ ‰È# Sea un polinomio de grado impar en , esto es T B T B œ 1/8 T B‡

! 8

donde es un polinomio de grado impar con coeficientes en . ComoT B8 ! ! 8 es la cerradura real de , se sigue que para cada , tiene por8 − T Blo menos una raíz en tal que tomando y< d T < œ !ß B œ Ò < Óß B −8 8 8 8 !8

T B œ 1/8 ÒT < Ó œ !8 8 .ò333 d !

‡ ‡es denso enSean elementos de tales que , entonces α " α "œ Ò + Óß œ Ò , Ó d + ,8 8 8 8

‡

para casi todo Ahora como es denso en , entonces existe un 8Þ d : − 8

tal que para casi todo tomando se tiene que + : , 8ß < œ Ò : Ó < −8 8 8 8 !‡

pues dado que es una extensión de y se tiene que .: − < 8 ! ! α "ò3@ !

‡ es superdensoEn efecto, sean tales que entonces , puestoE § ßF § E F EßF § d ! !

‡ ‡ ‡

que es superdenso existe un tal que ahorad − d E Ö × Fß‡ ‡# #

considerando como subconjuntos de por la misma superdensidadÖ ×ßF d# ‡

de existe un tal que . Ahora como por ser d − d F ß − d‡ ‡ ‡ ‡!- # - - #

denso en existe tal que por lo tanto hemos encontradod − ‡ ‡!α # α -

α α − E F! !‡ ‡ tal que de donde es superdenso.

ò@ œ!

‡ tiene cardinal Se sabe que no es númerable y así # # , pero se œ‡ ‡ ‡ ‡ ‡

9§ d i d œsabe que bajo la hipótesis del continuo entre y no hay cardinales luegoi9 œ# Ahora entonces por lo tanto # œ œ‡ ‡ ‡ ‡œ Þ § § œ


De la misma manera entonces por lo tanto # # . œ§ § œ œ!‡ ‡ ‡ ‡

! !

Por el teorema de isomorfismos de cuerpos real-cerrados se sigue que !‡

es isomorfo a d dµ‡ ‡!

‡

‡

Además ya que y Sean 1 1 7 7 1! ! !‡ ‡ ‡ ‡ ‡Á d − d Â Þ E œ Ö − Î ×ß

F œ Ö − Î × EßF7 7 1!‡ entonces es una cortadura regular del cuerpo

ordenado además y son subconjuntos superdensos. Sea 3 / ! !‡ ‡ß E F Ð Ñ −

con para cada entonces la hipersucesión1 3 / 1 / Ð Ñ −" ""

‡/ /

3 / 1Ð Ñ − d/ −‡

‡ es creciente y es una sucesión de Cauchy que converge a por lo tanto no converge en .!

‡

Así se deduce que posee un subcuerpo propio isomorfo a y por d d 333‡ ‡

denso en .d‡

ò

69. El cuerpo de las sucesiones de d‡

Sea la colección de todas las sucesiones de elementos de , sed d‡ ‡

establece una relación en así: Sea un ultrafiltro regular sobre , yd‡ ¹ decimos si y sólo si . Se sigue3 " 3 " ¹Ð5Ñ µ Ð5Ñ Ö5 − Î Ð5Ñ œ Ð5Ñ× −5− 5−

que es una relación de equivalencia, porqueµ3 Ö5 − Î Ð5Ñ œ Ð5Ñ× − Í 5 µ 5 . 5 5 ¹ 5 5

33 5 µ Ð5Ñ Í Ö5 − Î Ð5Ñ œ Ð5Ñ× Ö5 − Î Ð5Ñ œ Ð5Ñ× − Como =5 " 5 " " 5 ¹

y esto implica que ." 55 µ 5333 Ð5Ñ µ Ð5Ñ Ð5Ñ µ Ð5Ñ Si y entonces tenemos que5 " " #

Ö5 − Î Ð5Ñ œ Ð5Ñ× − • Ö5 − Î Ð5Ñ œ Ð5Ñ× − 5 " ¹ " # ¹

de las propiedades de ultrafiltro se sigue que Ö5 − Î Ð5Ñ œ Ð5Ñ • Ð5Ñ œ Ð5Ñ× œ Ö5 − Î Ð5Ñ œ Ð5Ñ× − 5 " " # 5 # ¹

por lo tanto .5 #Ð5Ñ µ Ð5Ñ

Se denotará a la clase de equivalencia de la sucesión yÒ Ð5Ñ Ó Ð5Ñα α5− 5−

denotaremos con al conjunto cociente.Š œ d Î µ‡

òŠ Š : Para definir las operaciones en veamos la siguientees un cuerpopropiedad, sea y entoncesα " #Ð5Ñ µ Ð5Ñ Ð5Ñ − d‡

y Ö5 − Î Ð5Ñ œ Ð5Ñ× − Ö5 − Î Ð5Ñ œ Ð5Ñ× − α " ¹ # # ¹

así y entonces se tieneÖ5 − Î Ð5Ñ œ Ð5Ñ Ð5Ñ œ Ð5Ñ × − α " # # ¹

3 Ö5 − Î Ð5Ñ 5 œ Ð5Ñ 5 × − Í Ð5Ñ Ð5Ñ µ Ð5Ñ Ð5Ñ α # " # ¹ α # " #

33 Ö5 − Î Ð5Ñ 5 œ Ð5Ñ 5 × − Í Ð5Ñ Ð5Ñ µ Ð5Ñ Ð5Ñ α # " # ¹ α # " #

Por lo tanto podemos definir la adición y el producto en así: SeanŠÒ Ð5Ñ Óß Ò Ð5Ñ Ó −α " Š entonces Ò Ð5Ñ Ó Ò Ð5Ñ Ó œ Ò Ð5Ñ Ð5Ñ Óα " α "

Ò Ð5Ñ ÓÒ Ð5Ñ Ó œ Ò Ð5Ñ Ð5Ñ Óα " α "

Las unidades estan dadas por ! "œ Ò ! 5 Óß œ Ò " 5 Ó


Los inversos de son - y si entoncesÒ Ð5Ñ Ó Ò Ð5Ñ Ó œ Ò Ð5Ñ Ó Ò Ð5Ñ Ó Áα α α α !

Ò Ð5Ñ Ó œ Ð5Ñc dα α" "

Š α " Š α "es ordenado : Sean entonces si yÒ Ð5Ñ Óß Ò Ð5Ñ Ó − Ò Ð5Ñ Ó Ÿ Ò Ð5Ñ Ó

sólo si Ö5 − Î Ð5Ñ Ÿ Ð5Ñ× − α " ¹

OK" À Ö5 − Î Ð5Ñ Ÿ Ð5Ñ× − Í Ò Ð5Ñ Ó Ÿ Ò Ð5Ñ Ó α α ¹ α α

OK y esto equivale a# À Ò Ð5Ñ Ó Ÿ Ò Ð5Ñ Ó Ò Ð5Ñ Ó Ÿ Ò Ð5Ñ Óα " " α

y ,Ö5 − Î Ð5Ñ Ÿ Ð5Ñ× − Ö5 − Î Ð5Ñ Ÿ Ð5Ñ× − α " ¹ " α ¹

como es un ultrafiltro¹ y o seaÖ5 − Î Ð5Ñ Ÿ Ð5Ñ Ð5Ñ Ÿ Ð5Ñ× − α " " α ¹

Ö5 − Î Ð5Ñ œ Ð5Ñ× − Í Ð5Ñ µ Ð5Ñ α " ¹ α "

o se sigue que .Ò Ð5Ñ Ó œ Ò Ð5Ñ Óα "

OK Supóngase que y esto equivale a$ À Ò Ð5Ñ Ó Ÿ Ò Ð5Ñ Ó Ò Ð5Ñ Ó Ÿ Ò Ð5Ñ Óα " " #

que y Ö5 − Î Ð5Ñ Ÿ Ð5Ñ× − Ö5 − Î Ð5Ñ Ÿ Ð5Ñ× − α " ¹ " # ¹

por lo tanto y Ö5 − Î Ð5Ñ Ÿ Ð5Ñ Ð5Ñ Ÿ Ð5Ñ× − α " " # ¹

esto equivale a que Ö5 − Î Ð5Ñ Ÿ Ð5Ñ× − Í Ò Ð5Ñ Ó Ÿ Ò Ð5Ñ Ó α # ¹ α #

Š α α α : Sea donde tomandoes real cerrado VG À B œ ! œ Ò Ð5Ñ Ó !"#

B œ Ò B 5 Ó B 5 Ò 5 Ó œ B 5 5 œ Ò ! Óc d c d tenemos o sea # #α α!

por lo tanto deducimos que de dondeB 5 Ð5Ñ µ !# α

Ö5 − ÎB 5 Ð5Ñ œ !× − ! Ö5 − Î !× − α ¹ α α ¹# y como entonces asíÖ5 − ÎB ÐBÑ ÐBÑ œ ! 5 !× − B 5 Ð5Ñ œ ! α α ¹ α# # y , como es unaecuación en se sigue qued‡

Ö5 − ÎBÐ5Ñ œ „ Ð5Ñ× − α ¹Èpor lo tanto y .B œ Ð5Ñ − B œ Ð5Ñ −‘ ‘ˆ ‰ ˆ ‰È Èα Š α Š

VG À T B T B œ Ò T B 5 Ó# Sea un polinomio de grado impar en esto es Š

donde es un polinomio de grado impar en para casi todo T B 5 d 5ß‡

como es real cerrado, se sigue que tiene por lo menos unad T B 5‡

raíz, en términos del ultrafiltro sería así: es un polinomio de grado impar en Ö5 − ÎT B 5 d × − ¹‡

por ser real cerrado tenemosd‡

tiene por lo menos una raíz Ö5 − ÎT B 5 − d × − # ¹‡

para algún Í Ö5 − ÎT 5 œ ! 5 − d × − # # ¹‡

por lo tanto y .Ò 5 Ó − T Ò Ð5ÑÓ œ !# Š #

Š Š : Sean tales que , podemos suponer quees superdenso EßF § E FE œ Ö+ − Î3 œ "ß #ßá× F œ Ö, Î4 œ "ß #ßá× + ,3 4 3 4Š , entonces para todo3ß 4 − + ,. Podemos suponer que los son crecientes y los son3 4

decrecientes, notacionalmente tenemos y + œ Ð5Ñ , œ Ð5Ñ3 3 4 4‘ ‘ˆ ‰ ˆ ‰α "

donde y‘ ‘ ‘ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰α α α" # 35 Ÿ 5 Ÿ â Ÿ 5 Ÿ â

‘ ‘ ‘ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰" " "" # 45 5 â 5 â


Se puede entonces escoger representantes adecuados que los notaremoscon las mismas letras, de manera que se tenga para todo α α α" # $5 Ÿ Ÿ 5 Ÿ â 5

para todo " " "" # $5 5 5 â 5

Tomando ahora la sucesión diagonal se sigue que para todo α α " "3 5 5 45 Ÿ 5 Ÿ 5 Ÿ 5 3ß 4ß 5En estas condiciones existe tal que- 55

para todo α α " "3 5 5 5 45 Ÿ 5 Ÿ - 5 Ÿ 5 Ÿ 5 3ß 4ß 5tomando , se tiene .- œ Ð- 5 Ñ − E - F‘5

5− Š

òŠ œ Š : Primero notemos que basta identificartiene cardinalidad d §‡

5 5 5 5− d ß ß ßá‡ con la clase de la sucesión constante o sea5 5 5 5 Š=: . Por lo tantoÒ ß ß ßá Ó −

# # # # #œ Š œœ d Ÿ Ÿ d Ÿ # œ # œ‡ ‡ ˆ ‰

entonces # .Š œœSe sigue por el teorema de isomorfismos de cuerpos real cerrados queexiste un isomorfismo entre y

Š Šd d

d

µÎÎ

‡ ‡

‡

òd À Ò 5 Ó −‡ no es acotado en Š En efecto, sea , por laα Š

superdensidad de existe tal que para todo , luegod − d 5 5 −‡ ‡" α " Ò Ð5Ñ Ó Ò ß ßá Ó œ Àα " " "

òd œ Ò ß ßâß ßâ Óß œ Ò "ß ß ßâß ßâ Ó‡ " " " " " "

# $ 8" # $ 8no es denso en : Sean Š α "ˆ ‰ ˆ ‰elementos de , entonces , ya que para todo siŠ α " 8 − ß" "

8" 8

existiera un =: tal que entonces se tiene5 5 5 5 α 5 "Ò ß ß ßá Ó − d ‡

" "8" 8 55 , para casi todo , esto es imposible ya que los intervalos noestándar son disyuntos dos a dos.ˆ ‰" "

8" 8

‡ß 8 œ "ß #ßá

De esto se desprende inmediatamente que es un subcuerpo ordenadod‡

propio del cuerpo . Como es isomorfo a , podemos decir que Š Š d d‡ ‡

posee un subcuerpo no acotado y no denso en pero isomorfo a .d ß d‡ ‡

d∪

0 d

0

∪d

‡

" ‡ ‡

Š

Como es un isomorfismo entonces es un subcuerpo de , en0 0 d d" ‡ ‡

efecto; , porque , entonces como 3 0 d § d d § 0 d § 0 0" ‡ ‡ ‡ " ‡ "Š Šes un isomorfismo entre y entonces luego d 0 § d 0 d § d

‡ " ‡ " ‡ ‡Š Š33 ß − 0 d 0 0 − d 0 œ 0 0 Sea así y de donde5 7 5 7 5 7 5 7" ‡ ‡

5 7 − 0 d" ‡ .Ahora , y si y sólo si y 5 7 7 5 7 7− 0 d Á ! 0 ß 0 − d 0Ð Ñ Á !" ‡ ‡

así pero 0 Ò0 Ó − d Ò0 Ó œ 05 7 7 7" ‡ " "


0 0 œ 0 − d − 0 d 0 d5 7 57 57" " ‡ " " ‡ " ‡si y sólo si . Así es unsubcuerpo de todas las otras propiedades de son deducidas parad‡ Š0 d 0" ‡ mediante el isomorfismo .ò

70. El cuerpo de las hipersucesionesUna hipersucesión es una función ( la denotaremos )5 5À d @‡ ‡

@−‡

5Ð@Ñ @−‡ es si existe una doble sucesión de elementos realesgenerada= 5 Ð@Ñ œ Ò = 5 Ó − d @ œ Ò 5 Ó −8 88ß5− 8

‡ ‡ tal que para todo .5

= 58 8 ß 5 − es una de la hipersucesión y se denotageneradora5Ð@Ñ œ 1/8 = 58 .

Sea un ultrafiltro regular en , consideremos la extensión elemental de¹ ¹ ¹ ¹, esto es para casi todo .‡

8 8œ W œ 1/8 = Î= − 8e f¹ ‡ ‡ es una colección de subconjuntos de , pero esto no es un ultrafiltro de ‡.Por ejemplo pertenece a para cada , pero elE œ Ö@ − Î@ A× A −A

‡ ‡ ‡ ¹

conjunto por ser un subconjunto no generado de , a pesar ¹ ‡ ‡ ‡ Â

de que cuando es un hipernatural infinito . satisface las ¹‡ ‡A ¨ E A

siguientes propiedades:3 Â − œ 1/8 = = − − ø , porque si ø se tendría que ø donde así ø ,¹ ¹ ¹ ¹‡ ‡

8 8

lo cual es imposible por que es un ultrafiltro¹33 EßF − E ∩ F − E œ 1/8 = ß F œ 1/8 > Si entonces . En efecto, ¹ ¹‡

8 8

donde y entonces , como se= − > − E ∩ F œ 1/8 = ∩ > = ∩ > −8 8 8 8 8 8¹ ¹ ¹sigue que E ∩F − Þ¹‡

333 E − F F ¨ E Si y es un subconjunto generado de con entonces¹ ‡ ‡

F − E œ 1/8 = ß = − F œ Ò 5 Ó −¹ ¹ ‡ ‡8 8 8. En efecto, y , entonces tenemos

que así para casi todo , de donde y Ò 5 Ó ¨ 1/8 = 5 ¨ = 8 F œ Ò 5 Ó 5 − 8 8 8 8 8 8 ¹

esto es equivalente a que .F − ¹‡

3@ E E − Si es un subconjunto de entonces ogenerado ¹‡ ‡

E œ E − E œ 1/8 E E − ß- ‡ ‡8 8 ¹ . Para ver esto sea con sea

O œ Ö8ÎE − × X œ Ö8ÎE − ×8 8 8 8-¹ ¹ ¹y entonces como es un ultrafiltro, se

sigue que y .O − X −8 8¹ ¹ Consideremos ahora entonces y luego si

si F œ E œ 1/8 F F − ß E −E E −

E Â8 8 88 8

8

‡œ ¹ ¹

¹ ¹

Ahora seaF œ F − E œ 1/8 F F −

E E −E Â8 8 8 8

- 8 8 - - -- -

8-œ si

si entonces y con de donde ¹ ¹

¹ ¹-

se obtiene que .E −- ‡¹@ E œ Ö@ − Î@ A× − A − Þ para cualquier A

‡ ‡ ‡ ¹

Para esto sea entonces y + . Consideremos laA − A œ Ò 5 Ó 5 p ∞‡8 88

siguiente sucesión de conjuntos de ¹ = œ Ò5 ß 5 ßá Ó − ß = œ Ò5 ß 5 ßá Ó − ß = œ Ò5 ß 5 ßá Ó − ßá" " # # # $ $ $ %¹ ¹ ¹


En estas condiciones donde para cadaE œ 1/8 = œ Ö@ − Î@ A× 5 Ÿ BA 8 8 8‡

8ß A œ Ò5 Ó Ÿ Ò B Ó œ @ E −8 8 A‡, luego ¹

òConsideremos la colección de todas las hipersucesiones generadas yPconsidérese la relación como sigue::µDadas dos hipersucesiones generadas se dice queα "Ð@Ñ ß @@− @− ‡ ‡

α " α " ¹Ð@Ñ µ @ Ö@ − Î Ð@Ñ œ @ × −@− @−‡ ‡

‡ ‡: si y sólo si La relación es una relación de equivalencia en .:µ EEn efecto: y por la3 Ð@Ñ œ Ò = 5 Ó œ 1/8 = 5 = − ß @ œ Ò 5 Ó −α ¹ 8 8 8 8 8 88

‡

propiedad del ultrafiltro se sigue que 3@ Ö@ − Î Ð@Ñ œ Ð@Ñ× −¹ α α ¹‡ ‡ ‡

entonces :α αÐ@Ñ µ Ð@Ñ@− @− ‡ ‡

33 Ð@Ñ µ Ð@Ñ Ö@ − Î Ð@Ñ œ Ð@Ñ× − Si esto equivale a que pero:α " α " ¹@− @−‡ ‡

‡ ‡

Ö@ − Î Ð@Ñ œ Ð@Ñ× œ Ö@ − Î Ð@Ñ œ Ð@Ñ× Ð@Ñ µ Ð@Ñ α " " α " α‡ ‡@− @−, así : ‡ ‡

333 Ð@Ñ µ Ð@Ñ Ð@Ñ µ Ð@Ñ Supongamos que y y esto: :α " " 5@− @− @− @− ‡ ‡ ‡ ‡

equivale a que y Ö@ − Î Ð@Ñ œ Ð@Ñ× œ E − F œ Ö@ − Î Ð@Ñ œ Ð@Ñ× − α " ¹ " 5 ¹‡ ‡ ‡ ‡

por la propiedad de se sigue que pero33 E ∩ F −¹ ¹‡ ‡

E ∩F œ Ö@ − Î Ð@Ñ œ Ð@Ñ× ∩ Ö@ − Î Ð@Ñ œ Ð@Ñ× α " " 5‡ ‡

œ Ö@ − Î Ð@Ñ œ Ð@Ñ • Ð@Ñ œ Ð@Ñ× œ Ö@ − Î Ð@Ñ œ Ð@Ñ× − α " " 5 α 5 ¹‡ ‡ ‡

lo cual equivale a que .:α 5Ð@Ñ µ Ð@Ñ@− @− ‡ ‡

òDenotemos con al conjunto cociente y definamos las dos:L œ Î µE

operaciones adición y multiplicación.Primero tenemos que si y entonces de:α " 5 EÐ@Ñ µ Ð@Ñ Ð@Ñ −@− @− @− ‡ ‡ ‡

la definición tenemos que y .Ö@ − Î Ð@Ñ œ Ð@Ñ× − Ð@Ñ − α " ¹ 5 E‡ ‡@−‡

Como la relación es reflexiva se tiene que:µ y =Ö@ − Î Ð@Ñ œ Ð@Ñ × − Ö@ − Î Ð@Ñ Ð@Ñ× − α " ¹ 5 5 ¹‡ ‡ ‡ ‡

de la propiedad de se sigue que33 ¹‡

y =Ö@ − Î Ð@Ñ œ Ð@Ñ Ð@Ñ Ð@Ñ× − α " 5 5 ¹‡ ‡

De las propiedades de la igualdad de se sigue qued‡

Ö@ − Î Ð@Ñ Ð@Ñ œ Ð@Ñ Ð@Ñ× − α 5 " 5 ¹‡ ‡

y también Ö@ − Î Ð@Ñ Ð@Ñ œ Ð@Ñ Ð@Ñ× − α 5 " 5 ¹‡ ‡

Luego de la definición de la relación se sigue que:µ y : :α 5 " 5 α 5 " 5Ð@Ñ Ð@Ñ µ Ð@Ñ Ð@Ñ Ð@Ñ Ð@Ñ µ Ð@Ñ Ð@Ñ@− @− @− @− ‡ ‡ ‡ ‡

Así definimos la adición y la multiplicación en siguiéndose que siL Ð@Ñ − L Ð@Ñ − Lα " entonces Ð@Ñ Ð@Ñ œ Ð@Ñ Ð@Ñ − Lα " α "

Ð@Ñ Ð@Ñ œ Ð@Ñ Ð@Ñ − Lα " α "

L con esta adición y multiplicación es un cuerpo. Pues las unidades son ! " Ð@Ñ − L y , ahora si entoncesα @−‡

Ð@Ñ œ Ð@Ñ − Lα α@− @− ‡ ‡

y si entonces Ð@Ñ Á ! @ α @− @− ‡ ‡


Ð@Ñ œ Ð@Ñ − Lα α@− @−" "

‡ ‡

los axiomas de cuerpo se deducen fácilmente.òL es un conjunto ordenadoSean entonces se define Ð@Ñ ß Ð@Ñ − Lα "

si y sólo si Ð@Ñ Ÿ Ð@Ñ Ö@ − Î Ð@Ñ Ÿ Ð@Ñ× −α " α " ¹‡ ‡

esta relación es de orden, porque3 Ð@Ñ − L < , entoncesα

Ö@ − Î Ð@Ñ Ð@Ñ× − Í Ð@Ñ Ÿ Ð@Ñ α α ¹ α α‡ ‡

33 Ð@Ñ Ÿ Ð@Ñ Ð@Ñ Ÿ Ð@Ñ α " " α y , esto equivale a que y .Ö@ − Î Ð@Ñ Ÿ Ð@Ñ× − Ö@ − Î Ð@Ñ Ÿ Ð@Ñ× − α " ¹ " α ¹‡ ‡ ‡ ‡

Por las propiedades de se recibe que¹‡

Ö@ − Î Ð@Ñ Ÿ Ð@Ñ • Ð@Ñ Ÿ Ð@Ñ× − Í Ö@ − Î Ð@Ñ œ Ð@Ñ× − α " " α ¹ α " ¹‡ ‡ ‡ ‡

esto es lo mismo que de donde .:α " α "Ð@Ñ µ Ð@Ñ Ð@Ñ œ Ð@Ñ @− @− ‡ ‡

333 Ð@Ñ Ÿ Ð@Ñ Ð@Ñ Ÿ Ð@Ñ Si y < esto equivale aα " " 5

que y , por la definición deÖ@ − Î Ð@Ñ Ÿ Ð@Ñ× − Ö@ − Î Ð@Ñ Ÿ Ð@Ñ× − α " ¹ " 5 ¹‡ ‡ ‡ ‡

¹‡ se sigue que Ö@ − Î Ð@Ñ Ÿ Ð@Ñ • Ð@Ñ Ÿ Ð@Ñ× − α " " 5 ¹‡ ‡

de donde .Ö@ − Î Ð@Ñ Ÿ Ð@Ñ× − Í Ð@Ñ Ÿ Ð@Ñ α 5 ¹ α 5‡ ‡

3@ µ Ð@Ñ µ Ð@Ñ La relación es compatible con el orden, pues si y: :α 5@−‡

Ð@Ñ Ÿ Ð@Ñ α " esto equivale a que y Ö@ − Î Ð@Ñ œ Ð@Ñ× − Ö@ − Î Ð@Ñ Ÿ Ð@Ñ× − α 5 ¹ α " ¹‡ ‡ ‡‡

por las propiedades de se sigue que¹‡

y Ö@ − Î Ð@Ñ œ Ð@Ñ Ð@Ñ Ÿ Ð@Ñ× − α 5 α " ¹‡ ‡

del orden en se tiene entonces qued‡

.Ö@ − Î Ð@Ñ Ÿ Ð@Ñ× − Í Ð@Ñ Ÿ Ð@Ñ 5 " ¹ 5 "‡ ‡

òDado que un número no-estandar, la clase representada por laα − d‡

hipersucesión constante se denota por esto esα α α αß ß ßá ß ßá α < .α α α α α³ ß ß ßá ß ßá − LEn este sentido, contiene a como un subcuerpo ordenado.L d‡

Tenemos además =# # # #œ œd Ÿ L Ÿ d œ d œ‡ ‚

o sea que la cardinalidad del cuerpo es igual a .L œ

L es superdensoSean tales que entonces+ œ @ ß , œ Ð@Ñ − L + Ÿ ,µ µŠ ‹α "

podemos encontrar hipersucesiones generadas α "@ œ 1/8 + 5 ß Ð@Ñ œ 1/8 , 58 8


tales que y para todo : :Š ‹α α " " µ Ð@Ñ µ Ð@ÑÐ@Ñ ß Ð@Ñ µ Ð@Ñ + 5 Ÿ , 5 5 −µ

8 8

y todo .8 −

Repitiendo este proceso se concluye que: si una familia decontableelementos de satisfacen una relación de orden entre ellos , entoncesL podemos escoger adecuadamente los generadores de estos puntos paraque se mantenga la misma relación de orden (para todo , para todo5 − 8 − ) entre los generadores de los puntos dados (aplique la induccióncomún).Sea, los elementos de tales que+ 3 œ "ß #ß $ßá ß , 4 œ "ß #ß $ßá L3 4

+ , 3ß 4 − +3 4 3 para todo . Para mayor sencillez supongamos que los son crecientes y los son decrecientes. Supongamos que, 4

+ œ 1/8 + 5 ß , œ 1/8 , 3ß 4 −3 43 48 8Š ‹ Š ‹

de donde para todo + 5 Ÿ + 5 Ÿ + 5 Ÿ â 8ß 5 −8 8 8

" # $

para todo , 5 , 5 , 5 â 8ß 5 −8 8 8" # $

para todo para todo + 5 , 5 3ß 4 − ß 8ß 5 −8 83 4

Sea - 5 œ + 5 , 5 8ß 5 −8 8 8

3 3 3"#Š ‹

entonces tomando y comoG œ 1/8 - 5 − LŠ ‹83

+ 5 - 5 , 58 8 83 3 3

entonces , así es un punto intermedio entre+ - , - − L3 4

+ 3 − , 4 −3 4 y los .De esta forma, se demuestra que es superdenso.LòL es real cerrado" + œ ! + − L + ! œ @ ß Sea donde y , entonces 7 7 7#

+ œ @ ! @ @ œ ! @ 5 7 5, así, < de@− @−#

‡ ‡

donde y Ð@Ñ @ œ ! + !7 5#

@−‡

por lo tanto tenemos que y :7 5 5#

@−Ð@Ñ @ µ ! @ ! ‡

De donde se tiene que y Ö@ − Î @ @ œ ! × − Ö@ − Î ÐBÑ !× − 7 5 ¹ 5 ¹‡ # ‡ ‡ ‡

por la propiedad de se sigue que33 ¹‡

y Ö@ − Î @ @ œ ! @ !× − 7 5 5 ¹‡ # ‡

Pero como y es real cerrado, se sigue que5 @ − d d‡ ‡

Ö@ − Î @ œ „ @ × − 7 5 ¹‡ ‡ÈEsto significa que : ˆ ‰È7 5@ µ „ @@− @− ‡ ‡

Luego Ð@Ñ œ Ð@Ñ − Lˆ ‰È7 5@− @− ‡ ‡


o Ð@Ñ œ Ð@Ñ − Lˆ ‰È7 5@− @− ‡ ‡

son las soluciones de la ecuación en .7# + œ ! L

# T L Sea un polinomio de grado impar en , entonces7T œ 1/8 T 5 T 57 7 78 8 8 8 donde es un polinomio de grado imparen para todo . Como es real cerrado, entonces existe por lod 8ß 5 − d‡ ‡menos una raíz en de para cada . Tomando< 5 d T 5 8ß 5 −8 8 8

‡ 7 < œ 1/8 < 5 < − L8 tenemos y T < œ 1/8 T < 5 œ 1/8 ! œ Þ8 8 !

Por el teorema de isomorfismos de cuerpos real cerrados se sigue que Les isomorfo a . Tenemos además d L dµ

d

‡

<

‡

‡

M d L es acotada en .‡

En efecto, como en , entonces para cualquier se tienelim@Ä∞

‡ ‡@ œ ∞ d − dα

α "ß #ßá ß @ßá − L .MM d L no es denso en .‡

Supongamos que es denso en entonces se tiene en particular qued L‡

para todo existe tal que esto significa que no es+ − L < − d + <ß d‡ ‡

acotado en lo cual es imposible como se vio en .L MòDe lo anterior, podemos decir que posee un subgrupo ordenadod d‡ " ‡R

acotado en , pero isomorfo a no denso

d d ß d L∪d

∪d

‡ ‡ ‡

" ‡ ‡R

R

§3. PROBLEMAS PROPUESTOS.

Invito al amable cibernauta para que trate de hacer los siguientesproblemas, los cuales le darán una pauta de como marcha su aprendizaje,creo que aquí se hallan las tácticas que le permiten una solución de ellos.

71. Sea Halle el cuerpo de factorización de0 B œ B " B "$ Þ " R# #

0 B ÒR À Ó sobre , y determinar el grado .

# 0 B Hallar el grupo de Galois de . Verificar que él es abeliano, pero nocíclico.$ 0 B Hallar todos los subgrupos del grupo de Galois de y los cuerpos

fijos correspondientes.% Determinar cuales de esos cuerpos intermediarios son normales sobre & R ¿ es una extensión simple?. Si lo es, de un elemento primitivo

( compruébelo). Si no lo es, pruébelo.


72.Sea un cuerpo primo (es decir, o a ). Sea una cerraduraO O œ … H:

algebraica." P O § P § P Mostrar que para todo cuerpo tal que , es perfecto.H# 8 " OÒBÓ Sea un entero ; mostrar que existe siempre un polinomio de

irreductible de grado .873.Sea un cuerpo, un polinomio irreductible. SeanO 0 B − OÒBÓ

α α α" # 8ß ßá ß 0 B P las raíces de , y el cuerpo de factorización." E?> PÎO O œ O a3ß 4 Mostrar que si es abeliano entonces , , deα α3 4

manera que .P œ O œ O œ â œ Oα α α" # 8

# Mostrar que la recíproca es falsa, es decir, que es posible encontrar uncuerpo y un polinomio irreductible separable teniendo raícesO 0 B − OÒBÓ

α α α α α" # 8 3 4ß ßá ß O œ O a3ß 4 E?> PÎO tales que con no abeliano.74.Sea .0 B œ B "(

" P 0 B ¿Cuál es el cuerpo de factorización de sobre ?# PÎ Mostrar que es una extensión simple

$ ÒP À Ó ¿Cuál es el grado de la extensión ?

% P ¿Cuáles son los -isomorfismos de en ? ‚& P ¿Cuáles son los -automorfismos de ?

75.Sea un cuerpo, una cerradura algebraica de . Sean cuerposO O PßLH

H H tales que y además es normal y es normal.O § P § Q § PÎO QÎP Sea . Sobre se define una relación de¸ f H fœ M=9 QßO

Q equivalencia, de la siguiente manera: | tal que ‰89<7+6 ß − ß µ Í b − E?> QÎP œ ‰: : f : : 3 : : 3" # " # " #

P µSea el conjunto cociente / .f fl 89<7+6 E?> PÎO‰ Mostrar que existe una biyección entre y f

O

76. Sea un cuerpo, una cerradura algebraica de . Sea un cuerpoO O PH

H H tal que y normal. Sea un polinomioO § P § PÎO 0 B − OÒBÓ | mónico irreductible en .OÒBÓ

P 1 B ß 2 B − PÒBÓ 0 B PÒBÓ Sean dos factores irreductibles de en l 89<7+6 − E?> ÎO Ð1ÐBÑÑ œ 2 B‰ Mostrar que existe tal que (luego5 H 5

O 1 B 2 B en particular y tienen el mismo grado).Para eso, sea las raíces distintas de y seaE œ Ö ß ßá ß × 1 Bα α α" # <

F œ Ö ß ßá ß × 2 B" " "" # = las raíces distintas de ." b − E?> ÎO œ Mostrar que tal que 5 H 5 α "" "

# E § F PÎO Mostrar que . Para esto, puede suponer que normal5

Ê E?> ÎP E?> ÎOH H es un subgrupo de .$ < œ = E œ F Mostrar que y .5% > ? Denotando con al índice de multiplicidad de los y por el índice deα3

multiplicidad de los mostrar que ."3ß > œ ?& 1 B œ 2 B Concluir que 5


77.Sea , y sea el cuerpo de factorización de 0 B œ B %B # − ÒBÓ P 0 B& $

sobre . Entonces admite elemento primitivo ¿por que? P

78.Sea un dominio principal. Sea un -módulo libre. Sea unV Q V R

submódulo de . Entonces ¿ es libre? ¿ es libre?Q " R # QÎR

Justifique las respuestas.79. Sea el cuerpo con elementos es un número primo" : :…:

H H … Sea la cerradura algebraica de .:| Sea un cuerpo intermediario tal vez sea finitoOP 0 B − OÒBÓ 8 Sea un polinomio irreductible de grado l P 0 B Sea el cuerpo de factorización de O PÎO 8Þ Mostrar que es una extensión cíclica de grado l # O Mostrar que existe un cuerpo tal que… … H: : y § O § lOl œ ∞

Á

80. " O § P § Q QÎO Sea cuerpos. Mostrar que es una extensión radicalsi y sólo si y son extensiones radicales.QÎP PÎO

# PÎO 8 Sea una extensión finita de grado de separabilidad y deinseparabilidad . Mostrar que puede ser generado por + elementos< P < "

sobre .O

81.Sea un cuerpo algebraicamente cerrado y un subcuerpo tal queH HO §Á

Ò À OÓ œ 8H . Esta es una hipótesis general.Sea un cuerpo algebraico de característica . Se desea mostrar que noH : Á !

puede existir un cuerpo tal que . Para este fin, suponga que P Ò À PÓ œ : PH

sea un cuerpo tal que , por el teorema de Galois se sabe que /Ò À PÓ œ : PH H

es una extensión cíclica. Sea un generador de .5 HE?> ÎP

" − X< Á !Mostrar que existe tal que # H #HlP

# − X< œ "Mostrar que existe tal que " H "HlP

$ X< œ ! − œ Mostrar que y que existe tal que HlP: :" " α H 5 α α " "

% B B poMostrar que no tiene raíz en , lo que es absurdo pues es: α H Halgebraicamente cerrado.82. Teniendo en cuenta la hipótesis general del problema 81. Para esteproblema recordemos los siguientes resultado, que el cibernauta puedeconsultar previamente.Resultado " + : Á # Î: Sea un primo entonces es cíclico para™ ™< ‡

todo (donde denota el grupo multiplicativo de los elementos< " Î:™ ™< ‡

invertibles del anillo ).™ ™Î:<

, Î: < œ " < œ # es cíclico si y sólo si o, .™ ™< ‡

Resultado # 8 œ sea una función de Euler (es decir, número de: :enteros entre y que son relativamente primos con ), entonces" 8 8

.: 8 Ä ∞8 Ä ∞


Sea un cuerpo algebraicamente cerradoHSea un cuerpo tal que O Ò À OÓ œ 8 "H

Sea la característica de ( puede ser ): : !H

Sea un número primo tal que divide a ; ; 8Þ

Ya se sabe que existe un cuerpo tal que , y cíclico deP O § P § ÎP ÁH H

orden . Por el problema 81, se tiene que ; : Á ;" − œ P T œ B + Mostrar que existe tal que con donde0 H H 0 0lP

;

+ − P P;.# œ P ; Se trata de mostrar que con una raíz primitiva -ésima de laH ( ( #

unidad. Para eso; sea una raíz primitiva -ésima de (¿porqué existe@ − ; "H #

este tal ?); sea una raíz del polinomio . Considérese el@ − B +. H ;#

polinomio .1 B œ B @#3œ"

;3

#

.

+ 1 B œ B + Mostrar que ;#

, @ Â Pß a3 œ "ßá ß ; Mostrar que y concluir que todos los factores3.

irreductibles de son de grado .B + ;;#

- Ver que el término constante de un tal factor irreductible es del tipo(. H ( (; #. Mostrar que y que es una raíz primitiva -ésima de œ PÐ Ñ ; "

$ Sea el cuerpo primo de .F H!

H ( F (œ P < # Mostrar que existe tal que es una raíz primitiva!

l ; " ésima de la unidad de , pero no contiene una raíz<

P ; "ÞF (!<" primitiva -ésima de

l

Sea una raíz primitiva -ésima de la unidad.F H! <"<"@ − ;

Naturalmente, tenemos y la inclusión es estricta, por laF ( F! ! <"§ @parte . Tenemos la configuración siguiente$

El próximo objetivo es mostrar que no esF F! <" !@ Î

una extensión cíclica. Con este fin:c d% @ À œ ; Mostrar que . Para eso, muestre que el polinomioF >! <"

T B ; œ P ∩ @@ lP ! <"<" tiene grado y tiene sus coeficientes en > F

& Ò @ À Ó œ ; Mostrar que F F (! <" !

' Á Ð Ñ Ð@ ÑÎ Mostrar que y que no es cíclica.> F ( F F! ! <" !

( œ ; œ # œ P 3 Concluir que , y F H!

) œ O 3 ß Ò À OÓ œ # Concluir que luego que .H H


83.Sea 0 B œ B # − ÒBÓ&

" 0 B Hallar las raíces de en .‚# P 0 B Hallar el cuerpo de factorización de sobre .$ ÒP À ÓÞ Calcular el grado

84.Sea un cuerpo, la cerradura algebraica de , y tal queO O −H α H

H α es un número impar.ÒO À OÓ

| Mostrar que " O ? œ O α#

O ? # O ? œ O ? ß a5 −Š ‹ Por inducción, mostrar que #5

l $ a8 5 − ß a: Aplicación: Mostrar que , número primo, el

O B : − polinomio es irreductible.#8" #5

85.Sea un cuerpo de característica ( puede ser cero), un elementoO : : C

H H trascendente sobre y la cerradura algebraica deOà P œ O C| . Sea y .P 7 − 0 B œ B C − O C ÒBÓ œ PÒBÓ 7

P œ O C " 0 B PÒBÓ Mostrar que es un polinomio irreductible en # ÎP Mostrar que es infinito.H

$ 7 : 0 B Si no es múltiplo de , mostrar que las raíces de en son todasHdistintas.% P Mostrar que existe un número infinito de -automorfismos de .H

86.Analice la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones" Vß V 0 À V V Sean dos anillos conmutativos con unidad, unw w

homomorfismo sobreyectivo, un ideal de . Entonces es un idealM V Mw w w

maximal de si y solamente si es un ideal maximal en .V 0 M Vw " w

# O OÒBÓ Sea un cuerpo. Todo ideal no nulo del anillo de polinomios ( enuna indeterminada ) es maximal.B$ O : B Sea un cuerpo de característica y un elemento del grupo

multiplicativo de . Entonces no divide al orden de .O O : B‡

% PÎO Sea una extensión de cuerpos finitos. Existe una extensión finitanormal tal que .RÎO P § R& RÎO : † ; ; Sea una extensión galoisiana de grado donde es un número7

primo. Existe un cuerpo entre y tal que .P O R ÒP À OÓ œ ;

87.Sea el anillo de los polinomios en indeterminadasOÒB ß B ßá ß B Ó 8" # 8

B ß B ßá ß B O" # 8 sobre un cuerpo infinito . Probar que, para cualquierpolinomio no nulo, existen tales queJ − OÒB ß B ßá ß B Ó + ß + ßá ß + − O" # 8 " # 8

J + ß + ßá ß + Á !" # 8 .88.Sean y extensiones finitas de contenidas en tales queO P ‚

O ∩ P œ ÒO † P À Ó œ ÒO À Ó † ÒP À Ó . Probar que siempre o proponga uncontra-ejemplo.89.Analice la verdad o falsedad de cada una de las siguientes afirmaciones" OÒBÓ OSea un anillo de polinomios sobre un cuerpo y un ideal no nuloÈ

de . El anillo cociente será un cuerpo si y sólo si es un dominio.OÒBÓ OÒBÓÎÈ


# E E D Á !Sea un anillo conmutativo. Si tuviera un divisor de cero entonces tendrá caraterística .E Á !

$ O 8 "Sea un cuerpo primo. Para todo número entero existe unpolinomio irreductible de grado .T − OÒBÓ 88

% PÎO Sea una extensión de cuerpos de grado finito. El conjunto de loscuerpos entre y es finito.O P& OÒBÓ O J − OÒBÓSea un anillo de polinomios sobre un cuerpo , y sea

irreductible y separable. Sean las raíces de en un cuerpo B ß B ßá ß B J P" # 8

de raíces de sobre Toda permutación de se extiende aJ OÞ B ß B ßá ß B" # 8

un -automorfismo de .O P

90.Sea un anillo de polinomios sobre un cuerpo , unOÒBÓ O J − OÒBÓ

polinomio no constante, y el anillo cociente .E OÒBÓÎJ † OÒBÓ

+ E¿Cuáles elementos de son divisores de cero?, E¿Cuáles elementos de son invertibles?- O E¿Cuál es la relación entre la característica de y la de ?

91.Sea (donde )R œ 3ß # 3 œ "Š ‹È #

+ RProbar que es galoisiano sobre , E?> RÎODeterminar el grupo de Galois - Determinar la correspondencia de Galois entre el conjunto de los

subcuerpos de y el conjunto de los subgrupos de R E?> RÎ

. RÎIndique un elemento primitivo de la extención .92.Analice la verdad o falsedad de cada una de las siguientes afirmaciones" 0 B œ B %B "#B #B #à 0 BSea entonces es reducible sobre el( & % #

cuerpo de los números racionales.# ÎÐ#!ÑEl anillo tiene solamente un ideal maximal.™

$ 8 !ß PCualquiera que sea el entero existe una extensión de tal que

ÒP À Ó œ 8

% O R & PSea una extensión de de grado . Entonces existe un cuerpo talque .R § P § O 93.Analice la verdad o falsedad de cada una de las siguientes afirmaciones" : :Sean un número primo y el cuerpo con elementos. Existe un…:

entero tal que ningún polinomio de grado > de es irreductible8 " 8 ÒBÓ…:

sobre .…:

# Existen cuerpos con 15 elementos.$ O : Á !Þ OÐBÑSea un cuerpo de característica Sea en cuerpo de

fracciones de . Entonces es un cuerpo perfecto.OÒBÓ OÐBÑ

% O O OSea un cuerpo finito. Entonces el grupo multiplicativo de es‡

cíclico.94.Sea 0 B œ B " B (# #

" R 0 B ÒR À UÓHallar el cuerpo de fracciones de sobre . Calcular .


# K 0 B KHallar el grupo de Galois de . Verificar que este grupo esabeliano, no cíclico.$ K RÞHallar todos los subgrupos de . Hallar todos los cuerpos entre y

% $Cuales de esos cuerpos de intermediarios son normales sobre .& R¿ es una extensión simple de ?. Si su respuesta es sí, dé un elemento

primitivo con su prueba . Si fuera no, dé una prueba.95. " H O HSea un dominio, y un cuerpo contenido en tal que la identidadde coincida con la de .H O+ H OMostrar que tiene una estructura de espacio vectorial sobre ., H OSi la dimensión de como -espacio vectorial es finita, entonces

mostrar que debe ser un cuerpo.H# O OSea un cuerpo finito y la cerradura algebraica de . Mostrar que laH

dimensión de como -espacio vectorial es infinita.H O

96. " V T Dar un ejemplo de un anillo conmutativo y un ideal primo diferente de que no sea ideal maximal de .! V

‚# d W d B " B "Sea el espacio de los números reales; sea el anillo .$ #

Hallar todos los ideales primos de .W

97.Sea un cuerpo de característica ; sea una cerradura algebraica deO ! H

O P Q ÒP À OÓ œ "$. Sean y dos cuerpos intermediarios tales que yÒQ À OÓ œ "( PQ P Q. Sea el menor subcuerpo de que contiene a y H

" ÒPQ À OÓ œ "$ † "(Mostrar que # PQÎO PÎO QÎOMostrar que es normal si y solamente si y son

normales.$ PQÎO P QEn el caso de que sea normal, mostrar que y son los únicos

cuerpos intermediarios.98.Analice la verdad o falsedad de cada una de las siguientes afirmaciones" V T ß T V T ∩ TSea un anillo y dos ideales primos de ; entonces es un" # " #

ideal primo# J B − ÒBÓ P 0 BSea y el cuerpo de factorización de sobre . Entonces

P es una extensión simple de .$ PÎO lE?> PÎO l œ ÒP À OÓSea una extensión finita normal,% O KSea un cuerpo finito. Para cualquier grupo abeliano finito existe una

extensión galoisiana de con grupo de Galois isomorfo a O KÞ

& RÎO C − RSea una extensión galoisiana de cuerpos y sea . TodoO R-automorfismo de induce una permutación de las raíces del polinomiominimal de sobre .C O

99.Sea una extensión de cuerpos galoisiana de grado . DetermineRÎO "&

todos los cuerpos entre y .O R

100.Sea un anillo con unidad, un -módulo libre y unV P V 0

homomorfismo de un -módulo sobre un -módulo . SeaV I V I L97 PßI" # 3

el grupo aditivo de los homomorfismos de en . Pruebe que laP I 3 œ "ß #3


aplicación es un homomorfismo de ? È 0 ‰ ? ? − L97 PßI L97 PßI" "

sobre .L97 PßI#

101.Sea Mostrar que no es normal.P œ # + PÎ Š ‹È$, P¿Cuáles son los isomorfismos de en ?‚- P¿Cuáles son los automorfismos de ?. B #¿Cuáles es el cuerpo de factorización de sobre y cuál es su$

grado sobre ?102.Sea un anillo conmutativo con unidad y sea el anillo de losE EÒBÓ

polinomios a una indeterminada. Sea y .+ − E Q œ Ö0 − EÒBÓÎ0Ð+Ñ œ !×

Mostrar que es un ideal de + Q EÒBÓ

, Q Í Ees primo es un dominio- Q Í E es maximal es un cuerpo.

Apéndice

TEOREMA DE GALOISPresentamos el enunciado y apartes de la demostración del teoremafundamental de la teoría de cuerpos, y que establece un método medianteel cual los cuerpos intermediarios de una extensión normal finitaseparable, pueden caracterizarse mediante la teoría de grupos. Lasextensiones con tal propiedad son frecuentemente llamadas extensionesgaloisianas.

Definición: Sea un cuerpo, una extensión de tal que es finitaO P O POy normal, entonces el conjunto de los automorfismos es unE?> PÐO

grupo, con la operación composición de funciones, llamado grupo deGalois.

Tomemos la extensión normal finita y denotemos conPO¹ œ ÖQÎO § Q § Pß Q × cuerpo al conjunto de los cuerpos intermediariosentre y Por otro lado denotemos conO PÞ

subgrupo de ´ œ ÖKÎK E?> PÎO ×

al conjunto de todos los subgrupos de . Galois estableció unaE?> PÎO

correspondencia biunívoca entre y , planteando las siguientes¹ ´funciones: K À

QÈK Q œ Ö − E?> PÎO Î 7 œ 7ß a7 − Q×¹ ´

5 5

K Q es frecuentemente llamado el grupo fijo de .Q

Recíprocamente, J À

K ÈJ K œ Ö − PÎ Ð Ñ œ ß a − K×´ ¹

α 5 α α 5


por analogía es llamado .J K Kel cuerpo fijo de

Teorema Galois : Sea una extensión finita normal separable.P O

Entonces" J ‰ K œ M.ß K ‰ J œ M. K Ky , entonces es una biyección, además es un

auto-isomorfismo de retículo, esto quiere decir que K Q ∩Q œ KÐQ ÑßK Q œ K Q †Q œ K Q ∩K Q" # " # " # " #

# Q QOSea un cuerpo intermediario de , es normal si y solamente si¹

E?> QÎO µ E?> PÎO ÎE?> PÎQ .$ ‰ K Q K QDenotemos con al orden entonces

‰ K Q œ lE?> PÎQ l œ ÒP À QÓ

teniéndose además las siguientes torres

Demostracion: " Q P OSea un cuerpo intermediario entre y , tómeseK Q œ E?> PÎQ Q J el grupo fijo de , aplicando ahora tenemosJ ‰ K Q œ J E?> PÎQ œ ÖB − PÎ − E?> PÎQ B œ B×para todo , 5 5

es puramente inseparable sobre œ ÖB − PÎB Q× œ Q

pues es separable.PÎQ

Para la recíproca sea un subgrupo de , sea . Veamos queL E?> PÎO 8 œ lLl

K ‰ J L œ L K ‰ J L ¨ L − L. Es claro que ya que si entonces55 − ÐK ‰ JÑ œ E?> PÎJ L L § E?> PÎJ L pues esto equivale a decir que5 " " "œ − J L para todo . Así tenemos |E?> PÎJ L l œ ÒP À J L Ó œ l K ‰ J L l lLl œ 8

Para ver que , basta mostrar que .K ‰ J L § L ÒP À J L Ó Ÿ 8Sean , elementos de vamos a mostrar que ellos sonB ß B ßá ß B 8 " Pß" # 8"

linealmente dependientes sobre .J LSi uno de ellos es cero, entonces se tiene lo deseado, luego, supongamosque todos son diferentes de cero.Tómese automorfismos de sobre y apliquémoslo7 7 7 7" # $ 8œ 3.ß ß ßá ß P J Lsucesivamente sobre los elementos, obteniendo8 "

B ß B ß B ß ßá ß B" # $ 8"

7 7 7 7# " # # # $ # 8"B ß B ß B ßá ß B 7 7 7 7$ " $ # $ $ $ 8"B ß B ß B ßá ß B


ã ã ã ã

7 7 7 78 " 8 # 8 $ 8 8"B ß B ß B ßá ß BLas columnas son elementos de espacio vectorial sobre tenemos asíP P8

8 " - ß - ßá ß - − P de ellos. Entonces existen no todos cero, tales que" # 8"

- - á - œ ! "

B B BB B Bã ã ãB B B

" # 8"

" # 8"

# " # # # 8"

8 " 8 # 8 8"

Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ Ø7 7 7

7 7 7

Escogemos un sistema que tenga un número mínimo de- ß - ß - ßá ß -" # $ 8"

elementos distintos de cero, esto es, sea no todos los son cero y los cumplen µ œ Ö - ß - ß - ßá ß - Î - - " ×" # $ 8" 3 3

Digamos que . Demostremos que- Á !ß - Á !ßá ß - Á !ß - œ !ßá ß - œ !" # < <" 8"

el número de es .- Á !ß < #3

Considerando la primera fila de . Si suponemos" - B - B â - B œ !" " # # < <

que como y entonces con lo cual elementos< œ " B Á ! - B œ ! - œ ! 8 "" " " "

de serían linealmente independientes, lo cual es contradictorio .P po8

Como consecuencia y se puede suponer sin perder generalidad que- Á !"

- œ "ß" así

" - á - œ ! #


Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ Ø

" # <

# " # # # <

8 " 8 # 8 <

# <7 7 7

7 7 7

Vamos a mostrar que ."ß - ßá ß - − J L2 <

Si eso es mostrado entonces la primera linea de nos da una relación de#dependencia entre los con coeficientes en no todos nulos.B J L3

Para mostrar que es equivalente a mostrar que para- − JÐLÑ - œ -3 3 37

todo . Sea entonces o sea que para todo , existe un7 7 7 7− L − L ÐLÑ œ L 3

único tal que , se escribe ahora así7 7 7 74 3 4œ ‰ #

"B - B â - B œ !" # # < <

" B - B â - B œ !7 7 7# " # # # < # <

ã ã ã

" B - B â - B œ !7 7 78 " # 8 # < 8 <

Aplicando ahora nos queda7 " † B - B â - B œ !7 7 7 7 7" # # < <

" † B - B â - B œ !7 7 7 7 7 7 7 7# " # # # < # <

" † B - B â - B œ ! Ð#Ñ7 7 7 7 7 7 7 7 7$ " # $ # < $ <

ã ã ã ã

" † B - B â - B œ !7 7 7 7 7 7 7 78 " # 8 # < 8 <

Reescribiendo este sistema usando el hecho de que tenemos7 7Ð#Ñ ÐLÑ œ L

B - B â - B œ !" # # < <7 7

7 7 7 7 7# " # # # < # <B - B â - B œ ! $

ã ã ã

7 7 7 7 78 " # 8 # < 8 <B - B â - B œ !


o mejor

" - á - œ !



" # <

# " # # # <

8 " 8 # 8 <

# <7 7 7

7 7 7

7 7

Ahora restando de obtenemos# $

! - - á - - œ !



" # <

# " # # # <

8 " 8 # 8 <

# # < <7 7 7

7 7 7

7 7

Hemos así obtenido un conjunto. Ö!ß - - ß - - ßá ß - - ß !ßá ß !× œ -7 7 7# # $ $ < <

dando una combinación lineal de las columnas igual a cero, esteÔ ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø

BBãB

3

# 3

8 3

7

7

sistema tiene un cero más que el sistema que fue"ß - ßá ß - ß !ßá!# <

escogido con el número minimal de elementos distintos de cero. Estoimplica que todos los elementos del conjunto son iguales a cero, por loGtanto tenemos 7 7 7- œ - ß - œ - ßá ß - œ -# # $ $ < <

esto por consiguiente es válido para todo .7 − LNótese que aquí debe ser finito, en general para infinito es falso.L LEntonces en particular es una biyección.K# QOSe trata de mostrar que es una extensión normal esto equivale a

decir que subgrupo distinguido o normal)E?> PÎQ œ K Q – E?> PÎO Ð – y en ese caso E?> QÎO µ E?> PÎO ÎE?> PÎQ+ Para mostrar la condición suficiente, recordemos el siguiente resultado

de la teoría de grupos: El núcleo de un homomorfismo que aplica unR 2grupo sobre un grupo es un subgrupo distinguido. Así bastaK K œ 2 Kconstruir un homomorfismo sobreyectivo de grupos para el cual E?> PÎQ

sea el núcleo. Se considera entonces E?> PÎO E?> QÎO

È l:

<

: Q

Claramente esta bien definida puesto que es una extensión normal< QOy por lo tanto | .: Q − E?>ÐQÎOÑ

< ; por que dado un automorfismo de sobre , por unes sobre Q Oresultado básico (¿cuál? siempre existe una extensión a un automorfismode sobre FinalmenteP OÞ

kerÞ œ Ö − E?> PÎO Î l œ M.× œ E?> PÎQ< : : Q

Aplicando el teorema de homomorfismos de grupos se tiene E?> QÎO µ E?> PÎO ÎE?> PÎQ


, LVeamos ahora la condición necesaria. Sea un subgrupo distinguido deE?> PÎO − E?>ÐPÎOÑ y se considera5

para todo J ‰ L ‰ œ Ö − PÎ ‰ ‰ Ð Ñ œ − L×5 5 α 5 3 5 α α 3" "

para todo œ Ö − PÎ ‰ Ð Ñ œ Ð Ñ − L×α 3 5 α 5 α 3" "

œ Ö − PÎ Ð Ñ − JÐLÑ×α 5 α"

Demostremos que .J ‰ L ‰ œ ÐJÐLÑÑ5 5 5"

Como entonces por lo tanto5 α α 5"Ð Ñ − JÐLÑ − ÐJ ÐLÑÑ

J ‰ L ‰ § ÐJLÑÑ5 5 5"

Ahora sea , con calculando tenemos" 5 5œ Ð<Ñ < − J L à "

entonces .5 " 5 5 " " 5 "" " "Ð Ñ œ Ð Ð<ÑÑ œ < ß − Ö − PÎ Ð Ñ œ < − JÐLÑ×

Ahora esto es equivalente a para todoL – E?> PÎO L œ L 5 5"

5 − E?> PÎO à J como es uno a uno se sigue por equivalencia queJ L œ J L œ J L − E?>ÐPÎOÑ5 5 5 5" para todo . De la definición denormalidad todo lo anterior nos lleva a concluir que es unaJ L Oextensión normal.$ P O Veamos en primer lugar la siguiente afirmación: Si es una

extensión finita, entonces es normal si y sólo si .P O lE?>l œ ÒP À OÓ

En efecto, veamos la condición suficiente: Sea entonces para todo se tiene7 œ lE?> PÎO l œ lM=9 PßO l − E?>ÐPÎOÑO 5

5ÐPÑ œ P PÎO, esto significa que es normal.Recíprocamente veamos la condición necesaria, si es normal se siguePÎO

de la definición que para todo se tiene , esto5 5− E?> RÎP P § Pequivale a decir que para todo y en particular se7 7− M=9 RßP ß P § PO

sigue que lE?> PÎO l œ lM=9 PßR l œ ÒP À OÓ œ 7O =/:

Aquí es una cerradura algebraica de y . ColoquémonosR P 7 œ ÒP À OÓ

entonces en las hipótesis de este resultado es normal y finita,P Qentonces por otra partelE?> PÎR l œ ÒP À QÓ

K Q œ Ö − E?> PÎO Î 7 œ 7ß a7 − Q× œ Ö − E?>ÐPÎOÑÎ l œ 3.× œ E?5 5 5 5 Q

> PÎQ ‰ K Q œ lE?> PÎQ l œ ÒP À QÓasí .

Corolario.Sea una extensión finita, separable , entonces existeP Osólamente un número finito de cuerpos intermediarios entre y .O PDemostración: Como es una extensión finita existen P O ß ß ßá ßα α α" # 8

tales que .P œ O ß ßá ßα α α" # 8

Consideremos la siguiente torre de extensiones


El conjunto y todos los conjuntos conjugados de los estaÖ ß ßá ß ×α α α α" # 8 3

constituído por elementos todos separables. Por lo tanto| que es finita.E?> QÎO l œ ÒR À OÓ

Se sigue que tiene sólo un número finito de subgrupos y por elE?> RÎO

teorema de Galois existen solamente un número finito de cuerposintermediarios entre y , se sigue que también el número de cuerposO Rintermediarios entre y es finito.O P

Finalizamos enunciando dos teoremas que son equivalentes al teorema deGalois y cuya verificación corre por cuenta del lector, constituyéndose entema para una monografía.

Teorema. " PÎO R: Sean una extensión finita, normal, separable y unaextensión cualquiera de entoncesOß es normal, finita, separable" RP R# E?> RPÎR µ E?> PÎR ∩ P $ E?> RPÎR ∩ P µ E?> RPÎP ßE?> RPÎR

Teorema. # PO R: Sea una extensión finita, normal separable y unaextensión cualquiera de entoncesOß" RP R es normal separable# E?> RPÎQ ∩ P E?> RÎR ∩ P ‚ E?> PÎR ∩ P

: : :È l ß lR P

es una biyección.$ E?> RPÎR ∩ P œ E?> RPÎR E?> RPÎP

Definición: Si es una extensión finita, normal y separable entonces PÎO PÎO

es llamada una extensión galoisiana.

Aplicaciones del teorema de GaloisGrupo de Galois de un polinomioSea un cuerpo y , denotemos con el cuerpo de factorizaciónO 0 B − OÒBÓ P

de .0 B


Definición: El grupo de Galois de es 0 B E?> PÎO

H α α αSea el conjunto de las raíces distintas de , asíÖ ß ßá ß × 0 B" # 8

l P œ O ß ßá ß E?> PÎOα α α" # 8 , con el objeto de estudiar podemos considerar:P

| Grupo de permutaciones de E?> PÎO Ö ß ßá ß × œ W<

α α α" # 8 8

O È l5 5 Ö ß ßáß ×α α α" # 8

Sobre la función tenemos las siguientes afirmaciones:<" es claramente un homomorfismo, pues<

5 5 5 5 5 5# " # " "Ö ß ßáß × Ö ß ßáß × Ö ß ßáß ×‰ È ‰ l œ l ‰ lα α α α α α α α α" # 8 " # 8 " # 8

# M. es inyectiva, puesto que su núcleo es .< P

$ en general no es sobreyectiva.<

Ejemplo " 0 B œ B # − ÒBÓ. Hallemos el grupo de Galois de %

0 B œ B # 0 B% es irreductible por el criterio de Eisenstein, las raíces de son: È È È È% % % %#ß #ß 3 #ß 3 #

P œ #ß #ß 3 #ß 3 # œ #ß 3 Š ‹ Š ‹È È È È È% % % % %

siendo un cuerpo y entonces P œ #ß 3 # − #ß 3 # − #ß 3 ß Š ‹ Š ‹ Š ‹È È È È È% % % % %

3ß # − #ß 3 3 # − #ß 3È È È ÈŠ ‹ Š ‹% % % % entonces + PÎ P P es galoisiana pues es normal ( es el cuerpo de las raíces de

B # − ÒBÓÑ B #% % y separable todas las raíces de son simples entoncesˆ ‰ÒP À Ó œ ‰ E?> PÎ . ÒP À Ó œ #ß 3 À # # À œ ) œ E?> PÎ ’ “’ “Š ‹ Š ‹ Š ‹È È È% % %

Para determinar el grupo de Galois basta definir losE?> PÎ

P # 3automorfismos de sobre e , así:È%

" À P P 5

3 È 3

È È È È È% % % % %# È 3 # È # È 3 # È #

# À P P 5#

3 È 3

È È È% % %# È # È #


3 # È 3 # È 3 #È È È% % %

$ À P P 5$

3 È 3

È È È È È% % % % %# È 3 # È # È 3 # È #Entonces es un grupo cíclico.Ö3.ß ß ß ×5 5 5# $ È% À P P # 3 œ 3 que deja a fijo y .3 3%

Entonces , caracterizado por el cuadroE?> PÎ œ Ö3.ß ß ß ß ß ß ß × 5 5 5 3 53 5 3 5 3# $ # $

de acción que sigue: 3.

# # 3 # # 3 # # 3 # # 3 #3 3 3 3 3 3 3 3 3

5 5 5 3 53 5 3 5 3# $ # $

È È È È È È È È È% % % % % % % % %

, E?> RÎ ß Determinemos los subgrupos de dados a continuación

" œ Ö3.ß ×ß # œ Ö3.ß ×ß $ œ Ö3.ß ×ß % œ Ö3.ß ×? 5 ? 3 ? 53 ? 5 3" # $ %# #

& œ Ö3.ß ×ß ' œ Ö3.ß ß ß ×ß ( œ Ö3.ß ß ß ×? 5 3 ? 5 5 5 ? 5 3 5 3& ' ($ # $ # #

) œ Ö3.ß ß ß × * œ E?> PÐ "! œ Ö3.×? 5 53 5 3 ? ?) * "!# $

Teniéndose el siguiente cuadro de distribución por subgrupos

siendo una extensión galoisiana, para cada subconjunto dePÎ ?4

E?> PÎ J P ? corresponde un subgrupo de y además de eso4

ÒP À Ó œ ‰? ?4 4 .Entonces para cada tenemos y por lo4 œ "ß #ßá ß & ‰ œ # œ ÒP À J Ó? ?4 4

tanto . Ahora para se tiene por analogíaÒJ À Ó œ % 6 œ 'ß (ß )? 4

‰ œ % œ ÒP À J Ó ÒJ À Ó œ #? ? ? 6 4 4de donde .Además se tiene que . Nótese que § # § # § #ß 3Š ‹ Š ‹ Š ‹È È È% %

È È È ÈŠ ‹ Š ‹# − # # œ # % % pues .#

- El cálculo de los cuerpos intermediarios esta sujeto al siguiente análisisprevio: Š ‹ Š ‹È È3 J œ ÖB − #ß 3 Îa − ß B œ B× œ 3 # , dado que? 7 ? 7 " "

%

5 5 5# # #Š ‹ Š ‹È È È3 # œ 3 # œ 3 #

’ “Š ‹È È 3 # À œ % 3 # pues es una raíz del polinomio irreducibleB #B *% $ .


Š ‹ Š ‹ Š ‹È È È È33 J œ ÖB − #ß 3 Îa − ß œ B× œ # # œ # pues y se? 7 ? 7 3# # B% % % %

tiene además ’ “Š ‹È % # À œ %

Š ‹È ÈŒÉ333 J œ ÖB − #ß 3 Îa − ß œ B× œ 3 # , puesto que? 7 ? 7 $ $ B%

sabemos que entonces , así seÈ È È È ÈÉ 3 œ " 3 Î # 3 # œ # 3 " Î #%

tiene 53 53 53ŒÉ È È È È ÈŠ ‹ Š ‹ Š ‹‚Š ‹ 3 # œ # " 3 Î # œ 3 # " 3 #% %

.œ 3 # " 3 Î # œ 3 # 3 œ 3 #È È È ÈŠ ‹ È É% %

Además , pues es raíz del polinomio ” •ŒÉ ÉÈ È 3 # À œ % 3 # B #%

Š ‹ Š ‹È È3@ J œ ÖB − #ß 3 Îa − ß œ B× œ 3 # , dado que? 7 ? 7 % % B% %

5 3 5 3 5 3# # #Š ‹ Š ‹È È È È3 # œ 3 # œ 3 # œ 3 #% % % %

y también ’ “Š ‹È 3 # À œ %%

Š ‹È ÈŒÉ@ J œ ÖB − #ß 3 Îa − ß œ B× œ 3 # , pues? 7 ? 7 & & B%

entonces È È È È ÈÉ3 œ " 3 Î #ß 3 # œ # " 3 Î #ß%

5 3 5 3$ $ŒÉ È È ÈŠ ‹3 # œ # " 3 Î #%

œ 3 # " 3 Î # œ 3 # " 3 Î # œ 3 # 3 œ 3 #È È È È È ÈŠ ‹ È É% % %

y , dado que es raíz del polinomio irreductible” •ŒÉ ÉÈ È 3 # À œ % 3 #

B #Þ%

Š ‹È@3 J œ ÖB − #ß 3 Îa − ß œ B× œ 3 ß , dado que y dejan? 7 ? 7 5 5 5' ' B# $%

a fijo.3 Š ‹ Š ‹È È@33 J œ ÖB − #ß 3 Îa − ß œ B× œ # , la justificación de? 7 ? 7 ( ( B%

esta igualdad es dada así: 5 5 5 5# # # #Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹Š ‹È È È È È È È È# œ # # œ # # œ # # œ #% % % % % %

3 3 3 3Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹È È È È È È È È# œ # # œ # # œ # # œ #% % % % % %

5 3 5 3 5 3# # #Š ‹ Š ‹ Š ‹È È È È È È# œ # # œ # # œ #% % % %

Š ‹ Š ‹È È@333 J œ ÖB − #ß 3 Îa − ß œ B× œ 3 # ß pues? 7 ? 7 ) ) B%

5 5 5# # #Š ‹ Š ‹È È È3 # œ 3 # œ 3 #

53 53 53 53 53Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹Š ‹È È È È È È È3 # œ 3 # œ 3 # # œ 3 3 # 3 # œ 3 #% % % %


5 3 5 3 5 3 5 3 5 3$ $ $ $ $Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹Š ‹È È È È È È3 # œ 3 # œ 3 # # œ 3 3 # 3 #% % % %

yœ 3 #È Ò 3 À Ó œ #ß Ò # À Ó œ #ß Ò 3 # À Ó œ # Š ‹ Š ‹È ÈEl diagrama de extensiones esta dado por

Ejemplo2: Sea sobre .0 B œ B B " ÒBÓ$

0 B Ð 0 B es irreductible sobre , para lo cual basta como es mónico y es ™

un anillo factorial ver que es irreductible sobre , lo cual se sigueÑ 0 B ÒBÓ™

del hecho de que no tiene raíz en pues tiene grado y no es0 B 0 B $ "™

raíz.

Se toma la derivada es la única raíz real ya que es0 B œ $B "ß 0 Bw # α

creciente. Sea la única raíz real, sean y las raíces complejasα " " y P œ ß ß Â Ð Ñ α " " " αˆ ‰ así .E?> PÎ œ ÒP À Ó œ '

Sabemos que existe E?> PÎ È T/<7Ö ß ß × α " "<

es un homomorfismo inyectivo.<| . Entonces es un isomorfismo. tiene tresE?> PÎ l œ ' œ lW l œ ' W <$ $

subgrupos de orden y un grupo de orden .# $

Consideremos el polinomio separable siguiente 0 B œ B B B − OÒBÓ$ #α " #

Este polinomio puede ser transformado en otro de la forma ,] +] ,$

siempre que se considere como un cuerpo de característica distintaOde . Entonces$


B B B œ B B œ B B $ #$ $ $ $ $ $

$ $α " # " # "ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰Š ‹ Š ‹ Š ‹α α α α α α# $ #

$

Š ‹Š ‹# "α α α$ #

$$ $ $

Se toma y se tiene , ] œ B 1 ] œ ] +] , G+<O Á $α$

$

Sea una raíz de , si es una extensión normalα α1 ] O Oentonces es el cuerpo de factorización de en ese casoO 1 ]αlE?> PÎO l œ $, así el grupo de Galois resulta ser cíclico.Si , entonces no es el cuerpo de factorización deO Oα αno es normal1 ] 1 ] œ ] † 2 ] en este caso .αEl grupo de Galois tiene seis elementos, además no puede ser abelianopues contiene un subgrupo que no es normal, que es P E?> PÎO α

entonces .E?> PÎO œ W$

Se desea hallar una caracterización para establecer cuando el grupo deGalois es cíclico o cuando el grupo de Galois es el grupo de permutaciones.Sean las tres raíces distintas de (ya que el polinomio esα α α" # $ß ß ß 1 ]separable) Permutaciones de E?> PÎO Ö ß ß ×

È l5α α α

5" # $

Ö ß ß ×α α α" # $

W œ 3.ß ß ß ß ß$"#$ "#$ "#$ "#$ "#$"$# $#" #"$ #$" $"#

˜ ™ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰Definición: Una permutación de grado par es el producto de dostransposiciones.Se tiene entonces que si y sólo si existe tal quelE?> PÎO l œ ' − E?> PÎO5

5 $ α α α α α α| es una transformación si y sólo si Ö ß ß × " # " $ # $α α α" # $œ ß

5 $ $œ .Si la característica de entonces se puede afirmar que en eseO Á #ß Á $ $

caso , entonces . Se tiene ya5 $ $ $Ð Ñ Á Â J E?> PÎO œ O J E?> 6ÎO œ O

que es una extensión normal, separable, naturalmente se tiene queP O Â O œ − Oß − E?> PÎO$ ? $ 7. Entre tanto pues cualquiera que sea se#

tiene que , así, | si y sólo si 7 $ 7 $ $ $ ? $Ð Ñ œ Ò Ð ÑÓ œ Ò „ Ó œ E?> PÎO l œ ' œ# # # # #

no tiene raíz cuadrada en (esto es, no tiene raíz en ).O B O# ?Naturalmente tenemos que 1 ] œ ] +] , œ ] ] ] $

" # $α α αeso quiere decir que ! œ ß + œ ß , œ α α α α α α α α α α α α" # $ " # " $ # $ " # $

Así como tenemos? $ α α α α α αœ œ #" # " $ # $

# # #

α α α α α α α α α α α α" # " $ # $ " # " $ # $# # # # œ Ò Ó

Aquí hacemos uso del determinante de Vandermonde que nos afirma que

â ââ ââ ââ ââ ââ âα α α α α α α α α

α α α" # " $ # $ " # $

" # $# # #

œ

" " "


de aquí se recibe que

$ α α α α α α α α α α α α

α α α α α α α α α α α α

#" # $ " # $ " # $ " # $

" # $ " # $ " # $ " # $# # # # # # # # # # # #

#

œ œ œ

" " " " " " " " " " " "â â â ââ â â âââ â â ââ â â âââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â â

â ââ ââ ââ âââ"

"

"

α α

α α

α α

" "#

# ##

$ $#

œ œ

" " " "

"

"

$

â â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â âÎ ÑÎ ÑÏ ÒÏ Òα α α

α α α

α α

α α

α α

α α α α α α

α α α α α α α α α

α α" # $

" # $# # #

" "#

# ##

$ $#

" # $ " # $# # #

" # $ " # $# # # $ $ $

" # $

" ## # α α α α α α α$ " # $

# $ $ $ % % %" # $

pero se tiene queα α α" # $ œ !

α α α α α α α α α α α α" # $# # #

" # $ " # " $ # $# œ # œ #+

α α α α α α α α α α α α" # $ " # $$ $ $ $ $ $

" # $ " # $ œ + , + , + , + $,

œ 1 1 1 + $, œ $,α α α α α α" # $ " # $

α α α α α α α α α α α α α α α" # $ " # $% % % # # #

" " # # $ $ " # $ œ 1 1 1 + ,

œ + œ + #+ œ #+α α α" # $# # # #

Sustituyendo estos valores se tiene que

$# $ # # $ #

#œ œ $ %+ *+ #+ %+ œ %+ #(,

$ ! #+! #+ $,

#+ $, #+

â ââ ââ ââ ââ ââ âAsí tenemos que y podemos afirmar entonces que? œ %+ #(,$ #

lE?> PÎO l œ ' %+ #(, Osi y sólo si no es un cuadrado en .$ #

CONEXIÓN DE GALOISTrabajando con anillos el teorema de Galois pierde todo significado; peropuede hacerse algunas deducciones interesantes en extensiones dedominios de integridad y el conjunto de sus ideales, siendo este el espíritude esta nota.Sean y dos dominios de integridad tales que , esto es: sea unaV W V § W Wextensión de dominios de . Consideremos los siguientes conjuntosV es un ideal M œ Ö § WÎ V×š š

es un ideal N œ Ö § WÎ W×› ›

colecciones de ideales de y respectivamente. Se debe notar que se haV Wtomado una extensión de dominios para no tener problemas con lacolección de ideales.Supóngase que en y en se han definido relaciones de orden parcial.M N

Definición: Una pareja es denominada si3ß 4 una conexión de Galois 3 À N M 4 À M Nson funciones debidamente definidas y tales que se cumplan los siguientesaxiomas:GKÞ" − M Ÿ 3Ð4Ð ÑÑPara todo , š š š

GKÞ# − N Ÿ 4Ð3Ð ÑÑ Para todo , › › ›

GKÞ$ Ÿ 4Ð Ñ 4Ð ÑSi , entonces š š š šw w

GKÞ% Ÿ 3 Ð Ñ 3Ð ÑSi , entonces .› › › ›w w


Según esta definición son muchas las conexiones de Galois que se puedenobtener dependiendo claramente del orden parcial que se tenga en y enMN 3 4, y de la forma como se definan las funciones y . Una forma particularde establecer una relación de orden parcial en y en se presenta aM Ncontinuación:Sean entonces escribimos si y sólo si .š š š š š šß − M Ÿ §

w w w

Sean entonces si y sólo si .› › › › › ›ß − N Ÿ ̈w w w

Es claro de la teoría de conjuntos que estas relaciones hacen de y M Nconjuntos parcialmente ordenados.

Proposición " M N: Con y ordenados parcialmente, como anotamosanteriormente, y definiendo las funciones y como sigue3 4 3 À N M 4 À M N

È È3 œ ∩ V 4Ð Ñ œ W› › › š š š

entonces se obtiene que es una conexión de Galois entre los3ß 4conjuntos parcialmente ordenados de y .M NDemostración: Debemos mostrar cada uno de los axiomas queGKÞ5

definen a una conexión de Galois.GKÞ" 3 4Por definición dada de las funciones y se tiene que 3 4 + œ 3 +W œ +W ∩ VComo y entonces ,š š š š š š§ W § V § W ∩ V œ 3Ð4Ð ÑÑ usando la definición de orden parcial en se sigue que .M Ÿ 3Ð4Ð ÑÑš š

GKÞ# 3 4 − N Por aplicación sucesiva de y a se tiene›

.4Ð3Ð ÑÑ œ 4Ð ∩ VÑ œ Ð ∩ VÑW› › ›

Ahora y es un ideal de (así para todo ). Entonces› › › › ›∩ W § W B − ß BW § Ð ∩ VÑW §› ›

de donde se sigue que 4 3 §› ›y teniendo en cuenta la definición del orden parcial en se recibeN .› ›Ÿ 4 3GKÞ$ Ÿ § Suponiendo que , o sea tenemos que y aplicandoš š š šw w

4 obtenemos así 4Ð Ñ œ W § W œ 4Ð Ñ 4Ð Ñ § 4Ð Ñ š š š š š šw w w

Una vez más por la definición del orden parcial en obtenemosN .4Ð Ñ 4Ð Ñš š w

GKÞ% Ÿ ¨ 3Supóngase que o sea que , aplicando tenemos› › › ›w w

3 œ ∩ V § ∩ V œ 3Ð Ñ› › › ›w w

usando la definición del orden parcial en se obtiene queM .3Ð Ñ Ÿ 3Ð Ñ› ›w

Luego concluimos que es una conexión de Galois entre los3ß 4subconjuntos y parcialmente ordenados por dadas por definición.M N Ÿ


Ahora trataremos un resultado que puede ser considerado como elteorema de Galois para las extensiones de dominios de integridad o comoun teorema de Galois debilitado.

Proposición # W V. Si se supone que es el anillo de fractorización de y siendo3ß 4 "la conexión de Galois obtenida en la proposición , entre los conjutos

parcialmente ordenados y , entonces resulta sobreyectiva e resultaM N 4 3inyectiva.Demostración. Cuando es el cuerpo de factorización de , toma laW V Wsiguiente forma: W œ ÖBC ÎB − Vß C − Q×"

siendo un subconjunto multiplicativamente cerrado tal queQ Ø y Q Â ! Â Q

Basta mostrar que para todo se tiene que› − N .4 ‰ 3 œ› ›Como es una conexión de Galois por el axioma se tiene3ß 4 GKÞ#

› ›Ÿ 4Ð3Ð ÑÑ

y por la definición de orden de se tiene queN .Ð4 ‰ 3Ñ §› ›

Para obtener la inclusión inversa sea entoncesD − § W› con , ,D œ BC B − V C − Q"

de donde BC − ß C − Q § V § W

" ›y como es un ideal de tenemos› W BC C − ß" ›entonces . De donde se tiene queB − › .B − ∩ V›Ahora como tenemos queC − Q .C œ "C − W" "

Luego D œ BC − Ð ∩ VÑWß" ›

siguiéndose que ,› ›§ Ð ∩ VÑ † Wasí .› ›œ Ð ∩ VÑ † W

Esta última igualdad puede también escribirse usando como3ß 4 ,Ð4 ‰ 3Ñ œ› ›

y de la teoría de conjuntos concluimos que es inyectiva y sobreyectiva lo3 4cual deseabamos demostrar.

La proposición se puede comparar y fué inspirada en el siguiente#

resultado, bien conocido en este trabajo, de la teoría de cuerpos: Sea unRcuerpo y su cuerpo primo. Denótese con el conjunto de los cuerposO! ¾


intermediarios entre y y con el conjunto de los subgrupos delR O! º

grupo de automorfismos de que dejan fijo a . Si es una R O1

5! ¾ º

correspondencia de Galois entonces es sobreyectivo y es inyectiva.1 5

D‘’LLƒ

BIBLIOGRAFIA

- Artin E., , París, 1953.Galois Theory- Birkhoff & MacLane, , Edit. Teide, 1960.Algebra Moderna- Bourbaki, N., , Fascicule de Résultats, Herman, París,1958Théorie des ensembles- Castro, Ch. I., , Monografía No.7 U.N. Bogotá, 1980. Temas de Teoría de Cuerpos- Halmos, P.R., , Cecsa, México D.F., 1965.Teoría Intuitiva de Conjuntos- Herstein, I.N., , Blaisdell International, 1964. Topics in Algebra- Jacobson, N., , Vol.III, The Univ. Series in HigherLectures in Abstract Algebra Mathematics, D. van Nostrand Company, Inc., London, 1964.- Kaplansky, I., , Chicago, 1954.Introducción a la Teoría de Galois- Lang, S., , Addison-Wesley Publ. Co., 2a. Ed., 1967.Algebra- Merklen, H.A., , (Teoría de Cuerpos), MonografíaEstructuras Algebraicas V. No.22, OEA, 1979.- Muñoz, J.M., , 4a. Ed., U.N., 2002.Introducción a la Teoría de Conjuntos- Suárez, M.F., , X Col.de Mat. Colombia, 1980. Introducción a la Teoría de Galois- Suppes, P., , Editorial Norma, Cali, Col. 1968. Teoría Axiomática de Conjuntos- Zariski, O. & Samuel P. (with de Cooperation of Cohen,I.S.), Conmutative Algebra, Vol. I, U. Univ. Series in Higher Mathematics, 1958.

. .


Espero que el lector haya obtenido algún provecho de este trabajo en elaprendizaje de la teoría de cuerpos y de Galois.En esta forma se completa la parte del Álgebra propuesta en este proyectode aprendizaje en matemática avanzada..Exitos y bienvenidos a la investigación por internet.Cualquier comenterio favor hacerlo llegar a:

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Teoria Cuerpos Dario Sanchez 2004

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