Verificación numérica del comportamiento de la columna posterior a la crítica de Beck

El documento presenta un enfoque diferente en el estudio del comportamiento estructural de una columna en voladizo uniforme perfectamente elástica, sometida a las combinaciones de las fuerzas seguidoras muertas aplicadas en la punta. Las respuestas estáticas y dinámicas son simuladas mediante el programa explícito de elementos finitos LS-DYNA. Todas los posibles no-linealidades geométricas están incluidos en el análisis numérico. El artículo presenta el desarrollo FE modelo, su verificación, y varios ensayos numéricos muestran respuesta continua de la columna bajo escenarios de carga diferentes. El comportamiento posterior a la crítica la identificación de la divergencia, el aleteo, y el aleteo de salto se presenta y se compara con el mapa de estabilidad conocido basado en eigen curves doble. La estabilidad de un parámetro subtangential cerca a ½, también la re estabilización bajo fuerzas seguidoras también es investigado, y una nueva interpretación de las regiones en el mapa de la estabilidad que se propone.

Introducción

La historia de los sistemas de carga con las fuerzas seguidoras se inició en 1928 con las obras de Nicolai en la estabilidad de una barra en voladizo en la compresión y torsión. El problema estándar, de una columna en voladizo con una fuerza puramente seguidora, fue resuelto analíticamente por primera vez por von Beck en 1952 [. El problema de la inestabilidad de las estructuras sometidas a fuerzas puramente no-conservadora, aunque no muy común en la práctica de la ingeniería, ha estado continuamente presente en publicaciones desde los años sesenta cuando la primeras monografías sobre el tema fueron publicadas por Bolotin.

Muchas fuerzas seguidoras fueron consideradas puramente académicas y artificiales y sigue siendo muy criticado actualmente. El profesor Elishakoff concluye en su visión que la fuerza seguidora pura y aplicada estáticamente sin amortiguamiento debe ser considerado como un modelo no-útil. La principal razón para el escepticismo es insuficiente el número de validaciones experimentales de numerosos trabajos teóricos.

Incluso las consideraciones puramente teóricas sobre las estabilidades estáticas y dinámicas de los sistemas de carga con las fuerzas seguidoras puede ser atractivo a medida que descubren muchas características interesantes ya veces sorprendentes y hacer preguntas importantes. Uno de los atributos enigmáticos tal es el efecto desestabilizador de las pequeños amortiguamientos internos descubierto por primera vez por Ziegler para el péndulo doble. comportamientos diferentes, de "calma" a "violentos" aleteo, en las zonas cercanas a los límites de estabilidad ha dado lugar a algunas revisiones de la terminología en la estabilidad dinámica. Un gran esfuerzo se puso en el estudio de la estabilidad de la columna de Beck para un primer parámetro subtangential al valor de ½ , es el límite para la validez del análisis estática. La reestabilización de una columna abrochado por la fuerza seguidora

agregó, confirmó experimentalmente que es también una contradicción sorprendente práctica de la ingeniería regular.

En la actualidad hay un gran número de publicaciones relacionadas con las variaciones de la columna de Beck en términos de carga, condiciones de contorno, y la distribución de las propiedades de la sección transversal, y todavía hay comprobación experimental poca. Además, la mayoría de los trabajos de análisis se basan en un enfoque lineal, en los que se consideran pequeñas vibraciones. La validez de la aproximación lineal es limitada porque, como se demostró en las primeras obras, la estructura del cinturón pasa a través de grandes deformaciones de algunas configuraciones de carga. Teniendo en cuenta que las opiniones son de carácter puramente académico, no son de primordial importancia, el objetivo del trabajo presentado se limita a un nivel de Beck columna, pero considera todas las posibles no-linealidades geométricas. El estudio se orienta hacia una visión más profunda sobre el comportamiento estructural posterior a la crítica la identificación de la divergencia, el aleteo, y el aleteo de salto.

La mayoría de las obras de la aplicación de métodos de elementos finitos se dedican a problemas de optimización. Los documentos sobre análisis de elementos finitos de la estabilidad no lineal de las columnas de Beck suelen presentar un desarrollo de sus propias formulaciones de elementos finitos y algoritmos de solución para el problema de valores propios]. Hay una falta de trabajo en el que el comportamiento de una columna de Beck (o similar sistema simple no-conservador) se traza de forma incremental a través de simulaciones por ordenador para un intervalo de tiempo específico []. Como se muestra a continuación, la simulación como se puede realizar con la ayuda de un elemento objetivo general finitos (FE) programa basado en la integración en el tiempo explícito. Para este estudio, el programa de LS-DYNA [21], ampliamente reconocido en las industrias automotriz y aeroespacial, se utilizó. El esquema explícito pertenece a métodos puramente incremental y es aplicable a problemas dinámicos transitorios. En los métodos explícitos, las ecuaciones de movimiento son generalmente resueltos mediante el método de la diferencia central, con intervalos de tiempo muy pequeño. Los programas comerciales en función del tiempo explícita la integración de sistema, tales como LS-DYNA, se han encontrado para ser una herramienta eficaz para la solución de problemas altamente no lineales con áspera no linealidades debido al contacto, la fricción, o el fracaso. La idea que se analiza aquí es llevar a cabo una serie de pruebas numéricas en un sistema geométrico no lineal que consiste en una columna tema de Beck a las configuraciones de carga de ejemplo. Las simulaciones por ordenador devolver los resultados en términos de los tiempos marcados de los desplazamientos, velocidades, aceleraciones, y las reacciones. El objetivo es rastrear el comportamiento de la columna en la transición a través de los límites de las regiones de estabilidad diferentes y comparar los resultados con datos publicados analíticos y experimentales. Los ensayos virtuales presentado, a pesar de algunas limitaciones, ofrece resultados realistas, incluyendo grandes deformaciones que casi siempre están presentes para cargar excesivamente críticos. Se cree que estos resultados numéricos obtenidos con la ayuda de un código de comercio es un valioso complemento a los datos experimentales limitados.

El resto de este trabajo se puede dividir en dos partes. La primera parte comienza con la descripción de los problemas considerados en la Sección 2. Secciones 3 y 4 elementos presentes finitos (FE) desarrollo del modelo, su verificación, y un estudio paramétrico. La verificación se realiza a través de una comparación de los resultados numéricos con soluciones exactas para los casos no lineales. El estudio paramétrico se dedica a encontrar el sistema más preciso y eficiente de los parámetros de entrada para el modelo de elementos finitos. La segunda parte, comenzando con la Sección 5, informes y analiza los resultados obtenidos en simulaciones por ordenador de una selección de ensayos numéricos. La mayor parte de los resultados se presentan de una manera universal en términos de cantidades adimensionales.

Descripción del problema

Un caso normal de dos dimensiones de la figura. Uno se estudia en el que una columna en voladizo tiene uniformenete distribuida una masa (m) y rigidez a la flexión IE, donde E es el módulo de elasticidad e I es el momento de inercia. Se supone que el material está perfectamente elástico con E el módulo de Young . El amortiguamiento interno no se considera en el presente trabajo. La amortiguación externa también puede considerarse como proporcional a la velocidad (es decir, viscosa) amortiguación.

Fig. 1.Uniforme sujeta la columna en voladizo a la combinación de carga muerta PD = (1-γ) Pγ y seguidor de la fuerza PF = γPγ en la punta A.

La carga total P aplicada en la punta A está compuesta de dos fuerzas, una carga muerta, constante-direccional y una fuerza tangencial

seguidora definiendo el nivel de carga: cuando la columna esta recta, Pγ es igual a la fuerza resultante. El coeficiente “γ” identifica la disposición de la carga; para γ = 0, la carga es puramente conservadora, y para γ = 1 es perfectamente seguidora (tangencial). La representación más común de carga, tales como una sola fuerza Pη subtangential actuando en un ángulo

de ηα, donde α es la rotación del extremo de la extremidad (ver Fig. 1.), Es válida sólo para pequeñas rotaciones y no es físicamente significativo para grandes rotaciones. Ciertamente, para el parámetro subtangential (también llamado el parámetro no prudente) η = 0 o 1, no hay igualdad con los casos γ = 0 y 1, respectivamente. Para comparar los resultados con los datos publicados obtenido usando el concepto de la fuerza subtangential, es necesario encontrar relaciones entre las dos configuraciones de carga. Vamos a suponer que para la α misma rotación, tenemos dos configuraciones de carga equivalente, que los mismos componentes horizontal y vertical.

A partir de (1), podemos encontrar la relación entre carga y carga de los

niveles configuración de los parámetros η y γ de α rotación arbitraria. En primer lugar, nos encontramos con la adición de pηγ cuadrados de la ecuación. (1), y luego nos encontramos con η de la primera ecuación.

La figura 2 muestra una variación de la carga pηγ nivel de relación y la proporción de carga de configuraciones η / γ para la α rotación punta final cambia de 0 ° a 160 °. Se puede observar que para las rotaciones grandes la diferencia puede ser sustancial. Este hecho debería tenerse en cuenta durante

la interpretación de los resultados y las comparaciones con soluciones conocidas.

En cuanto a las desviaciones grandes, es conveniente utilizar un enfoque con una expresión exacta para la curvatura de la barra aplicada para la llamada elástica. En este caso, la ecuación diferencial de la curva de deflexión se formula para el ángulo θ entre la tangente al eje inclinado y la vertical, en función de la longitud s de la curva medida desde el extremo de la extremidad A. El uso de este enfoque, Rao y Rao , en una serie de documentos, presentados no lineales soluciones exactas de análisis de la inestabilidad estática y soluciones semi-analítico para la estabilidad dinámica no lineal. Tras este totalmente geométrico enfoque no lineal, la ecuación que rige el movimiento de la columna se muestra en la figura. 1 sin internos y con externos amortiguamientos indicados por el coeficiente C se puede escribir comola contracción del eje de la columna se pasa por alto. En la relación por encima del momento-curvatura, Mx y Mz se indican momentos producidos por la acción de los componentes horizontal y vertical de inercia (en el sentido del principio de d'Alambert's), respectivamente, y las fuerzas de amortiguación que actúa sobre la parte de la columna por encima de los considerados sección transversal. En las consideraciones presentadas en el segundo momento Mz se descuidó, sin embargo, para grandes deformaciones de la columna, las aceleraciones y velocidades resultantes no sólo son horizontales. Para pequeñas deflexiones, suponiendo y dejar de lado los desplazamientos verticales, obtenemos las ecuaciones linealizadas que han sido explorados en muchas publicaciones y variando en función de los componentes, tales como carga de amortiguación, adicionales, o al final de masa se tienen en cuenta. Hay que recordar que el enfoque lineal se limita a pequeñas vibraciones en todo el estado columnas rectas. Incluso cuando se provoque pequeñas vibraciones en torno a desviar el equilibrio, para comprobar su estabilidad en el sentido de Lyapunov, tenemos que incluir los efectos no-lineal si la desviación inicial es grande.

Vibraciones pequeñas, de forma periódica sobre el equilibrio sin deformar se puede encontrar como una solución de la ecuación lineal. (en la siguiente forma general,

la respuesta de un sistema perturbado depende de la ubicación de los máximos exponentes λ en el plano complejo. Estos lugares están determinados por el equilibrio investigado correspondiente a la carga considerada. A medida que aumenta la carga y el sistema se mueve a través de estados de equilibrio posterior, los valores propios "viaje" en el plano complejo. Si todos los exponentes λ permanecer en el lado izquierdo de medio plano (β ≤ 0), la alteración es limitada, y el equilibrio investigado es estable. Para poner a cero la carga, los valores propios son puramente imaginarios (β = 0), y ω son las frecuencias naturales de un sistema de descarga elástica. Si sólo uno de λ cruza el eje imaginario y entra en la mitad derecha del plano, el equilibrio se vuelve inestable. La carga correspondiente a la transición a través del eje

imaginario y la separación de estados estables e inestables es crítica. Dos formas básicas de transición de la estabilidad a la inestabilidad se han identificado [4]. Si λ entra en la mitad derecha del plano por el origen y sigue siendo real, es decir, β> 0 y ω = 0, los desplazamientos crecen monótonamente con el tiempo, y no hay inestabilidad estática (que también se llama divergencia). Si uno de λ entra en la mitad derecha del plano en cualquier otro punto, el comportamiento es oscilatorio, con una amplitud cada vez mayor en el tiempo, y que actúa como una indicación del aleteo. Esta transición es generalmente acompañado de un encuentro de dos valores propios λk → λl (βk → βl → 0 y ωk → ωl) antes de cruzar el eje imaginario, y la condición de la igualdad de dos frecuencias naturales ωk = ωl indica aleteo [4].

Utilizando el enfoque lineal y el análisis de valores propios, los mapas de estabilidad, como la que se muestra esquemáticamente en la figura. 3 se han desarrollado y modificado por muchos investigadores. modificaciones posteriores se refieren a la región y el efecto desestabilizador de las pequeñas amortiguamiento interno y doble eigencurves [20]. Las curvas de la figura. 3 representan la relación entre la dimensión crítica subtangential carga pη =

y el parámetro η subtangential, parcialmente mostrando los límites entre las regiones estables e inestables.

Estabilidad mapa que muestra la relación entre la dimensión crítica de carga η subtangential parámetro pη = Pηl2EI-1 y subtangential.

La curva 1 se obtuvo en como una solución exacta del problema de valores propios de la ecuación. (3), utilizando el criterio estático,

De (6), se ve que el criterio estático es válido sólo para . La curva 1, lo que representa es las mas pequeñas soluciones de la ecuación (6), separa

dos regiones, estables para e inestable para Cuando la carga llega por encima del valor crítico, el equilibrio de la recta no deformada es inestable, y la columna se mueve a un nuevo equilibrio desviado. Este tipo

de inestabilidad se llama inestabilidad estática o divergencia. La curva 2 presenta el segundo valor propio de (6) para el seno-1 teniendo valores en el rango [-2π, -1.5π]. El significado físico de esta curva como límite entre las regiones estables e inestables se estudia en la sección 4, utilizando el método de elementos finitos. Mediante la formulación de elementos finitos al examinar la naturaleza de los valores propios, se concluyó que para la carga combinada, así como para pequeños valores del parámetro la inestabilidad es divergente para todos los niveles de carga. La curva 3 se ha calculado para un sistema sin amortiguamiento interno con un criterio dinámico. Como se mencionó en la introducción, la carga crítica para η = 1 se calculó por primera vez por von Beck. Hubo una investigación intensiva de la carga crítica para η cercano a ½. Para un sistema sin amortiguamiento, la región por debajo de esta curva es oficialmente estable. La curva 4 es para un sistema con pequeños amortiguamientos internos, que pueden ir acompañados de pequeños amortiguamientos externos. El sistema de pequeños amortiguamientos es estable sólo por debajo de esta curva. Es evidente en la figura. 3 que la curva 4 reduce la carga crítica en casi la mitad. La región entre las curvas 4 y 3 se considera "cuasi-estable" incluso con muy pequeños amortiguamientos, que están siempre presentes en las estructuras reales, causas de aleteo. Sin embargo, para la pequeña amortiguación que está presente, este alboroto es "tranquilo", mientras que por encima de la curva 3, el aleteo es violento.

Resumiendo la figura. 3 muestra que la divergencia sólo puede ocurrir si. Cuando, la inestabilidad se presenta en forma de flutter tranquila o violenta. De acuerdo con el mapa de la figura. 3 para un modelo sin amortiguación y 0,3543<η≤0,5, aumento de la carga proporcional debe causar divergencia, re estabilización y a continuación aleteo. Para 0,32 <η ≤ 0,3543, no puede haber divergencia o aleteo de una mayor carga. Los resultados numéricos presentados en la Sección 5 comprueban la respuesta de la columna previsto de acuerdo con el mapa de la estabilidad en la figura. 3.

3. Modelo de elementos finitos

Todas las simulaciones por ordenador que aquí se presenta se llevaron a cabo para una columna caracterizada por los datos seleccionados se presentan en la Tabla 1. Para mayor comodidad del lector, las propiedades en la tabla 1 se muestran dos sistemas de unidades coherentes, la utilizó por primera vez para la entrada directa en los modelos FE-milímetro, en segundo lugar, las toneladas-y el segundo sistema-metro, kilogramo segundo. El supuesto conjunto de datos es fácil para el cálculo de las cantidades adimensional que se utiliza para la presentación de los resultados, y al mismo tiempo, todas las propiedades están dentro del rango de cantidades físicas reales, comparables a los datos del experimento citado en [29] S. Wolfram, El libro de Mathematica (ed cuarto.), los medios de comunicación Wolfram y Cambridge University Press (1999).

Table 1. Propiedades de la columna simuladas por el computador

PropertyUnits—mm, s, t (used in

the FE model)Units—m, s,

kg

Cross-sectional area, A 120 mm2 1.2*10−4 m2

Moment of inertia, I 103 mm4 10−9 m4

Elastic modulus, E 104 N mm−2 10 GPaBending stiffness, EI 107 N mm2 10 N m2

Density, ρ 10−9 t mm−3 103 kg m−3

Mass per unit length, m 1.2*10−7 t mm−1 0.12 kg m−1

Column length, l 103 mm 1 m

First natural frequency 5.1078 s−1 5.1078 s−1

Euler's critical load PE=π2EI/(2l)2 24.67 N 24.67 NBeck's critical load PB=20.05EI/l2 200.50 N 200.50 N

La Fig. 4 muestra el modelo de elementos finitos de la columna en voladizo considerada y usada para las simulaciones por ordenador. El mismo sistema de coordenadas como en la figura. 1 se utiliza aquí. El modelo consta de 20 o 25 elementos idénticos viga deformable y un elemento adicional travesaño rígido en la parte superior de la columna, sobre el nodo 3, donde se aplica la carga. El elemento rígido de 10 mm de longitud y la masa se reduce estrictamente vinculado con tres nodos sin masa espaciados 100 mm de lado en X, Y, y Z. La masa del elemento rígido es igual al 3,5% de la masa de la columna y se asigna de forma automática por el programa. La tríada se traduce en nodos sin masa y gira en la misma forma que el extremo de la punta en la columna. Se utiliza para el cálculo de las rotaciones extremo de la extremidad α sobre la base de los desplazamientos registrados de los nodos 3 y 363, y sirve como definición de la tangente. El primer nodo en la base es fija y tiene los 6 grados de libertad restringidos. El resto de los nodos, hasta el nodo 3, están limitados sus desplazamientos en “Y”, sólo para desplazamientos en el plano xz se consideran. La carga básica consiste en dos (en función del tiempo o constante) componentes aplicados en el nodo 3 y se define como fuerzas concentradas, fuerza vertical muerta PD y la fuerza seguidora tangente PF (ver Fig. 1.). El componente seguidor de carga se define actuando a lo largo de la normal al plano determinado en los nodos 3, 4 y 5. Además se aplicó por lo general una pequeña fuerza horizontal PI = 0,01 N que actúa como un impulso al inducir una pequeña vibración. Esta fuerza es necesaria para "romper" la simetría de las ecuaciones y las condiciones de contorno iniciales, permitiendo la definición del modelo de elementos finitos de la columna perfectamente recta. Sin esta perturbación de la simulación por ordenador se reflejara únicamente la solución simétrica, lo que corresponde a la vibración longitudinal de la columna recta bajo cargas verticales. De esta manera, las soluciones numéricas incrementales siguen el camino para una columna que no sea desviada más allá del nivel crítico de carga. Cada una de las fuerzas está definida por una magnitud (factor de escala) y en función del tiempo. La fuerza horizontal se aplica como un impulso triangular simétrico de 0,2 s, ver fig. 8.

En la primera etapa del desarrollo del modelo, se estudió los resultados de la influencia del tipo y el número de elementos. Para encontrar el conjunto óptimo de parámetros que definen el modelo, los resultados de varias pruebas se compararon. Las pruebas seleccionadas para la verificación modelo de elementos finitos, que se describe en la siguiente sección, se refieren a los casos de carga para los que no se conocen soluciones. El mejor rendimiento se obtuvo para el elemento de la viga Hughes-Liu, por lo que este tipo de elemento fue elegido para los cálculos posteriores. Para el análisis estándar estático de elementos finitos, se supone que el aumento de la densidad de malla asintóticamente debe generar una solución más a la solución exacta del modelo matemático. Para el análisis dinámico, con tiempo de integración explícito, un mayor número de elementos uniformes reduce el paso del tiempo, que es proporcional a las dimensiones de los elementos. Un mayor número de pasos de tiempo no sólo aumenta el tiempo de cálculo, pero también puede aumentar los errores, sobre todo para largos períodos de tiempo simulado.

Se comparan dos espectros de potencia para las pequeñas vibraciones libres de dos columnas con 20 elementos finitos cada uno, con y sin partes rígidas. El caso, sin amortiguación considerado se presenta en la Tabla 2.

Tabla 2. Propiedades de la columna seleccionada para simulaciones por ordenador.

Input FE results Analytical

DG (s−1)

Damping factor ζ=DG/DGcr

Average logarithmic decrement

Dominant frequency (s−1)

First natural

frequency (s−1)

0 0 0.00063 5.005 (5.006a) 5.10780.01 3.12*10−4 0.00162 5.005 5.10780.1 1.56*10−3 0.01066 5.005 5.1078

1 0.0156 0.10053 5.005 5.1072

6.4186 0.1 0.64546 4.943 5.0821

Fig. 5 comparaciones de las historias del tiempo en la punta de la coordenada z de cuatro modelos de elementos finitos con un número

diferente de elementos. Bajo carga muerta causando una rotación α = 60º. Ver Tabla 3.

Fig. 6 muestra el efecto de la parte rígida.

En el caso considerado, la columna se tuerce hacia abajo por el efecto de la carga muerta que supera el valor crítico. El resultado exacto de análisis para este caso se presenta en la Tabla 3 y se explica en la siguiente sección. Por último, el modelo con 20 elementos deformables (más uno rígido) fue elegido por mayoría de las simulaciones. Sólo para los casos de carga en el que pequeñas oscilaciones son investigados para los estados cerca de los críticos, el modelo con 25 elementos se utilizó como más estable.

Las propiedades del material elástico se muestran en la Tabla 1 y la longitud de un elemento determina el intervalo de tiempo de integración, 1,23E-5 s. Para la mayoría de los casos considerados, el período máximo de tiempo simulado fue de 20 s. Se comprobó que, incluso para 70 s, la simulación por ordenador para este modelo bajo cargas estáticas conservadoras sobre el nivel crítico ofrece resultados estables, aunque más tarde se produjo un desplazamiento gradual de la solución que resulta en un incremento de los desplazamientos. El límite de tiempo para una simulación por ordenador fiable depende de la hipótesis de carga y su intensidad.

Verificación de modelo FE

4.1. Vibración libre con amortiguamiento viscoso externos

Con el fin de encontrar posiciones de equilibrio estático con un enfoque dinámico, es necesario para amortiguar las vibraciones causadas por las variaciones de carga en el tiempo. La opción llamada mundial de amortiguación se utilizó para el modelo de elementos finitos. Esta opción es una masa viscosa nodal linealmente ponderada con atenuación aplicada para todos los nodos de los cuerpos deformables y al centro de masa de los cuerpos rígidos. Las fuerzas de amortiguación se aplica a los nodos se calculan como

donde mnodal es la masa ganglionar y v representa la velocidad nodal. El coeficiente DG es especificado por el usuario por lo general como ζ fracción del amortiguamiento crítico que se define como “igual al doble de la menor frecuencia circular natural”:

donde ζ es llamado el factor de amortiguamiento. Para la columna con propiedades que figuran en el Cuadro 1, la frecuencia natural es f = 5.1078 s-1 y el coeficiente crítico global de amortiguamiento DGCR = 64.186 s-1. La Tabla 2 muestra los resultados numéricos de la vibración libre para diferentes valores del parámetro DG. La vibración se inicia al comienzo de la simulación por el impulso de fuerza PI. Los resultados de los ejemplos de la simulación por ordenador se muestran en la figura. 7 para la columna con la DG de amortiguamiento global DG = 1.0s-1. La Fig. 7 muestra la evolución temporal del desplazamiento horizontal y el espectro de potencia correspondiente calculado utilizando transformada rápida de Fourier (FFT). El espectro de potencia se

utiliza para determinar las frecuencias dominantes en comparación con las frecuencias calculadas analíticamente naturales para una amortiguación de vibración libre. Las magnitudes de las frecuencias calculadas sobre la base de los resultados FE dependerá un poco en la selección de la serie de sesiones de la señal de FFT, pero los datos obtenidos son en buena correlación con el valor de la primera frecuencia natural. Para poner a cero la amortiguación, la frecuencia dominante está también cerca de la primera frecuencia natural calculada utilizando el análisis de valor propio. El análisis de valor propio aquí tiene una aplicación limitada, el análisis no puede ser utilizado para las fuerzas seguidoras (el cálculo da formalmente la misma que para la carga conservadora) y da los valores correctos para la carga supercrítica. Sin embargo, LS-DYNA permite la realización de análisis intermitente con valor propio en el que para las instancias de tiempo específico del análisis transitorio los valores propios se pueden extraer, teniendo en cuenta el estado actual de la estructura. De esta manera, la disminución en las frecuencias libres debido a la carga cada vez mayor axial se puede demostrar a la carga crítica. Para mostrar el efecto de la aplicación de amortiguación, los decrementos logarítmicos se calculan como el valor promedio de once pares seleccionados posteriores de las amplitudes situadas en el eje de tiempo después de la respuesta transitoria a la carga de impulso.

La vibración de la columna iniciado por la fuerza de impulso PI = 0,01 N y para la DG = s 1-1: (a) la historia del tiempo de desplazamiento relativo

xA / l, y (b) espectro de potencia.

4.2. Las cargas críticas

La carga crítica para el modelo de elementos finitos bajo la fuerza axial muerta PD = Pγ=0 se puede calcular fácilmente utilizando el análisis de bucles. El primer valor propio de pandeo para los bucles de valor propio es que está cerca del PE valor exacto de Euler que se muestra en la Tabla 1. La bucle implícito de análisis es válido sólo para la carga conservadora, así que cuando las fuerzas seguidoras están presentes otras técnicas deben utilizarse para determinar la carga crítica. La figura 8 muestra los resultados de la simulación de elementos finitos de la columna cargada con una fuerza muertaen el tiempo. Dentro de 1 s, la carga aumenta de 0 a 0.973*PE y luego aumenta lentamente hasta el valor de PE*1.070 en t = 20 s, cuando la simulación finaliza.

Tiempo de historias de: (a) impulso de carga, (b) la carga muerta, (c) la reacción vertical Rz / PE, y (d) xA desplazamiento horizontal / l.

Además, en el instante t = 0,1 s, el impulso de carga P I = 0,01 N (0.00041PE) se aplica para romper la simetría. La respuesta a este escenario de carga es presentada por los dos diagramas de la parte inferior de la figura. 8. La de la izquierda muestra la evolución temporal de la reacción vertical Rz/ PE

y el diagrama de la derecha muestra el desplazamiento horizontal relativa xA/l en el tiempo. Cuando la carga alcanza el valor crítico, los bucles de la columna, y el desplazamiento horizontal, empiezan a crecer, lo que también está indicado en la evolución temporal de la reacción. Aunque la simulación capta el pandeo, es difícil determinar con precisión el momento en que la deformación ocurre y, a su vez el valor real de la carga crítica. En el diagrama se muestra la reacción vertical, no visible por un retraso causado por los efectos de la inercia. En la Fig. 9 muestra los resultados para el escenario siguiente carga en que se aplica la carga muerta en los primeros segundos y luego se mantiene constante. En t = 5 s, el impulso horizontal se aplica. En la Fig. 9 se presentan los resultados de los tres niveles de carga cerca de 0.932, 0.973 y 1.000 del PE. La respuesta a la pequeña perturbación indica si la carga está por debajo del valor crítico o no. Esta es la aplicación práctica de la definición de estabilidad de Lyapunov. Por último, la figura. 10 muestra los resultados de la columna sujeta a pura fuerza seguidor PF = Pγ = 1. El escenario de carga es similar a la mostrada en la figura. 8. Dentro de 1 s, la fuerza seguidora aumenta de 0 a 0.9*PB y poco a poco crece hasta 1,0 * PB al final de la simulación. La fuerza PB indica la carga seguidora crítica calculada de Von Beck y está dada en la Tabla 1. Fig. 10 donde se muestran las historias de tiempo de reacción en relación Rz/PE y el desplazamiento xA/l para toda la simulación y por el período de tiempo seleccionado cuando el aleteo comienza. Suponiendo que en el diagrama de desplazamiento horizontal la inestabilidad se inicia en el instante t

= 16,25 s, podemos leer en el diagrama de la reacción a la aproximación de la

carga crítica como . Esta aproximación de la carga crítica se

puede expresar como y está más cerca del valor de 19,77 EI/l2 calcula Deineko y Leonov. La Fig. 11 muestra cuatro fotos secuenciales de la deformación causada por el alboroto, que se tomaron cada 0,01 s.

La vibración de la columna comprime iniciado por la fuerza de impulso PI = 0,01 N aplicado en t = 5 s.

Respuesta de la columna cargada con una fuerza puramente seguidor de: (a) los tiempos marcados de reacción relativa Rz / PB, y (b)

desplazamiento horizontal xA / l.

Instantáneas de la deformación causada por aleteo de columna cargada por la fuerza puramente seguidor.

Tabla 3: Comparación de datos de carga – desviación para los bucles de la columna

Calculada por elementos finites para 25 elementos deformables

Obtenemos

Una solución no nula de (13) existe solo para valores de carga

de configuración del parámetro “γ”· para los que la función es positiva. Concentrado la carga crítica, podemos considerar sólo pequeñas deflexiones que en pequeñas α. De acuerdo con (1) y (2) y la figura. 2 para ángulos

pequeños, se pueden sustituir con el parámetro de carga “γ” con el

parámetro matemático subtengencial utilizando relaciones

Después de una cuantas transformaciones trigonométricas, la función en (13) se puede simplificar por

La Ecuación (15) es analizada donde para la condición de soluciones no

triviales se formula y la solución exacta (6) definida en la curva 1 de la figura. 3. Esto significa que la curva 1 es también válida

cuando se coloque el parámetro subtangential con el parámetro de carga “γ” y las diferencias se encuentran a la hora de considerar los estados con deflexiones y grandes rotaciones.

Regresando a (13) y teniendo en cuenta que un negativo corresponde un positivo ds (Fig. 1), podemos obtener

La longitud total de la columna es igual a la integralde

En la ecuación (17) se permite calcular la carga Pγ (relativa) para el ángulo en la punta extrama dada y usando (10) también correspondiendo con las coordenadas XA y Za

Para verificar el modelo de elementos finitos, se puede considerar como

un caso especial de la columna sujeta a carga muerta solamente. Para y

funciones simplificadas a la forma

Las soluciones de las ecuaciones. (17) y (18), variables basados en integrales elípticas, se pueden encontrar para valores seleccionados de α. En la Tabla 3 comparan los resultados con los valores numéricos. En las simulaciones por ordenador, la columna se carga con el peso muerto aumentando linealmente desde cero a los valores obtenidos de la Tabla 3 y luego se mantienen constantes. Además, a principios de la simulación, el impulso de carga se aplicó inducida a pequeñas vibraciones transversales. Los amortiguamientos globales DG = 1 s-1 1 se aplicó a vibraciones después del pandeo de la columna. En la Fig. 12 se muestran las deformaciones de la columna debidas a los bucles calculados para los más críticos valores de carga especificados en el cuadro 3. Para la carga cerca del valor crítico y correspondiente a α= 20º, el modelo de elementos finitos construido con 25 elementos fue usado para dar los valores de los resultados mas estables. De cualquier forma el modelo de elemento finito con 20 elementos da un mejor rendimiento para grandes cargas, ver fig. 5.

La Fig. 13 muestra la primera de las relaciones (18) para las cargas combinadas pá vs el angulo α en la punta para los parámetro de carga γ y variaciones de 0 a 0.5. Las integrales (17) fueron calculadas numéricamente usando el programa Mathematica. Para γ exactos iguales a 0.5, el limite menor fue cambiado a 1E-15 para permitir la singularidad de problemas con La verificación del modelo de elementos finitos combinado de cargas e presenta en el Cuadro 4, donde los valores numéricos , ángulo α, y desplazamientos relativos xA/l y zA/l se comparan a las magnitudes calculadas para los valores seleccionados de un α usado (18) y el programa Mathematica .Generalmente buena correlación se ha alcanzado entre el modelo de elementos finitos y los resultados semi-analíticos, aunque para el equilibrio de los estados α = 20º con cargas cerca de la crítica, la respuesta del modelo de elementos finitos (también construida de 25 elementos) deriva artificiales experiencia para evitar mayores desplazamientos similares demostrado en la figura. 5. Para el de γ = 0,497 y α = 1,001, la primera simulación no se ha traducido en el estado de equilibrio del bucle , y en el el escenario de carga fue cambiado.

La columna se carga por primera vez a 4.299PE correspondiendo conα = 60º, y el después de unos segundos, cuando las vibraciones de lala columna bucleada fue amortiguada, la carga se incrementó a la6.090PE con el valor de α = 100º. El tiempo – historia de losdesplazamientos horizontales (con diferentes escalas para el eje de ordenadas) para ambos escenarios de carga se comparan en la figura 14.

Fig. 12. Deformaciones de los bucles de la columna sobre kas cargas críticas muertas especificadas en la Tabla 3.

Fig. 13 Cargas combinadas PT vs El angulo en la punta para parámetro de carga variable de 0 a 0.5.

Conclusiones

El artículo presenta las pruebas virtuales del comportamiento estructural de la columna de Beck, una columna en voladizo sujetos a una serie de cargas conservador y no conservador. El énfasis de este estudio fue la verificación y aplicación de análisis dinámico transitorio FE basado en la integración de tiempo explícito. La verificación se realizó a través de una comparación de los resultados disponibles FE con soluciones analíticas y semi-analíticos. En general, se logró una buena correlación para la mayoría de los casos considerados. Sin embargo, existen algunas limitaciones para los cálculos FE. Se reconoció que la respuesta de los modelos aplicados haz FE depende del número y tipo de elementos. Los modelos con un gran número de pequeños elementos experiencia deriva de error para los casos de carga constante. El régimen de tiempo de integración explícita requiere pasos de tiempo muy pequeño y está dedicado a los problemas transitorios que ocurren dentro de los intervalos de tiempo relativamente corto. Se encontró que para la mayoría de los escenarios de carga en cuenta los resultados estables se proporcionan para los 70 s. La mayoría de las pruebas numéricas se programaron durante 20 s. Los modelos FE también están limitadas en cuanto a la deformación, los tipos de cepa, y los niveles de carga. Muy aleteo intensiva causando grandes deformaciones puede causar la terminación prematura de análisis, por lo que es imposible rastrear el comportamiento de la columna de elevados niveles de carga.

Por otro lado, hay muchas ventajas de la técnica de solución presentada. Las pruebas virtuales que aquí se presenta la simulación de experimentos reales secuencialmente, proporcionando una respuesta de la columna obtiene al resolver las ecuaciones numéricamente. Este enfoque no se limita sólo a la investigación de las oscilaciones de estado de equilibrio en torno a la configuración recta. Los resultados presentados depende de la variación de carga en el tiempo y en la instancia de tiempo en el que se rompe la simetría del modelo por parte de la carga de impulso. De esta manera, la estabilidad de una columna bajo cargas específicas pueden ser investigados, y el comportamiento estructural global puede ser rastreado para aumentar gradualmente (y menor) de carga. El acceso fácil y rápido a toda la información de salida, la flexibilidad, y el lugar de bajo costo las simulaciones por ordenador de las herramientas eficaces. Una simulación de la prueba de duración de 20 s tarda unos 5 minutos en un PC normal hoy en día.

Método directo para el análisis de la viga en voladizo flexible sometido a dos fuerzas seguidoras

Introducción

Hay muchos estudios de investigación tratando el gran problema-deformación de una viga en voladizo sometida a una fuerza seguidora. Argyris y Symeonidis en su papel fundamental realizó un análisis estático no lineal geométrico de voladizos en cantiléver sometidos a cargas seguidoras por el método de elementos finitos, encontrando las cargas de flameo crítico. Los diferentes métodos se han aplicado en soluciones para la flexión de grandes voladizos uniformes sometido a cargas concentradas seguidoras o distribuidas por Saje y Srpcic. Cuando las cargas seguidoras están en la punta-concentrada (normal o tangencial al eje deformada de la viga en voladizo), este método conduce a un sistema de ecuaciones trascendentales que se pueden resolver sin iteración]. Rao. Estudió grandes desviaciones de voladizo uniforme y no uniforme de las vigas con cargas punta de rotación mediante el método de disparo. En particular, el caso cuando la fuerza en el extremo libre mantiene un ángulo constante con el eje de la viga se consideró. Las deflexiones grandes y comportamiento de estabilidad de vigas en voladizo sometida a la fuerza seguidora transversal (utilizando el método de elementos finitos) fue estudiado por Vitaliani. Detinko presenta la solución analítica cerrada del problema a gran deflexión de vigas en voladizo y arcos circulares de sección uniforme, sometido a las fuerzas seguidoras terminales. Las soluciones elástica de una viga uniforme en voladizo bajo dos fuerzas seguidoras proporcionales normal al eje de la viga deformada se obtuvo con la ayuda del principio de similitud elástica por Hartono.

Los métodos numéricos directos para el problema de gran desviación de un voladizo no uniforme en una fuerza seguidora en voladizo concentró propuesta. Se muestra que no hay cargas estáticas crítica (divergencia) por cualquier flexión, la rigidez de distribución y los ángulos de inclinación de la fuerza de seguidor. Es de interés para evaluar la validez de los diferentes estados del voladizo bajo unas pequeñas fuerzas seguidoras.

En el presente trabajo, els e trata el problema de gran deflexión de una viga en voladizo no uniforme bajo dos fuerzas seguidoras concentradas. Los ángulos de inclinación de las fuerzas con respecto al eje la deformada de la viga se suponen constantes. La formulación matemática de este problema produce un problema no lineal de los límites de valor de dos puntos que se reduce a un problema de valor inicial por el cambio de variables. La ventaja de este enfoque es que el problema puede ser resuelto sin iteraciones. Dado que la solución del problema de valor inicial es único, la divergencia no se produce. Por lo tanto, la viga elástica en voladizo en cuestión puede perder la estabilidad sólo por el alboroto. En particular, si las fuerzas seguidoras son tangenciales, la forma rectilínea de la viga en voladizo no uniforme es la única configuración posible equilibrio. Algunas configuraciones de equilibrio de un voladizo uniforme en las fuerzas seguidoras normales o tangenciales se presentan.

2. Formulación del problema

Consideremos una viga cantilever rectilínea no uniforme que tiene longitud L y rigidez a la flexión de la IE (s) sometida a dos fuerzas seguidoras concentradas. La fuerza de P1 se aplica al extremo libre del voladizo, mientras que P2 se aplica a una distancia “L” del extremo libre (Fig. 1). Los ángulos de inclinación de las fuerzas con respecto al eje deformada de la viga se mantienen constantes. La longitud del arco medido desde el extremo libre y la pendiente del eje centroidal de la viga se denota por s y (s), respectivamente. Usando la ley de Euler-Bernoulli de los estados de flexión, la ecuación diferencial no lineal que rigen el comportamiento de la viga se puede obtener con las condiciones de contorno

Con las condiciones de contorno

Los ángulos α1 = α2 = π / 2 corresponden a las fuerzas seguidoras que actúan en dirección perpendicular al eje de deformación de la viga, los ángulos α1 = α2 = 0 corresponden a las fuerzas seguidoras tangenciales.

Fig. 1. Viga en voladizo bajo dos fuerzas seguidor.

Una vez que la pendiente se ha encontrado, las coordenadas cartesianas del eje de la viga se determinan fácilmente a partir de las relaciones:

3. Método de solución

Los valores de dos puntos de contorno no lineal de problemas similares a la formulada anteriormente por lo general son resueltos por métodos iterativos problemas. De acuerdo con el método, el problema no lineal del límite de valor de dos puntos se puede reducir a un conjunto de problemas de valor inicial y el valor inicial desconocido se determina iterativamente. Es bien sabido que la convergencia del proceso iterativo depende de la proximidad de la estimación inicial de la solución particular buscada. Además, los problemas similares de valores de contorno conservadores (viga flexible en voladizo sometido a fuerzas inclinadas muertas) admiten múltiples soluciones de equilibrio.

Se puede demostrar, sin embargo, que el problema formulado anteriormente puede resolverse por el método directo, sin iteraciones.

Vamos a introducir una nueva variable:

Como resultado, el problema de las condiciones de contorno se reduce al problema del valor inicial

con la condición adicional

Introducción a la notación

el problema se puede reducir a la normal del sistema de ecuaciones diferenciales no lineales

Las ecuaciones (9), (10) se pueden integrar en un intervalo por un método numérico estándar. De la ecuación. (7) el valor de la pendiente de la punta de la viga

y los valores de la (s) se calculan mediante la fórmula

que se deduce de la ecuación. (4). Así, en contraste con el método el problema se resuelve sin considerar iteraciones.

4. Análisis y resultados

La solución del problema del valor inicial (5), (6) es único para una función continua de la IE (s) y cualquier valor fijo de. Si las fuerzas seguidoras son tangenciales (α1 = α2 = 0), el problema tiene una solución única

lo que significa que la configuración recta es sólo una configuración de equilibrio de la viga. Por lo tanto, el voladizo considera vigas que no tienen cargas críticas en el sentido de Euler (divergencia) de cualquier distribución de la rigidez a la flexión, a lo largo de la viga. De ello se deduce que la viga en voladizo no uniforme en cuestión pueden presentar sólo la inestabilidad dinámica (flutter).

Estas conclusiones generalizan los mismos resultados para voladizo no uniformes en el marco de una fuerza seguidora concentrada en la punta. Así, en contraste con los sistemas conservadores, los sistemas estudiados no-conservadores siempre tienen una solución única (configuración de equilibrio) que se pueden encontrar por el método directo.

Utilizando el método de solución señalado anteriormente, el comportamiento de un voladizo sometido a una fuerza seguidora intermedia actuando en la dirección normal al eje deformada de la viga (α1 = α2 = π / 2) [7] se estudió. Las ecuaciones. (9) y (10) se han integrado numéricamente por el método de cuarto orden de Runge-Kutta con un tamaño de paso fijo igual a 0,05L y las integrales en (3) fueron evaluadas numéricamente utilizando la regla de Simpson. Los valores de la punta de las coordenadas x(0) e y(0) y la

pendiente (en grados) de la viga en voladizo se enumeran en la Tabla 1

para varios valores del parámetro de carga adimensional . Los resultados dados en la Tabla 1 se comparan con las soluciones obtenidas en el

paso uno igual a 0.025L. La discrepancia entre estas soluciones se encuentran dentro del 0,1%. Algunas deformadas típicas de la viga se muestran en la figura. 2. La trayectoria de la punta del cantilever para el parámetro de carga varía entre 0 y 25 se muestrna por una línea discontinua. Estos resultados están en un buen acuerdo con las soluciones elípticas. Cabe señalar que las soluciones analíticas necesitan dos ecuaciones no lineales que hay que resolver.

Consejo coordenadas y la pendiente de un voladizo cargado por las fuerzas del seguidor normal (TABLA 1)

(0) x(0)/L y(0)/L

1 35.43 0.8935 0.4124

3 98.37 0.3240 0.8148

5 144.84 −0.1177 0.7208

10 204.58 −0.2922 0.3194

12 216.09 −0.2506 0.2477

15 227.60 −0.1810 0.1896

20 240.11 −0.0863 0.1506

25 249.45 −0.0223 0.1466

Fig. 2. configuraciones deformada de un voladizo cargados por las fuerzas del seguidor normal.

.

Fig. 3. configuraciones deformada de un voladizo cargados por las fuerzas del seguidor normal y tangencial.

.

La figura. 3 ilustra las soluciones numéricas (configuraciones de equilibrio) del voladizo uniforme sometido a la fuerza seguidora de una carga concentrada en la punta normal y a la fuerza seguidora intermedia tangencial. La pendiente de la punta con respecto al parámetro de carga varía entre 0 y 25 se muestra en la figura. 4. En este caso el valor máximo (0) ≈ 135.73 se alcanzó.

En estos ejemplos el parámetro de carga varía de 0 a 25, pero las configuraciones de equilibrio se puede encontrar para valores mayores de. La estabilidad de estas formas de equilibrio debe ser estudiado por el método dinámico. Se supone que esto se hace en los futuros documentos.

Este método directo también se aplicó a diversos ángulos de inclinación α1, α2 de las fuerzas del seguidor, μ distribuciones de rigidez de la IE (s), y los valores.

Fig. 4. Pendiente en la punta vs fuerza de un voladizo bajo carga normal y tangencial

.

5. Conclusiones

Se ha propuesto un método directo para el problema en gran deflexión de una viga en voladizo no uniforme en virtud de una fuerza seguidora en la punta y zonas intermedias. Se muestra que para cualquier distribución de la rigidez a la flexión, la viga en voladizo elástico puede perder la estabilidad sólo por aleteo. Se han obtenidos las configuraciones de equilibrio de una viga uniformemente cargada por dos fuerzas seguidoras normales y tangenciales al eje del haz. El método directo numérico en cuenta es simple, e implica menos tiempo de cómputo en comparación con el método de toma. El método se puede ampliar fácilmente para incluir los casos en que hay más de dos fuerzas seguidoras que actúan sobre una viga en voladizo flexible.

References

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