TEORIA DE COLAS

INTRODUCCIN

El origen de la Teora de Colas fue en el ao en 1909 por Agner Krarup Erlang para analizar el congestin de trafico telefnico con el objetivo de cumplir las

demandas que se requiera en el servicio.

Esta teora se utiliza en la actualidad en diferente casos de situaciones.

Una cola es una lnea de espera y la teora de colas es una operacin matemtica que describe sistema

Soluciona problemas de congestin llegada - partida

DEFINICIN Es el estudio matemtico del comportamiento de lnea de espera

Esta se presenta cuantos x (personas, clientes, operarios, maquinas) van

llegar al lugar demandando un servicio el cual tiene la capacidad y cantidad

de capacidad de atender o servir a dicho elemento.

Si el servidor tiene la capacidad menor de atencin entonces se genera la

demanda

LA LNEA DE ESPERA

Se forman debido a un desequilibrio temporal entre la demanda de

servicio y la capacidad de suministrarlo

Los modelos de lneas de espera son de gran utilidad

Los anlisis de costo se relaciona

La longitud de la lnea de espera El promedio de tiempo de espera

Los anlisis de colas ayudan a entender de estos sistemas de

servicio (por ejemplo la reparacin de una maquina)

Para la longitud y promedio se utilizara dos distribuciones de

probabilidades.

Distribucin poisson para un canal en general

Distribucin exponencial para varios canales

COSTOS ASOCIADOS A UN SISTEMA DE COLAS

Existe dos tipos de costos

Costo asociados al tiempo de espera Costos asociados a la capacidad de servicio El objetivo debe existir un equilibrio en los costo de servicio y el tiempo de

espera

Las colas deben ser muy cortas para evitar perdidas de tiempo

Se debe contemplar tener una longitud de espera razonable que sea

balanceada para obtener ahorros en tiempo .

COSTO DE SERVICIO VS NIVEL DE SERVICIO

Los costos de servicio se incrementa si se mejora nivel de servicio . Los administradores de ciertos centro de servicio pueden variar su

capacidad teniendo personal o maquinas adicionales que son asignados a

incrementar la atencin .

Cuando el servicio mejora disminuye el costo de tiempo perdido en las lneas de espera.

Estos costos pueden reflejar perdida de productividad de los operarios que estn esperando que compongan sus equipos. (causa de mal servicio)

OBJETIVO DE LA TEORA DE COLAS

Identificar el nivel ptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste global

Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificacin de la capacidad del sistema tendran

Establecer un balance equilibrado (ptimo) entre las consideraciones cuantitativas de costo y servicio.

TIPOS DE COLAS

CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA

TEORIA DE COLAS

LINEAS DE ESPERA

CARACTERISTICAS:

Una cola de espera est compuesta de tres elementos

arribos o ingreso al sistema disciplina en la cola servicio Estos tres componentes tienen ciertas caractersticas que deben ser examinadas antes de desarrollar al aspecto matemtico de los modelos de cola.

CARACTERISTICAS

A. DE ARRIBO B. PATRON DE ARRIBOS

La fuente de ingreso, que genera los clientes para el servicio tiene tres caractersticas.

Tamao de la poblacin que arriba

Patrn de llegada de cola Comportamiento de las llegadas

Los clientes arriban a ser aprendidos de una manera programada se considera que los operarios son aleatorios cuando estos son independientes de otros y su ocurrencia no puede ser predecida exactamente.

Frecuentemente en problemas de colas, el nmero de arribos por unidad de tiempo pueden ser estimados por medio de la distribucin de poisson que es una distribucin discreta de probabilidad

TAMAO DE POBLACION

FINITA INFINITA

Cuando se tiene muy pocos servidores y el servidor es restringido tenemos con los profesionales mdicos consultorio mdico hasta en obras existe esos casos.

Cuando el nmero de clientes en un momento dado es una pequea parte de los arribos potenciales. Para propsitos prcticos poblaciones ilimitadas pueden considerarse a los vehculos que se acerca a una caseta de peaje, los aficionados a un partido del mundial de futbol.

SISTEMAS DE COLAS: LA COLA

El nmero de clientes en la cola es el nmero de clientes que esperan el servicio

El nmero de clientes en el sistema es el nmero de clientes que esperan en la cola ms el nmero de clientes que actualmente reciben el servicio

SISTEMAS DE COLAS: LA COLA

La capacidad de la cola es el nmero mximo de clientes que pueden estar en la cola

Generalmente se supone que la cola es infinita

Aunque tambin la cola puede ser finita

SISTEMAS DE COLAS: LA COLA

La disciplina de la cola se refiere al orden en que se seleccionan los miembros de la cola para comenzar el servicio

La ms comn es PEPS: primero en llegar, primero en servicio

Puede darse: seleccin aleatoria, prioridades, UEPS, entre otras.

SISTEMAS DE COLAS: EL SERVICIO

El servicio puede ser brindado por un servidor o por servidores mltiples

El tiempo de servicio vara de cliente a cliente

El tiempo esperado de servicio depende de la tasa media de servicio ()

SISTEMAS DE COLAS: EL SERVICIO

El tiempo esperado de servicio equivale a 1/

Por ejemplo, si la tasa media de servicio es de 25 clientes por hora

Entonces el tiempo esperado de servicio es 1/ = 1/25 = 0.04 horas, o 2.4 minutos

SISTEMAS DE COLAS: EL SERVICIO

Es necesario seleccionar una distribucin de probabilidad para los tiempos de servicio

Hay dos distribuciones que representaran puntos extremos:

La distribucin exponencial (=media) Tiempos de servicio constantes (=0)

SISTEMAS DE COLAS: EL SERVICIO

Una distribucin intermedia es la distribucin Erlang

Esta distribucin posee un parmetro de forma k que determina su desviacin estndar:

mediak

1

SISTEMAS DE COLAS: EL SERVICIO

Si k = 1, entonces la distribucin Erlang es igual a la exponencial

Si k = , entonces la distribucin Erlang es igual a la distribucin degenerada con tiempos constantes

La forma de la distribucin Erlang vara de acuerdo con k

SISTEMAS DE COLAS: EL SERVICIO

Media Tiempo 0

P(t) k =

k = 1 k = 2

k = 8

Sistemas de colas: Las llegadas - Distribucin de Poisson

Es una distribucin discreta empleada con mucha frecuencia para describir el patrn de las llegadas a un sistema de colas

Para tasas medias de llegadas pequeas es asimtrica y se hace ms simtrica y se aproxima a la binomial para tasas de llegadas altas

Sistemas de colas: Las llegadas - Distribucin de Poisson

Su forma algebraica es:

Donde: P(k) : probabilidad de k llegadas por unidad de tiempo : tasa media de llegadas e = 2,7182818

!)(

k

ekP

k

Sistemas de colas: Las llegadas - Distribucin de Poisson

Llegadas por unidad de tiempo 0

P

Medidas del desempeo del sistema de colas: frmulas

generales

qs

qq

ss

qs

LL

WL

WL

WW1

Medidas del desempeo del sistema de colas: ejemplo

Suponga una estacin de gasolina a la cual llegan en promedio 45 clientes por hora

Se tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por hora

Se sabe que los clientes esperan en promedio 3 minutos en la cola

La tasa media de llegadas es 45 clientes por hora o 45/60 = 0.75 clientes por minuto

La tasa media de servicio es 60 clientes por hora o 60/60 = 1 cliente por minuto

clientesWL

clientesWL

WW

W

qq

ss

qs

q

25.2375.0

3475.0

min41

13

1

min3

Modelos de una cola y un servidor

M/M/1: Un servidor con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales

M/G/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribucin general de tiempos de servicio

M/D/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribucin degenerada de tiempos de servicio

M/Ek/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribucin Erlang de tiempos de servicio

TEORIA DE COLAS Modelo A: M/M/1

Asumimos que existen las siguientes condiciones: 1. Los clientes son servidos con una poltica PEPS y cada arribo

espera a ser servido sin importar la longitud de la lnea o cola.

2. Los arribos son independientes de arribos anteriores, pero el promedio de arribos, no cambia con el tiempo.

3. Los arribos son descritos mediante la distribucin de probabilidad de Poisson y proceden de una poblacin muy grande o infinita.

4. Los tiempos de servicio varan de cliente a cliente y son independientes entre s, pero su rata promedio es conocida.

TEORIA DE COLAS Modelo B: (M/M/S) Modelo C: (M/D/1)

Los servicios se los hace de acuerdo a la poltica primero en llegar primero en ser servido (PEPS) y todos los servidores atienden a la misma rata.

Modelo C: Modelo de Tiempo de Servicio Constante (M/D/1) Algunos sistemas tienen tiempos de servicio constantes en

lugar de exponencialmente distribudos. Cuando los clientes son atendidos o equipos son procesados con un ciclo fijo como es el caso de una lavadora de carros automatizada o ciertos entretenimientos en los parques de diversiones, el asumir servicio constante es adecuado.

RESUMEN DE LOS MODELOS DE COLAS DESCRITOS

MODELO NOMBRE N DE CANAL

ES

N DE FASES

PATRN DE

ARRIBO

PATRN DE

SERVICIO

TAMAO DE LA POBLACIN

DISCIPLINA DE COLA

A SIMPLE M/M/1

UNO UNA POISSON EXPONENCIAL

INFINITA PEPS

B MULTI- CANAL

M/M/S

MULTI

CANAL

UNA POISSON

EXPONENCIAL

INFINITA PEPS

C SERVICIO CONSTANTE (M/D/1)

UNO UNA POISSON CONSTANTE

INFINITA PEPS

D POBLACION LIMITADA

UNO UNA POISSON EXPONENCIAL

FINITA PEPS

I.G. Andrade D.

I.O. II - I.S. - U.D.A. 34

FRMULAS PARA COLAS MODELO A: SISTEMA SIMPLE O M/M/1

1

servicio) de tiempo espera de (tiempo

sistema elen permanece unidad una que promedio Tiempo

sistema deln utilizaci deFactor

sistema elen (clientes) unidades de promedio Nmero

sistema elen unidades de nmero

tiempode perodopor servidos cosas o gente de promedio Nmero

tiempode perodopor arribos de promedio Nmero

S

S

SS

W

W

LL

n

FRMULAS PARA COLAS MODELO A: SISTEMA SIMPLE O M/M/1

1

2

sistema elen estn unidades k"" de ms que de adProbabilid

11

vaca)est servicio de unidad (la sistema elen unidades cero de adProbabilid

11

sistema elen estn clientes "n" que de adProbabilid

cola laen espera unidad una que promedio Tiempo

cola laen unidades de promedio Nmero

k

kn

kn

o

o

n

n

n

n

Sq

Sq

P

P

P

P

P

P

WW

LL

La Distribucin Exponencial

La distribucin de Poisson describe las llegadas por unidad

de tiempo y la

distribucin exponencial estudia el tiempo entre cada una de

estas llegadas. Si las llegadas son de Poisson, el tiempo

entre ellas es exponencial

La distribucin de Poisson es discreta, mientras que la distribucin exponencial es continua, porque el tiempo entre llegadas no tiene por qu ser un nmero entero. Esta distribucin se usa mucho para

describir el tiempo entre eventos, especficamente, la variable aleatoria que representa el tiempo necesario para servir a la llegada. Un ejemplo tpico puede ser el tiempo que un mdico dedica a un paciente.

Distribucin Exponencial La distribucin exponencial tiene como variable aleatoria el

tiempo transcurrido entre dos sucesos o su duracin.

Es til para describir situaciones, como el tiempo de servicio en un auto lavado, el tiempo de espera en un servicio de atencin telefnica, etc.

Como caracterstica importante, se dice que la distribucin exponencial no tiene memoria. El tiempo necesario para que se complete una tarea es independiente del tiempo transcurrido hasta ese momento.

Distribucin Exponencial La probabilidad de X est dada por la frmula:

La Distribucin de probabilidad se obtiene:

Donde: X=Tiempo entre eventos. = Promedio de eventos por unidad de tiempo. e=2.71828

Ejemplo Distribucin Exponencial El tiempo que transcurre antes de que una

persona sea atendida en el llenado de su volquete de arena tiene una distribucin exponencial con una media de 4 minutos. Cul es la probabilidad de que una persona sea atendida antes de que transcurran 3 minutos?

Solucin: El operador atiende en promedio 1 volquete cada 4 minutos,

Hay un 52.76% de probabilidad que el cliente sea atendido antes de 3 minutos.

BIBLIOGRAFA

Mtodos cuantitativos para la toma de decisiones. Daniel Serra de La

Figuera. Universidad Pompeu Fabra (Espaa).

http://www.econ.upf.es/~serra/libro.htm

Teora de Colas. Ninoscka Zencovich B. Universidad Arturo Prat Sede

Victoria (Chile).

http://www.unapvic.cl/teoriadecision/administracion/Unidad5.html

http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lem/garduno_a_f/capitulo2

.pdf