OPERACIONES 2Teora de ColasProfesor: Pablo Diez BennewitzIngeniera Comercial - U.C.V.

ORGANIZACIONRESULTADOSORGANIZACION PARA LA CONVERSION

DISEO DE PUESTOS DE TRABAJO ESTANDARES DE PRODUCCION / OPERACIONES MEDICION DEL TRABAJO ADMINISTRACION DE PROYECTOSSISTEMATIZACION DE LA ADMINISTRACION DE OPERACIONES - EL MODELOTomado y adaptado de Administracin de Produccin y las Operaciones. Adam y Ebert PLANIFICACIONINSUMOSM PLANIFICACION (DISEO) DE LOS SISTEMAS DE CONVERSION: ESTRATEGIAS DE OPERACION PREDICCION (PRONOSTICOS) ALTERNATIVAS DISEO PROCESOS CAPACIDAD DE OPERACIONES PLANEACION UBICACION INSTALACIONES PLANEACION DISTRIBUCION FISICA

PROGRAMACION SISTEMAS CONVERSION PROGRAMACION SISTEMAS Y PLANEACION AGREGADA PROGRAMACION OPERACIONESSEGUIMIENTO PRODUCTOSCONTROL CONTROL DEL SISTEMA DE CONVERSION CONTROL DE INVENTARIO PLAN DE REQUERIMIENTOS DE MATERIALES ADMNISTRACION PARA LA CALIDAD CONTROL DE CALIDAD CONTROLRETROALIMENTACIONPROCESO de CONVERSIONMODELOSMODELOSMODELOSM Productos Servicios InformacinM

TEORIA DE COLASLa formacin de lneas de espera es un fenmeno comn cuando la demanda por un servicio excede momentneamente la capacidad de proporcionarlo

Esperar un servicio es parte de la vida diaria

Se espera para comer en restaurantes, se hacen colas en las cajas de los supermercados, en los hospitales, etc

Y el fenmeno no es exclusivo de los seres humanos: los trabajos esperan para que los procese una mquina (cuello de botella), los automviles se detienen ante un semforo, etc

TEORIA DE COLASLas colas se producen debido a que, en ocasiones, la capacidad instalada para proporcionar el servicio es insuficiente, ya que la demanda por su servicio es aleatoria, lo que implica que la teora de colas trabaje con modelos probabilsticos

El estudio de colas determina las medidas del funcionamiento de una situacin de colas, incluyendo el tiempo de espera y la longitud de la cola promedio, entre otras variables de inters. Esta informacin sirve despus para decidir el nivel apropiado de servicio para las instalaciones

ESTRUCTURA BASICA DE UN MODELO DE COLASLos clientes que requieren un servicio se generan a travs de una fuente de entrada o poblacin. Estos clientes entran al sistema de colas y se unen a la cola

En determinado momento se selecciona un miembro de la cola, para proporcionarle el servicio, mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio (orden de llegada, aleatorio, prioridades)

ESTRUCTURA BASICA DE UN MODELO DE COLASDespus, se otorga el servicio requerido por el cliente mediante el mecanismo de servicio, caracterizado por el nmero de canales paraderos o servidores y por el tiempo de servicio, tiempo que transcurre desde el inicio del servicio para un cliente hasta su trmino. El tiempo de servicio puede tener una distribucin exponencial, degenerada o gamma

ESTRUCTURA BASICA DE UN MODELO DE COLASFuente deEntradaColaMecanismode ServicioClientes servidosClientesSistema de Colas

ALGUNOS MODELOS DE COLAS1) Modelo simple con un solo servidor2) Sistema de colas en serie (trmites en serie)3) Sistema de colas simple multiservidorXXXX XXXX XXXXSEntradaColaServidorSalidaXXX XXX XXX XXX XXXSSSSSSXXXXXX XXXXXXXXXXXX

ELEMENTOS DEL MODELO DE COLAS Fuente de Entrada:

Tiempo entre Llegadas:

Tamao de las Colas:

Tiempo de Servicio:

Disciplina de Servicio

Servidor (es)

ClientesPuede ser finita (mquinas en un servicio de reparacin) o infinita (llamadas telefnicas)Es el arribo de clientes, puede ser probabilstico o determinsticoPuede ser finito o infinitoDescribe la prestacin del servicio que el servidor le daal cliente. Puede serdeterminstico o probabilstico

IMPORTANCIA DE LA TEORIA DE COLAS EN LAS OPERACIONESLa teora de colas determina las medidas del funcionamiento de una situacin de colas, es una tcnica til para disear la capacidad del proceso de operaciones, puesto que provee de informacin muy til para decidir el nivel apropiado de prestacin del servicio para las instalacionesPara determinar la capacidad del proceso de operaciones, se evalan los costos asociados al servicio que se presta

COSTOS DE LA PRESTACION DE SERVICIOS1) Costos Directos del Servicio Costos de la cantidad de servidores en paralelo que suministren el servicio

Costos de tecnologa del servicio, relacionados con el tiempo del servicio (atencin al cliente)Estos costos tienen una relacin directa con la capacidad de prestacin del servicion servidoresTecnologade serviciocostocosto++++

COSTOS DE LA PRESTACION DE SERVICIOS1) Costos Directos del ServicioCostos DirectosCapacidad de prestacin del ServicioCosto de operacin de las instalaciones de servicio por unidad de tiempo

COSTOS DE LA PRESTACION DE SERVICIOS2) Costos Indirectos del Servicio Costo de oportunidad (eventual) por prdida de clientes, si los tiempos de espera son muy largosEstos costos tienen una relacin inversa con la capacidad de la prestacin del servicioCostos IndirectosCapacidad del ServicioCosto de espera de los clientes por unidad de tiempo

COSTOS DE LA PRESTACION DE SERVICIOSEl diseo del proceso de operaciones debe tomar en cuenta ambos tipos de costos, entonces:CostosTotalesCostos Directosdel ServicioCosto de Oportunidadpor tiempo de espera=+El objetivo del proceso de operaciones consiste en minimizar los costos totales

COSTOS DE LA PRESTACION DE SERVICIOSCostosCapacidad del ServicioC1: Costos DirectosC2: Costos de OportunidadCT: Costos TotalesNivel ptimo del Servicio

COSTOS DE LA PRESTACION DE SERVICIOSEs difcil plantear un modelo de costos que obtenga el nivel ptimo del servicio, ya que es difcil estimar el costo unitario de espera, en particular cuando el comportamiento humano influye en la operacin del modeloLo que se hace es evaluar diferentes configuraciones de servicios, utilizando las frmulas propias de cada modelo de colas en particular

COMPORTAMIENTO DEL SISTEMA DE COLASEs diferente en cada una de las etapas del sistema. Matemticamente es difcil plantear modelos en los inicios y trminos de atencin del sistema, es ms simple plantearlos cuando el sistema alcanza un estado estable, el que se da si en todos los estados:Estado EstableEntradas al SistemaSalidasal Sistema=Si hay a lo menos un estado en el que, las entradas al sistema no son iguales a las salidas del sistema, entonces no se ha alcanzado el estado estable

TERMINOLOGIA Y NOTACIONnCantidad de clientes:Que estn en el sistema en un momento dadoLValor esperado de clientes en el sistemaLE (n)=WValor esperado de tiempo de atencincliente en el sistemaWE (w)=de unw: tiempo especfico que tarda un cliente particular dentro del sistema. Es una variable aleatoria

TERMINOLOGIA Y NOTACIONP0 : Probabilidad de que el sistema est vacoP1 : Probabilidad de que el sistema tenga 1 clienteP2 : Probabilidad de que el sistema tenga 2 clientesP3 : Probabilidad de que el sistema tenga 3 clientesPn : Probabilidad de que el sistema tenga n clientesProbabilidad de que hayan n clientes en el sistema en un instante determinadoPnAsimismo es posible definir:LqWqValor esperado de clientes en la colaValor esperado del tiempo en la cola

Probabilidad de que hayan n clientes en el sistema en un instante determinadoTERMINOLOGIA Y NOTACIONPnEsto tiene dos interpretaciones:(1)(2)Probabilidad de que en un instante cualquiera se observe el sistema y est presente un estado n. Por ejemplo, P3 = 0,1 indica que la probabilidad de encontrar 3 clientes en el sistema es 0,1 o del 10%Pn es la fraccin del tiempo en que el sistema permanece en el estado n

TERMINOLOGIA Y NOTACIONValor esperado de clientes en el sistemaLL n PnLE (n)== n=08En consecuencia:

LAS VARIABLES EN EL TIEMPOEn general la cantidad de clientes es el sistema depende del instante de tiempo en que se determinan

Luego, las variables dependen del momento de tiempo en que se miden. Por ende, Pn, L, W, etc, tambin dependen del tiempo: Pn(t), L(t), W(t), etc nn (t)=Sin embargo, los modelos de colas que se estudian, determinan tales variables cuando el sistema est en estado establen(t) = nPn(t) = PnL(t) = LW(t) = W

LLEGADA DE CLIENTES AL SISTEMALa llegada de clientes se asume que tiene una distribucin poisson, con parmetro

Si A es el nmero de clientes que llegan en un intervalo especfico de tiempo, entonces: P(n=A)= An = 1,2,3,....ne-n !Las llegadas al sistema son aleatorias. Es decir que la probabilidad de llegada al sistema durante un instante de tiempo es un valor constante, independiente del nmero de arribos previos y de la duracin del tiempo de espera

LLEGADA DE CLIENTES AL SISTEMASe define: Tasa media de llegada de clientes al sistema Indica el nmero promedio de clientes que ingresa al sistema en un instante especfico de tiempo 1Tiempo promedio entre llegadases el tiempo promedio que transcurre entre dos llegadas sucesivas, entre el arribo de dos clientes consecutivos

SALIDA DE CLIENTES DEL SISTEMASegn los sistemas de colas, puede ser una distribucin exponencial, degenerada o gamma

Pero, para que sea til, la forma supuesta debe ser lo suficientemente realista para que el modelo proporcione predicciones razonables y, tambin debe ser lo suficientemente sencilla para que sea matemticamente manejable

Para lograr todo lo anterior, se asume que los tiempos de prestacin del servicio tienen una distribucin exponencial, con parmetro 1

SALIDA DE CLIENTES DEL SISTEMASi B es el tiempo de servicio para un cliente promedio, la funcin de distribucin acumulada es:P(B t)

Obs:Poisson se refiere a unidades de evento partido por unidades de tiempo fijaExponencial se refiere a unidad de tiempo existente entre dos eventos seguidosPoissonExponencial

SALIDA DE CLIENTES DEL SISTEMASe define: Tasa media de prestacin del servicio en el sistema Indica el nmero promedio de clientes que reciben el servicio en el sistema en un instante especfico de tiempo. Es la tasa media del servicio, implica el concepto de velocidad de atencin del sistema 1Tiempo promedio entre prestaciones del servicio es el tiempo promedio que se demora en atender a un cliente en el sistema

PoblacinColaMecanismode ServicioClientes servidosClientesSistema de ColasESTRUCTURA BASICA DE UN MODELO DE COLASLq , WqL , W (clientes / tiempo)1 (tiempo / clientes)PoissonExp

DIAGRAMA DE NACIMIENTO Y MUERTEMuestra el balance de entradas y salidas a cada estado del sistema de colas0123 12334210 ......

Para salir del estado 2 hay dos posibilidades:DIAGRAMA DE NACIMIENTO Y MUERTE Sale un cliente que es atendido y en tal tiempo no ingresa nadie al sistema ( )

El cliente que est siendo atendido no termina de ser atendido e ingresa otro cliente al sistema ( ) 22 2pasa del estado 2 al estado 1 2pasa del estado 2 al estado 3

ESTADO ESTABLEEstado EstableEntradas al SistemaSalidasal Sistema=En estado estable y bajo el supuesto de que puede ocurrir slo una llegada o slo una salida a la vez:Estado 0Estado 1Estado 2Estado 3P1P1P1P1 1111====P0 00+P0P2P2P2P22222+++++3334P3P3P3P4

ESTADO ESTABLESe forma un sistema de n-ecuaciones y (n +1) incgnitas. Resolviendo en funcin del Pn se tiene:De la primera ecuacin (estado 0)P1P2P1=P0P2P0P1P0 010 De la segunda ecuacin (estado 1)022=()111+-=()1+-

1P0 0ESTADO ESTABLEreemplazando P1:P0P0P2P2P2=()1111++--P0000222= 11( )00=

ESTADO ESTABLEEn general:Pn=0112334n-1nP0Suponiendo que las tasas son constantes, entonces:11222=0==========33 4nn-1== LuegoPnnP0

ESTADO ESTABLESi adems se considera que: n=18Pn=1P0 + P1 + P2 + P3 + ........................ 1=P0+ ++P0P0P0 +...............=123Progresin GeomtricaSuma de la progresin geomtrica i=1na ri=a ( 1 - r )( 1 - r )n

ESTADO ESTABLE Por lo tanto n1-1-P0=1AdemsCondicin de estado estable

ESTADO ESTABLEComo

ESTADO ESTABLEAsimismo, reemplazando:Pn= -Es la probabilidad de que hayan n clientes en el sistemaObs:Las frmulas anteriores son un caso particular analizado, no son frmulas generales, puesto que incluyen muchos supuestos en su anlisisn

SUPUESTOS PARA LA CONDICION DE ESTADO ESTABLE S

FACTOR DE UTILIZACION= Indica la proporcin de tiempo en el que el sistema de colas est ocupadoSi 1Si 1

El sistema est sobrecopado la mayor parte del tiempo: la cola est creciendo permanentementeEl sistema no est copadoPor ejemplo, si 0,9 indica que el 90% del tiempo el sistema de colas est ocupado y que, el 10% del tiempo no lo est=

FACTOR DE UTILIZACIONLas frmulas anteriores de P0 y de Pn, se pueden denotar tambin como:P0=1-Pn=n( 1 )-

VALOR ESPERADO DE CLIENTES EN EL SISTEMA n PnLE (n)== n=08E (n)=0P0 + 1P1 + 2P2 + 3P3 + ...................L=0(1- ) + 1 (1- ) + 2 (1- ) + 3 (1- ) +........23Factorizando:L=(1- ) + 2 + 3 + 4 +234........................L=(1- ) 1 + 2 + 3 + 4 +23......................L=(1- ) ( + + + +234......................

VALOR ESPERADO DE CLIENTES EN EL SISTEMAdonde( + + + + + )2345..........es progresin geomtricaSuma de la progresin geomtrica i=1nai=a ( 1 - a )n1 - aPor lo tantoL(1- )=(1- )1 -ncomo

VALOR ESPERADO DE CLIENTES EN EL SISTEMAEn consecuenciaL(1- )=1 -derivando:L=(1- )(1- )-(-1)(1- )2L=(1- )1(1- )2L=1 -reemplazando= L -=

PROPIEDADESTambin se pueden demostrar:W= -1L= WLqWq= Wq= ( )-- Lq= ( ) 2Si se dispone de los valores de y , entonces es posible conocer a cada una de las variables principales de los modelos de colas: L, W, Lq, Wq

RELACION ENTRE W y WqW = Wq + WsWsTiempo medio de la prestacin del servicioSe defineque es un valor a priori desconocidoWs = W - WqWs= -1-- ( )1 Ws=( ) --= W Wq +1 =

VALOR ESPERADO DEL TIEMPO DE ATENCION DE UN CLIENTESe puede demostrar de acuerdo a las frmulas planteadas en las propiedades anterioresW=- 1W = Wq + Ws=W Wq + 1Pero tambin se puede obtener mediante W = E(w) determinando la distribucin de probabilidades de wRecuerdo:w es el tiempo especfico que tarda un cliente en el sistema. Es una variable aleatoria

VALOR ESPERADO DEL TIEMPO DE ATENCION DE UN CLIENTEConsideremos la probabilidad de que un cliente tarde ms de un tiempo T en salir del sistemaSeaSn+1 = T1 + T2 + T3 + .............. + Tn + Tn+1Sn+1 es la suma de los tiempos de atencin de los n clientes que ya estaban en el sistema, ms el tiempo de atencin del n+1 cliente, que acaba de ingresar al sistemadonde T1, T2, T3, ...........son variables aleatorias independientes que tienen una distribucin exponencial

PROPIEDAD REPRODUCTIVAPor una propiedad reproductiva, la suma de las variables aleatorias con distribucin exponencial, tiene una distribucin de probabilidades gammaSn+1 tiene una distribucin gamma EntoncesP (w t)n=0 8=>Pn P(Sn+1 t)>P (w t) considera dos supuestos> Al ingresar el cliente al sistema, ste est ocupado El tiempo de espera en la cola ms el tiempo de atencin del cliente sea mayor que t

VALOR ESPERADO DEL TIEMPO DE ATENCION DE UN CLIENTEReemplazando las frmulas de Pn y , y despus de mucho trabajo algebraico se llega a: P(Sn+1 t)>>P (w t)=e- 1- t,si t 0> w tambin tiene una distribucin exponencial !!!E(w)= 1 - 1- WE(w)== 1-

UNIDADES DIMENSIONALES W(tiempo) L(clientes) (clientes / tiempo) (clientes / tiempo)

(tiempo / clientes)

(tiempo / clientes) 11

NOMENCLATURAUn modelo de colas se caracteriza por los siguientes smbolos:Tiempo entre llegadas, que se asocia a una distribucin exponencial (la tasa de llegada es poisson)Tiempo de servicio, que es exponencialCantidad de servidores en paraleloCantidad en la poblacin potencial (poblacin finita)Cantidad admisible en el sistema(capacidad finita)M / M / S / K / N

MODELOS DE COLASSegn se combinen las diferentes caractersticas (poblacin finita o infinita, uno o ms servidores, capacidad admisible finita o infinita), se da origen a una combinacin de distintos modelos de colas: Modelo M / M / 1 Modelo M / M / S Modelo M / M / 1 / K Modelo M / M / S / K Modelo M / M / 1 / N Modelo M / M / S / N

MODELOS DE COLASSi el modelo de colas tiene capacidad admisible finita, entonces el modelo se denota con la letra K

Si el modelo de colas atiende a una poblacin finita, entonces el modelo se denota con la letra N

Cuando el modelo de colas tiene tanto poblacin finita como capacidad admisible finita, entonces el modelo se denota con letra N (si hay poblacin finita, se asume capacidad admisible finita)

S SERVIDORES EN PARALELOSi existen S servidores, pero se forma una sola cola para requerir el servicio, que es suministrado por el servidor que se desocupe primero, entonces estamos en el caso de servidores en paralelo

Ejemplos de esto son algunos bancos, algunos locales de pago de ciertos servicios pblicos, algunas fiambreras de los supermercados, etc

Este caso corresponde al modelo M / M / S

012S 23S .....Si los servidores tienen todos la misma tasa de servicio constante , entonces hay un aumento proporcional en la tasa de prestacin del servicio de las sucursales a: S SERVIDORES EN PARALELOn, si n SS, si n S >

MODELO M / M / SSegn el balance de entradas y salidas a cada estado del sistema, en flujo estable: Pn=n-1n-2n231201P0En este caso:1n-120=====3 n-1=nPero: ==n, si n SS, si n Ss

Condicin de estado estable S

Se obtiene:Pn nn S !n !S(n-s); si n S

; si n S>nn

MODELO M / M / SFactorizando:P0 n=0S-1 n-sSn1n !+1S ! 88n=sSn-s=1Adems:n=sS Es una progresin geomtrica cuyo resultado es:n-sS 1 = S n=s81-

Finalmente, se obtieneP0S-1 n=0 n1n !+S !1 S1- S11P0=MODELO M / M / S

MODELO M / M / SAsimismo, con los valores de P0, P1, P2, ........., Pn es posible obtener el valor de LL = 0P0 + 1P1 + 2P2 + ...........(S - 1) !S S+1P0- + =L2Lq +L Lq=cumplindose:

MODELO M / M / SUsando las frmulas tradicionales, es posible obtener las dems variables de intersWq==Lq WqW+1 P (w > t) t -e1- S 1 SP0 -1S !=S 1----+1t -e

SISTEMA DE COLAS CON CAPACIDAD FINITACon capacidad admisible finita significa que el sistema puede contener como mximo K clientes, por lo tanto se asume que: n=0si n > KExisten dos modelos de colas con capacidad finita: Modelo M / M / 1 / K : Caso de un solo servidor Modelo M / M / S / K : Con S servidores en paralelo

Un solo servidor y capacidad admisible finita012 K0MODELO M / M / 1 / K ..... S = 1 n = n = Ejemplos de modelos M/M/1/K son un mdico que atiende con una consulta particular independiente o el taxi colectivo en hora vespertina

MODELO M / M / 1 / KPn nP0; si n K

; si n K0>

MODELO M / M / 1 / K K+1K+11L=--( K+1 )1-Lq = L ( 1 )Como S = 1P0--

MODELO M / M / 1 / KEn un modelo de cola con capacidad finita sucede: n 0si n K

si n K

Por lo tanto, corresponde:W==L WqLq donde =n=0 8 nPnK-1 n=0= Pncon n=0K-1Pn=( 1 - Pk )

MODELO M / M / 1 / KLuego:dondePk= P0KFinalmente:LKP0 ( 1 )- =W= ( 1 - Pk )

MODELO M / M / S / KEl sistema de S servidores en paralelo con capacidad finita no permite ms de K clientes, por lo que K es el nmero mximo de servidores que pueden necesitarse. Suponiendo S < K, hay varios servidores (S) y un lmite en la capacidad del sistema (K)

Un ejemplo de esto es la sala de emergencia de un hospital: el sistema tendra una capacidad admisible finita, si solo hay K camillas para los pacientes y, si la poltica del hospital es derivar a los pacientes que llegan hacia otro hospital cuando no hay lugares disponibles

012S 23S .....S+1K.... SS S 0MODELO M / M / S / KEjemplos de modelos M/M/S/K son las secciones de maternidad y urgencia en un hospital o algunos centros integrales de belleza

Pn nn S !n !S(n-s); si n S

; si S n K

; si n K>n

Para obtener , se utiliza un mtodo bastante similar al del modelo M / M / SP0S n=0 n1n !+S !1 S S1P0= n = S+1KSn-MODELO M / M / S / K

(S-1)!S s+1P0- + =2Lq 1-S(k-s)-(K-S) S (k-s)-1SAdaptando la derivacin de Lq del modelo M / M / S al caso actual de M / M / S / K se llega a:MODELO M / M / S / KL= n=0S-1n Pn+Lq+S 1- n=0S-1Pn

MODELO M / M / S / KComo modelo de cola con capacidad finita, ocurre: n 0si n K

si n K

Por lo tanto, corresponde:W==L WqLq donde =n=0 8 nPnK-1 n=0= Pncon n=0K-1Pn=( 1 - Pk )

MODELO M / M / S / KLuego:dondePk= P0KFinalmente:LKP0 ( 1 )- =W= ( 1 - Pk )

SISTEMA DE COLAS CON POBLACION FINITALa fuente de entrada o poblacin potencial es finita Se define el tamao lmite de la poblacin como NCuando el nmero de clientes en el sistema de colas es n (n = 0, 1, 2, ......, N) existen slo (N - n) clientes potenciales restantes en la fuente de entradaPoblacin PotencialN n clientes en el sistema

(N - n) clientes potenciales afuera

SISTEMA DE COLAS CON POBLACION FINITAEste problema tiene mltiples aplicaciones en el flujo de recursos materiales de la cadena logstica Una de sus aplicaciones ms importante es el problema de reparacin de mquinas o mantencin de computadores, donde se asigna a uno o ms mecnicos la responsabilidad de la mantencin de N computadores, dando servicio a cada uno de los que se descomponen

SISTEMA DE COLAS CON POBLACION FINITALos computadores constituyen la poblacin potencial Cada uno es un cliente en el sistema de colas cuando est descompuesto en espera de ser reparado, mientras que cuando est en operacin normal est afuera del sistema, pues no est en reparacinCada tcnico asistente o cuadrilla de tcnicos es un servidor, que trabaja la mantencin en una solo computador a la vez

Un solo servidor y poblacin finita0123 N N(N-1)MODELO M / M / 1 / N(N-2) (N-3)..... S = 1 n = n (N - n),si n N 0,si n N

Esquema suponiendo poblacin finita N = 50123 45 2354MODELO M / M / 1 / NOtros ejemplos de modelos M/M/1/N son el mdico que atiende enfermos de patologas escasas o el alumno ICA con sus exmenes de final de semestre

Para el esquema con N = 5, y usando las ecuaciones de balance de estado estable en cada estado:MODELO M / M / 1 / NEstado 0Estado 1Estado 5P1P1P1 ===P0 +P0P2P4+P5545De acuerdo a una situacin general, con un total de N estados (poblacin finita) se obtienen P0 y Pn................

S-1 n=0 nN !1P0=(N - n) ! n Pn=(N - n) !P0MODELO M / M / 1 / NN !Lq (n - 1) Pn= n=1NComoLq = L - (1 - P0)L N=- (1 - P0)

MODELO M / M / 1 / NEn un modelo de cola con poblacin finita sucede: n 0si n N

si n N

Por lo tanto, corresponde:W==L WqLq donde =n=0 8 nPnK-1 n=0= Pn(N - n)(N - n) = ( N L )-

012S-1 N N(N-1)(N-2) (N-S+2)..... S > 1 n n (N - n) ,si n N 0 ,si n N

232(S-1)SS(N-S+1) (N-S) S SSN-1.....Varios servidores (S > 1) y poblacin finita (N)Se asume S < NMODELO M / M / S / N nS,si n S,si n S

MODELO M / M / S / NCon las ecuaciones de balance de estado estable:Es la misma frmula del modelo M / M / S / K, solo que ahora se multiplica por la combinatoria del nmero de clientes (n) sobre la poblacin potencial (N)Pn n S !n !S(n-s) ; si n S

; si S n N

; si n N>n

MODELO M / M / S / NAdems:S-1 n=0 nN !1P0=(N - n) !+ Nn=S(N - n) ! nS !S(n-s)N !Lq (n - S) Pn= n=SNL= n=0S-1n Pn+Lq+S 1- n=0S-1PnDespus se pueden obtener W y Wq con las mismas ecuaciones que en el caso de un servidor

FORMULARIO DE TEORIA DE COLASTanto en la prueba de ayudanta como en la prueba de ctedra, se autoriza el uso del formulario de teora de colas, disponible en www.profesores.ucv.cl/pablodiezPor lo tanto, no es necesario aprenderse de memoria las frmulas de cada modelo

Operaciones 2, Ingeniera Comercial, Universidad Catlica de ValparasoPablo Diez BennewitzOperaciones 2, Ingeniera Comercial, Universidad Catlica de ValparasoPablo Diez BennewitzOperaciones 2, Ingeniera Comercial, Universidad Catlica de ValparasoPablo Diez BennewitzOperaciones 2, Ingeniera Comercial, Universidad Catlica de ValparasoPablo Diez Bennewitz