Teoría de Colas

1. La teoría de colas es un estudio de las líneas de espera, filas o colas.2. La teoría intenta estudiar las causas y remedios para el congestionamiento.

Consecuentemente desarrolla modelos usando técnicas de procesos aleatorios.3. La teoría de colas se basa en que los procesos de llegada y tiempos de servicio, en

los sistemas de espera, pueden ser descritos por apropiadas distribuciones probabilísticas. A partir de esas distribuciones se pueden derivar los modelas para esos sistemas.

4. Un sistema de espera está conformado por las unidades que llegan a recibir servicio (constituyendo las filas, colas o líneas de espera) y las unidades que prestan el servicio, que son los servidores.

5. Una línea de espera se forma en cualquier parte en que la demanda de un servicio supera su capacidad. Esto ocurre siempre que los patrones de servicio (forma en que se presta el servicio) y los patrones de llegada (forma en ocurren las llegadas) son probabilísticas.

6. Las unidades que llegan y las que prestan servicio tiene una amplia variedad de acepciones.

7. Las unidades que llegan pueden ser personas, carros, cartas, aviones, barcos, llamadas telefónicas. Carros llegando a peajes, carros llegando a semáforos, etc.

8. De la misma forma las unidades que prestan servicio pueden ser cajeros, secretarias, fotocopiadoras, aeropuertos, muelles, líneas telefónicas, peajes, semáforos etc.

9. Describir el sistema de espera es importante para derivar el modelo que representa ese sistema. Los modelos derivados son del tipo estocásticos o probabilísticos, porque en los sistemas que ellos representan está presente el factor aleatorio.

10. La descripción de un sistema implica analizar los siguientes aspectos: a) El proceso de llegada, b) La configuración de la fila. c) La disciplina en la fila, e) La disciplina en el servicio y f) El servicio.

Concepto

• Las LINEAS DE ESPERA,FILAS DE ESPERA o COLAS, son realidades cotidianas:• Personas esperando para realizar sus transacciones ante una caja en

un banco,• Estudiantes esperando por obtener copias en la fotocopiadora,• Vehículos esperando pagar ante una estación de peaje o continuar

su camino, ante un semáforo en rojo, • Máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas.

Se forman debido a un desequilibrio temporal entre la demanda del servicio y la capacidad del sistema para suministrarlo.

• Los Análisis de Colas relacionan:– la longitud de la línea de espera,– el promedio de tiempo de espera

y otros factores como:– la conducta de los usuarios a la llegada y en la cola.

Los Análisis de Colas ayudan a entender el comportamiento de estos sistemas de servicio (la atención de las cajeras de un banco, actividades de mantenimiento y reparación de maquinaria, el control de las operaciones en planta, etc.).

Costos de Servicio y Costos de Espera

• Los Administradores reconocen el equilibrio que debe haber entre el COSTO DE proporcionar buen SERVICIO y el COSTO del tiempo DE ESPERA del cliente o de la máquina que deben ser atendidos.

• Los Administradores desean que las colas sean lo suficientemente cortas con la finalidad de que los clientes no se irriten e incluso se retiren sin llegar a utilizar el servicio o lo usen pero no retornen más.

• Sin embargo los Administradores contemplan tener una longitud de cola razonable en espera, que sea balanceada, para obtener ahorros significativos en el COSTO DEL SERVICIO.

• Los COSTOS DE SERVICIO se incrementan si se mejora el NIVEL DE SERVICIO. Los Administradores de ciertos centros de servicio pueden variar su capacidad teniendo personal o máquinas adicionales que son asignadas a incrementar la atención cuando crecen excesivamente los clientes.

– En supermercados se habilitan cajas adicionales cuando es necesario.

– En bancos y puntos de chequeo de aeropuertos, se contrata personal adicional para atender en ciertas épocas del día o del año.

• Cuando el servicio mejora, disminuye el costo de tiempo perdido en las líneas de espera.

COLAS MAS COMUNES

SITIO ARRIBOS EN COLA SERVICIO

Supermercado Compradores Pago en cajas

Peaje Vehículos Pago de peaje

Consultorio Pacientes Consulta

Sistema de Cómputo

Programas a ser corridos Proceso de datos

Compañía de teléfonos

Llamadas Efectuar comunicación

Banco Clientes Depósitos y Cobros

Mantenimiento Máquinas dañadas Reparación

Muelle Barcos Carga y descarga

Características de una LINEA DE ESPERA

• Una cola de espera está compuesta de tres elementos:

1. Arribos o ingresos al sistema

2. Disciplina en la cola

3. Servicio

4. Estos tres componentes tienen ciertas características que deben ser examinadas antes de desarrollar el aspecto matemático de los modelos de cola.

1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO:

La fuente de ingreso que genera los arribos o clientes para el servicio tiene tres características principales:

5. Tamaño de la población que arriba

6. Patrón de llegada a la cola

7. Comportamiento de las llegadas.

1.a.Tamaño de la Población:

El tamaño de la población puede ser:

infinito (ilimitado): Cuando el número de clientes o arribos en un momento dado es una pequeña parte de los arribos potenciales. Para propósitos prácticos poblaciones ilimitadas pueden considerarse a los vehículos que se acercan a un caseta de peaje, los aficionados a un partido del mundial de Fútbol, clientes en un supermercado.

limitado (finito): cuando se tienen muy pocos servidores y el servicio es restringido. Ej.: los pacientes en un consultorio médico

• 1.b. Patrón de arribo al sistema:

– Los clientes arriban a ser atendidos de una manera programada (un paciente cada 15 minutos) o de una manera aleatoria.

– Se consideran que los arribos son aleatorios cuando éstos son independientes de otros y su ocurrencia no puede ser predecida exactamente.

– Frecuentemente en problemas de colas, el número de arribos por unidad de tiempo pueden ser estimados por medio de la Distribución de Poisson que es una distribución discreta de probabilidad.

• DISTRIBUCION DE POISSON:

P ( x )= e−λ λx

x !parax=0,1,2,3,4 ,. . .

• P(x) = Probabilidad de x arribos

• .x= número de arribos por unidad de tiempo

• = data promedio de arribo

.e = 2.71828

2. CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA

• La LINEA DE ESPERA es el segundo componente de un sistema de colas. La longitud de la cola puede ser también LIMITADA o ILIMITADA.

– Cola LIMITADA es aquella que por aspectos físicos no puede incrementarse a tamaños infinitos. Puede ser el caso de una peluquería que tiene pocos barberos y sillas para atender.

– Estudiaremos los modelos de colas asumiendo colas de longitud infinita. Una cola es ILIMITADA cuando su tamaño no tiene restricción como es el caso de una caseta de peaje que sirve a los vehículos que arriban.

• Una segunda característica de las líneas de espera se refiere a la DISCIPLINA EN LA COLA mediante la cual los clientes reciben el servicio. La mayoría de los sistemas usan la regla Primero En Entrar Primero En Salir (First In First Out) [PEPS (FIFO)]. Se denomina también FIFS (First In First Served).

• En las áreas de emergencia de hospitales sin embargo se omite esta regla dependiendo de la gravedad de las lesiones de las personas que arriban por auxilio médico.

3. Características del Servicio

El tercer elemento de un sistema de colas es el SERVICIO. En él son importantes dos propiedades básicas:

1. La configuración del sistema de servicio.

2. El patrón de tiempos de servicio

3.1. CONFIGURACIONES BASICAS PARA EL SERVICIO:

Los sistemas para el servicio son clasificados en función del numero de canales (servidores) y el número de fases (número de paradas que deben hacerse durante el servicio).

– Sistema de cola de un solo canal: tiene un solo servidor. Ejemplos de ello son los cajeros para automovilistas o los establecimientos de comida rápida.

– Sistema de cola multi-canal: Son principalmente los cajeros de un banco en los cuales hay una sola cola y varias personas atendiendo a los clientes en diversas cajas.

– Sistema de una sola fase: es aquel en el cual el cliente recibe el servicio de una sola estación y luego abandona el sistema. Un restaurant de comida rápida en el cual la persona que toma la orden también le entrega el alimento y cobra, es un sistema de una sola fase

– Sistema multifase: cuando se pone la orden en una estación, se paga en una segunda y se retira lo adquirido en una tercera

Medición del Rendimiento de las Colas

• Los modelos de colas ayudan a los administradores a tomar decisiones para balancear los costos de servicio deseables con los costos de espera en la línea.

• Los principales factores que se evalúan en estos modelos son:

1. Tiempo promedio que cada cliente u objeto permanece en la cola

2. Longitud de cola promedio

3. Tiempo promedio que cada cliente permanece en el sistema (tiempo de espera + tiempo de servicio).

4. Número de clientes promedio en el sistema.

5. Probabilidad de que el servicio se quede vacío

6. Factor de utilización del sistema

7. Probabilidad de la presencia de un específico número de clientes en el sistema.

Dado que por motivos de aprendizaje solamente vamos a presentar el modelo de M/M/S denominado Modela de cola multicanal

Modelo de cola multicanal (M/M/S)

• Dos o más servidores o canales están disponibles para atender a los clientes que arriban.

• Los clientes forman una sola cola y se los atiende de acuerdo al servidor que queda libre.

• Asumimos que los arribos siguen la distribución de probabilidad de Poisson y los tiempos de servicio son distribuídos exponencialmente.

• Los servicios se los hace de acuerdo a la política primero en llegar primero en ser servido (PEPS) y todos los servidores atienden a la misma data.

FÓRMULAS PARA COLASSISTEMA MULTICANAL O M/M/S

M= número de canales abiertosλ= tasa promedio de arriboμ= tasa promedio de servicio en cada canalPo= Probabilidad de que existan CERO personas o unidades en el sistema =

Po=1

[ ∑n=0

n=M−11n! (λμ )

n]+1M! (λμ )

MMμMμ−λ

para Mμ

¿

λ ¿ ¿ Ls= número promedio de personas o unidades en el sistema: ¿LS=λμ (λ μ)

M

(M−1 ) . ! . (Mμ−λ )2Po+ λ

μ¿ ¿¿

W s= Tiempo promedio que una unidad permanece en el sistema,

(en la cola y siendo servida (atendida ))=

W S=μ(λ μ)

M

(M−1 ) ! (Mμ−λ )2Po+1

μ=LSλ

Lq= Número promedio de personas o unidades en la línea o cola, en espera de servicio =

Lq=LS−λμ

=LS−ρ

W q= Tiempo promedio que una persona o unidad se

tarda en la cola esperando por servicio =

W q=W S−1μ

=Lqλ

Ejemplo 1

En una copistería se dispone de 3 máquinas fotocopiadoras a disposición del público, Cada máquina es capaz de servir, por término medio, 8 trabajos cada hora, A la copistería llegan como promedio 5 clientes a la hora,

Parámetros del sistema: = 5 clientes/h, = 8 clientes/h, c = 3 servidores, El sistema no se satura porque <1

ρ= λcμ

= 53 ·8

= 524

¿Cuál es la probabilidad de que las tres máquinas estén libres a la vez?

¿Cuál es el número medio de clientes en la cola?

Lq=cc ρc+1 p0

c ! (1−ρ )2=

33 ρ4 304569

3 ! (1−ρ )2=302

41791≈0,00722643 clientes

¿Cuál es el tiempo medio de espera en la cola?

W q=Lqλ

=3025 ·41791

=5235979

≈0 ,00144529 h

¿Cuál es el tiempo medio de espera en el sistema?

W=W q+1μ=52

35979+ 1

8=514

4065≈0 ,126445 h

Ejemplo 2

12

0

331

1

00 !

31!3

3!1! n

nc

n

ncc

nnc

cc

p

0,5342706569304

12825

85

12432125

!23

!13

!03

1!33

1121033

Un banco dispone de 3 ventanillas de atencion. Los clientes llegan al banco con tasa de 1 por minuto. El tiempo de servicio es de 2 minutos por persona.

Datos:

λ= 60

(tasa de llegadas),

μ= 60/2 = 30 (tasa de servicio),

s= 3

(numero de servidores).

L 2.89 P0 0.11Lq 0.89 P1 0.22W 0.049 P2 0.22Wq 0.015 P3 0.15Ρ 0.67 P4 0.10

Ejemplo 3

Suponga que existen cinco canales de servicio de tasas promedio de servicio m=6 y una tasa de llegada de λ=24 unidades por hora.

Esto implica que S=5. Como datos conocemos que: μ=6, λ=24 y S=5.

Entonces

ρ= λμ=24

6=4

Para encontrar los valores de P0 con una mayor rapidez nos podemos auxiliar de la tabla que se anexa a este sistema, la cual nos proporciona este valor teniendo como parámetros los valores de S y de r.

Considerando los valores obtenidos podemos calcular el valor de P0=0.0130, la probabilidad de que el sistema este ocupado será P(sistema ocupado)=0.5547, utilizando este valor obtenemos que:

Lq=P(sistema ocupado )∗p

s−p=0.05547∗4

5−4=2.2188unidades

L=2.2188+4=6.2188unidades

Ahora el tiempo promedio del sistema quedará definido de la siguiente forma:

W=Lλ=6.2188

24=0.2591hora

W q=Lqλ

=2 .218824

=0.0925hora