Teoria de conjuntos

CURSO DE ARITMÉTICA CONJUNTOS / I BIMESTRE / 3° GRADO 1

Prof. Micaela Uribe Córdova Fecha: ___/___/2013

¿Quién descubrió los conjuntos?

El Matemático alemán Georg Cantor (1845 – 1918) es

considerado el “Padre de la Teoría de Conjuntos”.

Gracias a El ahora podemos hablar de un conjunto de

personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de

objetos que hay en un momento dado encima de una mesa.

A pesar de sus grandes contribuciones a la Matemática,

Cantor murió pobre y sin que sus colegas reconocieran su

genio. Hoy día, la comunidad matemática reconoce

plenamente su trabajo y admite que significó un salto

importante en el mundo de las Matemáticas.

I Bimestre


1. ¿Cuántos CONJUNTOS formaste?

______________________________________________________

2. ¿Qué CONJUNTOS formaste?

______________________________________________________

______________________________________________________

______________________________________________________


Constantemente sin darnos cuenta estamos "construyendo" conjuntos. Cuando vamos al mercado y hacemos compras; cuando nos reunimos; cuando ordenamos las cosas en casa, etc., de alguna manera estamos agrupando.

¿Qué es un Conjunto?

Un conjunto es una colección o reunión de objetos, seres, números,

etc, con características comunes entre sus elementos.

NOTACIÓN DE CONJUNTO Y ELEMENTO

1. NOTACIÓN DE CONJUNTOS

A los conjuntos se les nombra con letras mayúsculas, tales

como A, B, C, D, etc. y se leen: Conjunto A, conjunto B,

etc.

2. NOTACIÓN DE ELEMENTOS

Un elemento es cada uno de los objetos, seres o cosas que

conforman el conjunto.

Para representar los elementos lo hacemos con letras

minúsculas. Si los elementos son letras se les separa con

comas; si son números, por puntos y comas, para no confundirlos

con los números decimales.


Representación de Conjuntos

DIAGRAMAS DE VENN - EULER El conjunto es representado por una curva cerrada y cada elemento es presentado por un punto.

DIAGRAMA DE LLAVES Los elementos se encuentran entre llaves. El conjunto va precedido del nombre del conjunto seguido del signo igual.


1. Representa los siguientes conjuntos utilizando diagramas de Venn y las llaves.

Recuerda que en cada elemento del

conjunto, se coloca un punto en el

extremo inferior izquierdo.

F = {números menores que 6}

F

F = { ______________________ }

P = {vocales}

P

P = { ______________________ }

A = {Días de la semana} C = {Colores básicos}

C

A = { ________________________

________________________ }

C = { _______________________

________________________ }


DETERMINACIÓN DE UN

CONJUNTO

Un conjunto se puede determinar de dos maneras:

Representa los siguientes conjuntos por Extensión y comprensión:

Un conjunto

Se determina por:

extensión

Cuando mencionamostodos los elementos

del conjunto.

comprensión

Cuando mencionamosuna característica que

defina a todos los elementos del conjunto.

A = {ovario, pistilo, granos de polen, pétalos, cáliz}

Por extensión:

A = {partes de la flor}

Por comprensión:

ovario

pistilo granos de

polen cáliz

pétalos

A

R = { _____________________________

____________________________ }

Por extensión:

R = { ____________________________ }

Por comprensión:

Costa

Selva Sierra

Mar Peruano

R

N = { ____________________________ }

Por extensión:

N = { ____________________________ }

Por comprensión:

do N

re

mi fa sol

la si


* Observa estos conjuntos definidos por comprensión, luego defínelos por extensión o viceversa.

K = {_________________________________________________________}

K = {América, Asia, África, Europa, Oceanía}

Q = {Meses del año cuya letra inicial es una vocal}

Q = {_________________________________________________________}

H = {_________________________________________________________}

H = {triángulo, cuadrado, círculo, rectángulo}

* Indica si los siguientes conjuntos están definidos por extensión o

comprensión.

U = {Ucayali, Amazonas, Marañón}

U= {_________________________________________________________}

T = {instrumentos musicales}

T= {_________________________________________________________}

F = {letras de la palabra patria}

F= {_________________________________________________________}

Y = {pantera, león, tigre}

Y= {_________________________________________________________}

X = {Washington, Bogotá, Quito}

X= {_________________________________________________________}


1. Crea tu propio conjunto y represéntalo por extensión y comprensión:

2. Escribe la determinación que corresponde:

A = {1; 3; 5; 7; 9} está determinado por_____________________________

B = {meses del año} está determinado por__________________________

C = {vocales} está determinado por_________________________________

3. Completa el siguiente cuadro:

Conjuntos por Extensión Conjuntos por Comprensión

O = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

Q = {lunes; martes; miércoles; jueves; viernes; sábado; domingo}

R = {a; e; i; o; u}

4. Completa el siguiente cuadro:

Conjuntos por Comprensión Conjuntos por Extensión

E = {letra de la palabra comida }

F = {año de mi nacimiento }

G = {colores de nuestra bandera }

R = { _____________________________

____________________________ }

Por extensión:

R = { ____________________________ }

Por comprensión:

R


RELACIONES DE CONJUNTOS

I. PERTENENCIA (∈) Y NO PERTENENCIA (∉)

* Carlos representó los astros que investigará.

Responde si o no entre los ( ).

a) La Estrella pertenece a la investigación de Carlos. ( )

b) los animales pertenecen a la investigación de Carlos. ( )

c) Los Planetas pertenecen a la investigación de Carlos. ( )

d) Los extraterrestres pertenecen a la investigación de Carlos. ( )

* Observa y analiza el siguiente mapa:

Éstos son los dibujos de los astros que investigaré.

p

Conjunto

Se relacionan con

elementos clasificados

mediante

Si un elemento cumplecon la característica de

un conjunto, decimos quepertenece a ese conjunto

y usamos el símbolo

Si un elemento no cumplecon la característica de

un conjunto, decimos queno pertenece a ese conjunto

y usamos el símbolo

Pertenencia No Pertenencia


1. NOCIÓN DE PERTENENCIA: ( ∈ )

Un elemento PERTENECE a un conjunto forma parte del conjunto; es decir, el elemento se encuentra “dentro del conjunto”.

Notación:

La pertenencia se simboliza con el signo ∈, que se lee “pertenece a” Ejemplo: A = {a, e, i, o, u}

Decimos que:

a ∈ A a

e ∈ A e

i ∈ A i

o ∈ A o

u ∈ A u

2. NOCIÓN DE NO PERTENENCIA: ( ∉ )

Un elemento NO PERTENECE a un conjunto cuando éste no forma parte del conjunto; es decir, el elemento se encuentra “fuera del conjunto”.

Notación:

La “no pertenencia” se simboliza con el signo ∉, que se lee “no pertenece a”.

Ejemplo:

B = {0; 1; 2; 3} Decimos que: 4 ∉ B 0 5 ∉ B 1 2 3

4 5

A

B


Ejemplo:

a ∈ A : El elemento a pertenece al conjunto A Válido

A ∈ a : El conjunto A pertenece al elemento a No válido

4 ∉ B : El elemento 4 pertenece al conjunto B Válido

B ∉ 4 : El conjunto B pertenece al elemento 4 No válido

1. Observa el conjunto del ejercicio anterior y coloca el símbolo ∈ o ∉. a) ___ p d) ___ p

b) ___ p e) ___ p

c) ___ p f) ___ p

* Marca con una (x) el elemento que no guarda relación con los

demás elementos de cada conjunto.

B = { arroz, caramelo, chocolate }

D = { pollo, cebolla, lapicero }

E = { loro, paloma, gato, gallina }

U = { aguja, hilo, zapato, tijera }

* Escribe tres elementos que pertenecen a los siguientes conjuntos.

H = {prendas de vestir} _______________________

O = {elementos de un botiquín escolar} _______________________

R = {animales vertebrados} _______________________

Q = {frutas cítricas} _________________________

Recuerda que los símbolos de ∈ y ∉ se usan de elemento a conjunto y no de conjunto a elemento.


2. Observa el diagrama y escribe los elementos que ∈ a cada conjunto

A = { ________________________ }

B = { ________________________ }

C = { ________________________ }

3. Con el diagrama anterior, escribe ∈ o ∉ según corresponda:

9 ______ B 3 ______ A 1 ______ A

8 ______ C 3 ______ B 4 ______ B

5 ______ A 3 ______ C 6 ______ A

10 ______ B 2 ______ A 6 ______ C

4. Escribe ∈ o ∉ según corresponda

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } C = {2, 8, 4, 10, 11 } V = { 3, 5, 16, 17, 18 }

1 ______ A 4 ______ V 1 ______ C

2 ______ C 4 ______ A 16 ______ V

10 ______ V 4 ______ C 6 ______ A

C

A

B


Subconjuntos

* Observa el siguiente conjunto y responde:

Un conjunto "Y" es subconjunto de otro conjunto "Z" cuando todos los elementos de un conjunto "Y" están en el conjunto "Z".

Para representar subconjuntos empleamos los símbolos:

⊂ se lee: "está incluido en"

⊄ se lee: "no está incluido en"

1. INCLUSIÓN (⊂ ):

Un conjunto está incluido o está incluido o es subconjunto de otro conjunto, si todos sus elementos pertenecen, o están contenidos, en el otro conjunto.

¿Qué podemos decir del

conjunto “Y” con relación

al conjunto “Z”?

________________________

________________________

s x

p b

w m

l

d

r

v

Z

Y

z

n

e

i o u

a

A

B

⊂ B A

Se puede leer de varias formas: B está incluido en A

B está contenido en A

B es una parte de A

B es subconjunto de A


2. NO INCLUSIÓN (⊄ ) :

Un conjunto no está incluido en otro conjunto o no es subconjunto de otro conjunto, si al menos un elemento no pertenece o no se encuentra dentro del otro conjunto.

* Observa los siguientes conjuntos y coloca o según corresponda.

M _____ S S _____ T T _____ S M _____ A

tierra

júpiter

urano

manzana

juevesmartes

viernes lunes

AM

S

domingo

sábado

T

miércoles

Recuerda que los símbolos de ⊂ y

⊄ se usan de conjunto a conjunto y no de conjunto a elemento o de

elemento a conjunto.

A

B

⊄ B A

A

B

⊄ B A

Se lee: B no incluido en A

Fig. 2

Fig. 1

Estos dos conjunto son disjuntos


* Coloca "V" o "F" según corresponda:

W ⊂ Z ( ) V ⊄ N ( )

N ⊄ W ( ) Y ⊂ V ( )

Z ⊄ W ( ) Z ⊂ V ( )

M ⊂ W ( ) N ⊂ V ( )

W ⊂ V ( ) M ⊄ Z ( )

VW

M Y

N Z


* Representa entre llaves cada uno de los siguientes conjuntos:

* Completa los espacios en blanco con los símbolos ⊂ o ⊄.

Z ___ R R ___ Z

X ___ Y Y ___ X

Z ___ X R ___ Y

* Observa los siguientes conjuntos y coloca ⊂ o ⊄.

Ana

Percy Juan Marco 2

4 6

8

1

3 5

X Y Z

R

X = { _________________________ }

R = { _________________________ } Y = { _________________________ }

Z = { _________________________ }

S

M _____ S S _____ T T _____ S M _____ A

i

j

t

r

A M

y

T

e

d c

b a


CLASIFICACIÒN DE CONJUNTOS

1. Con ayuda de tu maestra define lo siguiente:

Recuerda que en un conjunto los elementos iguales se cuentan sólo

una vez por ejemplo:

E = {vocales de la palabra planta}

Entonces: "E" es un conjunto unitario

Conjunto unitario

______________________________

______________________________.

M

W Conjunto vacío

______________________________

______________________________.

Conjunto universal U

______________________________

______________________________.

FINITO UNIVERSAL

VACIO UNITARIO

CLASIFICACIÓN DE

CONJUNTOS

INFINITO

Sigue, tú puedes


2. Representa gráficamente las siguientes afirmaciones.

3. Escribe a la derecha la palabra finito, infinito, vacío, unitario o

universal según corresponda.

O = {10, 12, 14, 16} ________________

P = {10, 12, 14, 16,...} ________________

a = {alumnos del 3er grado que pesan 82 kilos} ________________

R= {personal docente que conforma primaria} ________________

s = {directora del colegio} ________________

T = {número natural mayor que 5 y menor que 7} ________________

V= {número natural mayor que 8 y menor que 9} ________________

Conjunto finito

Es un conjunto formado por

un número de elementos que

podemos contar.

Ejemplo

Conjunto infinito

Es un conjunto formado por un

número de elementos que no

podemos terminar de contar.

Ejemplo

¡ Lo Lograste !


Indica que tipo de conjunto es: 1. Las vacas vuelan _________________________

2. Las gotas del mar _________________________

3. El Sol _________________________

4. Número mayor que 4 y menor que 5 _________________________

5. Las vocales _________________________

6. Los dedos de la mano _________________________

7. Los granos de arena _________________________

8. Los números _________________________

9. Un caballo con 6 colas _________________________

10. Todos los números _________________________

11. Las alumnas del 3º grado _________________________

12. La tutora del 3º A _________________________

13. Los carros nadan _________________________

14. Los miembros de tu familia _________________________

15. Tu colegio _________________________

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