APENDICE A

Generalidades de teora de conjuntos

No definiremos explcitamente el concepto de conjunto. Pensaremos en ellos

como colecciones de objetos.

Tema 1. Conceptos basicos

Repasaremos las definiciones mas basicas de teora de conjuntos:

Definiciones A.1.1. Sean A, B y X conjuntos.

1. Subconjunto: A B (x A x B).2. Conjunto de las partes de un conjunto: P(X) := {A | A X}.3. Igualdad de conjuntos: A = B (A B B A).4. Conjunto vaco: es el unico conjunto que cumple la propiedad de que

no contiene ningun elemento.

5. Union de conjuntos: A B := {x | x A x B}).6. Interseccion: A B := {x | x A x B}).7. Conjuntos disjuntos: A y B son disjuntos si A B = . En ocasio-

nes, si A y B son disjuntos, para escribir A B resaltando este hecho,escribiremos A

B.8. Union disjunta de conjuntos: A

B := {(A, a) | a A} {(B, b) |

b B}.9. Complementario de A en X: Ac := {x X | x 6 A}.

10. Diferencia de dos conjuntos: A \ B := A Bc; el complementario deA en X es Ac = X \ A.

11. Producto cartesiano: AB := {(a, b) | a A b B}.Ejercicio A.1. Sean A,B,C X todos ellos conjuntos; las siguientes son

sencillas consecuencias de las definiciones anteriores.

1. Si A B, entonces(a) A B = B,(b) A B = A.

2. Si A B y B C, entonces A C.3. Si A B y A C, entonces A B C.4. Si A C y B C, entonces A B C.

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224 A. GENERALIDADES DE TEORIA DE CONJUNTOS

5. Si A B, entonces(a) A A C B C,(b) A C B C B.

6. Si x A B y x 6 A, entonces x B (es decir, (A B) Ac B).7. A B = A = B = .

Definicion A.1.2. A la cuaterna (P(X),,, c) se le denomina algebra deBoole de X.

Propiedades A.1.3 (Algebra de Boole). Sean A,B,C X conjuntos, enton-ces

1. Propiedad conmutativa de la union: A B = B A.2. Propiedad conmutativa de la interseccion: A B = B A.3. Propiedad asociativa de la union: A (B C) = (A B) C.4. Propiedad asociativa de la interseccion: A (B C) = (AB)C.5. Propiedad cancelativa de la union respecto de la interseccion:

A (B A) = A.6. Propiedad cancelativa de la interseccion respecto de la union:

A (B A) = A.7. Propiedades del complementario:

(a) (Ac)c = A,

(b) A Ac = ,(c) A

Ac = X,(d) A B Bc Ac (por tanto A = B Ac = Bc).

8. Leyes de Morgan:

(a) (A B)c = Ac Bc,(b) (A B)c = Ac Bc.

9. Propiedad distributiva de la interseccion respecto de la union:

A (B C) = (A B) (A C).10. Propiedad distributiva de la union respecto de la interseccion:

A (B C) = (A B) (A C).Demostracion.

1. x A B x A x B x B x A x B A.2. x A B x A x B x B x A x B A.3. x A (B C) x A (x B x C) (x A x B) x

C x (A B) C.4. x A (B C) x A (x B x C) (x A x B) x

C x (A B) C.

TEMA 1. CONCEPTOS BASICOS 225

5. () Dado que A A y A B A, entonces A (A B) A (Ejerci-cio A.1(4)).

() Dado que A A, entonces A A (A B) (Ejercicio A.1(5a)).6. () Dado que A A, entonces A (A B) A (Ejercicio A.1(5b)).

() Dado que A A y A A B, entonces A A (A B) (Ejerci-cio A.1(3)).

7. (a) x (Ac)c x 6 Ac x A.(b) Supongamos x A Ac x A x 6 A, lo que da lugar a

contradiccion. Por lo tanto AAc no tiene elementos, es decir, AAc =.

(c) Para probar X = A Ac, basta demostrar X A Ac. Sea x X,entonces x A x 6 A, por lo tanto x AAc. Ademas la union esdisjunta por el apartado anterior.

(d) () x Bc x 6 B. Por lo tanto x 6 A (ya que si x A se tendraque x B lo cual es contradictorio).

() Bc Ac (Ac)c (Bc)c por el caso anterior. Utilizando elapartado 7a, se tiene que A B.

8. (a) () (A B)c Ac por 7d, ya que A A B. Analogamente(AB)c Bc. Por lo tanto (AB)c AcBc (Ejercicio A.1(3)).

() Supongamos que x Ac Bc, entonces x 6 A x 6 B, luegox 6 A B, y as x (A B)c.

(b) Por 8a, (Ac Bc)c = (Ac)c (Bc)c. As pues, utilizando 7a y 7d, setiene que (A B)c = Ac Bc.

9. () Sea x A (B C). Si x A, entonces (x A B) (x A C),es decir, x (A B) (A C). Si x 6 A, entonces x B C(Ejercicio A.1(6)), por lo tanto (x A B) (x A C), es decir,x (A B) (A C).

() Supongamos que x (AB)(AC). Si x A, entonces x A(BC). Si x 6 A, como x A B, entonces x B (Ejercicio A.1(6)).Del mismo modo, como x A C, entonces x C. Por lo tantox B C.

10. Utilizando las Leyes de Morgan se tiene:(A (B C)

)c=Ac (Bc Cc) = (Ac Bc) (Ac Cc) =

= (A B)c (A C)c =((A B) (A C)

)c.

Por lo tanto, utilizando 7d, se tiene el resultado.

226 A. GENERALIDADES DE TEORIA DE CONJUNTOS

Ejercicio A.2. Demuestra las siguientes formulas:1. (B A) \ (C A) = (B \ C) A.2. Si A B entonces A \ C B \ C. Deduce de esto que

A = B A \ C = B \ C.3. A B = si y solo si A Bc. Deduce entonces que

A B = C (A Bc C) (C A B)4. A \B = A \ (A B)5. Si A1 A2 y B1 B2, entonces A1 B1 A2 B2.6. (A

B) \B = A. Deduce de esto queA1

B = A2 B A1 = A2.7. (A \B) B = A B.8. (a) (A1 A2) (B1 B2) = (A1 B1) (A1 B2) (A2 B1) (A2 B2).

(b) (A1 B1) (A2 B2) = (A1 A2) (B1 B2). Deduce de esto:(A1 B1) (A2 B2) = (A1 A2 = ) (B1 B2 = ).

9. (A B)c = (A Bc) (Ac B) (Ac Bc).Observacion A.1.4. Observese que el recproco del Ejercicio A.2(2) no es

cierto. Por ejemplo, si C \ B 6= , y definimos A = B C, entonces se tiene queA \ C B \ C, mientras que A 6 B.