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3. Cargas Estticas3.1. INTRODUCCINUna pieza de una mquina pude fallar por diferentes causas: Excesiva deformacin elstica Excesiva deformacin plstica Rotura bajo carga esttica Rotura bajo cargas de impacto Rotura bajo cargas cclicas Desgaste El objetivo de este captulo es estudiar el fallo bajo cargas estticas. Una carga esttica es una accin estacionaria de una fuerza o un momento que actan sobre cierto objeto. Para que una fuerza o momento sean estacionarios o estticos deben poseer magnitud, direccin y punto (o puntos) de aplicacin que no varen con el tiempo. Distorsin o deformacin plstica: la pieza adquiere una deformacin plstica tal que le impide cumplir su misin. El % de deformacin admisible depende de cada aplicacin. El lmite elstico nominal de los materiales suele definirse (Captulo 2) para un 0,2% de deformacin plstica. Rotura: el fallo por rotura puede ser de dos tipos dctil (precedida de gran deformacin plstica) o frgil (no precedida de gran deformacin plstica y por lo tanto muy peligrosa). En el captulo previo se han explicado los mecanismos de deformacin y rotura en materiales dctiles y frgiles. Obviamente, dicho comportamiento definir el criterio de fallo a emplear en materiales dctiles y materiales frgiles. La resistencia (fluencia y rotura) es una propiedad o caracterstica de un material o elemento mecnico. Esta propiedad puede ser inherente al material o bien originarse de su tratamiento y procesado. Habitualmente slo se dispone de informacin correspondiente al ensayo de traccin. Los componentes de mquinas en general trabajan bajo estados de tensin multidireccional. El objetivo de las teoras de fallo esttico es relacionar el fallo en un estado unidireccional (ensayo de traccin) con el fallo bajo cualquier estado de tensiones. En este captulo se examinarn las relaciones existentes entre la resistencia de una pieza y su carga esttica previsible, a fin de seleccionar el material y sus dimensiones ptimas para cumplir el requisito de que la pieza no falle en servicio. Existen diferentes mtodos para cumplir con estos objetivos:- 45 DISEO DE MQUINAS I

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El mtodo determinista o del factor de seguridad: En este caso el esfuerzo o esfuerzos mximos que actan en una pieza se mantienen por debajo de la resistencia mnima por medio de un factor de diseo o margen de seguridad adecuados, a fin de asegurar que la parte no fallar. El mtodo estadstico o de confiabilidad: Este mtodo implica la seleccin de materiales, procesamiento y dimensiones tales que la probabilidad de fallo sea siempre menor que un valor predeterminado.

3.2. MATERIALES DUCTILES: TEORA DEL ESFUERZO CORTANTE MXIMO (TRESCA)La teora del esfuerzo cortante mximo establece que se produce la fluencia cuando la tensin cortante alcanza el valor del esfuerzo cortante mximo. El esfuerzo cortante mximo se define como el correspondiente a la fluencia del material en el ensayo de traccin, esto es En el Captulo 1 se dedujo que:1 / 2 = 2 / 3 =1 / 3 =Sy 2

.

1 2 2 2 3 21 3 2

(1) (2) (3)

Imaginemos que los esfuerzos principales se descomponen en:' 1 = 1 + m

(4)

2 = '2 + m (5) 3 = '3 + m (6)' La componente m se designa componente hidrosttica. Si llega a suceder que 1 = '2 = '3 entonces los tres esfuerzos cortantes sern nulos y no habr nunca fluencia independientemente del valor de los esfuerzos hidrostticos. Esto es, las componentes hidrostticas no tienen efecto alguno en el tamao del crculo de Mohr, sino que solamente sirven para desplazarlos segn el eje del esfuerzo normal. Por esta razn, el criterio de fluencia del estado de esfuerzo general puede representarse por medio del cilindro hexagonal oblicuo de la Figura 1. La Figura 2 muestra la teora para esfuerzos biaxiales.

Esta hiptesis predice que las tensiones hidrostticas no producen fluencia. Tambin predique la tensin de fluencia a cortadura es S ys =Sy 2

.

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Figura 1 - Teora del esfuerzo cortante mximo en tres dimensiones. El cilindro hexagonal contiene todos los valores seguros (rgimen elstico) del estado de esfuerzo general dado por los esfuerzos principales. El eje del cilindro est inclinado de la misma manera segn cada una de las tres direccines principales y es el lugar geomtrico de los puntos del componente hidrosttica.

Figura 2 - Teora del esfuerzo cortante mximo para esfuerzos biaxiales. Obsrvese que en el primer y tercer cuadrantes , esta teora es la misma que la del esfuerzo normal mximo. Es conveniente considerar los distintos estados tensionales posibles en el caso de tensin plana: Caso 1: 1 > 2 > 0 . La mxima tensin de cortadura es max = max =S 1 = y 2 2 cs

1 . Fallo para 2

Caso 2: 0 > 1 > 2 . La mxima tensin de cortadura es max =

max =

S 2 = y 2 2 cs

2 . Fallo para 2

Caso 3: 1 > 0, 2 < 0 . La mxima tensin de cortadura es max =

max =

S 1 2 = y 2 2 cs

1 2 . Fallo para 2

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3.3. MATERIALES DCTILES: TEORAS DE LAS ENERGAS DE DEFORMACINLa teora de la energa de deformacin establece que la fluencia se produce cuando la energa de distorsin en un volumen unitario iguala o excede el valor de la energa de distorsin en el mismo volumen en un ensayo de traccin en el momento de la fluencia en traccin o compresin. La teora de la energa de distorsin se origin a partir de la observacin de que materiales dctiles, sometidos a esfuerzo hidrosttico (tractivo o compresivo), tenan resistencias de fluencia muy superiores a los valores obtenidos por el ensayo de traccin. As, se postul que la fluencia no era un fenmeno de traccin o compresin simples, sino que mas bien estaba relacionada con la distorsin ( o deformacin angular) del elemento esforzado.U T Um = U d (7)

donde: Ud: energa de distorsin UT: energa de deformacin total Um: energa de aumento de volumen (asociada al estado de tensiones hidrosttico, que produce aumento del volumen sin distorsionar el elemento).

Figura 3 - A) Elemento con esfuerzos triaxiales; este elemento sufre cambio de volumen y distorsin angular. B) El elemento sometido a tensin hidrosttica slo experimenta cambio de volumen. C) El elemento tiene distorsin angular sin cambio de volumen.m = 1 + 2 + 3 3

(8) (9)

m =

1 + 2 + 3 33 i =1

As,Um = 1 3 m m (1 + 2 + 3 ) (1 + 2 + 3 ) i i = = (10) 2 2 6

Por otro lado sabemos que:1 = 1 2 3 E

(11) (12)

2 =

2 1 3 E

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3 =

3 2 1 E

(13)

Con lo que la energa de aumento de volumen queda:Um =

(1 2) (1 + 2 + 3 )26E

(14)

Anlogamente, la energa total de deformacin es:UT =3 i =1

1 + 2 2 + 3 3 1 + 2 + 3 2(1 2 + 1 3 + 2 3 ) i i = 1 1 = (15) 2 2 2E2 2 2

De donde la energa de distorsin resulta:Ud = UT Um =

(( )1 2

2

+ (2 3 ) + (3 1 ) (1 + ) 6E2 2

)

(16)

En el ensayo de traccin, 1 = S y , y 2 = 3 = 0 . Por lo tantoUd = S y (1 + )2

3E

(17)

De ambas expresiones, resulta el criterio de Von Mises:

(1 2 )2 + ( 2 3 )2 + ( 3 1 )22 eq =

= Sy

2

(1 2 )2 + ( 2 3 )2 + ( 3 1 )22

= Sy

(18)

La tensin eq se denomina tensin efectiva o tensin de von Mises. Esta tensin representa el estado de tensiones completo 1, 2 , 3 . Cuando la tensin efectiva alcanza el valor del lmite de fluencia se produce la fluencia del material. Para un estado de tensiones biaxial, siendo A y B las tensiones principales distintas de cero:2 2 + B A B = S y A

(19)

En las expresiones se puede introducir el concepto de coeficiente de seguridad c.s dividiendo las resistencias a traccin Sy en las expresiones (18) y (19) por dicho factor. Esta ecuacin define una elipse en el plano A - B .

Figura 4 Criterio de Von Mises 2D

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La teora de la energa de distorsin recibe tambin los siguientes nombres: Teora de la energa de esfuerzo cortante Teora de von Mises-Hencky Teora del esfuerzo cortante octadrico En la teora del esfuerzo cortante octadrico, se supone que el fallo se produce cuando el esfuerzo cortante octadrico para cualquier estado de esfuerzo es igual o mayor que el esfuerzo cortante octadrico del espcimen de ensayo de traccin en el momento de la fluencia. Vimos que el esfuerzo cortante octadrico se expresa como:oct =

((Sy 3

1

2 ) + ( 2 3 ) + (3 1 )2 2

2

)

3

(20)

Y por otro lado, en el ensayo de traccin, en el momento de la fluencia, I = S y y 2 = 3 = 0 :oct = 2 (21)

Igualando estas expresiones y despejando Sy, se obtiene:

(( )1 2

2

+ (2 3 ) + (3 1 ) 22

2

)=S

y

2

(22)

que es idntica a la expresin (18). El criterior de Von Mises en el caso 3D se representa de la siguiente forma:

Figura 5 Criterio de Von Mises 3D Esta hiptesis predice que las tensiones hidrostticas no producen fluencia. Tambin predique la Sy . Considrese un elemento sometido a cortadura pura, tal tensin de fluencia a cortadura es S ys = 3 que su crculo de Mohr corresponde con un crculo de radio y centrado en el origen. Particularizando la expresin (19) para este estado de tensiones obtenemos:

2 + 2 ( ) = 3 = S y S ys =

Sy 3

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3.4. MATERIALES FRGILES: TEORA DEL ESFUERZO NORMAL MXIMO (RANKINE)La teora del esfuerzo normal mximo establece que el fallo se produce cuando uno de los tres esfuerzos principales alcanza el valor de la resistencia a traccin o compresin. Si se ordenan los esfuerzos principales tal que:I > 2 > 3I = S t 3 = Sc

(23) (24) (25)

Entonces el fallo se produce si:

donde St es la resistencia a traccin y Sc la resistencia a compresin (normalmente a fluencia o a rotura respectivamente). En esta modelo se puede considerar los coeficientes de seguridad en las expresiones (24) y (25) dividiendo las resistencias por dicho factor.

Figura 6 - Teora del esfuerzo normal mximo en tres dimensiones. El prima rectangular recto contiene todos los valores seguros de cualquier combinacin de componentes de esfuerzo. La resistencia de compresin Sc puede ser distinta de la de traccin St. Para esta teora, stas pueden ser resistencia de fluencia o de rotura. Ntese que las resistencias son siempre cantidades positivas, pero los esfuerzos pueden ser positivos o negativos.

Figura 7 - Teora del esfuerzo normal mximo en dos dimensiones asumiendo que Sc>St. Los estados de esfuerzo contenidos en el rea sombreada son seguros.

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3.5. MATERIALES FRGILES: TEORA DE LA DEFORMACIN NORMAL MXIMA (SAINT VENANT)Esta teora se aplica slo en rgimen elstico. Esta teora establece que se produce la fluencia cuando la mayor de las tres deformaciones principales es igual a la deformacin correspondiente al lmite elstico. Si se asume que el lmite elstico a tensin y compresin son iguales, entonces las deformaciones causadas por los esfuerzos pueden igualarse a las deformacin correspondiente al lmite elstico.I (2 + 3 ) = S y 2 (3 + 1 ) = S y 3 (1 + 2 ) = S y

(26) (27) (28)

Si uno de los tres esfuerzos principales es cero, y los dos restantes se designan como A y B para estados de esfuerzos biaxiales, el criterio de fluencia se escribe como: A B = S y B A = S y

(29) (8)

Figura 8 - Teora de la deformacin normal mxima para estados de esfuerzo biaxiales.

3.6. MATERIALES FRGILES:CRITERIO DE MOHR Y MOHR MODIFICADOLos materiales frgiles no se calculan a fluencia sino a rotura. La carga de rotura a compresin es muy superior que la carga de rotura a traccin, del orden de aproximadamente 3 o 4 veces superior. Es conveniente considerar los distintos estados tensionales posibles en el caso de tensin plana: Caso 1: 1 > 2 > 0 . En este cuadrante, el criterio de fallo que se adopta es el de cortadura S mxima. La mxima tensin de cortadura es max = 1 . Fallo para max = 1 = ut 2 2 cs 2 Caso 2: 0 > 1 > 2 . En este cuadrante tambin se emplea la teora de cortadura mxima. S La mxima tensin de cortadura es max = 2 . Fallo para max = 2 = uc 2 2 cs 2 Caso 3: 1 > 0, 2 < 0 . En este cuadrante no se emplea la teora de cortadura mxima, sino la teora de Mohr, que establece que un material frgil con tensiones principales de distinto signo falla cuando el crculo de Mohr de tensiones es tangente a las tangentesDISEO DE MQUINAS I - 52 -

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exteriores comunes de los crculos de Mohr mximo y mnimo. La expresin matemtica 1 2 1 + = . En esta expresin se toman valores absolutos de las tensiones es: Sut Suc cs principales.

Figura 10. Criterior de Mohr. En la realidad se ha constatado que materiales frgiles soportan igualmente tensiones de traccin y de torsin. Esto es, un material frgil sometido a torsin pura falla cuando 1 = 2 = S su = Sut . El crculo de Mohr corresponde un un crculo centrado en el orgen de radio Sut=Sus. El criterio de Mohr, segn la Figura 10, predice el fallo para este estado de tensiones, y predice S yt S yc una resistencia a la torsin: S ys = S yt + S yc

Por ello, el Criterio de Mohr Modificado modifica el Criterio de Mohr, que resulta excesivamente conservador. El criterio de fallo queda modificado para 1 > 0, 2 < 0 , siendo la expresin matemtica: Para 1 > 2 , se tiene: Para 1 < 2 , se tiene:

1 S = ut 2 2 cs1 Suc Sut 1 + 2 = . Sut Suc Suc cs

Figura 11. Criterio de Mohr modificado.

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3.7. ELECCIN DE LA TEORA DE FALLOLa eleccin de la teora de fallo puede realizarse de la siguiente forma:

Frgil0.05

No S ut=S uc

Si

No S yt=S yc

Si

Criterio de Mohr modificado

Esfuerzo normal mximo

Tensin cortante mxima

Energa de distorsin

Obsrvese que en materiales dctiles el criterio de fallo se relaciona con el lmite elstico a cortadura: Tensin cortante mxima: S ys = Energa de distorsin: S ys =Sy 3 Sy 2

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