Teoría de Gelfand para n-homomor smos de robFenius · Agradecimientos Agradezco al Consejo...

"Teoría de Gelfand para n-homomorsmos de Frobenius"

Tesis que presenta:

Yamid Alexánder Osorio Agudelo

para obtener el grado de:

Maestro en Ciencias

en la especialidad de

Matemáticas

Director de la Tesis:

Dr. Iakov Mostovoi

México, D.F. Febrero, 2014

Agradecimientos

Agradezco al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) por el apoyo

económico brindado para poder realizar satisfactoriamente mis estudios de maestría.

También al Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico

Nacional (CINVESTAV) y en especial al Departamento de Matemáticas por la forma-

ción que obtuve durante los dos últimos años, por medio de sus diferentes Doctores, en

especial a mi asesor el Dr. Jacob Mostovoy.

A mi familia por ser el aliento moral en cada día de la maestría. En especial a mis

padres Fabiola y Roman, hermanas Catalina y Maritza, sobrinas Daniela y Maria Angel

y mi novia Gloria María, quienes nunca dejaron de alentarme.

III

IV AGRADECIMIENTOS

Índice general

Agradecimientos III

Resumen VII

Abstract IX

Introducción XI

1. Preliminares. 1

1.1. Álgebras de Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Caracteres y la representación de Gelfand . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Álgebras C*. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Productos simétricos y n-homomorsmos de Frobenius. 25

2.1. Una identidad sobre particiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2. Transformaciones de Frobenius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3. Productos simétricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3. Preguntas abiertas. 47

3.1. Homomorsmos de Frobenius sobre álgebras no conmutativas. . . . . . 47

3.2. Homomorsmos de C(X)→Mn(R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

V

VI Índice general

Resumen

Una manera de estudiar un espacio topológico X es a través del álgebra de funciones

continuas con valores complejos C(X), que es una C*-álgebra si X es localmente com-

pacto. Esta tesis analiza la generalización de dicha idea a la situación donde el espacio

de caracteres se cambia por el espacio de los llamados n-caracteres, o n-homomorsmos

de Frobenius al álgebra de los números complejos, cuya construcción está motivada

por funciones multivaluadas. El resultado principal que se analiza en esta tesis arma

que el espacio de n-caracteres de una C*-álgebra es homeomorfo al n-ésimo producto

simétrico del espacio de 1-caracteres. Finalmente discutimos algunas preguntas abiertas

que surgen al considerar álgebras no conmutativas y otra generalización del teorema de

Gelfand-Naimark conmutativo donde los caracteres se reemplazan por homomorsmos

al álgebra de matrices reales n× n.

VII

VIII RESUMEN

Abstract

One way to study a topological space X is through the algebra of complex-valued

continuous functions C(X), which is a C*-algebra if X is locally compact. This thesis

examines the generalization of this idea to the situation where space characters are

changed by the space of so-called n-characters or n-homomorphisms of Frobenius to

the algebra of complex numbers, whose construction is motivated by multiple-valued

functions. The main result analyzed in this thesis is that the space of n-characters

of a C*-algebra is homeomorphic to the n-th symmetric product of the space of 1-

characters. Finally we discuss some open questions that arise when considering non-

commutative algebras and another generalization of the commutative Gelfand-Naimark

theorem where characters are replaced by the algebra homomorphisms to n×n complex

matrices.

IX

X ABSTRACT

Introducción

En este trabajo estudiamos la teoría de Gelfand y algunas generalizaciones. Esta

teoría tiene entre sus resultados más importantes el famoso teorema de Gelfand-Naimark

el cual es relevante y fue signicativo en el desarrollo de la teoría de las C*-álgebras

porque establece que toda C*-álgebra conmutativa con identidad A es isomorfa, como

C*-álgebra, al álgebra C(X) de todas las funciones continuas y C-valuadas sobre un

cierto espacio topológico compacto Hausdor X. Este espacio X es obtenido como el

espectro de Gelfand de los homomorsmos A → C sobre una C*-álgebra A (también

llamados caracteres de A).

Entre los ejemplos no conmutativos de C*-álgebras encontramos el álgebra B(H)

de operadores acotados sobre un espacio de Hilbert. Gelfand y Naimark también de-

muestran que toda C*-álgebra es *-isomorfa a una *-álgebra de operadores de espacios

de Hilbert. Este tema es a veces llamado topología no conmutativa.

La tesis está dividida en tres capítulos. El primero de ellos presentara los conceptos

y herramientas básicas de la teoría de Gelfand y las C*-álgebras. En el segundo capí-

tulo se generaliza la idea de estudiar un espacio topológico X a través del álgebra de

funciones C(X). Esto último se hará introduciendo los n-homomorsmos de Frobenius

y los productos simétricos Symn(X) del espacio X. Se demuestra que el espacio de

n-homomorsmos de Frobenius de C(X) a C es homeomorfo a Symn(X). En el tercer

XI

XII INTRODUCCIÓN

capítulo se mencionan algunas preguntas abiertas que surgen de las construcciones dis-

cutidas en la tesis, y se describe brevemente otra generalización de la teoría de Gelfand

que involucra matrices en lugar de números complejos.

Nuestro objetivo en el primer capítulo será introducir las álgebras de Banach para

luego denir los caracteres de un álgebra conmutativa A, el cual denotaremos por Ω(A),

y que tiene especial importancia en la teoría de dicho capítulo y además se generalizan

en el segundo capítulo. Finalmente enunciamos y demostramos los teoremas de Gelfand-

Naimark, Gelgand-Kolmogorov y Gelfand-Naimark-Segal.

En el segundo capítulo empezamos demostrando un resultado de combinatoria que

será importante para demostrar varios resultados del capítulo. Luego denimos los

n-homomorsmos de Frobenius los cuales son una generalización de los caracteres

Ω(A). Y por último se estudiará los productos simétricos Symn(X) para un espacio

X estableciéndose homeomorsmos de estos con el conjunto de n-homomorsmos de

Frobenius, teniéndose como caso particular para n = 1 un homomorsmo entre X y

los 1-homomorsmo de Frobenius que no son más que los caracteres sobre el álgebra

A = C(X).

Finalmente en el tercer capítulo discutiremos y dejaremos algunas preguntas abiertas

que surgen al considerar álgebras no conmutativas o también ver qué pasa si en lugar

del espacio de caracteres para un álgebra de funciones A = C(X) tomamos el espacio

de homomorsmos de la forma A→ Mn(R).

Capítulo 1

Preliminares.

En este capítulo veremos deniciones y teoremas relevantes relacionados con C*-

álgebras; estos nos permitirán enunciar y demostrar los teoremas de Gelfand-Naimark,

Gelfand-Kolmogorov y Gelfand-Naimark-Segal los cuales son resultados importantes en

esta tesis.

1.1. Álgebras de Banach.

Denición 1.1.1. Un álgebra de Banach es un espacio de Banach complejo (A, ‖‖)

junto con una multiplicación asociativa y distributiva tal que:

λ(ab) = (λa)b = a(λb)

y

‖ab‖ ≤ ‖a‖ ‖b‖

para todo a, b ∈ A, λ ∈ C.

1

2 Preliminares.

Note que para todo a, a′, b, b′ ∈ A, tenemos que

‖ab− a′b′‖ = ‖a(b− b′) + (a− a′)b′‖ ≤ ‖a‖ ‖b− b′‖+ ‖a− a′‖ ‖b′‖

de donde vemos que la multiplicación es continua.

Decimos que el álgebra A es conmutativa (o abeliana) si ab = ba para todo a, b en A,

y A es unital si posee una unidad o identidad (multiplicativa). Si A tiene una identidad,

entonces esta es única y la denotaremos por 1A

Denición 1.1.2. Sea A un álgebra de Banach unital. Para cada a ∈ A, El espectro

de a en A es

σ(a) = σA(a) = λ ∈ C : λ1A − a /∈ InvA

donde InvA es el conjunto de elementos invertibles de A.

Ejemplo 1.1.3. Sea X un espacio topológico compacto. Si f ∈ C(X) entonces el

espectro de f es su imagen, es decir,

σ(f) = f(X) = f(x) : x ∈ X .

En efecto,

λ ∈ σ(f) ⇐⇒ λ1− f /∈ InvC(X)

⇐⇒ (λ1− f)(x) = 0 para algún x ∈ X,

⇐⇒ λ = f(x) para algún x ∈ X

⇐⇒ λ ∈ f(X).

1.1. Álgebras de Banach. 3

Un resultado básico, cuya demostración puede encontrarse en [6], establece que: el

espectro de un elemento a ∈ A, es un subconjunto compacto no vacío de C, además

σ(a) ⊆ λ ∈ C : |λ| ≤ ‖a‖.

Denición 1.1.4. Sea A un álgebra de Banach unital. El radio espectral de un elemento

a ∈ A se dene como:

r(a) = rA(a) = supλ∈σA(a)

|λ| .

Dado X, un espacio de Banach. Su espacio dual X∗; es el espacio de Banach de

funcionales lineales continuos ϕ : X → C, con la norma ‖ϕ‖ = sup‖x‖≤1 |ϕ(x)|.

Denición 1.1.5. Para x ∈ X, sea Jx : X∗ → C, ϕ 7→ ϕ(x). La topología sobre X∗

es la topología débil inducida por la familia Jx : x ∈ X.

Recordemos algunas características y propiedades de la topología débil en X∗:

1. Para x ∈ X, el mapeo Jx es simplemente la imagen canónica de x en X∗∗. En

particular, cada Jx es continuo cuando X∗ está equipado con la topología usual

de su norma, así la topología débil* es más débil que la topología inducida por la

norma sobre X∗.

2. Los conjuntos ψ ∈ X∗ : |ψ(x)− ϕ(x)| < ε para ϕ ∈ X∗, ε > 0 y x ∈ X forman

una subbase para la topología débil*.

3. Por (2), X∗ con la topología débil es un espacio topológico de Hausdor.

Teorema 1.1.6. (El teorema de Banach-Alaoglu). Sea X un espacio de Banach. La

bola unitaria cerrada de X∗ es compacta en la topología débil* (Ver [6]).

4 Preliminares.

1.2. Caracteres y la representación de Gelfand

En esta sección desarrollamos la teoría de Gelfand y trabajamos con álgebras de

Banach conmutativas. En particular, si A es un álgebra de Banach conmutativa unital

identicaremos su espacio de ideales maximales ∆A con un espacio Ω(A) que llamaremos

conjunto de caracteres de A. Luego deniremos lo que se conoce como la transformada

de Gelfand de un elemento a ∈ A con la cual podremos denir un homomorsmo de

álgebras γ : A→ C(Ω(A)), llamado la representación de Gelfand de A.

Denición 1.2.1. Un caracter en un álgebra de Banach abeliana unital A es un fun-

cional lineal no nulo κ : A → C que cumple κ(ab) = κ(a)κ(b) para todo a, b ∈ A.

Denotamos por Ω(A) al conjunto de caracteres sobre A.

Ejemplo 1.2.2. Sea A = C(X) donde X es un espacio topológico compacto. Para

cada x ∈ X, el mapeo δx : A→ C, f 7→ f(x) es un caracter sobre A.

El siguiente lema establece una propiedad interesante de los caracteres la cual será

bueno tener en cuenta, porque cuando denamos los n-homomorsmos de Frobenius

vamos a pedir que estos cumplan una condición análoga al evaluarlos en la identidad

1A.

Lema 1.2.3. Si κ ∈ Ω(A) entonces κ es continuo. Más precisamente,

‖κ‖ = κ(1) = 1.

En particular, Ω(A) es un subconjunto de la bola unitaria cerrada de A∗(espacio

dual). (Ver [6])

La topología de Gelfand sobre Ω(A) es la topología de subespacio obtenida de la

topología débil* sobre A∗. Llamamos al espacio topológico Ω(A) como espacio de ca-

racteres o espectro, de A.

1.2. Caracteres y la representación de Gelfand 5

Teorema 1.2.4. Ω(A) es un espacio Hausdor compacto.

Demostración. Ya que la topología débil* es Hausdor entonces Ω(A) también lo es.

Por el lema 1.2.3, Ω(A) está contenido en la bola unitaria de A∗, la cual es compacta

en la topología débil* por el teorema 1.1.6. Un subconjunto cerrado de un conjunto

compacto es compacto, por lo que es suciente mostrar que Ω(A) es débil* cerrado en

A∗. Sabemos que:

Ω(A) = κ ∈ A∗ : κ(1) = 1, κ(ab) = κ(a)κ(b) para a, b ∈ A

= κ ∈ A∗ : κ(1) = 1 ∩⋂a,b∈A κ ∈ A∗ : κ(ab)− κ(a)κ(b) = 0

= J−11 (1) ∩

⋂a,b∈A (Jab − Ja.Jb)−1 (0).

Cada funcional evaluación Ja : A∗ → C, τ 7→ τ(a) es débil* continuo, así los mapeos

Jab − Ja · Jb también lo son. Por lo tanto, los conjuntos en esta intersección son todos

débil* cerrados, y así Ω(A) es débil* cerrado.

Este último teorema es importante porque casi todos los teoremas principales que

utilizamos requieren que los espacios sean Hausdor compactos.

Observación 1.2.5. Sea A un álgebra de Banach abeliana con identidad, entonces

se tienen las siguientes relaciones entre Ω(A), el espectro σ(a) y el radio espectral r(a)

para a ∈ A.

1. a ∈ InvA si y solo si κ(a) 6= 0 para todo κ ∈ Ω(A).

2. σ(a) = κ(a) : κ ∈ Ω(A).

3. r(a) = supκ∈Ω(A) |κ(a)|.

6 Preliminares.

Si τ ∈ Ω(A) entonces denotamos su núcleo por Ker τ y el conjunto de ideales

maximales de A por ∆A.

Lema 1.2.6. Sea A un álgebra de Banach abeliana.

1. Si τ ∈ Ω(A) entonces Ker τ ∈ ∆A.

2. Si M ∈ ∆A, entonces el mapeo C → A/M , λ 7→ λ1 + M es un isomorsmo

isométrico.

Para la demostración de este último lema y del siguiente teorema ver [6].

Teorema 1.2.7. Sea A un álgebra de Banach abeliana unital. El mapeo

τ 7→ Ker τ

es una biyección de Ω(A) sobre ∆A.

Ejemplo 1.2.8. Sea X un espacio de Hausdor compacto. Para x ∈ X, el mapeo

δx : C(X) → C, f 7→ f(x) es un homomorsmo no nulo, de donde δx : x ∈ X ⊆

Ω(C(X)). Veamos que se cumple la igualdad.

Para x ∈ X, seaMx = Ker δx = f ∈ C(X) : f(x) = 0, el cual es un ideal maximal

de C(X) por el teorema 1.2.7. Sea I un ideal de C(X). Si I * Mx para todo x ∈ X,

entonces para cada x ∈ X, existe fx ∈ I con fx 6= 0. Ya que I es un ideal, gx = |fx|2 =

fxfx ∈ I, ya que gx es continua y no negativa con gx(x) > 0, existe un conjunto abierto

Ux con x ∈ X y gx(y) > 0 para todo y ∈ Ux. Como x varía a lo largo de X, los conjuntos

abiertos Ux cubren a X. Ya que X es compacto, existe n ≥ 1 y x1, . . . , xn ∈ X tal que

Ux1 , . . . , Uxn cubren a X. Sea g = gx1 + · · ·+ gxn. Entonces g ∈ I y g(x) > 0 para todo

x ∈ X, de modo que g es invertible en C(X). Por lo tanto I = C(X).

1.2. Caracteres y la representación de Gelfand 7

Esto muestra que todo ideal propio I de C(X) está contenido en Mx para algún

x ∈ X. Sea τ ∈ Ω(C(X)). Ya que Ker τ es un ideal maximal propio, debemos tener

Ker τ = Mx para algún x ∈ X, asi τ = δx por el teorema 1.2.7.

Considere el mapeo θ : X → Ω(C(X)), x 7→ δx. Ya hemos mostrado que es sobreyec-

tiva, falta solo mostrar la inyectividad. Como X es compacto y Hausdor, C(X) separa

los puntos de X por el lema de Urysohn. Por lo tanto si δx = δy entonces f(x) = f(y)

para todo f ∈ C(X), de modo que x = y, de donde θ es una biyección.

Veamos ahora que θ es un homeomorsmo. En efecto, θ es continua ya que para

f ∈ C(X) y x ∈ X tenemos que

Jf (θ(x)) = Jf (δx) = δx(f) = f(x),

de modo que Jf θ : X → C es continua para todo f ∈ C(X), de donde θ es continua

(ver teorema 4.6 en [5]). Ya que X es compacto y Ω(C(X)) es Hausdor, entonces θ

es homeomorsmo (ver [5]).

Denición 1.2.9. Sea A un álgebra de Banach abeliana con identidad. Para cada

a ∈ A, la transformada de Gelfand de a es el mapeo

a : Ω(A) −→ C, κ 7→ κ(a).

Sea X un espacio Hausdor compacto. El mapeo X → Ω(C(X)), x 7→ δx es un

homeomorsmo por el ejemplo anterior. Si f ∈ C(X) entonces

f : Ω(C(X))→ C, δx 7−→ δx(f) = f(x).

Esto signica que, si identicamos Ω(C(X)) con X de modo que x = δx, entonces

f = f .

8 Preliminares.

Teorema 1.2.10. Sea A un álgebra de Banach abeliana y con identidad. Para cada

a ∈ A, la transformada de Gelfand a está en C(Ω(A)). Más aún, el mapeo

γ : A −→ C(Ω(A)), a 7→ a

es un homomorsmo unital de norma decreciente (y por tanto continuo), además, Para

cada a ∈ A tenemos que:

σA(a) = σC(Ω(A))(a) = a(κ) : κ ∈ Ω(A) , y r(a) = ‖a‖ .

Demostración. Por denición de topología sobre Ω(A), cada a está en C(Ω(A)). Es fácil

ver que γ es un homomorsmo, y es unital por el lema 1.2.3. La identicación de σA(a)

con σC(Ω(A))(a) se sigue de la observación 1.2.5 (2). Ahora r(a) = ‖a‖ ≤ ‖a‖ por la

observación 1.2.5 (3), de donde γ es lineal y de norma decreciente, por tanto continua.

Con este último teorema podemos pasar a dar una denición de un mapeo bastante

importante el cual es fundamental en el teorema de Gelfand-Naimark.

Denición 1.2.11. Si A es un álgebra de Banach abeliana y con unidad entonces el

homomorsmo unital

γ : A −→ C(Ω(A)), a 7→ a

es llamado la representación de Gelfand de A.

En general, la representación de Gelfand no es ni inyectiva ni sobreyectiva. Por

ejemplo, la representación de Gelfand del álgebra del disco

A(D) =f ∈ C(D) : f es analítica sobre D

1.3. Álgebras C*. 9

es la inclusión A(D)→ C(D), la cual no es sobreyectiva.

Por otro lado, consideramos las matrices I =(

1 00 1

)y T =

(0 10 0

)enM2(C) y tomemos

A = span I, T (el espacio generado por I y T). Ya que A es un subespacio vectorial

nito dimensional del espacio de BanachM2(C) = B(C2), entonces este es carrado. Más

aún, la unidad de M2(C) es I, y I ∈ A. Y como T 2 = 0, para α, β, a, b ∈ C tenemos

(αI + βT ) (aI + bT ) = αaI + (αb+ aβ)T ∈ A

así A es una subálgebra de Banach unital de M2(C). Además si τ ∈ Ω(A), entonces

τ(I) = 1 por el lema 1.2.3. Como T 2 = 0, tenemos que τ(T )2 = τ(T 2) = 0 y así

τ(T ) = 0. Por lo tanto τ(aI + bT ) = a, para todo a, b ∈ C. Por lo que este es el único

caracter; i.e. Ω(A) = τ. Entonces T (τ) = τ(T ) = 0, de donde la representación de

Gelfand no es inyectiva.

1.3. Álgebras C*.

Denición 1.3.1. Un *-álgebra de Banach es un álgebra de Banach A junto con una

involución a 7−→ a∗ la cual satisface:

1. * es conjugada lineal, i.e., (λa)∗ = λa∗ y (a+ b)∗ = a∗ + b∗ para λ ∈ C, a ∈ A;

2. a∗∗ = a para todo a ∈ A;

3. (ab)∗ = b∗a∗ para todo a, b ∈ A.

Si A tiene una unidad 1, entonces 1∗ = 1∗1 = (1∗1)∗ = 1∗∗ = 1.

Sean A y B *-álgebras de Banach. La función φ : A→ B se llama *-homomorsmo

de álgebras si es lineal, multiplicativo y además preserva la involución, es decir:

10 Preliminares.

φ(a∗) = φ(a)∗.

Si A y B tienen unidad, decimos que el homomorsmo es unital si φ(1A) = 1B.

Denición 1.3.2. Una C∗-álgebra A es una *-álgebra de Banach tal que para cada

a ∈ A

‖a∗a‖ = ‖a‖2 .

Esta última condición es frecuentemente conocida como la C∗-propiedad de la nor-

ma, y asegura que la involución preserva la norma, es decir ‖a‖ = ‖a∗‖, y por tanto la

involución como función de A en A es continua.

Denición 1.3.3. Sea A una C*-álgebra.

Un elemento a ∈ A es normal si a conmuta con a∗. i.e, a∗a = aa∗.

Un elemento a ∈ A es hermitiano si a = a∗.

Un elemento p ∈ A es una proyección si p = p∗ = p2.

Si A es unital entonces un elemento u ∈ A es unitario si uu∗ = u∗u = 1.

Las siguientes proposiciones establecen algunas características y propiedades de los

elementos que acabamos de denir. Además se utilizaran en la demostración del teorema

de Gelfand-Naimark.

Proposición 1.3.4. Sea A una C∗-álgebra.

1. Si a ∈ A entonces a∗a es hermitiano.

2. Si p ∈ A es una proyección no cero entonces ‖p‖ = 1.


Proposición 1.3.5. Si A es una C∗-álgebra conmutativa y con identidad entonces

κ(a∗) = κ(a) para todo a ∈ A y κ ∈ Ω(A).

Proposición 1.3.6. Si a es un elemento hermitiano de una C∗-álgebra entonces ‖a‖ =

r(a).

Como a∗a es hermitiano en una C*-álgebra A entonces tenemos que r(a∗a) =

‖a∗a‖ = ‖a‖2 y por lo tanto,

‖a‖ =√r(a∗a).

Esta relación nos dice que la norma está determinada por la estructura algebraica de A.

Adema± la última igualdad implica que los isomorsmos involutivos entre C*-álgebras

son isometrías. Entonces las isometrías y homomorsmos de C*-álgebras coinciden y

dada un álgebra involutiva no necesariamente existe una norma que la dote de una

estructura C*, pero en caso de que exista es única.

Teorema 1.3.7. (Stone-Weierstrass). Sea X un espacio topológico Hausdor compacto

y A ⊆ C(X). Si A es una *-subálgebra de C(X) que separa los puntos de X, entonces

A es uniformemente densa en C(X).

Ahora estamos listos para demostrar el teorema clásico de Gelfand-Naimark el cual

es un resultado central en el que se basará este trabajo. Básicamente establece que toda

C*-álgebra conmutativa puede verse como la C*-álgebra que consta de las funciones

continuas con valores en C denidas en un espacio topológico localmente compacto.

Cuando la C*-álgebra además tiene una unidad, este espacio topológico es compacto.

A continuación se detalla la estructura de esta importante C*-álgebra.

Consideremos un espacio topológico compacto X. Sea C(X) el espacio de las funcio-

nes continuas f : X → C. En particular toda función constante es una función continua,

12 Preliminares.

de modo que C(X) siempre es no vacío. Además dados x, y ∈ X, existe una función f

tal que f(x) 6= f(y) (por ser X compacto Hausdor, C(X) separa puntos por el lema

de Urysohn), es decir, hay sucientes funciones continuas, esto nos permite distinguir

los puntos de X.

El espacio vectorial complejo C(X) tiene estructura de C*-álgebra. Con el producto

usual de funciones complejas

fg(x) = f(x)g(x)

como producto algebraico es un álgebra asociativa, compleja, unital y conmutativa.

La operación * está dada por la conjugación compleja

f ∗(x) = f(x).

Con la norma

‖f‖ = maxx∈X|f(x)|

C(X) es un álgebra de Banach. Además cumple la propiedad C∗,

‖f ∗f‖ =∥∥ff∥∥ =

∥∥|f |2∥∥ = ‖f‖2 .

Teorema 1.3.8 (El teorema de Gelfand-Naimark). Si A es una C*-álgebra abeliana

con unidad entonces la representación de Gelfand de A,

γ : A −→ C(Ω(A)), a 7→ a

es un *-isomorsmo isométrico unital de A sobre C(Ω(A)).


Demostración. Por el teorema 1.2.10 tenemos que γ es un homomorsmo de norma

decreciente y unital con ‖γ(a)‖ = r(a). Más aún, para a ∈ A y τ ∈ Ω(A) tenemos

a∗(τ) = τ(a∗) = τ(a) = a(τ) = (a)∗(τ)

por la proposición 1.3.5, de donde γ(a∗) = γ(a)∗ y por tanto γ es un *-homomorsmo.

Ahora a∗a es hemitiana por la proposición 1.3.4 (1), así por la proposición 1.3.6,

‖γ(a)‖2 = ‖γ(a)∗γ(a)‖ = ‖γ(a∗a)‖ = r(a∗a) = ‖a∗a‖ = ‖a‖2

Por lo tanto γ es una isometría.

Queda por demostrar que γ es sobreyectiva, por lo que apelamos al teorema de

Stone-Weierstrass. Recordemos que Ω(A) es un espacio compacto de Hausdor por

el Teorema 1.2.4. Ya que γ es un *-homomorsmo unital, su imagen γ(A) es una *-

subálgebra unital de C(Ω(A)). Si τ1, τ2 ∈ Ω(A) con τ1 6= τ2 entonces existe a ∈ A con

τ1(a) 6= τ2(a), por tanto a(τ1) 6= a(τ2) y así γ(A) separa los puntos de Ω(A). Por el

teorema de Stone-Weierstrass, γ(A) es denso en C(Ω(A)). Ya que γ es una isometría

lineal su rango es cerrado. Por tanto

γ(A) = γ(A) = C(Ω(A)).

Otra línea de investigación, interesante, hace hincapié en el vínculo entre las propie-

dades algebraicas de C(X) y la topología de X. Aquí X será un espacio de Hausdor

completamente regular y consideraremos en C(X) su estructura de álgebra o (de forma

equivalente en este contexto) su estructura de anillo. El primer resultado que vincula

lo topológico con lo algebraico fue dado por Gelfand y Kolmogorov [3] en 1939 para

14 Preliminares.

espacios compactos. Para esto, ellos consideraron el espacio de ideales maximales de

C(X) dotados de la topología de Stone. Dicho sea de paso, este teorema sigue a par-

tir del teorema de Banach-Stone y el hecho de que isomorsmos de álgebras implican

isometrías (ver [4]).

Teorema 1.3.9 (Teorema de Gelfand-Kolmogorov). Sean X y Y espacios de Hausdor

compactos. Entonces, C(X) y C(Y ) son isomorfos como álgebras si y solo si X y Y

son homeomorfos. Más aún, todo isomorsmo de álgebras T : C(Y ) → C(X) es de la

forma Tf = f h donde h : X → Y es un homeomorsmo.

Demostración. Es claro que cuando h : X → Y es un homeomorsmo, entonces T :

C(Y )→ C(X) denido por Tf = f h es un isomorsmo de álgebras.

Inversamente, si T : C(Y ) → C(X) es un isomorsmo de álgebras entonces, para

cada x ∈ X, δx T : C(Y ) → R es un funcional multiplicativo no nulo. Así, por el

ejemplo 1.2.8, existe un único y = h(x) ∈ Y tal que δx T = δh(x), i.e. Tf(x) = f(h(x)),

para todo f ∈ C(Y ). Por tanto, el mapeo h : X → Y satisface Tf = f h ∈ C(X), para

todo f ∈ C(Y ). Por tanto h es continua, ya que C(Y ) separa puntos y es un subconjunto

cerrado de Y esto implica que Y está dotado con la topología débil generada por C(Y ).

Finalmente, considerando T−1 obtenemos que h es un homeomorsmo.

Ahora nos concentramos en el último teorema importante de este capítulo, conocido

con el nombre de teorema de Gelfand-Naimark-Segal. El cual dice básicamente que

toda C*-álgebra es isomorfa a un álgebra de operadores en un espacio de Hilbert. Este

hecho permite, por ejemplo, aplicar la teoría de C*-álgebras a la solución de ecuaciones

integro-diferenciales.


Denición 1.3.10. Sea A una C*-álgebra. Si a ∈ A entonces decimos que a es positivo

y escribimos a ≥ 0 si a es hermitiano con σ(a) ⊆ R+. El conjunto de elementos positivos

de A se denotara por A+ = a ∈ A : a ≥ 0.

Ejemplo 1.3.11. En el caso de A = C(X) donde X es un espacio compacto Hausdor,

tenemos

C(X)+ = f ∈ C(X) : f(x) ∈ R+ para x ∈ X

= f ∈ C(X) : f = f ∗ y ‖f − t‖ ≤ t para algún t ∈ R+

= g∗g : g ∈ C(X) .

Teorema 1.3.12. Sea A una C*-álgebra unital. Para cada a ∈ A+ existe un único

elemento b ∈ A+ con b2 = a (ver [6]).

Si A es una C*-álgebra y a ∈ A entonces llamamos al único elemento b ∈ A+ con

b2 = a la raíz cuadrada positiva de a, y la escribimos como a1/2.

Lema 1.3.13. Sea A una C*-álgebra.

1. Si a es un elemento hermitiano de A entonces a2 ≥ 0.

2. Si a es un elemento hermitiano de A entonces a ≥ 0 si y solo si ‖a− t‖ ≤ t para

algún t ∈ R+.

3. Si a, b ∈ A con a ≥ 0 y b ≥ 0 entonces a+ b ≥ 0.

4. Si a ∈ A con a ≥ 0 y −a ≥ 0 entonces a = 0.

5. Si a ∈ A y −a∗a ≥ 0 entonces a = 0.

Se sigue de la partes (3) y (4) del lema anterior que la relación ≤ es un orden parcial

sobre A.

16 Preliminares.

Teorema 1.3.14. Si A es una C*-álgebra unital entonces A+ = a∗a : a ∈ A.

Para las demostraciones del lema 1.3.13 y del teorema 1.3.14 ver [6].

Si a, b ∈ A entonces vamos a escribir a ≤ b si b− a ≥ 0.

Lema 1.3.15. Si A es una C*-álgebra unital y a ∈ A+ entonces a ≤ ‖a‖ 1.

Sea H es un espacio de Hilbert y B(H) el espacio de los operadores acotados en H,

B(H) es una C*-álgebra: El producto algebraico se introduce por medio de la compo-

sición de operadores, con el que es un álgebra asociativa, compleja y unital. Además

el operador que asigna a cada a ∈ B(H) su operador adjunto a∗, es una involución en

B(H).

Daremos entonces la representación de una C*-álgebra en términos de espacios de

Hilbert por medio del teorema de Gelfand-Naimark-Segal (ver [6]).

Previo a el teorema principal primero, recordaremos algunas deniciones y daremos

algunos resultados previos.

Denición 1.3.16. Si V es un espacio vectorial. Una forma sesquilineal semidenida

positivamente sobre V es un mapeo (·, ·) : V × V → C tal que

(x, x) ≥ 0, (λx+ µy, z) = λ(x, z) + µ(y, z) y (y, x) = (x, y)

para todo x, y, z ∈ V y λ, µ ∈ C. Si este mapeo también satisface

(x, x) = 0 =⇒ x = 0.

Entonces decimos que es denida positiva, y es entonces un producto interno sobre V .


Lema 1.3.17. (La desigualdad de Cauchy-Schwarz). Sea V un espacio vectorial y sea

(·, ·) : V × V → C una forma sesquilineal semidenida positiva. Entonces

|(x, y)|2 ≤ (x, x)(y, y) para todo x, y ∈ V.

Sea A un álgebra unital. Un funcional lineal τ : A→ C es positivo si τ(a) ≥ 0 para

todo a ∈ A+.

Si τ es un funcional lineal positivo sobre A y a, b ∈ A con a ≤ b entonces b−a ≥ 0 y

así τ(b− a) = τ(b)− τ(a) ≥ 0. Por lo tanto los funcionales lineales positivos preservan

el orden.

Lema 1.3.18. Sea A una C*-álgebra unital y τ un funcional lineal positivo sobre A.

1. τ(a∗) = τ(a) para todo a ∈ A.

2. |τ(a)| ≤ τ(1) ‖a‖ para todo a ∈ A. Por lo tanto τ ∈ A∗ y ‖τ‖ = τ(1).

Para ver la demostración del lema anterior y la del próximo consultar [6]. El si-

guiente resultado nos permitirá denir el análogo de los caracteres para álgebras no

conmutativas.

Lema 1.3.19. Sea A una C*-álgebra unital y τ ∈ A∗. Entonces τ es positivo si y solo

si ‖τ‖ = τ(1).

Sea A una C*-álgebra unital. Un estado sobre A es un funcional lineal positivo de

norma 1. Denotamos por S(A) al conjunto de estados de A. Por el lema anterior

S(A) = τ ∈ A∗ : ‖τ‖ = τ(1) = 1 .

18 Preliminares.

Si A es una C*-álgebra abeliana con identidad entonces Ω(A) ⊆ S(A) por el lema 1.2.3.

Por lo tanto los estados S(A) generalizan los caracteres en el caso abeliano. Además

S(A) es un espacio Hausdor compacto.

Lema 1.3.20. Sea A una C*-álgebra unital. Si a es un elemento hermitiano de A

entonces existe un estado τ ∈ S(A) con |τ(a)| = ‖a‖, (ver [6]).

El siguiente lema es importante para demostrar el teorema de Gelfand-Naimark-

Segal, ya que en este se construyen espacios de Hilbert H los cuales se utilizaran para

denir homomorsmos entre A y B(H), resultando esto fundamental para la demostra-

ción del teorema.

Lema 1.3.21. Sea A una C*-álgebra unital. Para todo τ ∈ S(A) existe un espacio de

Hilbert H y un *-homomorsmo π : A→ B(H) tal que

τ(a∗a) ≤ ‖π(a)‖2 ≤ ‖a‖2 para todo a ∈ A.

Demostración. Considere el mapeo (·, ·) : A× A→ C denido por

(a, b) = τ(b∗a), a, b ∈ A.

Es fácil checar que esta es una forma sesquilineal semidenida positiva. Observe que si

a ∈ A entonces a∗a ≤ ‖a‖2 1 por el lema 1.3.15, así

(a, a) = τ(a∗a) ≤ ‖a‖2 τ(1) = ‖a‖2 .

Más aún, si a, b, c ∈ A entonces (ab, c) = τ(c∗ab) = τ((a∗c)∗b) = (b, a∗c).

Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz (lema 1.3.17), para cada a ∈ A tenemos


(a, a) = 0⇐⇒ (a, b) = 0 para todo b ∈ A.

Por tanto si N = a ∈ A : (a, a) = 0 entonces

N = a ∈ A : (a, b) = 0 para todo b ∈ A .

Usando esta expresión, podemos checar que N es un ideal izquierdo de A.

Considerando el espacio vectorial V = A/N y escribiendo [a] = a + N ∈ V para

a ∈ A. Denimos un mapeo 〈·, ·〉 : V × V → C por

〈[a] , [b]〉 = (a, b), a, b ∈ A.

Tenemos que está bien denido ya que si [a1] = [a2] y [b1] = [b2] entonces a2 − a1 ∈ N

y b2 − b1 ∈ N , asi (a1, b1) = (a1, b1) + (a2 − a1, b1) + (a2, b2 − b1) = (a2, b2). Se sigue

que 〈·, ·〉 es una forma sesquilineal semidenida positiva sobre V . En efecto, es denida

positiva ya que si 〈[a] , [a]〉 = 0 entonces (a, a) = 0 de modo que a ∈ N , i.e. [a] = 0. Por

tanto (V, 〈·, ·〉) es un espacio con producto interno.

Sea H la completación de este espacio y denotemos por L(V ) el conjunto de mapeos

lineales V → V , y sea π0 : A→ L(V ) dado por π0(a) [b] = [ab] para [b] ∈ V . Está bien

denida ya que si [b1] = [b2] entonces b2 − b1 ∈ N , así si a ∈ A entonces a(b2 − b1) =

ab2 − ab1 ∈ N (ya que N es ideal izquierdo) y así [ab1] = [ab2]. Más aún, para a, b ∈ A

tenemos b∗a∗ab ≤ ‖a‖2 b∗b, de modo que

‖[π0(a) [b]‖2 = ‖[ab]‖2 = (ab, ab) = τ(b∗a∗ab) ≤ ‖a‖2 τ(b∗b) = ‖a‖2 ‖[b]‖2 .

Por tanto ‖π0(a) [b]‖ ≤ ‖a‖ ‖b‖, así π0(a) es un mapeo lineal continuo y su norma de

operador satisface ‖π0(a)‖ ≤ ‖a‖.

20 Preliminares.

De manera que π0(a) tiene una única extensión a un mapeo en B(H), escribiendo

π(a), y ‖π(a)‖ ≤ ‖a‖. Esta dene un mapeo π : A→ B(H).

Armamos que π es un *-homomorsmo. Ya que si V es denso en H y π(a) es

continuo para todo a ∈ A, es suciente checar estas propiedades sobre V . Para a, b, c ∈ A

y λ ∈ C tenemos

π(a+ b) [c] = [(a+ b)c] = [ac+ bc] = π(a) [c] + π(b) [c] = (π(a) + π(b)) [c]

y

π(λa) = [c] = [λac] = λπ(a) [c]

así π es lineal,

π(ab) [c] = [abc] = π(a) [bc] = π(a)π(b) [c]

de donde π es un homomorsmo, y

〈π(a) [b] , [c]〉 = (ab, c) = (b, a∗c) = 〈[b] , π(a∗) [c]〉

de modo que π(a∗) = π(a)∗ por lo tanto π es un *-homomorsmo.

Queda por establecer la desigualdad τ(a∗a) ≤ ‖π(a)‖2 ≤ ‖a‖2. Ya hemos comentado

que ‖π(a)‖ ≤ ‖a‖. Ahora ‖[1]‖2 = (1, 1) = τ(1) = 1, así ‖π(a)‖2 ≥ ‖π(a) [1]‖2 =

‖[a]‖2 = (a, a) = τ(a∗a).

Ahora podemos demostrar que cada C*-álgebra es, salvo *-isomorsmo isométricos,

una subálgebra de B(H) para algún espacio de Hilbert H. Para ello, vamos a juntar


todas las representaciones construidas en el Lema 1.3.21. Puesto que hay una gran

cantidad de estas representaciones. Primero veamos algunos tecnicismos.

Sea I un conjunto indexado. Sea αi ≥ 0 para cada i ∈ I, entonces decimos que

(αi)i∈I es sumable si el conjunto de sumas nitas

∑i∈J

αi : J es subconjunto finito de I

está acotada superiormente, y entonces declaramos el valor de

∑i∈I αi como el supremo

de este conjunto. Si (αi)i es sumable, escribimos∑

i∈I αi <∞.

Suponga que ti ∈ R y∑

i∈I |ti| < ∞. Escribiendo J = j ∈ I : tj ≥ 0 podemos

denir∑

i∈I ti =∑

j∈J tj −∑

k∈I−J(−tk). Similarmente, si λi ∈ C y∑

i∈I |λi| < ∞

entonces podemos denir∑

i∈I λi =∑

i∈I Re(λi) + i∑

i∈I Im(λi).

Si Hi : i ∈ I es una familia de espacios de Hilbert, entonces podemos denir un

espacio con producto interno H de la siguiente manera:

H =

(ξi)i∈I : ξi ∈ Hi para cada i ∈ I,

∑i∈I

‖ξi‖2 <∞

con las operaciones puntuales de espacios vectoriales (ξi)i∈I + (ηi)i∈I = (ξi + ηi)i∈I ,

λ(ξi)i∈I = (λξi)i∈I y el producto interno

〈(ξi)i∈I , (ηi)i∈I〉 =∑i∈I

〈ξi, ηi〉 .

Se sigue de Cauchy-Schwarz que∑

i∈I |〈ξi, ηi〉| <∞ si (ξi)i∈I , (ηi)i∈I ∈ H, esí el producto

interno está bien denido.

No es difícil mostrar que H es entonces un espacio con producto interno completo,

i.e. H es un espacio de Hilbert. Escribiremos

22 Preliminares.

H =⊕i∈I

Hi

y llamamos a H la suma directa Hilberiana de los espacios de Hilbert Hi : i ∈ I.

Suponga que ai ∈ B(Hi) para cada i ∈ I y que supi∈I ‖ai‖ < ∞. Podemos de-

nir un operador a ∈ B(H) por a((ξi)i∈I

)= (a (ξi))i∈I para (ξi)i∈I ∈ H. Note que∑

i∈I ‖aiξi‖2 ≤ (supi∈I ‖ai‖)

∑i∈I ‖ξi‖

2 para cada x ∈ X, así a es un operador acotado,

con ‖a‖ ≤ supi∈I ‖ai‖. En efecto, es fácil mostrar que ‖a‖ = supi∈I ‖ai‖. Escribiremos

a =⊕

i∈I ai.

Teorema 1.3.22. (El teorema de Gelfand-Naimark-Segal). Si A es una C*-álgebra

entonces A es isométricamente *-isomorfa a una subálgebra de B(H).

Demostración. Dado τ ∈ S(A), escribamos Hτ y πτ : A → B(Hτ ) para el espacio de

Hilbert y el *-homomorsmo obtenidos del lema 1.3.21. Sea

H =⊕τ∈S(A)

Hτ y defina π(a) =⊕τ∈S(A)

πτ (a) para a ∈ A.

es fácil ver que esto dene un *-homomorsmo π : A → B(H). Si a ∈ A entonces ya

que ‖π(a)‖ = supτ∈S(A) ‖πτ (a)‖, tenemos

supτ∈S(A)

τ(a∗a) ≤ ‖π(a)‖2 ≤ ‖a‖2

por el lema 1.3.21. Sin embargo, a∗a es hermitiano de donde por el lema 1.3.20,

supτ∈S(A)

τ(a∗a) ≥ ‖a∗a‖ = ‖a‖2 .

Con estas dos últimas desigualdades juntas tenemos que ‖π(a)‖ = ‖a‖ para cada a ∈ A,

así π es un *-homomorsmo isométrico. En particular, el rango de π es una *-subálgebra

cerrada de B(H) por lo que es *isomorfo a A.

24 Preliminares.

Capítulo 2

Productos simétricos y

n-homomorsmos de Frobenius.

En el capítulo anterior teníamos que un espacio Hausdor compacto X se podía

identicar con el espacio de caracteres Ω(A) donde A es una C*-álgebra de funciones

sobre X, es decir, X ∼= Ω(A) ⊆ Hom(A,C) (con A = C(X)). En este capítulo se

generaliza este resultado de la siguiente manera: en vez de X se toma su producto

simétrico denotado por Symn(X) := Xn/Σn y en lugar de Ω(A) trabajamos sobre los

n-homomorsmos de Frobenius sobre A, denotados por Φn(A), es decir, se identicará

Symn(X) con Φn(A) (ver [1]). Siendo el caso n = 1 el que ya conocemos: si A es

un álgebra (adecuada) de funciones sobre un espacio compacto X, entonces Φ1(A) es

el conjunto de homomorsmos de álgebras y, por la transformada de Gelfand, este es

homeomorfo a X.

Además esta identicación se dará para X nito, variedades anes y Hausdor

compacto. En particular cuando X es un espacio de Hausdor compacto y A = C(X)

25

26 Productos simétricos y n-homomorsmos de Frobenius.

es el anillo de funciones continuos complejo-valuadas sobre X, Φn(A) es precisamente

el conjunto de mapeos que se pueden escribir como la suma de n homomorsmos de

anillos y de esta manera se podrá identicar con Symn(X). Resultados análogos se

cumplen cuando A es un álgebra conmutativa nitamente generada. En particular,

cuandoX = Cm y el álgebra es el anillo A = C [u1, u2, ..., um] de funciones de polinomios

sobre X, probamos que Φn(A) es el producto simétrico de Symn(Cm).

Este capítulo se dividirá en tres secciones:

1. Probamos una identidad combinatoria que se satisface para particiones de con-

juntos y que pueden ser de interés independiente.

2. Se introducen las transformaciones de Frobenius y se desarrollan algunas de sus

propiedades básicas.

3. Establecemos la relación con los productos simétricos y se prueba el teorema

básico para conjuntos nitos, variedades anes y espacios de Hausdor compacto.

2.1. Una identidad sobre particiones.

Iniciamos mostrando una identidad sobre particiones de conjuntos la cual será útil

en la prueba de algunos resultados de las secciones posteriores de este capítulo.

Si σ es una permutación de un conjunto X, existe una partición de X dada por las

órbitas de la acción del grupo generado por σ. Claramente, dos permutaciones que dan

la misma partición tienen el mismo tipo de ciclo y por lo tanto el mismo signo; dado una

partición π, denotemos por ε(π) este signo y por n(π) el número de permutaciones que

dan lugar a π, así si las partes de π son P1, P2, ..., Pk, entonces n(π) =∏k

i=1(#Pi − 1)!.

2.1. Una identidad sobre particiones. 27

Sea P(X) el grupo abeliano libre en el conjunto de todas las particiones de X y

χ(X) =∑

ε(π)n(π)π ∈ P(X)

donde la suma está por todas las particiones de X.

Si π1, π2 son particiones de X,Y respectivamente, entonces se tiene una partición

natural π1π2 de la unión disjunta X t Y . Así, podemos denir χ(X)χ(Y ) ∈ P(X t Y ).

Si g : X −→ Y es un mapeo y π es una partición de Y tenemos, tomando imagen

inversa de las partes en π, una partición g∗π (estos tienen el mismo número de partes

si g es sobreyectiva) y por tanto un homomorsmo g∗ : P (Y )→ P (X).

Denición 2.1.1. un emparejamiento parcial φ entre dos conjuntos X,Y es una

biyección φ : Xφ → Yφ entre subconjuntos Xφ ⊂ X y Yφ ⊂ Y . Dado un emparejamiento

parcial φ, defínase una relación de equivalencia sobre X t Y por x ∼ y si φ(x) = y.

Denotamos el conjunto cociente por X tφ Y (su cardinalidad es #X + #Y −#Xφ) y

el mapeo cociente por qφ : X t Y → X tφ Y .

Proposición 2.1.2. Si X,Y son disjuntos, entonces

∑q∗φχ(X tφ Y ) = χ(X)χ(Y ) (2.1)

donde la suma es bajo todos los emparejamiento parcial φ entre X e Y , incluyendo el

emparejamiento parcial vacío.

Demostración. Sea π = P1 t P2 t ... t Pk una partición de X t Y donde

Pj = x1j, x2j, ..., xmj, y1j, y2j, ..., xnj con xij ∈ X yij ∈ Y

y sea


c(m,n, `) = (−1)m+n−`−1(m+ n− `− 1)!`!

(m

`

)(n

`

).

Entonces los coecientes de la partición π que aparecen a partir de términos derivados

de emparejamiento a lo largo de los subconjuntos de cardinalidad ` es

∑`1+`2+···+`k=`

c(m1, n1, `1)c(m2, n2, `2) . . . c(mk, nk, `k).

Por tanto, el coeciente de π en el lado izquierdo de (2.1) es

cπ =

min(m1,n1)∑`1=0

min(m2,n2)∑`2=0

· · ·min(mk,nk)∑

`k=0

c(m1, n1, `1)c(m2, n2, `2) . . . c(mk, nk, `k).

Para evaluar esta suma tomamos

d(m,n, `) =(m

` )(n`)

(m+n−1` )

= (−1)m+n−1(−1)` c(m,n,`)(m+n−1)!

y

Pm,n(t) =

min(m,n)∑`=0

d(m,n, `)(−t)`;

entonces

Cπ = ε(π)r=k∏r=1

(mr + nr − 1)!Pmr,nr(1).

El polinomio Pm,n(t) es un polinomio hipergeométrico, siendo una solución de la ecua-

ción diferencial

t(1− t)y′′(t)− (m+ n− 1)(1− t)y′(t)−mny(t) = 0.

2.2. Transformaciones de Frobenius. 29

Por tanto, sustituyendo t = 1 en la ecuación diferencial uno tiene Pm,n(1) = 0 para

min(m,n) > 0.

Por lo tanto, cπ = 0 a menos que cada parte de π consiste enteramente de x o

totalmente de y. En este caso, deje que la partición sea π1π2; su coeciente en el término

χ(X)χ(Y ) es ε(π1)n(π1)ε(π2)n(π2) (sólo puede ocurrir una vez en el producto). En el

lado izquierdo de la ecuación en (2.1), el único término en el que π1π2 aparece es

χ(X t Y ) y su coeciente es

ε(π1π2)n(π1π2) = ε(π1)n(π)ε(π2)n(π2).

De donde se tiene el resultado de la Proposición.

2.2. Transformaciones de Frobenius.

Del capítulo anterior teníamos que el conjunto de caracteres Ω(A) tenía algunas

propiedades interesantes que permitieron establecer los diferentes teoremas de Gelfand,

por ejemplo, además de ser multiplicativos (por denición), se tenía que en el caso de

ciertas álgebras con unidad A que τ(1A) = 1 para todo τ ∈ Ω(A). En esta sección se

construirá el conjunto de mapeos f : A→ C de n-homomorsmos de Frobenius Φn(A)

cuyos elementos cumplirán ecuaciones un poco más complejas: es decir, dado un mapeo

lineal f : A −→ C consideramos ciertos mapas que pueden ser pensados como una

versión superior de f y son denotados por Φn(f) : A⊗n −→ C; su denición está basada

sobre las formulas usadas por G. Frobenius [2]. El subconjunto Φn(A) ⊂ Hom(A,C)

de todos los mapeos lineales f tales que Φn+1(f) = 0 y f(1) = n es particularmente

interesante y desarrollaremos algunas de sus propiedades.


En esta sección las álgebras con respecto a las cuales se denen las transformaciones

de Frobenius son conmutativas. Empezaremos deniendo un mapeo especial el cual

será fundamental para denir los n-homomorsmos de Frobenius, pero antes de esto

daremos una notación que se utilizara en dicha denición.

Dada una permutación σ ∈∑

n+1 escribimos esta como producto de ciclos disjuntos

(incluidos los de longitud uno)

σ = γ1γ2 · · · γq.

Si f : A→ B es un mapeo lineal y γ es el ciclo (r1r2 . . . rk) vamos a utilizar la notación

fγ(a1, a2, . . . , an+1) = f(ar1ar2 . . . ark). Escribiremos entonces

fσ = fγ1fγ2 · · · fγq .

Denición 2.2.1. Para un mapeo lineal f : A→ B donde A, B son álgebras conmu-

tativas, el mapeo Φm(f) : A⊗m → B está denido por

Φm(f)(a1, a2, . . . am) =∑σ∈

∑m

ε(σ)fσ(a1, a2, . . . , am).

El mapeo Φm(f) es claramente simétrico y multilineal. Y como ejemplo para m = 2

y m = 3 tenemos:

Φ2(f)(a1, a2) = f(a1)f(a2)− f(a1a2)

donde las respectivas permutaciones como productos de ciclos son σ1 = (1)(2) y σ2 =

(12). Y para m = 3

Φ3(f)(a1, a2, a3) = f(a1)f(a2)f(a3)− f(a1)f(a2a3)

−f(a2)f(a1a3)− f(a3)f(a1a2) + 2f(a1a2a3)


con σ1 = (1)(2)(3), σ2 = (1)(12), σ3 = (2)(13), σ4 = (3)(12), σ5 = (123) y por último

σ6 = (132).

Teniendo en cuenta la denición anterior y la proposición 2.1.2 podemos denir

f(χ(X)) de la siguiente manera:

Lema 2.2.2. Si X = (a1, a2, . . . , am) y χ(X) es denida como en la sección 1, entonces

Φm(f)(a1 ⊗ a2 ⊗ · · · ⊗ am) = f(χ(X)).

Demostración. Reescribiendo esta última denición, si P = [ai1 , ai2 , . . . , air ] es un

multi-subconjunto del multi-conjunto X = [a1, a2, . . . , am] ⊂ A, entonces se tiene que

fP (a1, a2, . . . , am) = f(ai1 , ai2 , . . . , air) y si π = P1 t P2 t · · · t Pk es una partición de

X, tenemos fπ = fP1fP2 . . . fPky Φm(f) =

∑ε(π)n(π)fπ.

Daremos ahora la denición inductiva del mapeo denido anteriormente y que fue

la utilizada por Frobenius en [2].

Denición 2.2.3. Para n ∈ N se dene, de forma inductiva, los mapeos lineales

Φn(f) : A⊗n → B empezando con Φ1(f) = f , Φ2(f)(a1, a2) = f(a1)f(a2) − f(a1a2) y

para n ≥ 2 como sigue:

Φn+1(f)(a1, a2, . . . , an+1) = f(a1)Φn(f)(a2, a3, . . . an+1)− Φn(f)(a1a2, . . . , an+1)−

Φn(f)(a2, a1a3, . . . , an+1)− . . .− Φn(f)(a2, a3, . . . , a1an+1).

Si X = a1, Y = a2, a3, . . . , an+1 entonces por la proposición 2.1.2 se tiene que

las dos deniciones 2.2.1 y 2.2.3 son equivalentes. Además se sigue inmediatamente de

la denición 2.2.3 que si f satisface Φn(f) ≡ 0, entonces Φn+1(f) ≡ 0.


Lema 2.2.4. Si B es un dominio y Φn+1(f) ≡ 0 pero Φn(f) 6≡ 0, entonces f(1) = n.

Demostración. Sea a1 = 1 entonces, usando la denición inductiva, obtenemos

0 = Φn+1(f)(1, a2, a3, . . . , an+1) = [f(1)− n] Φn(f)(a2, a3, . . . , an+1).

Pero ya que Φn(f) 6≡ 0, existen a2, a3, . . . , an+1 ∈ A tal que

Φn(f)(a2, a3, . . . , an+1) 6= 0

de donde f(1) = n.

Corolario 2.2.5. Si f : A → B satisface Φn+1(f) ≡ 0 y B es un dominio, entonces

f(1) ∈ 0, 1, 2, . . . , n.

Demostración. Si Φk(f) ≡ 0 para cada k = 1, . . . , n. Entonces en particular f(1) =

Φ1(f)(1) = 0. Pero en caso contrario podemos encontrar de manera inductiva el primer

k (de forma descendiente) tal que Φk(f) 6= 0 y 1 ≤ k ≤ n, de donde, por el Lema 2.2.4

f(1) = k.

Con el lema 2.2.4 pasamos a dar la siguiente denición la cual se puede pensar, para

este trabajo, como una generalización de los caracteres en el sentido de que para un

caracter τ(1A) = 1 y para este caso dependiendo de la dimensión n en la que estemos

trabajando tendremos τ(1A) = n.

Denición 2.2.6. Un mapeo lineal f : A → B es un n-homomorsmo de Frobe-

nius si Φn+1(f) ≡ 0 y f(1) = n.


Cuando B es un dominio, todo 1-homomorsmo de Frobenius f : A → B es un

homomorsmo de anillos.

Proposición 2.2.7. Si B es un dominio, entonces un mapeo lineal f : A→ B tal que

Φn+1(f) ≡ 0 y f(1) = k ≤ n es un k-homomorsmo de Frobenius.

Demostración. Aplicando la denición inductiva a Φn+1(f)(1, a2, . . . , an+1) = 0 tene-

mos

(k − n)Φn(f)(a2, . . . , an+1) = 0

así f es un k-homomorsmo de Frobenius. El resultado se sigue por inducción.

Se denota la subálgebra de tensores simétricos en A⊗n por SnA. El mapeo Φn(f)/n!

restringido a SnA tiene la siguiente propiedad multiplicativa:

Teorema 2.2.8. Si f : A→ B es un n-homomorsmo de Frobenius, entonces el mapeo

denido porΦn(f)

n!: SnA→ B

es un homomorsmo de anillos.

Demostración. Tomemos un elemento típico de SnA el cual sabemos es de la forma

a =∑σ∈

∑n

aσ(1) ⊗ aσ(2) ⊗ · · · ⊗ aσ(n)

por lo que el producto de dos de estos elementos sería de la forma

ab =∑

σ1,σ2∈∑

n

aσ1(1)bσ2(1) ⊗ aσ1(2)bσ2(2) ⊗ · · · ⊗ aσ1(n)bσ2(n).


Por el lema 2.2.2, si X = (a1, a2, . . . , an) y Y = (b1, b2, . . . , bn) tenemos

Φn(f)(a1, a2, . . . , an)Φn(f)(b1, b2, . . . , bn) = f(χ(X))f(χ(Y )).

Considerando X,Y disjuntos tenemos

f(χ(X))f(χ(Y )) = f(χ(X)χ(Y )).

Por la proposición 2.1.2 se tiene

f(χ(X)χ(Y )) =∑φ∈

∑n

f(q∗φχ(X tφ Y )).

Ya que f es un n-homomorsmo de Frobenius los únicos términos en el lado derecho

que no son nulos son aquellos en los que φ : X → Y es una permutación. Nuevamente

por el lema 2.2.2 tenemos que

∑φ∈

∑n

f(q∗φχ(X tφ Y )) =∑φ∈

∑n

Φn(f)(a1bφ(1), a2bφ(2), . . . , anbφ(n)).

Por lo tanto mediante la adición de todos los términos relevantes que obtenemos

Φn(f)(a)Φn(f)(b) =

=∑

σ1,σ2,σ3∈∑

n

Φn(f)(aσ1(1)bσ2(1)σ3(1), aσ1(2)bσ2(2)σ3(2), . . . , aσ1(n)bσ2(n)σ3(n))

= n!∑

σ1,σ2∈∑

n

Φn(f)(aσ1(1)bσ2(1), aσ1(2)bσ2(2), . . . , aσ1(n)bσ2(n))

= n!Φn(f)(ab).


Es fácil ver que Φn(f)(1, 1, . . . , 1) = n!.

Teorema 2.2.9. Si f , g son m,n-homomorsmos de Frobenius respectivamente, en-

tonces f + g es un (m+n)-homomorsmo de Frobenius.

Corolario 2.2.10. Si f : A→ B es la suma de n homomorsmos de anillos fi : A→

B, 1 ≤ i ≤ n, entonces f es un n-homomorsmo de Frobenius.

Vamos a enunciar algunas propiedades de Φn(f) que nos permitan demostrar el

teorema 2.2.9. Dado que Φn(f) es multilineal y simétrico, vamos a recordar un resultado

acerca de este tipo de mapeos que nos permite calcular Φn(f)(a1, a2, . . . , an) a partir

de elementos de la diagonal, es decir basta calcular Φn(f)(a, a, . . . , a).

Recordemos que dado una forma bilineal f : V × V → K, donde V es un espacio

vectorial y K un campo con característica 0, denimos q : V → K como q(v) := f(v, v).

La identidad de polarización establece que

f(x, y) =1

2(q(x+ y)− q(x)− q(y)) .

Lo cual es muy fácil de ver. Esto signica que la forma bilineal f está completamente

determinada por los valores f(v, v), ∀v ∈ V . De forma análoga para una forma trilineal

simétrica tendríamos

f(x, y, z) =1

6(q(x+ y + z)− q(x+ y)− q(y + z)− q(z + x) + q(x) + q(y) + q(z)) .

El siguiente resultado generaliza estas dos últimas igualdades, pero primero denimos

dos operadores que actúan sobre funciones v : E → F . Un operador diferencia ∆h, que

depende de h ∈ E, y Tr, la traza o valor en el origen:


(∆hv) (x) = v(x+ h)− v(x) , T r v = v(0)

Teorema 2.2.11. Sea E y F espacios lineales bajo un campo K de característica 0,

y sea f : En → F un mapeo multilineal simétrico. Entonces se tiene la identidad de

polarización

f(x1, . . . , xn) =1

n!Tr∆xn∆xn−1 . . .∆x1q.

Para la demostración de este teorema ver [8].

Para una partición λ = λ1, λ2, . . . , λq de n tomaremos

fλ(a, a, . . . , a) = f(a|λ1|)f(a|λ2|) . . . f(a|λq |)

y ε(λ) es el signo de una permutación cuya descomposición se compone de ciclos de

longitudes λ1, λ2, . . . , λq. Por tanto, por la denición 2.2.1

Φn(f)(a, a, . . . , a) =∑λ

ε(λ)n(λ)fλ(a, a, . . . , a)

donde n(λ) denota el número de elementos del grupo simétrico∑

n en la clase de

conjugación determinado por λ. A continuación algunas propiedades de los elementos

de la forma Φn(f)(a, a, . . . , a).

Lema 2.2.12.

Φn(f)(a, a, . . . , a) = (n− 1)!n∑k=1

(−1)k+1f(ak)Φn−k(f)(a, a, . . . , a)

(n− k)!.

Demostración. Este se obtiene a partir de la denición 2.2.1 al romper la suma


Φn(f)(a, a, . . . , a) =∑σ∈

∑n

ε(σ)fσ(a, a, . . . , a)

en partes correspondientes a la longitud del ciclo en la permutación σ que contiene n y

hay (n− 1)(n− 2) . . . (n− k + 1) tales ciclos de longitud k.

Corolario 2.2.13. La función generadora exponencial

∞∑n=0

Φn(f)(a, a, . . . , a)

n!tn = exp

(∞∑k=1

(−1)k+1f(ak)

ktk

).

Demostración. Esto se deduce del siguiente resultado bien conocido en combinatoria.

Lema 2.2.14. Si Φ0 = 1 y

Φn = (n− 1)!n∑k=1

skΦn−k

(n− k)!para n ≥ 1

entonces

∞∑n=0

Φn

n!tn = exp

(∞∑k=1

skktk

).

Demostración. Sea

Φ(t) =∞∑n=0

Φn

n!tn

y

s(t) =∞∑k=0

sktk.


Entonces por la hipótesis tenemos que tΦ′(t) = Φ(t)s(t) así

log(Φ(t)) =

∫s(t)

t.

Checando el término constante se tiene la conclusión deseada.

Demostración. (Teorema 2.2.9) Observamos en primer lugar que, por denición, un

mapa f es un n-homomorsmo de Frobenius si y sólo si la serie generadora exponencial

es un polinomio de grado n y f(1) = n, es decir, f es un n-homomorsmo de Frobenius

es equivalente a

exp

(∞∑k=1

(−1)k+1f(ak)

ktk

)=

n∑i=0

Φi(f)(a, a, . . . , a)

i!ti.

Por tanto para la suma f + g de dos m,n-homomorsmos de Frobenius tenemos que

∑∞k=0

Φk(f+g)(a,a,...,a)k!

tk = exp(∑∞

i=1(−1)i+1 (f+g)(ai)i

ti)

= exp(∑∞

i=1(−1)i+1 f(ai)iti)exp

(∑∞i=1(−1)i+1 g(a

i)iti)

=∑m

r=0Φr(f)(a,a,...,a)

r!tr∑n

s=0Φs(g)(a,a,...,a)

s!ts,

así Φk(f + g)(a, a, . . . , a) = 0 para k > m+ n y claramente (f + g)(1) = m+ n.

Estaremos interesados en el comportamiento de n-homomorsmos de Frobenius en

elementos idempotente en A, y el siguiente resultado es una generalización del Corolario

2.2.5.

Lema 2.2.15. Si B es un dominio y a ∈ A donde a2 = a y Φn+1(f)(a, a, . . . , a) = 0,

entonces f(a) = k para algún entero k con 0 ≤ k ≤ n.


Demostración. Si n = 1, entonces por denición Φ2(f)(a, a) = f(a)f(a) − f(a2) y

por hipótesis Φ2(f) = 0 de donde f(a)2 = f(a2) y por tanto f(a)(f(a) − 1) = 0.

Si Φn+1(f)(a, a, . . . , a) = 0, y a2 = a entonces de la denición inductiva de Φn+1(f)

tenemos

f(a)Φn(f)(a, a, . . . , a)− nΦn(f)(a, a, . . . , a) = 0.

Es decir

(f(a)− n)Φn(f)(a, a, . . . , a) = 0

pero por inducción tenemos

(f(a)− n) . . . (f(a)− 1)f(a) = 0.

Por lo tanto f(a) = k para algún entero k tal que 0 ≤ k ≤ n.

Lema 2.2.16. Si a ∈ A entonces

Φn(f)(a, 1, . . . , 1) = f(a)(f(1)− 1)(f(1)− 2) . . . (f(1)− (n− 1)).

Demostración. Si n = 1 entonces Φ1(f)(a) = f(a), es decir, se cumple trivialmente.

Ahora si n = 2 tenemos Φ2(f)(a, 1) = f(a)f(1) − f(a) = f(a)(f(1) − 1), de donde el

paso base se cumple sin problema.

El resultado se sigue fácilmente por inducción y teniendo en cuenta la denición

2.2.3.


2.3. Productos simétricos.

En esta sección demostramos los resultados más importantes del capítulo ya que

relacionamos los productos simétricos Symn(X) con los n-homomorsmos de Frobenius

Φn(C(X)) ⊆ Hom(C(X),C), queriendo establecer isomorsmos entre estos (note que

para n = 1 se tendría el respectivo caso de Gelfand).

Por denición, el n-ésimo producto simétrico de un espacio X se dene como

Symn := Xn/∑

n, es decir:

Symn(X) =

(x1, . . . , xn) :(xσ(1), . . . , xσ(n)

)∼ (x1, . . . , xn) ,∀σ ∈

∑n

,

donde∑

n es el grupo de todos las permutaciones de un conjunto con n elementos.

En otras palabras un D ∈ Symn(X) es una colección desordenada de puntos de X,

con frecuencia denotada por D = x1 + · · · + xn donde los puntos xi ∈ X no son

necesariamente distintos. De manera más general un producto G-simétrico es denido

por SymnG := Xn/G donde G ⊂

∑n es un subgrupo del grupo simétrico sobre n letras.

Ejemplo 2.3.1.

1. Symn([0, 1]) = ∆n, donde ∆n es un n-simplejo: Como [0, 1] es totalmente orde-

nado, Symn([0, 1]) = x1 + · · ·+ xn|0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn ≤ 1 = ∆n.

2. Symn(C) = Cn: Cada elemento z1 + · · · + zn ∈ Symn(C) puede ser identicado

con el polinomio mónico p(z) = (z − z1) . . . (z − zn) con ceros en zi.

Aunque vamos a demostrar una versión más general del siguiente resultado, vale la

pena comenzar con la siguiente prueba sencilla.

Teorema 2.3.2. Para un conjunto nito X, el mapeo evaluación

2.3. Productos simétricos. 41

E : Symn(X)→ Hom(C(X),C)

denido por [x1, x2, . . . , xn] → f →∑f(xr) es un isomorsmo sobre el conjunto de

n-homomorsmos de Frobenius.

Demostración. En primer lugar tenga en cuenta que la evaluación en un punto es

un homomorsmo de anillos C(X) → C de donde por corolario 2.2.10 se tiene que

E [x1, x2, . . . , xn] es un n-homomorsmo de Frobenius.

Sea D = [x1, x2, . . . , xn] un elemento de Symn(X) considerado como una suma

formal D =∑mrxr, donde mr ∈ Z+ y

∑mr = n. Sea er ∈ C(X) la función que es 1

en xr y 0 en otra parte. Entonces E(D)er = mr.

Ahora si f : C(X)→ C es un n-homomorsmo de Frobenius pero no un (n− 1)-

homomorsmo, entonces, por el lema 2.2.15, f(er) = fr ∈ Z+, y como la suma de los

idempotentes er es 1, tenemos∑fr = n. Así, D =

∑frxr es mapeado sobre f por E .

El mapeo E es inyectivo para una clase muy general de álgebras de funciones en

un espacio X (aquellos en los que las funciones separan puntos) y por lo que es un

isomorsmo en el caso de conjuntos nitos.

Teorema 2.3.3. Si f : C [u1, u2, . . . , um] → C es un n-homomorsmo de Frobenius

entonces existen puntos x1, x2, . . . , xn ∈ Cm tal que f(p) = p(x1) + p(x2) + · · ·+ p(xn).

Demostración. Por el teorema 2.2.8, tenemos que el mapeo


Φn(f)

n!: Sn(C [u1, u2, . . . , um])→ C

es un homomorsmo de anillos. Como Sn(C [u1, u2, . . . , um]) es el álgebra de funciones

de polinomios sobre Symn(Cm) entonces Φn(f)n!

viene dado por evaluación en un multi-

conjunto [x1, x2, . . . , xn] ⊂ Cm. Por lo que para p ∈ C [u1, u2, . . . , um] se tiene, por el

teorema 2.2.8, que:

Φn(f)

n!((p, 1, 1, . . . , 1) + (1, p, 1, . . . , 1) + · · ·+ (1, 1, . . . , p)) = p(x1) + p(x2) + · · ·+ p(xn).

Por otro lado de la denición de Φn(f), del hecho que f(1) = n y del lema 2.2.16

tenemos que:

Φn(f)

n!((p, 1, 1, . . . , 1) + (1, p, 1, . . . , 1) + · · ·+ (1, 1, . . . , p)) = f(p).

Por tanto igualando las dos últimas expresiones tenemos el resultado del teorema.

Reformulando este resultado y denotando el conjunto de los n-homomorsmos de

Frobenius f : C [u1, u2, . . . , um]→ C por Φn(Cm) tenemos el siguiente corolario.

Corolario 2.3.4. El mapeo evaluación E : Symn(Cm)→ Φn(Cm) es un homeomors-

mo.

El siguiente resultado corresponde a la implicación inversa del corolario 2.2.10.

Teorema 2.3.5. Sea A un álgebra conmutativa nitamente generada y sea f : A→ C

un n-homomorsmo de Frobenius. Entonces existen homomorsmos de anillos fi : A→

C para 1 ≤ i ≤ n tal que f = f1 + f2 + · · ·+ fn.


Demostración. Para esto usaremos el Teorema 2.3.3 (el cual es un caso particular cuan-

do A es un álgebra de polinomios). Para esto tomemos q : C [u1, u2, . . . , um] → A un

mapeo cociente sobre A, cuyo kernel denotaremos por I. Entonces g = fq es un n-

homomorsmo de Frobenius sobre C [u1, u2, . . . , um] de donde, por el teorema 2.3.3,

existen homomorsmos de anillos gi : C [u1, u2, . . . , um]→ C con g = g1 + g2 + · · ·+ gn.

Veamos que cada gi se anula en I.

Primero etiquetamos los gi de modo que g1, g2 . . . , gk son distintos y

g = r1g1 + r2g2 + · · ·+ rkgk para ri ∈ N

Si θ es un polinomio en u1, u2, . . . , um, entonces gi(θ) = θ(gi(u1), gi(u2), . . . , gi(um))

ya que gi es un homomorsmo de anillos, y si ψ es otro de estos polinomios entonces

gi(ψθ) = gi(ψ)gi(θ). Si θ ∈ I, entonces g(θ) = 0 y g(ψθ) = 0 así1 1 · · · 1

g1(ψ) g2(ψ) · · · gk(ψ)...

.... . .

...

g1(ψ)k−1 g2(ψ)k−1 · · · gk(ψ)k−1

r1g1(θ)

r2g2(θ)...

rkgk(θ)

=

0

0...

0

Lema 2.3.6. Dado distintos mapeos lineales

g1, g2, . . . , gk : C [u1, u2, . . . , um]→ C

existe un ψ ∈ C [u1, u2, . . . , um] tal que g1(ψ), g2(ψ), . . . , gk(ψ) ∈ C son distintos.

Demostración. Por el supuesto de que los mapas son distintos, Ker(gi − gj) tienen

codimensión 1 para todo par i 6= j. Cualquier ψ /∈⋃i 6=jKer(gi−gj) cumple la condición

pedida.


Para tal ψ, la matriz anterior es no singular y así

r1g1(θ) = r2g2(θ) = · · · = rkgk(θ) = 0.

Por tanto cada gi se anula en I y por tanto dene un mapeo fi sobre A tal que f =

r1f1 + r2f2 + · · ·+ rkfk, es decir f es la suma de n homomorsmos de anillos.

Por lo tanto el conjunto de homomorsmos de anillo distintos g1, . . . , gk da un

conjunto de vectores distintos v1, . . . , vk y existe un polinomio Ψ, de tal manera que

los números de Ψ(vi) = gi(Ψ) son distintos.

Corolario 2.3.7. Sea A un álgebra conmutativa nitamente generada y V = Φ1(A).

Entonces el mapeo evaluación Symn(V )→ Φn(A) es un isomorsmo de variedades.

SiX es un espacio Hausdor compacto, sea Symn(X) el producto simétricoXn/∑

n

y C(X) el álgebra de funciones continuas sobre X. Entonces el mapeo evaluación

E : Symn(X)→ Φn(C(X),C)

denido por

E [x1, x2, . . . , xn] (ϕ) = ϕ(x1) + ϕ(x2) + . . .+ ϕ(xn)

es una inmersión. Es claro que E es natural y así, si X admite una acción de gru-

po, E es equivariante. Por tanto, utilizando la transformación de Gelfand tenemos

que Φ1(C(X),C) ∼= X se ve que este es un caso especial del hecho general de que

Symn(Φ(A,B))→ Φn(A,B) es un isomorsmo cuando B es cualquier dominio conmu-

tativo.


Ya hemos mostrado que el mapeo E es sobre cuando X es un conjunto nito.

Teorema 2.3.8. Si X es un espacio de Hausdor compacto y el espacio de funciones

C(X) tiene la norma del supremo, entonces el mapeo

E : Symn(X)→ Φcn(C(X),C)

es un homeomorsmo cuando el espacio de funcionales lineales continuos sobre C(X)

tiene la topología débil.

Corolario 2.3.9. Bajo estas condiciones, cada n-homomorsmo de Frobenius continuo

es la suma de n homomorsmos de anillos continuos.

Demostración. (Del teorema 2.3.8) Esta es una fácil adaptación de la prueba de 2.3.5.

Si f : C(X)→ C es un n-homomorsmo de Frobenius continuo, entonces se comprueba

fácilmente que

Φn(f)/n! : Sn(C(X))→ C

es un homomorsmo de anillos continuos. Pero Sn(C(X)) es isomorfo a el álgebra

C(Symn(X)) y el resultado se sigue como en el teorema 2.3.5.

El caso n = 1 es el clásico mapeo que se obtiene en la teoría de Gelfand. Sin embargo,

parece que las pruebas estándar en las que dicho mapeo es un isomorsmo, no se adaptan

a la generalización de este resultado. De hecho la mayor parte de las pruebas para el

caso clásico n = 1 no encuentran el punto de X en el que el homomorsmo de anillos

C(X)→ C es la evaluación.

Capítulo 3

Preguntas abiertas.

3.1. Homomorsmos de Frobenius sobre álgebras no

conmutativas.

Sea A una álgebra asociativa sobre C. Un mapeo lineal es llamado tracial (o trace-

like) si f(ab) = f(ba) para cualquier a y b en A. Note que con esta denición el mapeo

Φn(f) : A⊗n → C estaría bien denido para álgebras no conmutativas. Más aún, como

vimos en el inicio del capítulo 2, para cada permutación σ ∈∑

n el grupo simétrico

sobre n letras, puede ser descompuesto en productos de ciclos disjuntos de longitud n,

es decir, σ = γ1γ2 . . . γr. Si γ = (i1 . . . im) es un ciclo, habíamos denido

fγ(a1, a2, . . . an) = f(ai1 , ai2 . . . , aim)

de donde denimos

Φn(f)(a1, . . . , an) =∑σ∈

∑n

ε(σ)fγ1(a1, . . . an)fγ2(a1, . . . an) . . . fγr(a1, . . . an)

47

48 Preguntas abiertas.

donde ε(σ) es el signo de la permutación σ. Note que esto también funciona para álgebras

no conmutativas donde f es un trace-like porque en este caso el valor de fγ(a1, a2, . . . an)

depende solo del ciclo γ y es independiente de la manera que se escriba en términos de

las ai.

Aunque los n-homomorsmos de Frobenius se pueden denir dentro de la clase de

funciones traciales, su signicado geométrico todavía no es claro. Tampoco se sabe de

este el contexto correcto para la generalización de los n-homomorsmos de Frobenius a

álgebras no conmutativas. Se podría esperar que la noción correcta de n-homomorsmos

de Frobenius produzca análogos no conmutativos de productos simétricos.

3.2. Homomorsmos de C(X)→Mn(R).

En esta sección consideramos *-homomorsmos de C(X) a las matrices complejas n×

n. El espacio de homomorsmos de este tipo es similar al producto simétrico considerado

en el capítulo anterior, salvo que en lugar de las multiplicidades de los puntos uno tiene

que considerar etiquetas que son subespacios vectoriales en un espacio n-dimensional

(ver [7]).

Dado un espacio compacto X con punto base x0 y C0(X) el álgebra de funciones

reales continuas sobre X que se anulan en x0. Consideremos el espacio

Fn(X) =n⋃k=0

Hom∗(C(X);Mk(R))

con la topología débil, y tomando la inclusión

Mk(R) −→M(k+1)(R)

3.2. Homomorsmos de C(X)→Mn(R). 49

A 7−→

A 0

0 0

.

Este espacio tiene una descripción geométrica que permite pensar en este como un

espacio de conguraciones, donde los elementos de Fn(X) pueden ser vistos como sub-

conjuntos nitos de X, donde los elementos del subconjunto nito están etiquetados

por espacios vectoriales nito dimensional mutuamente ortogonales, y la topología tiene

las siguientes propiedades.

1. Si dos puntos convergen al mismo punto, las etiquetas en el límite será el límite

de la suma directa de las etiquetas de los puntos iniciales.

2. Si una sucesión converge a x0, entonces las etiquetas convergen a 0.

Formalicemos un poco esta descripción geométrica.

Lema 3.2.1. Dado F ∈ Gn(X) entonces para todo f ∈ C(X), G(f) es una matriz

normal.

Demostración. Ya que C(X) es conmutativo tenemos que G(ff ∗) = G(f ∗f) y como G

es un *-homomorsmo entonces G(f)G(f)∗ = G(f)∗G(f), es decir G(f) es una matriz

normal.

Note que al ser C(X) conmutativo también se tiene que cada par de elementos en

la imagen de G conmutan, entonces por álgebra lineal todos ellos se diagonalizan con

la misma base de espacios propios, es decir, los elementos en

G(f) : f ∈ C(X) ⊆Mn(R)

son simultáneamente diagonalizables y esto implica que pueden ser vistos como G(f) =

A−1D(f)A (donde A no depende de f), siendo las las de A los espacios propios y D(f)

50 Preguntas abiertas.

es una matriz diagonal cuyas entradas son C*-homomorsmos (no nulos) entre C(X) y

R que por el teorema de Gelfand-Naimark tenemos que dichos elementos en la diagonal

pueden ser vistos como elementos de X, luego todo G está caracterizado por sus valores

propios (puntos de X) y sus vectores propios (espacios vectoriales). Con lo que se tiene

la descripción deseada.

Denotamos por En(X, V ) el espacio que resulta de la descripción geométrica anterior

y sus elementos por Vxx ∈ S donde S es un subconjunto nito deX y∑

xi∈S dimVxi =

n. Teniendo en cuenta que para G ∈ Fn(X) tenemos que

G(f) = A−1D(f)A =

v11 · · · v1n

.... . .

...

vn1 · · · vnn

f(x1) 0 · · · 0

.... . .

...

0 · · · f(xn)

v11 · · · vn1

.... . .

...

v1n · · · vnn

de donde tendríamos un isomorsmo

E : En(X, V )→ Fn(X)

con

E[Vxixi ∈ S

](f) = A−1D(f)A.

Una pregunta abierta que surge es si se puede denir n-homomorsmos de Frobenius

en Fn(X) y en tal caso cuál sería la relación de Symn(X) con En(X, V ).

Bibliografía

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Teoría de Gelfand para n-homomor smos de robFenius · Agradecimientos Agradezco al Consejo...

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