Teoría de grupos corrección

7/25/2019 Teora de grupos correccin

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Universidad Simn I. Patio

Docente: Francisco Medrano Rocha

Teora de Grupos

Lista de ejercicios (correccin)

Ejercicio 1. Sobre R2 definimos la relacin: (x1, y1) (x2, y2) R tal que(x1, y1) =

(x2, y2). Mostrar que es una relacin de equivalencia. Cules son sus clases de equiva-lencia?

Correccin 1.

es reflexiva: (x, y) (x, y) ya que con = 1 tenemos(x, y) = 1 (x, y). es simtrica: por definicin si (x1, y1) (x2, y2) existe = 0 tal que (x1, y1) =(x2, y2),luego (x2, y2) =

1

(x1, y1), es decir(x2, y2) (x1, y1).

es transitiva: si(x1, y1) (x2, y2)y (x2, y2) (x3, y3), existen por definicin1y 2realesno nulos tales que (x1, y1) = 1(x2, y2) y (x2, y2) = 2(x3, y3), luego (x1, y1) = 12(x3, y3)con 12= 0. Por lo tanto (x1, y1) (x2, y3), es decires transitiva.Esta relacin de equivalencia identifica los puntos que estn sobre una misma recta quepasa por el origen, por lo tanto las clases de equivalencias son rectas que pasan por elorigen. El conjunto cociente se llama espacio proyectivo real de dimensin 2y se denota porRP2 = R2/.

Ejercicio 2. SeanG= Z. Determine cules de las siguientes operaciones define una estructurade grupo sobre G:

1) a b= a b

2) a b= a+b+ab

Correccin 2.

1) No es una ley de grupo ya que no es asociativa:a(bc) =a (bc) =a (bc) =a b+cpero(a b) c= a b c= (a b) c= a b c.2) Tampoco es una ley de grupo, aunque es asociativa (G1) posee como neutro 0 (G2). Enefecto, no todos los elementos de Zposeen inversa bajo esta ley, por ejemplo el inverso de 1tendra que ser 1/2 Z.

Ejercicio 3. Considere el conjunto H de todas las matrices de M2(R) de la formau v

v u

donde u y v son numeros reales tales que u2 v2 = 1. Mostrar que la restriccin de lamultiplicacin de matrices hace de H un grupo abeliano. Esto dota de una estructura degrupo a las dos ramas de la hiprbola equiltera u2 v2 = 1 en el plano de coordenadas(u, v). Mostrar que la restriccin de la ley correspondiente a la rama de la derecha (esto esu >0) hace un grupo de esta rama denotado por H0.

Correccin 3.

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SeaH=

u vv u

|u2 v2 = 1

. Primero que nada, hay que verificar que el producto de

matrices es una ley interna en H, es decir que el producto de dos matrices en Hse queda en

H: u v

v ur s

s r=

ur+vs us+vr

us+vr ur+vs. El producto es simtrico pero hay que mostrar

que (ur+vs)2 (us+vr)2 = 1. Utilizamos el hecho que u2 v2 = 1 y r2 s2 = 1:

(ur+vs)2 (us+vr)2 = (ur)2 + (vs)2 (us)2 (vr)2 =u2 (r2 s2) 1

v2 (r2 s2) 1

= 1.

El axioma (G1) de asociatividad se verifica trivialmente ya que el producto de matrices esasociativo en general.

El neutro e=

1 00 1

H, por lo que (G2) es satisfecho.

La inversa de u vv u es u vv u , lo que satisface (G3). En conclusin, Hes un grupo.Ejercicio 4. SiG1 yG2 son dos grupos, verifique que la ley definida en clases sobre G1 G2le confiere una estructura de grupo.

Correccin 4.

Sean(G1, )y (G2, )dos grupos con operaciones y respectivamente. En clase defini-mos la operacin siguiente sobre G1 G2:

(x1, x2) (y1, y2) = (x1 y1, x2 y2).

Esta operacin es claramente una ley interna y verifica los axiomas de grupo:(G1) Sean x1, y1, z1 G1 yx2, y2, z3G2. Entonces

(x1, x2) ((y1, y2) (z1, z2)) = (x1, x2) (y1 z1, y2 z2)

= (x1 (y1 z1), y1 (y2 z2))

= ((x1 y1) z1, (y1 y2) z2)

= (x1 y1, y1 y2) (z1, z2)

= ((x1, x2) (y1, y2)) (z1, z2)

donde la tercera igualdad es consecuencia de la asociatividad en G1 y G2.

(G2) El neutro para esta ley es e= (eG1, eG2).

(G3) El inverso de (x, y) es simplemente (x1, y1), donde x1 es el inverso de x en G1e y1 es el inverso de y en G2.

Ejercicio 5. Escribir la tabla de operaciones de grupo de los grupos siguientes: Z/7Z yZ/2Z Z/3Z.

Correccin 5.

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Vamos a permitirnos una nueva notacin para las clases de restos mdulo un entero. Enlugar de [m] escribiremos simplemente m.Tabla de operaciones deZ/7Z:

+ 0 1 2 3 4 5 60 0 1 2 3 4 5 61 1 2 3 4 5 6 02 2 3 4 5 6 0 13 3 4 5 6 0 1 24 4 5 6 0 1 2 35 5 6 0 1 2 3 46 6 0 1 2 3 4 5

Tabla de operaciones deZ/2Z Z/3Z:

Vamos a sobreentender que trabajamos con clases de restos mdulo 2 y mdulo 3, porlo tanto pasaremos de la notaciones [m] ym y escribiremos simplementem. Luego tenemosZ/2Z ={0, 1} y Z/3Z ={0, 1, 2}.Atencin!0,1 y 2 representan clases de restos, no son los nmeros que usualmente conocemos,adems el elemento1 Z/2Z es diferente de1 Z/3Z. En efecto en Z/2Z se tiene1 +1 = 0mientras que en Z/3Z,1+1 = 2. Con estas aclaraciones podemos escribir tabla de operacionesdel grupo producto Z/2Z Z/3Z ={(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2)}

+ (0,0) (0,1) (0,2) (1,0) (1,1) (1,2)(0,0) (0,0) (0,1) (0,2) (1,0) (1,1) (1,2)(0,1) (0,1) (0,2) (0,0) (1,1) (1,2) (1,0)

(0,2) (0,2) (0,0) (0,1) (1,2) (1,0) (1,1)(1,0) (1,0) (1,1) (1,2) (0,0) (0,1) (0,2)(1,1) (1,1) (1,1) (1,0) (0,1) (0,2) (0,0)(1,2) (1,2) (1,0) (1,1) (0,2) (0,0) (0,1)

Ejercicio 6. Sea G un grupo en el cual g2 =e para todo g en G. Pruebe que Ges abeliano.

Correccin 6.

Debemos probar que ab = ba para todos a, b G. Por hiptesis (ab)2 = abab = e,multiplicando esta igualdad por ba la derecha:

(abab)b= eb = b

Por asociatividad y como b2 = e, (aba)(b2) = (aba)e = aba, luego aba = b. Multiplicandoesta ltima igualdad por aa la izquierda tenemos:

a(aba) =ab

Nuevamente por asociatividad y porquea2 =e, el miembro de la izquierda de esta igualdades a2(ba) =e(ba) =ba. De donde se deduce ba= ab.

Ejercicio 7. Calcule el orden de cada elemento deZ

/6Z

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Correccin 7.

ord([0]) = 1 por definicin.ord([1]) = 6 ya que [1] + [1] + [1] + [1] + [1] + [1] = [6] = [0].ord([2]) = 3 ya que [2] + [2] + [2] = [6] = [0].

ord([3]) = 2 ya que [3] + [3] = [6] = [0].ord([4]) = 3 ya que [4] + [4] + [4] = [12] = [0].ord([5]) = 6 ya que [5] + [5] + [5] + [5] + [5] + [5] = [30] = [0].

Ejercicio 8. SeanA y B dos subgrupos de un grupo abeliano G, yAB ={ab | a A, b B}.Pruebe que AB es un subgrupo de G.

Correccin 8.

Primeramente, veamos que la operacin es cerrada para AB . Seanab AB yab AB ,entonces:

(ab)(a

b

) =abab

= (aa)(bb) AB por conmutatividad.

Observe que aa A y bb B ya que Ay B son subgrupos de G. Los axiomas de grupo severifican fcilmente:(G1)(ab) ((ab) (ab)) =ababab = ((ab) (ab)) (ab)(G2) el elemento neutro puede escribirse e= ee AB ya que tanto A como B contienen ae.(G3) el inverso de ab AB es a1b1 AB .

Ejercicio 9. SeaG un grupo ya y b dos elementos deG tales que ab = ba,< a > < b >=

{e}. Mostrar que el orden de ab es finito si y solamente si ay b son de orden finito.Correccin 9.

)Como el orden deabes finito, existe un entero positivo n tal que(ab)n =e. Por conmuta-tividad dea y b,e = (ab)n =anbn, es deciran =bn. Comoan =bn < a > < b >={e},se tiene que an =bn =e. Luego ay b son de orden finito.) Sean k = ord(a) y l = ord(b) y sea m = mcm(k, l) (mnimo comn mltiplo). Pordefinicin m = k = l para ciertos , N. Entonces, como a y b conmutan (ab)m =ambm = (ak)(bl) =ee =ee = e, luego abes de orden finito

Ejercicio 10. Sea a G,G un grupo. Muestre que la aplicacin a : G G,gaga1 es

un isomorfismo de G sobre si mismo

Correccin 10.

Primero verificamos que a es efectivamente un homomorfismo de grupos:

a(xy) =a(xy)a1 =ax (a1a)

=e

ya1 = (axa1)(aya1) =a(x)a(y).

a es inyectiva: sea x ker a, a(x) = axa1 = e, luego x= a1a=e. Por lo tanto es

inyectiva.a es sobreyectiva: para y G buscamos xG tal que a(x) =y , es decir axa

1 =y. Un

despeje simple nos da x= a1

ya.

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Ejercicio 11. Pruebe que todo grupo de orden 2 y 3 es isomorfo a Z/2Zy Z/3Z respectiva-mente.

Correccin 11.

Determinacin de grupos de orden 2: Sea G de orden 2. G contiene dos elementos, uno deellos el elemento neutro, digamos G= {e, a} con a=e. Como G es un grupo a2 G, peroen G slo hay 2 elementos: o bien a2 =e o bien a2 =a. La segunda igualdad no es posibleya que eso implicara: a2 = a (a2)a1 = aa1 a = e. Por lo tanto a2 = e. Luego latabla de operaciones de Ges la siguiente:

. e ae e aa a e

Esta tabla es idntica a la tabla de operaciones de Z/2Z, lo que nos sugiere el isomorfismo:

: G = Z/2Z

e [0]a [1]

Determinacin de grupos de orden 3: SeaG un grupo de orden 3. G contiene tres elementosdiferentesG= {e,a,b}, dondeees el neutro de la operacin de grupo. La tabla de operacionesde Ges la siguiente

. e a be e a b

a a a2 abb b ba b2

En principio paraab hay 3 posibilidades:ab = e,ab = a,ab = b. Sin embargo las dos ltimasno son posibles ya que implicaran b = e ya = e respectivamente. Por lo tanto ab = e y conel mismo razonamiento deducimos tambin que ba= e.

Para a2 hay en principio las 3 posibilidades siguientes: a2 =e, a2 =a, a2 =b. Si a2 =e, deab= e tendramosa(ab) =ae a2b= a b = a lo cual no es posible. Sia2 =a tendramosa = e lo cual tampoco es posible. Finalmente slo queda la posibilidad a2 = b. De maneracompletamente similar deducimos b2 =a. La tabla de Ges entonces:

. e a be e a ba a b eb b e a

Y al comparar con la tabla de Z/3Z:

+ 0 1 20 0 1 21 1 2 0

2 2 0 1

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podemos establecer el siguiente isomorfismo:

: G = Z/3Z

e [0]

a [1]b [2]

Ejercicio 12. Sean p y q enteros estrictamente positivos primos entre si. Mostrar que laaplicacin : Z/pqZ Z/pZ Z/qZ,[x]pq ([x]p, [x]q) es un isomorfismo.

Correccin 12.

La aplicacin es un homomorfismo de grupos ya que las proyecciones p : Z Z/pZ,q : Z Z/qZ lo son:

([x]pq

+ [y]pq

) =([x+y]pq

) = ([x]p

+ [y]p

, [x]q+ [y]

q)

= ([x]p, [x]q) + ([y]p, [y]q) =([x]pq) +([y]pq).

Inyectividad de: sea[x]pqker , entonces[x]p = [0]p y[x]q = [0]q, es decirx 0 (modp)y x 0 (mod q). De manera equivalente p|x yq|x. Como py qson primos entre s pq|x, esdecir x 0 (mod pq). Por lo tanto [x]pq = [0]pq, lo cual prueba la inyectividad.

Sobreyectividad de : Dado ([a]p, [b]q) Z/pZ Z/qZ, buscamos [x]pq Z/pqZ tal que([x]pq) = ([a]p, [b]q) o lo que es lo mismo x a (mod p) yx b (mod q). Como (p, q) = 1,existen enteros ytales que p +q= 1.Afirmacin:x= qa+pb es un representante de la clase que buscamos. En efecto, calcu-

lando primero mdulo ptenemos: x a (modp). Luego mdulo q: x b (modq).

Ejercicio 13. Mostrar que no existe ningn homomorfismo entre (Q, +) y(Q+, ).

Correccin 13.

Supongamos por el absurdo que un tal homomorfismo exista, digamos f:

f : Q Q+

Recordemos que en Q la operacin es la adicin usual de nmeros y en Q+la operacin es la

multiplicacin usual de nmeros. La imagen de1 debe ser un racional estrictamente positivopor definicin, digamosf(1) = pq

conp, q >0 enteros. Como fes un homomorfismo, para m

entero positivo (en particular racional) se tiene:

f(1) =fm

m

= f(

1

m+ +

1

m m veces

) =f(1

m) f(

1

m)

m veces

=f

1

m

m

Como f(1) = pq

, tenemos que f( 1m

) = m

pq

. Luego, basta encontrar m N tal que m

pq

sea irracional, lo cual sera contradictorio ya que f( 1m

) Q+ Q. Por lo tanto, un tal

homomorfismo fno existe.

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Ejercicio 14. SeanAyB dos grupos abelianos cuya operacin es escrita aditivamente. De-signamos por Hom(A, B)al conjunto de homomorfismos de A enB . Para f , gHom(A, B)definimos la operacin:

(f+g)(x) =f(x) +g(x)

i) Mostrar que Hom(A, B) con esta operacin es un grupo.

ii) Mostrar que Hom(Z, B)=B .

Correccin 14.

i) Primero que nada, hay que mostrar que la operacin + es una ley interna de Hom(A, B),es decir dados f y g en Hom(A, B), la suma f+g tambin este en Hom(A, B). Es decir,hay que probar que f+g tambin es un homomorfismo de grupos de Aen B:

Sean x, y A arbitrarios, entonces

(f+g)(x+y) =f(x+y) +g(x+y) por definicin de la operacin + en Hom(A, B)

= (f(x) +f(y)) + (g(x) +g(y)) f yg son homomorfismos

= (f(x) +g(x)) + (f(y) +g(y)) B es abeliano

= (f+g)(x) + (f+g)(y) por definicin de + en Hom(A, B)

Concluimos entonces que f+g es un homomorfismo de grupos de A en B, es decir + estbien definida y es ley interna en Hom(A, B). Pasamos entonces a probar los axiomas de grupo:

(G1) Sean f , g, h Hom(A, B), queremos ver que (f+g) +h = f+ (g+ h). Para mos-

trar una igualdad entre aplicaciones, bastar probar que

((f+g) +h)(x) = (f+ (g+h))(x) x A.

Calculando entonces:

((f+g) +h)(x) = (f+g)(x) +h(x)

= (f(x) +g(x)) +h(x)

=f(x) + (g(x) +h(x)) por asociatividad en B

=f(x) + (g+h)(x)

= (f+ (g+h))(x).

Comoxes arbitrario concluimos que(f+ g) + h= f+ (g+ h), por lo tanto la operacin esasociativa.(G2) El neutro de Hom(A, B)debe ser un homomorfismo e : A B tal que e + f=f paratodofHom(A, B). En particular(e + f)(x) =e(x) + f(x)debe ser igual af(x)para todox A, es decir e(x) +f(x) = f(x). No hay muchas elecciones posibles para hacer esto yla ms clara es definir e de la siguiente manera: e: A B, xeB. Esta aplicacin e queenva todoA hacaeB es un homomorfismo de grupos de A en B y es por lo tanto el neutroque buscamos.

(G3) Para f Hom(A, B) buscamos el inverso por la operacin + definida ms arriba.

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Buscamos entonces gHom(A, B) tal que g+f=e, es decir (g+f)(x) =e(x) para todox A. De esta ltima igualdad deducimos g(x) = eB f(x) = f(x), es decir g es elhomomorfismo (esto es fcil de verificar) siguiente:

g : A Bx f(x)

Por unicidad del inverso, podemos escribir g= f.

Por lo tanto Hom(A, B) es un grupo.

Ejercicio 15.SeaG un grupo cclico de orden n. Mostrar que para todo divisor d de n, existeun subgrupo cclico de G de orden d.

Correccin 15.

Como G es cclico de orden n, existe x G de orden n tal que G =< x >. Sea d undivisor de n, esto es, existe m N tal que n= dm. La idea es considerar el subgrupo H deG engendrado por gn/d, es decir H=< gn/d >. Este subgrupo Hes de orden d ya que gn/d

es de orden d. En efecto, por la proposicin 5.i el orden de gn/d es el entero positivo k0 mspequeo tal que (gn/d)k0 = e. Como (gn/d)d = gn = e (ya que n es el orden de G), se tieneque k0 d. En realidad k0 no puede ser ms pequeo que d sino igual. De lo contrario, sik0< dtendramose= (g

n/d)k0 =gnk0/d (ya quek0 es el orden de gn/d) y comon es el orden

de g,nk0/d n, es decirk0d lo cual es una contradiccin. Por lo tanto d= ord(gn/d).

Ejercicio 16.Utilizando el teorema de Lagrange, mostrar que si se tiene la siguiente inclusinde gruposHKG, entonces

[G: H] = [G: K][K :H]

Correccin 16.

Recordemos que[G: H] =|G/H|,[G: K] =|G/K| y[K :H] =|K/H|.

Aplicando Lagrange a la inclusin HG:

|G|= [G: H]|H| (1)

Aplicando Lagrange a la inclusin HK:|K|= [K:H]|H| (2)

Aplicando Lagrange a la inclusin KG:

|G|= [G: K]|K| (3)

Multiplicando miembro a miembro (2) y (3):

|G|= [K :H][G: K]|H|

Finalmente reemplazando (1) en esta ltima igualdad obtenemos el resultado pedido.

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Ejercicio 17. Calcule la tabla de operaciones del grupo diedral de un tringulo equiltero D3

Correccin 17.

Recordemos queD3= {1, r , r2,s,rs,r2s}y adems tenemos las siguientes relaciones que

nos sern tiles en los clculos: r3 = 1, s2 = 1 y srs = r1 =r2 (de esta ltima deducimospor iteracin que sr2s =r2 = r ya que sr2s = srrs = (srs)(srs) = r1r1 = r2). Dichoesto manos a la obra!

1 r r2 s rs r2s1 1 r r2 s rs r2sr r r2 1 rs r2s sr2 r2 1 r r2s s rss s r2s rs 1 r2 rrs rs s r2s r 1 r2

r2s r2s rs s r2 r 1

Las primeras 3 filas de esta tabla se calculan sin mucha dificultad, las 3 ltimas requierenun poco de paciencia y concentracin. Los siguientes clculos pueden ser muy tiles:

srs= r2 sr = r2s

sr2s= r sr2 =rs

As por ejemplo, si queremos calcular (rs)(r2s) tenemos:

(rs)(r2s) =rsr2s= rsr2s= rrss= r2s2 =r2

Ejercicio 18. Sea D3 el grupo diedral de un tringulo equiltero y R3 el subgrupo de rota-ciones de D3. Calcule las clases de equivalencia mdulo R3, es decir determine el conjuntoD3/R3.

Correccin 18.

Este ejercicio fue corregido en clases. La respuesta es:

D3/R3={{1, r , r2}, {s,rs,r2s}}

Ejercicio 19. Sea G un grupo y Hun subgrupo finito de G. El normalizadorde H en Ges

el conjunto NG(H) ={gG | ghg1 H, para todo h H}

a) Pruebe que NG(H) es un subgrupo que contiene a H.

b) Hes un subgrupo normal de NG(H).

Correccin 19.

Observacin.Para mostrar que un subconjunto Kde un grupoGes un subgrupo, es suficienteverificar que se cumple la siguiente condicin:

x, y Kx1

yK

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Ejercicio 21. El grupo ortogonal es el conjunto O(n,R) = {A GLn(R)|ATA = I}.

Pruebe que SO(n,R) = {A GLn(R)| det A = 1} es un subgrupo de O(n,R) y queO(n,R)/SO(n,R) = C2 donde C2 es el grupo cclico de dos elementos {1, 1} isomorfoa Z/2Z.

Correccin 21.

No es muy difcil probar que el conjunto de matrices ortogonales O(n,R) es un grupo:

(G1) El producto de matrices es asociativo en general.

(G2) El neutro es la matriz identidad Ique est en O(n,R) ya que ITI=I.

(G3) El inverso A1 de A es AT ya que ATA = Iy el inverso es nico, luego A1 = AT.Adems(AT)TAT =AAT =I(todo inverso a la izquierda es necesariamente inverso ala derecha).

Con la observacin del ejercicio 19, podemos mostrar que SO(n,R) es un subgrupo deO(n,R). Sean entonces A, B SO(n,R), hay que mostrar que det(A1B) = 1. En efec-to,det(A1B) = det(A1)det B = 1

detA= 1 ya que det A= det B = 1.

El objetivo de este ejercicio es utilizar el teorema de factorizacin del curso (Teorema 5): si: G Hes un homomorfismo de grupos, entonces G/ ker =Im.

Consideremos el homomorfismo determinante

det : O(n,R) R

Calculemos su ncleo:ker(det) ={A O(n,R) | det A= 1}= SO(n,R).

Calculemos su imagen:Si A O(n,R), entonces ATA = I det(ATA) = det(AT)det A = 1 (det A)2 = 1 yaque det(AT) = det A. De donde deducimos que det A = 1. Es decir en Im(det) slo haydos valores posibles {1, 1} y esos dos valores son alcanzados, es decir Im(det) = {1, 1}.Finalmente por el Teorema 5 del curso:

O(n,R)/SO(n,R)=C2.

AquC2={1, 1} es el subgrupo que consta de dos elementos del grupo multiplicativo R.

Ejercicio 22. Utilizando el primer teorema de isomorfismo aplicado al homomorfismo degrupos exp : (R, +) S1, x e2ix, pruebe que R/Z = S1. Recuerde que S1 = {z C||z|= 1}.

Correccin 22.

Clculo del ncleo de exp:ker(exp) ={x R | e2ix = 1}, pero e2ix = 1 x Z. Por lo tanto ker(exp) = Z.

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Clculo de la imagen de exp:El homomorfismo exp es sobreyectivo ya que dado ei S1 buscamos x R tal quee2ix =ei, pues bastar elegirx=

2. Luego Im(exp) =S1 y por el Teorema 5:

R/Z=S

1

.

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