ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

CARRERA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

FÍSICA MODERNA

INTEGRANTES:

ÁLVARO TABOADA

SANTIAGO MEDINA

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TEORÍA DE LA RELATIVIDAD.

Aplicaciones en relación con la masa, longitud, tiempo y velocidad.

1. Transformaciones Galileanas................................................................................................ 3

1.1 Invarianza de una ecuación. ......................................................................................................5

2. Postulados de Einstein. ..................................................................................................................... 5

3. El experimento de Michelson y Morley. ............................................................................... 6

3.1 El espacio absoluto y el éter. ..................................................................................................... 6

3.2 El experimento de Michelson-Morley. ................................................................................. 6

4. Transformaciones de Lorentz. .....................................................................................................10

5. Medidas Relativistas de longitud. ........................................................................................... 13

6. Medidas Relativistas de tiempo. ............................................................................................... 14

7.Medidas Relativistas de masa, energía y momentum. ......................................... 16

7.1 La relatividad de la masa. ........................................................................................................... 16

7.1 Relación entre la masa y la energía. ................................................................................... 19

7.2 Relación entre la masa y el momentum. .......................................................................... 20

8.Ejercicios ....................................................................................................................... ...................................21

8.1. Medidas relativistas de longitud .......................................................................................... 21

8.2. Medidas relativistas del tiempo ............................................................................................ 22

8.3. Medidas relativistas de espacio-tiempo ......................................................................... 23

8.4. Masa, energía y momentum en relatividad ................................................................... 24

2

1. Transformaciones Galileanas.

Consideremos un acontecimiento físico. Éste acontecimiento puede ser determinado por

un observador al asignarle cuatro coordenadas: las tres coordenadas de posición x, y, z

que miden la distancia desde el origen de coordenadas desde donde se encuentra el

observador, y la coordenada del tiempo, también medida por el observador.

Supongamos que estamos situados en un marco de referencia S y que las coordenadas

del acontecimiento anteriormente descrito, a un tiempo t, son ( x, y, z ). Un observador

situado en otro marco de referencia S’ que se mueva con respecto a S a la velocidad

constante v encontrará que el mismo acontecimiento ocurre en el tiempo t’ y que tiene las

coordenadas ( x’, y’, z’ ). Por comodidad la velocidad v será en el eje x hacia la derecha.

(Ver gráfica 1.1).

Las relaciones entre las medidas ( x, y, z, t ) obtenidas por S y las medidas ( x’, y’, z’, t’ )

obtenidas por S’, se encuentran examinando la figura anterior:

3

x’ = x – vt

y’ = y

z’ = z

t’ = t

A estas ecuaciones se las conoce con el nombre de transformaciones galileanas. Son

las respuestas que da la física clásica respecto a la transformación de sistemas de

coordenadas.

Para convertir las componentes de velocidad medidas en el marco S a sus equivalentes en

el marco S’ de acuerdo con las transformaciones de Galileo basta con derivar las

ecuaciones galileanas; así:

La aceleración de una partícula es la derivada con respecto al tiempo de su velocidad, por

ende, para encontrar la s transformaciones galileanas de la aceleración basta derivar las

ecuaciones de la velocidad calculadas anteriormente, teniendo en cuanta que t = t’ y que v

es constante.

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Nótese que la transformación de Galileo y la transformación de velocidades deducida de

aquella violan ciertas leyes físicas. El primer postulado exige idénticas ecuaciones físicas

en los dos marcos de referencia y no obstante las ecuaciones de electricidad y magnetismo

adoptan forman muy diferentes cuando emplean las ecuaciones galileanas para convertir

las cantidades medidas en un marco referencial en sus equivalentes en el otro. Resulta

claro que para satisfacer este tipo de inconvenientes ( incluyendo los postulados de la

relatividad especial ) es necesario otro tipo de transformaciones.

1.1 Invarianza de una ecuación.

Se dice que hay invarianza de una ecuación cuando ésta presenta la misma forma al ser

determinada por dos observadores. En la teoría clásica se supone que las medidas de

espacio y tiempo obtenidas por dos observadores están relacionadas por las

transformaciones de Galileo. Así, cuando un observador determina una forma particular

para una ecuación pueden aplicarse las transformaciones galileanas para ésta forma y

encontrar así la forma para el otro observador. Si ambas formas coinciden, la ecuación es

invariante bajo las transformaciones de Galileo.

2. Postulados de Einstein.

La idea que orientó a Einstein, lo que él llamó Principio de relatividad, consistió en que

todos los observadores no acelerados deben tratarse por igual en todos los aspectos

aunque se muevan (con velocidad constante) unos con relación a otros. Este principio

puede formalizarse como sigue:

Postulado 1: Las leyes de la física son las mismas ( invariantes ) para todos los

observadores que se encuentren en sistemas inerciales ( no acelerados ) de referencia.

Las leyes de Newton para el movimiento concuerdan con el principio de la relatividad pero

las ecuaciones de Maxwell y las transformaciones de Galileo están en desacuerdo con él.

Einstein no encontró razones para establecer diferencias básicas entre las leyes de la

dinámica y las del electromagnetismo. De esto se desprende su segundo postulado:

Postulado 2: La velocidad de la luz medida en el vacío por cualquier observador

inercial es:

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independiente del movimiento de la fuente.

3. El experimento de Michelson y Morley.

3.1 El espacio absoluto y el éter.

Una de las consecuencias de las transformaciones de la velocidad según Galileo es la

siguiente: si un observador encuentra que una señal luminosa viaja con una velocidad

c, cualquier otro observador que esté en movimiento con respecto al primero,

determinará que la misma señal luminosa viajará a velocidad diferente de c.

Antes de Einstein, se creía en general, que éste observador privilegiado era el mismo

para el cual eran válidas las ecuaciones de Maxwell. Estas ecuaciones describen la

teoría electromagnética y predicen que las ondas electromagnéticas viajan con

velocidad c. El espacio que estaba en reposo, con respecto a este observador

privilegiado, se llamó “espacio absoluto”. Cualquier otro observador que se encuentre

en movimiento respecto a este espacio absoluto encontraría la velocidad diferente de c.

Puesto que la luz es una onda electromagnética, los físicos del siglo XIX postularon la

existencia de un medio por el cual se propague la luz. Fue así como se postuló que el

“éter” estaba difundido en todo el espacio absoluto.

3.2 El experimento de Michelson-Morley.

Si existe un éter, entonces un observador sobre la Tierra y que se mueve a través del

éter notará un viento de éter. En 1881 Michelson diseñó un aparato con la sensibilidad

necesaria para medir el movimiento de la Tierra a través del éter hipotético. El aparato

fue perfeccionado por Michelson y Morley en 1887. Como resultado del experimento,

ningún movimiento a través del éter fue detectado.

La idea básica de este experimento consistía en medir la velocidad de la luz con

respecto a un marco fijo en la Tierra, en dos direcciones perpendiculares. Para esto,

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Michelson y Morley diseñaron un interesante dispositivo , un interferómetro, que se

muestra en la figura 3.1.

El razonamiento es sencillo: Si el espacio está lleno de éter, nos movemos a través del

mismo a una velocidad por lo menos igual al de traslación de la Tierra que es de 3 x 10

m/s, y si el sol está en movimiento, nuestra velocidad a través del éter es todavía

mayor. Bajo el punto de vista de un observado en la Tierra, el éter se mueve con

respecto a ésta. Para detectar este movimiento, usamos un par de rayos luminosos

formados por un espejo semiplateado. Se dirige uno de éstos rayos luminosos a un

espejo siguiendo un camino perpendicular a la corriente del éter y el otro a otro espejo

siguiendo un camino paralelo a la misma corriente. Se dispone el sistema óptico de tal

manera que ambos rayos retornen a una misma pantalla de observación.

Si los recorridos de ambos rayos son exactamente iguales, llegarán a la pantalla en

fase e interferirán positivamente provocando una imagen clara.

Sin embargo, la presencia de una corriente d éter en la dirección indicada haría que los

tiempos empleados por los dos rayos para ir desde el espejo semiplateado hasta la

pantalla fueran diferentes, de tal suerte que no llegarían en fase sino que interferirían

negativamente.

Consideremos un interferómetro que s e mueve con velocidad v respecto al éter,

paralelamente a la dirección del rayo 2 ( Ver figura 3.2 ). Aquí, la luz emitida por la

fuente F es colimada por el lente C. El rayo central incide 45° sobre el espejo

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semiplateado E. Este espejo tiene la propiedad de reflejar la mitad del rayo incidente y

de transmitir la otra mitad. De este modo, el rayo incidente se separa en dos rayo 1 y

2, que se dirigen a los espejos E1 y E2 donde son reflejados sobre si mismos.

Supongamos l = l1 = l2, en este caso, suponiendo que la luz viaja con velocidad

constante c en el marco del éter, puede demostrarse fácilmente que el rayo reflejado

será enviado hacia delante precisamente a un ángulo de modo que, después de

reflejarse en E1, estará sobre el eje definido por F y C a tiempo para encontrar a E. La

figura 3.2 muestra la situación que se le presenta a un observador en el marco de éter;

E’ indica la posición de E cuando el rayo reflejado por E1 y E2’ la posición que ocupa E2

al instante en que refleja el rayo 2.

Para evaluar la relación entre las fases que se recombinan calculamos el tiempo que

emplean en recorrer sus respectivas trayectorias.

El rayo 1 recorre una trayectoria oblicua de longitud c t en el tiempo t, período durante

el cual se mueve una distancia v t hacia la derecha. De la figura inferimos:

De donde:

Puesto que v²/c²«1, por el teorema del binomio tenemos:

El tiempo total empleado por el rayo 1 es:

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Ahora calculemos el tiempo del rayo 2, desde el punto de vista de un observador que

acompaña al aparato. El tiempo necesario para que el rayo realice un viaje redondeo

es:

Y por el teorema del binomio:

Los dos rayos que se recombinan están fuera de fase por la cantidad de δt/τ, donde τ =

λ/c = período de la vibración de las ondas luminosas de longitud de onda λ. Esta

diferencia de fase es:

El experimento real, con el aparato en esta posición se hizo una medida;

posteriormente se efectuó una segunda con el aparato girado 90°. Una breve

consideración mostrará que la diferencia de fase cuando el aparato se encuentra girado

es:

Se espera entonces que, como consecuencia de haber girado el aparato, haya un

cambio en la diferencia de fase por la cantidad:

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Calculando con un λ = 6 x 10 cm. y una longitud l = 30 cm. con una estimación v²/c =

10 la última ecuación arroja un Δ = 0.5 lo que significa que si en el primer experimento

estuvieran en fase los rayos que se recombinan, estarían fuera de fase en el segundo

experimento.

Michelson y Morley realizaron este experimento varias veces en distintas condiciones,

para asegurarse que el efecto no se debiera a una combinación fortuita de los valores

de la velocidad debido a que el laboratorio estuviera en reposo respecto al éter, en

diferentes épocas el año y en diferentes laboratorios, mas nunca se observó efecto

alguno.

A pesar de las predicciones de la teoría clásica, Michelson y Morley demostraron que la

velocidad de la luz es la misma ciando se mide a lo lago de dos ejes perpendiculares

cuando se mide en una marco de referencia que se mueve durante el año, respecto al

marco del éter, con velocidad variable.

4. Transformaciones de Lorentz.

Desarrollaremos a continuación un grupo de ecuaciones partiendo de los postulados de la

relatividad. Es razonable admitir una relación entre x y x’ del tipo:

Donde k es un factor de proporcionalidad que no depende ni e x ni de t, pero puede ser

función de v.

La ecuación anterior se ha escogido haciendo una serie de consideraciones: es lineal

respecto a x t x’ de manera que un solo acontecimiento en el marco S corresponde a un

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solo acontecimiento del marco referencial S’. Como las ecuaciones físicas debdn tener la

misma forma en los dos marcos, basta con cambiar el signo de v y se obtiene la ecuación

correspondiente para x en función de x’ y t.

Nótese que k es el mismo para las dos ecuaciones.

Como en el caso de las transformaciones de Galileo, nada indica que se deba alterar las

coordenadas correspondientes a y, y’, z, z’ que son normales a la dirección de v.

Entonces:

Sin embargo, las coordenadas de tiempo t y t’ no son iguales. Sustituyamos el valor de x’

dado por la ecuación 1 en la ecuación 2:

Este grupo de ecuaciones (de la 1 a la 4), constituye una transformación de coordenadas

que satisface el primer postulado de la relatividad.

El segundo postulado nos permite calcular k. A t = 0, los dos marcos referenciales están

en el mismo lugar, por lo tanto t’=0. Supongamos un acontecimiento visible en el origen

común de S y S’ al t = t’=0, y que observadores en cada sistema puedan medir a que

velocidad la luz se extiende sobre ella. Ambos observadores obtienen la misma velocidad

c, lo que quiere decir que en el marco S

x = c t ( 5 )

Mientras que en el marco S’

x’ = c’ t’ ( 6 )

Sustituyendo x’ y t’ mediante las ecuaciones 1 y 4

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Y despejando x

Vemos que esta expresión será igual a la ecuación 5 si el término encerrado entre

corchetes es igual a 1, entonces igualando:

Ahora introduzcamos el valor encontrado de k en las primeras cuatro ecuaciones:

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Éstas ecuaciones son las denominadas Transformadas de Lorentz.

5. Medidas Relativistas de longitud.

Como sabemos, la longitud de un cuerpo en reposo se determina midiendo la diferencia

entre las coordenadas espaciales de ambos extremos del cuerpo. A ésta longitud se la

conoce como longitud propia o de reposo de un cuerpo.

Cuando dicho cuerpo se encuentra en movimiento, el procedimiento a seguirse será el de

tomar las coordenadas de los extremos del cuerpo a un mismo instante de tiempo. La

longitud será la diferencia entre estas coordenadas.

Supongamos que el cuerpo se encuentra a lo largo del eje x del marco de referencia S

( que se encuentra en reposo ). Encontramos que las coordenadas de sus extremos son

x1 y x2, y llegamos a la conclusión que la longitud propia del cuerpo, Lo, es:

Supongamos que se determina la misma cantidad desde un marco de referencia S’ que se

mueve paralelamente a la varilla con una velocidad v. Para encontrar L, utilizamos la

transformación de Lorentz para pasar de las coordenadas de x1 y x2 en el marco S

estacionario a las coordenadas correspondientes x1’ y x2’ en el marco S’ en movimiento.

De la ecuación de Lorentz para la posición x, sacamos la inversa:

Ahora reemplazamos en nuestro problema:

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Así:

Por definición:

Lo que significa que:

O bien:

La longitud de un objeto en movimiento con respecto a un observador parece a éste mas

corta que cuando está en reposo respecto a él. Se conoce este fenómeno con el nombre

de contracción de Lorentz – Fitz Gerald .

6. Medidas Relativistas de tiempo.

Los intervalos de tiempo también se ven afectados por el movimiento relativo. Los relojes

que se mueven respecto a un observador parece que tienen un tic tac menos rápido

cuando están en reposo respecto al mismo.

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Imaginemos un reloj situado en el punto x’ del marco en movimiento S’. Cuando un

observador en S’ encuentra que el tiempo es t1, un observador en S encontrará, siguiendo

la ecuación de la transformación de Lorentz que refiere al tiempo es:

Después de un intervalo de tiempo t0 ( para él ), el observador situado en el sistema que se

mueve encuentra que el tiempo es ahora t2’ según su reloj. Esto es:

Sin embargo el observador en S mide para el final del mismo intervalo un tiempo de valor

De manera que para él la duración del intervalo t es:

O bien:

La dilatación del tiempo es un efecto real. Consideremos, para aclarar lo anteriormente

descrito, la figura siguiente:

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Supongamos que se colocan cámaras fotográficas frente al reloj 2 y frente al reloj único y

que cada cámara toma una fotografía en el instante en el que el reloj único pasa frente al

reloj 2. Cada fotografía mostrará lo mismo, es decir que el reloj único ha avanzado Δto

mientras que el reloj 2 ha avanzado un Δt donde los intervalos Δt y Δto están relacionados

de acuerdo con la expresión para la dilatación del tiempo.

7. Medidas Relativistas de masa, energía y momentum.

7.1 La relatividad de la masa.

Hemos visto que dos de las cantidades físicas fundamentales, longitud y tiempo, tiene

significado solamente cuando se especifica el marco referencial en el que son medidas.

Ahora tomemos un acontecimiento en el tiempo y espacio – una colisión entre dos

cuerpos –tendrá diferente aspecto en distintos marcos de referencia.

Comenzamos considerando una colisión elástica ( existe conservación d energía

cinética ), entre dos partículas A y B presenciada por observadores situados en marcos

de referencia S y S’, que están en movimiento uniforme relativo. Las propiedades de A

y B son idénticas cuando se las determina en marco de referencia en reposo. Los

marcos están orientados según la figura y S’ se mueve en el sentido +x respecto a S a

la velocidad v.

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Antes de la colisión, la partícula A ha estado en reposo en el marco S, y la partícula B

en el marco S’. Entonces en el mismo instante A es lanzada en el sentido + y a la

velocidad VA, mientras que B es lanzada en el sentido – y a la velocidad VB’, siendo:

De ahí que el comportamiento de A es similar al de B vista desde S’. Cuando las dos

partículas chocan, A rebota en el sentido – y a la velocidad VA mientras que B rebota

en el sentido + y’ a la velocidad VB’. Si las partículas son arrojadas desde posiciones

situadas a la distancia Y, a un observador en S le parece que el choque ocurre en y =

½ Y y a uno en S’ le parece que ocurre en y’ = ½ Y. El tiempo To que invierte A para

el recorrido de ida y vuelta, medio en el marco S, es por tanto:

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Y es el mismo para B en S’:

Si se conserva la cantidad de movimiento en el marco S, debe cumplirse que:

Donde mA y mB son las masas de A y B respectivamente y VA y VB sus velocidades

medidas en el marco S. En S la velocidad VB tiene por valor:

Donde T es el tiempo empleado por B para efectuar su recorrido de ida y vuelta medido

en S. Sin embargo, en S’ el recorrido de B requiere el tiempo de To cuyo valor es:

Aunque los observadores en ambos marcos ven el mismo acontecimiento, discrepan

en cuanto al intervalo de tiempo que la partícula arrojada desde el otro marco requiere

para efectuar el choque y volver.

Sustituyendo T en la ecuación ( c ), tenemos:

De la ecuación ( a ):

Introduciendo estas ecuaciones en la ecuación ( b )vemos que la cantidad de momento

se conserva si:

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Tanto A como B se mueven en S. Para obtener una fórmula que exprese la masa m de

un cuerpo, medida mientras está en movimiento, en función de su masa mo, medida

cuando está en reposo, nos basta con considerar un ejemplo en el que VA’ y VB’ sean

muy pequeñas. En este caso un observador en S verá como B se aproxima a A con

velocidad v, choca de refilón ( ya que VB’« v ), y continúa. En S:

Y

Entonces:

Que es la formula relativista de la masa.

7.1 Relación entre la masa y la energía.

Tanto en mecánica relativista como en mecánica clásica, la energía cinética K de un

cuerpo es igual al trabajo hecho por una fuerza externa al aumentar la velocidad del

cuerpo de cero hasta algún valor v. Es decir:

Ahora introduzcamos en la segunda Ley de Newton, los efectos relativistas , aceptando

que la masa varía con su velocidad; así:

De manera que utilizando esta última ecuación en la primera expresión, encontramos

que se reduce a:

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La energía cinética K representa la diferencia entre la energía total E, de la partícula en

movimiento y la energía en reposo Eo, por lo tanto:

Esta última ecuación nos muestra la relación entre la masa y la energía relativistas.

7.2 Relación entre la masa y el momentum.

Puesto que el momentum se conserva, mas no la velocidad, es a menudo útil expresar

la energía de un cuerpo en función de su momentum y no de su velocidad. Para tal fin, si la

expresión:

se multiplica a ambos lados por la expresión:

se obtiene:

Utilizando las ecuaciones:

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Obtenemos la siguiente relación entre E y :

Pero:

Entonces:

8. Ejercicios:

8.1. Medidas relativistas de longitud

1.- ¿A qué velocidad debe viajar un cohete, para que su longitud se contraiga al 99% de su longitud de reposo?

Solución:

De la expresión para la contracción de la longitud:

ó v = 0.141c

2.- Una regla de un metro forma un ángulo de 30 º con el eje x´ medido por O´. ¿Cuál debe ser el valor de velocidad v para que la regla forme un ángulo de 45º con el eje x para un observador O?

Tenemos

L´y = L´sen( ´) = (1 m )sen 30º= 0.5m L´x = L´cos ´ = 1m cos 30º = 0.866m

Debido a que la contracción se presenta solamente en la dirección del eje x-x´,

Ly = L´y = 0.5m

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Lx = L´x = 0.866m*

Puesto que tan = Ly/Lx´

Tan 45º =1 =

Resolviendo : v = 0.816c

8.2. Medidas relativistas del tiempo

1.-El tiempo de vida promedio de los mesones con velocidad de 6* s. Calcular

el tiempo de vida promedio de los mesones en un sistema en el cual se encuentre en reposo .

El tiempo medido en un sistema en el cual los mesones están en reposo es el tiempo propio.

s

2.-Un aeroplano se mueve respecto a tierra con velocidad de 6000m/s. Medido por relojes en tierra ¿ cuánto tiempo transcurrirá para que el reloj del aeroplano se atrase 2 microsegundos?

(2* )

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Este resultado indica la pequeñez de los efectos relativistas velocidades comunes.

8.3. Medidas relativistas de espacio-tiempo

1.- Una regla de un metro se mueve en la dirección de su longitud, con velocidad de 0.6c respecto a usted, ¿cuánto tiempo tardará la regla en pasar en frente de usted?

El tiempo necesario para que la regla pase frente a usted se deduce de :

Distancia = velocidad* tiempo

0.8m=

2.- El tiempo que tardará la luz en llegar hasta nosotros, desde los puntos mas lejanos de nuestra galaxia es años. ¿ Sería posible que un ser humano, a velocidad constante, hiciera este recorrido durante 50 años?

entonces:

luego :

resolviendo :

así un ser humano que viaje a esta velocidad encontrará que al final de su recorrido habrá envejecido 50 años

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3.-El piloto de una nave espacial viaja con una velocidad de 0.6c ajusta su reloj a las 12 pm en el momento que pasa frente a la tierra. A las 12 30 pm la nave pasa frente de una estación espacial en reposo respecto a tierra .¿ Qué hora es en la estación al paso de la nave?

consecuentemente, en la estación espacial son las 12:37.5 pm

4.- Dos acontecimientos que tiene lugar a 600 km. De distancia uno del otro, aparecen simultáneos para un observador O. ¿Cuál es la diferencia de tiempo entre estos dos acontecimientos medida por un observador O´ para quien estos hechos están separados 1200 km.?

Sean A y B los dos acontecimientos; de las transformaciones de Lorentz se obtiene

El signo menos significa que para el observador O´ el acontecimiento A se realizo después del acontecimiento B.

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8.4. Masa, energía y momentum en relatividad

1.- Utilizando los valores para masas en reposo dados por el apéndice del libro, calcular la energía en reposo de un electrón. Expresar la respuesta en julios y en electrón-voltios.

Tenemos:

y

2.- Un cuerpo en reposo de rompe espontáneamente en dos partes que se mueven en sentidos opuestos. Las masas en reposo y las velocidades de las partes son: 3 kg. a 0.8 c. y 5.33 kg. a 0.6 c. Hallar la masa en reposo del cuerpo original.

Obsérvese que la masa en reposo no se conserva.

3.- ¿Cuál es la velocidad de un electrón que es acelerado a través de una diferencia de potencial de 0.1 voltios?

sustituyendo moc2^= 0.511MeV y resolviendo se obtiene v=0.548c

4.- Calcular el momentum para un electrón de 1MeV.

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