República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación

Instituto Politécnico “Santiago Mariño”

Estadística

Ensayo

Alumna:

Johanna García

23.444.320

Mcbo, 20 de Julio de 2014

Introducción

En el presente ensayo se reconocerá todo lo referente a las probabilidades y se conocerá a fondo su teoría. Se debe destacar que, el concepto de probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer con certeza los eventos futuros, es por ello que el estudio de probabilidades surge como una herramienta utilizada por los nobles para ganar en juegos y pasatiempos de la época. A su vez, el desarrollo de estas herramientas fue asignado a los matemáticos de la corte y con el tiempo estas técnicas matemáticas se perfeccionaron y encontraron otros usos muy diferentes para la que fueron creadas. Actualmente se continúo con el estudio de nuevas metodologías que permitió maximizar el uso de la computación en el estudio de las mismas, disminuyendo de este modo, los márgenes de error en los cálculos. Es importante distinguir los conceptos que influyen en las probabilidades matemáticas como los eventos, el espacio muestral, los axiomas, la población entre otros, ya que son indicadores importantes que influenciarán en el cálculo de las probabilidades.

Contenido

TEORÍA DE LAS PROBABILIDADES

La Probabilidad

¿Qué es la Probabilidad?

La probabilidad es la posibilidad que existe entre varias posibilidades, que un hecho

o condición se produzcan. La probabilidad, entonces, mide la frecuencia con la cual se

obtiene un resultado en oportunidad de la realización de un experimento sobre el cual

se conocen todos los resultados posibles gracias a las condiciones de estabilidad.

Definición de la Probabilidad en la Estadística

La probabilidad es la característica de un evento, que existen razones para creer que

éste se realizará.

La probabilidad p de que suceda un evento S de un total de n casos posibles

igualmente probables es igual a la razón entre el número de ocurrencias h de dicho

evento (casos favorables) y el número total de casos posibles n.

q = P S=

La probabilidad es un número (valor) que varía entre 0 y 1. Cuando el evento es

imposible se dice que su probabilidad es 0, si el evento es cierto y siempre tiene que

ocurrir su probabilidad es 1.

La probabilidad de no ocurrencia de un evento está dada por q, donde:

q= P noS= −

Sabemos que p es la probabilidad de que ocurra un evento y q es la probabilidad de

que no ocurra, entonces p + q = 1

Simbólicamente el espacio de resultados, que normalmente se denota por Ω, es el

espacio que consiste en todos los resultados que son posibles. Los resultados, que se

denota por ω1,ω2, etcétera, son elementos del espacio Ω

TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

La teoría de la Probabilidad es la teoría matemática que modela los fenómenos

aleatorios. Estos deben contraponerse a los fenómenos determinísticos, en los cuales

el resultado de un experimento, realizado bajo condiciones determinadas, produce un

resultado único o previsible: por ejemplo, el agua calentada a 100 grados Celsius, a

nivel del mar, se transforma en vapor. Un fenómeno aleatorio es aquel que, a pesar de

realizarse el experimento bajo las mismas condiciones determinadas, tiene como

resultados posibles un conjunto de alternativas, como el lanzamiento de un dado o de

un dardo. Los procesos reales que se modelizan como procesos aleatorios pueden no

serlo realmente; cómo tirar una moneda o un dado no son procesos de aleación en

sentido estricto, ya que no se reproducen exactamente las mismas condiciones

iniciales que lo determinan, sino sólo unas pocas. En los procesos reales que se

modelizan mediante distribuciones de probabilidad corresponden a modelos complejos

donde no se conocen a priori todos los parámetros que intervienen; ésta es una de las

razones por las cuales la estadística, que busca determinar estos parámetros, no se

reduce inmediatamente a la teoría de la probabilidad en sí.

En 1933, el matemático soviético Andréi Kolmogórov propuso un sistema de

axiomas para la teoría de la probabilidad, basado en la teoría de conjuntos y en la

teoría de la medida, desarrollada pocos años antes por Lebesgue, Borel y Frechet

entre otros. Esta aproximación axiomática que generaliza el marco clásico de la

probabilidad, la cual obedece a la regla de cálculo de casos favorables sobre casos

posibles, permitió la rigorización de muchos argumentos ya utilizados, así como el

estudio de problemas fuera de los marcos clásicos.

Actualmente, la teoría de la probabilidad encuentra aplicación en las más variadas

ramas del conocimiento, como puede ser la física (donde corresponde mencionar el

desarrollo de las difusiones y el movimiento Browniano), o las finanzas (donde destaca

el modelo de Black y Scholes para la valuación de acciones).

Definición de Términos Básicos

• Probabilidad Condicional

Probabilidad condicionada es la probabilidad de que ocurra un evento A,

sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se

escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B.

No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede

preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A

puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones

causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la

probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la

interpretación que se le dé a los eventos.El condicionamiento de probabilidades

puede lograrse aplicando el teorema de Bayes.

• Población

Una población es conjunto de elementos que tiene características comunes, al

menos una. Por ejemplo, una población es el grupo de estudiantes de un país.

En el caso particular de la estadística la población constituye el objeto de

estudio, es decir, la población es el conjunto de individuos o entes que

constituyen el objeto de estudio sobre el que se desea predecir un

comportamiento a partir del estudio.

• Muestra

Una muestra es un subconjuntos de datos tomados de la población, cuya

finalidad es la de realizar inferencias acerca de la población a partir del

comportamiento de sus elementos. Es claro que si la muestra es un

subconjunto de la población entonces la muestra tendrá un número menor de

elementos. La naturaleza de la muestra radica en la optimización de los

recursos, por ejemplo, si deseamos hacer un estudio acerca de las lecturas

que a los estudiantes de Michoacán les gusta leer, el estudio implicaría

considerar a los estudiantes de lugares remotos, resultando difícil desde el

punto de vista económico, sin embargo la estadística plantea métodos

mediante los cuales con una elección adecuada del tamaño de muestra

podemos predecir a partir de una muestra las preferencias que tienen los

estudiantes acerca del tipo de lectura.

• Espacio Muestral

Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. El

conjunto de todos los resultados posibles pueden ser finito, infinito numerable o

infinito no numerables. Espacio muestral Discreto y continuo.

• Eventos

Son subconjuntos del espacio muestral.

o Relaciones entre eventos y familia de eventos:

AUB = “Suceso A o el Suceso B o ambos

A∩B) = “El suceso A y B “

A∩B = Ф “Son Sucesos excluyentes mutuamente, es decir no tienen

elementos comunes”

A = “El Suceso no A “

A – B = Todos los elementos de A siempre y cuando no estén en B.

• Eventos Independientes

Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia

de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento

(o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con

reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a

la población donde se obtuvo.

• Eventos dependientes

Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia

de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando

tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad

condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La

expresión P(A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento

B ya ocurrió.

Se debe tener claro que A|B no es una fracción.

P(A|B) = P(A y B)/P(B) o P(B|A) = P(A y B)/P(A)

• Axiomas: Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que

deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos

determine consistentemente sus probabilidades. Fueron formulados por

Kolmogórov en 1933.

• Axiomas de Kolmogórov : Dado un conjunto de sucesos elementales, Ω,

sobre el que se ha definida una σ-álgebra (léase sigma-álgebra) σ de

subconjuntos de Ω y una función P que asigna valores reales a los miembros

de σ, a los que denominamos "sucesos", se dice que P es una probabilidad

sobre (Ω,σ) si se cumplen los siguientes tres axiomas.

o Primer axioma: La probabilidad de un suceso A es un número real

mayor o igual que 0

P(A) ≥0

o Segundo axioma: La probabilidad del total, Ω, es igual a 1, es decir,

P (Ω) = 1

o Tercer axioma: Si , …son sucesos mutuamente excluyentes

(incompatibles dos a dos, disjuntos o de intersección vacía dos a dos),

entonces:

∪ ∪ … =

Según este axioma se puede calcular la probabilidad de un suceso

compuesto de varias alternativas mutuamente excluyentes sumando las

probabilidades de sus componentes.

En términos más formales, una probabilidad es una medida sobre una

σ-álgebra de subconjuntos del espacio muestral, siendo los

subconjuntos miembros de la σ-álgebra los sucesos y definida de tal

manera que la medida del total sea 1. Tal medida, gracias a su

definición matemática, verifica igualmente los tres axiomas de

Kolmogórov. A la terna formada por el espacio muestral, la σ-álgebra y

la función de probabilidad se la denomina Espacio probabilístico, esto

es, un "espacio de sucesos" (el espacio muestral) en el que se han

definido los posibles sucesos a considerar (la σ-álgebra) y la

probabilidad de cada suceso (la función de probabilidad).

• Propiedades que se deducen de los axiomas:

De los axiomas anteriores se deducen otras propiedades de la probabilidad:

o P∅ = 0 donde el conjunto vacío ∅ representa en probabilidad el

suceso imposible.

o Para cualquier suceso P (A)≤ 1

o = 1 −

o Si A ⊆ entonces P (A) ≤ P(B)

o A ∪ B = PA + PB − P A ∩ B

• Permutaciones: Las permutaciones son las distintas formas en que se pueden

ordenar los n elementos de un conjunto. En general, hay n! permutaciones en

las que colocar n elementos en orden. El número de permutaciones de n

elementos se denota Pn. Las permutaciones son un caso particular de las

variaciones Pn = Vn,n = n! cuando el número de elementos del conjunto de

objetos es igual al de cada uno de los conjuntos ordenados.

• Combinaciones: Las combinaciones son agrupaciones de objetos en las que

no importa su orden. En general, el número de combinaciones de n elementos

tomados de k en k se escribe Cn,k, y su valor está dado por la siguiente

fórmula:

Conclusión

En conclusión se sabe que la probabilidad constituye un importante parámetro en la

determinación de las diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos

esperados dentro de un rango estadístico. Sin embargo, la importancia de la

probabilidad radica en que, mediante este recurso matemático, es posible ajustar de la

manera más exacta posible los resultados ya sea en porcentajes o cantidades o bien

dependiendo del caso, es a su vez una manera de promediar debido al azar los más

variados campos tanto de la ciencia como de la vida cotidiana.

En efecto, la probabilidad es una estrategia mediante la cual se intenta estimar la

frecuencia con la que se obtiene un cierto resultado en el marco de una experiencia en

la que se conocen todos los resultados posibles.

En consecuencia, la importancia esencial de la aplicación de los métodos de cálculo

de la probabilidad reside en su capacidad para estimar o predecir eventos. Cuanto

mayor sea la cantidad de datos disponibles para calcular la probabilidad de un

acontecimiento, más preciso será el resultado calculado.

A su vez es preciso señalar que en la actualidad se cuenta con modernos recursos

tecnológicos relacionados con la computación.

Por ello, comprender y estudiar el azar es indispensable, porque la probabilidad es un

soporte necesario para tomar decisiones en cualquier ámbito.

Bibliografía

• Teoría de Probabilidades.

En línea: http://www.monografias.com/trabajos32/teoria-probabilidades/teoria-

probabilidades.shtml#ixzz383ErSrEx

• Definición de las Probabilidades ABC

Enlinea: http://www.definicionabc.com/general/probabilidad.php#ixzz38314ae7y

• Teoría de la Probabilidad. En línea:

http://eadsaia.uft.edu.ve/psm/file.php/1868/Teoria_de_la_Probabilidad.pdf

• De la Colina, Juan Manuel. Resumen Estadístico. En línea:

http://www.monografias.com/trabajos54/resumen-estadistica/resumen-

estadistica2.shtml