Análisis de error y tratamiento de datos obtenidos en el laboratorio

INTRODUCCIÓN Todas las medidas experimentales vienen afectadas de una cierta imprecisión inevitable debida a las imperfecciones del aparato de medida, o a las limitaciones impuestas por nuestros sentidos que deben registrar la información. El principal objetivo de la denominada teoría de errores consiste en acotar el valor de dichas imprecisiones, denominadas errores experimentales. Dado que el valor de las magnitudes físicas se obtiene experimentalmente por medida (bien directa de la magnitud o bien indirecta, por medio de los valores medidos de otras magnitudes ligadas con la magnitud problema mediante una fórmula física) debe admitirse como postulado físico el hecho de que resulta imposible llegar a conocer el valor exacto de ninguna magnitud, ya que los medios experimentales de comparación con el patrón correspondiente en las medidas directas, viene siempre afectado de imprecisiones inevitables. De este modo, aunque es imposible encontrar en la práctica el valor "cierto" o "exacto" de una magnitud determinada, no hay duda de que existe, y nuestro problema es establecer los límites dentro de los cuales se encuentra dicho valor. CLASIFICACIÓN DE LOS ERRORES El error se define como la diferencia entre el valor verdadero y el obtenido experimentalmente. Los errores no siguen una ley determinada y su origen está en múltiples causas. Atendiendo a las causas que los producen, los errores se pueden clasificar en dos grandes grupos, errores sistemáticos y errores accidentales. Se denomina error sistemático a aquel que es constante a lo largo de todo el proceso de medida y, por tanto, afecta a todas las mediciones de un modo definido y es el mismo para todas ellas. Estos errores tienen un signo determinado y las causas probables pueden ser las siguientes: - Errores instrumentales (de aparatos). Por ejemplo el error de calibrado es de este tipo. - Error personal. Este es, en general, difícil de determinar y es debido a limitaciones de carácter personal. Un ejemplo de éste sería una persona con un problema de tipo visual. - Error de la elección del método. Corresponde a una elección inadecuada del método de medida de la magnitud. Este tipo de error puede ponerse de manifiesto cambiando el aparato de medida, el observador, o el método de medida.

Se denominan errores accidentales a aquellos que se producen en las pequeñas variaciones que aparecen entre observaciones sucesivas realizadas por un mismo operador. Las variaciones no son reproducibles de una medición a otra, y no presentan más que por azar la misma magnitud en dos mediciones cualesquiera del grupo. Las causas de estos errores son incontrolables para un observador. Los errores accidentales son en su mayoría de magnitud muy pequeña y para un gran número de mediciones se obtienen tantas desviaciones positivas como negativas. Aunque con los errores accidentales no se pueden hacer correcciones para obtener valores más concordantes con el real, si se emplean m‚todos estadísticos se puede llegar a algunas conclusiones relativas al valor m s probable en un conjunto de mediciones.

2

CONCEPTOS DE EXACTITUD, PRECISIÓN Y SENSIBILIDAD En lo que respecta a los aparatos de medida, hay tres conceptos muy importantes que vamos a definir exactitud, precisión, y sensibilidad. La exactitud se define como el grado de concordancia entre el valor verdadero y el experimental. De modo que, un aparato es exacto si las medidas realizadas con él son todas muy próximas al valor "verdadero" de la magnitud medida. La precisión hace referencia a la concordancia entre una medida y otras de la misma magnitud, realizadas en condiciones sensiblemente iguales. De modo que, un aparato será preciso cuando la diferencia entre diferentes medidas de una misma magnitud sea muy pequeña. La exactitud implica normalmente precisión, pero la afirmación inversa no es cierta, ya que pueden existir aparatos muy precisos que posean poca exactitud debido a los errores sistemáticos tales como error de cero, etc. En general, se puede decir que es más fácil conocer la precisión de un aparato que su exactitud. La sensibilidad de un aparato está relacionada con el valor mínimo de la magnitud que es capaz de medir. Por ejemplo, decir que la sensibilidad de una balanza es de 5 mg significa que para masas inferiores a la citada, la balanza no presenta ninguna desviación. Normalmente, se admite que la sensibilidad de un aparato viene indicada por el valor de la división más pequeña de la escala de medida. En muchas ocasiones, de un modo erróneo, se toman como idénticos los conceptos de precisión y sensibilidad, aunque hemos visto ya que se trata de conceptos diferentes. ERROR ABSOLUTO. ERROR RELATIVO Si medimos una cierta magnitud física cuyo valor "verdadero" es x0, obteniendo un valor de la medida x, llamaremos error absoluto en dicha medida, a la diferencia:

∆x = x – x0 donde en general se supone que |∆x| << |x0|. El error absoluto nos da una medida de la desviación, en términos absolutos respecto al valor "verdadero". No obstante, en ocasiones nos interesa resaltar la importancia relativa de esa desviación. Para tal fin, se usa el error relativo. El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor "verdadero":

0xx∆

=ε

en forma porcentual se expresará multiplicado por cien. Cuando indiquemos el valor de una medida de una magnitud, tendremos que indicar siempre el grado de incertidumbre de la misma, para lo que acompañaremos el resultado de la medida del error absoluto de la misma, expresando el resultado en la forma:

xx ∆±

De ordinario, y dado el significado de cota de imprecisión que tiene el error absoluto, éste jamás debe tener más de dos cifras significativas, admitiéndose por convenio, que el error absoluto sólo puede darse con dos cifras significativas si la primera de ellas es un 1, o si siendo la primera un 2, la segunda no llega 5. En todos los demás casos debe darse un valor con una sola cifra,

3

aumentando la primera en una unidad si la segunda fuera 5 o mayor que 5. El valor de la magnitud debe tener sólo las cifras necesarias para que su última cifra significativa sea del mismo orden decimal que la última del error absoluto, llamada cifra de acotamiento. Como ejemplo damos la siguiente tabla de valores de distintas magnitudes (en la columna de la izquierda mal escritos y en la derecha corregidos) para poner de manifiesto lo dicho anteriormente.

Valores Incorrectos

Valores Correctos

3.418 ± 0.123

6.3 ± 0.09

46288 ± 1551

428.351 ± 0.27

0.01683 ± 0.0058

3.42 ± 0.12

6.30 ± 0.09

46300 ± 1600

428.4 ± 0.3

0.017 ± 0.006

Si un valor de medida es leído de una tabla u otro lugar, sin indicación de su error, se

tomar como error una unidad del orden de la última cifra con que se expresa. DETERMINACIÓN DE LOS ERRORES COMETIDOS EN LAS MEDIDAS DIRECTAS

Cuando realicemos la medida de cualquier magnitud deberemos indicar siempre una estimación del error asociado a la misma. Dado que no conocemos el valor "verdadero" de la magnitud que deseamos medir, se siguen ciertos procedimientos para hacer una estimación tanto del valor "verdadero" de la magnitud, como de una cota de error, que nos indique la incertidumbre en la determinación realizada. Distinguiremos dos casos bien diferenciados: a) Caso en el que se realiza una única medida de una magnitud.

En este caso consideramos que el error absoluto coincide con el valor de la sensibilidad del aparato utilizado para realizar la medida. De este modo el resultado de una medida lo indicaremos en la forma:

xx ∆± (∆x = sensibilidad) b) Caso en el que se realizan varias medidas de una misma magnitud.

Con el fin de alcanzar cierta validez estadística en los resultados de las medidas, es muy conveniente repetir varias veces la determinación del valor de la magnitud problema. Los resultados de las medidas individuales pueden presentarse poco o muy dispersas, en función de esta dispersión será conveniente aumentar o no, el número de determinaciones del valor de la magnitud.

Para decidir el número determinaciones del valor de una magnitud física que deseamos medir seguiremos el siguiente procedimiento.

Se realizan siempre tres medidas de la magnitud, se calcula el valor medio de estas tres medidas, dado por:

4

∑=

=3

1i

i3 x31x

y se halla la dispersión total D de las mismas, es decir, la diferencia entre los valores extremos de las medidas (valor máximo de las medidas obtenidas menos el valor mínimo) y finalmente se obtiene el tanto por ciento de dispersión, T, que viene dado por:

100xDT3×=

Si el valor de la dispersión total D no es mayor que el valor de la sensibilidad del aparato de

medida, D ≤ S, en este caso se toma como estimación del valor "verdadero" de la magnitud el valor medio de las tres medidas x3 y como error absoluto la sensibilidad. Ahora bien, si el valor de la dispersión total D es mayor que el de la sensibilidad del aparato, D > S, procedemos a aumentar el número de medidas de la magnitud. El criterio a seguir en este aumento viene condicionado por el valor del porcentaje de dispersión T del modo indicado en la siguiente tabla:

T en las tres primeras medidas nº total de medidas necesarias

T ≤ 2% 2% < T ≤ 8% 8% < T ≤ 15%

15% < T

Bastan las 3 medidas realizadas Hay que hacer 3 medidas más, hasta un total de 6

Hay que hacer un total de 15 medidas Hay que hacer 50 medidas como mínimo

Una vez realizadas las medidas necesarias se toma como valor verdadero de la magnitud, el

valor medio de la misma calculado sobre el número total de medidas realizadas. En cuanto al correspondiente error se determina según los casos como sigue: 1) Si se han realizado tres medidas, se toma como error absoluto el valor de la sensibilidad del

aparato, que como hemos indicado anteriormente, es el error absoluto de cada una de las medidas individuales.

2) Si se han realizado seis medidas, entonces se calcula el error de dispersión definido como D6/4

(cuarta parte de la dispersión total de las seis medidas, es decir, la diferencia entre la mayor y menor de todas las medidas realizadas), y se asigna como error absoluto de las medidas, el máximo entre este valor y la sensibilidad del aparato.

3) Si se han realizado quince medidas o más, el error absoluto puede calcularse por la expresión:

( )

)1N(N

xx

x

N

1i

2Ni

−

−

=∆∑=

que proporciona el error cuadrático medio o desviación estándar de las medidas, donde xi son cada uno de los valores medidos, xN es la media aritmética de las medidas individuales y N es el número de medidas realizadas.

5

DETERMINACIÓN DEL ERROR DE UNA MAGNITUD MEDIDA INDIRECTAMENTE

La medida indirecta de una magnitud se alcanza por aplicación de una fórmula a un conjunto de medidas directas, (variables independientes o datos), que las relacionan con la magnitud problema. Mediante dicha fórmula se obtiene también el error de la medida según pasamos a explicar. Antes de continuar, debemos indicar que si en dicha fórmula aparecen números irracionales tales como pi, e, etc., debemos elegir el número de cifras significativas con que deben tomarse a la hora de realizar los cálculos correspondientes, de modo que los errores cometidos al aproximar estos números irracionales no afecten a la magnitud del error absoluto de la magnitud que queremos determinar.

Supongamos que la magnitud F es función de otras magnitudes físicas, estando relacionada con ellas por F = f ( x, y, z, ...). Supongamos además, que se han realizado medidas de las citadas variables, x, y, z...; y se han determinado su valor y su error. Para realizar el cálculo del error absoluto de F, en función de los errores absolutos cometidos en las determinaciones directas de x, y, z... se procederá de la siguiente forma: En primer lugar se obtiene la diferencial total de F en función de las diferenciales de las variables x, y, z, ...; mediante :

...dzzFdy

yFdx

xFdF +

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

A continuación asimilamos las diferentes diferenciales a los errores absolutos, y además

consideramos que en el cálculo del error de F debemos ponernos en el caso más desfavorable, es decir, error mayor, para lo cual tomaremos los valores absolutos de las derivadas parciales, con el fin de tener una suma de términos positivos, obteniendo para el valor del error absoluto de F el resultado:

...zzFy

yFx

xFF +∆

∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

=∆

En este problema se presenta una notable simplificación en el caso en el que la función

considerada sea de la forma:

...zyxF cba= con a, b, c, ... constantes positivas o negativas, ya que en este caso, podemos proceder del siguiente modo, tomando logaritmos neperianos:

ln F = a.ln x + b.ln y + c.ln z si a continuación obtenemos la diferencial:

d(ln F)= a.d(ln x) + b.d(ln y) + c.d(ln z) teniendo en cuenta la diferencial logarítmica dada por:

d(ln u) = (du)/u tenemos que:

6

...z

dzcy

dybx

dxaF

dF+++=

donde asimilando de nuevo los diferenciales totales a los errores absolutos obtenemos:

...zzc

yyb

xxa

FF

+∆

+∆

+∆

=∆

Ejemplo numérico del cálculo de errores.

Vamos a calcular el error de una magnitud F que depende de otras a través de una expresión del tipo:

w)vu(z)yx(F

−+

=

consideremos que se han medido las magnitudes de las variables y se han determinado sus valores absolutos de modo que:

x = 27.33 ± 0.13

y = 2.45 ± 0.05

z = 10.0 ± 0.1

u = 50.2 ± 0.1

v = 1.033 ± 0.012

w = 3.26 ± 0.02

vamos a obtener el valor de la magnitud F y el error correspondiente a la misma, primeramente tenemos:

F = 1.8579 en segundo lugar se obtiene el error mediante:

wwFv

vFu

uFz

zFy

yFx

xFF ∆

∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

=∆

realizando cálculos se obtiene:

w)vu(z

xF

−=

∂∂

w)vu(z

yF

−=

∂∂

w)vu()yx(

zF

−+

=∂∂

w)vu(z)yx(

uF

2−

+−=

∂∂

w)vu(z)yx(

vF

2−

+=

∂∂ 2w)vu(

z)yx(wF

−

+−=

∂∂

tras aplicar valores absolutos y realizar las operaciones numéricas obtenemos:

∆F = 0.04458

7

y teniendo en cuenta el número máximo de cifras significativas del error absoluto:

∆F= 0.04 con lo cual vemos que la última cifra significativa en el valor de F es la segunda cifra decimal, de modo que finalmente expresamos:

F = 1.86 ± 0.04 CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICAS

La representación gráfica de los fenómenos físicos que estudiemos debe ajustarse a las siguientes normas: 1) Gráficas en papel milimetrado con los ejes bien trazados, y en cuyo centro indicaremos la

magnitud representada, en las unidades en que ha sido medida (con letra grande y clara). El título de la gráfica ser claro y vendrá indicado en la parte superior.

2) La variable independiente del fenómeno debe ir representada en abscisas y la dependiente en

ordenadas. 3) Las escalas, sobre ambos ejes, han de permitir una lectura rápida y sencilla. Para ello se elegirán

las escalas con intervalos de 1, 2, 5, 10, 20, ... etc. unidades (poniendo pocos números). 4) Las escalas deben abarcar todo el intervalo de medidas realizadas y sólo el citado intervalo. 5) Sobre los ejes sólo se indican los valores correspondientes a las divisiones enteras de la escala

(que han de quedar así uniformemente espaciadas). Nunca se señalan los valores correspondientes a las medidas realizadas.

6) Los valores medidos se representan sobre el papel milimetrado por el punto correspondiente a

sus dos coordenadas (punto experimental) y rodeado por el denominado rectángulo de error, cuya base abarca desde x-∆x hasta x+∆x y cuya altura se extiende desde y-∆y hasta y+∆y, siendo (x,y) las coordenadas del punto experimental. En el caso de que x o y sean despreciables en comparación con la escala utilizada, el rectángulo de error queda reducido a un simple segmento vertical u horizontal, según sea el caso.

7) Las gráficas han de ser líneas finas "continuas " nunca quebradas, que han de pasar por todos los

rectángulos de error, aunque para ello, dejen muchas veces de pasar por los puntos experimentales que pueden quedar a derecha o izquierda de la gráfica. Si al hacer esta operación, alguno de los rectángulos de error, queda excesivamente alejado de la forma continua de la gráfica, es prueba de que esa medida es falsa por alguna causa accidental, y debe repetirse.

AJUSTE DE LA RECTA DE REGRESIÓN POR EL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS

Con frecuencia, se plantea el problema de encontrar una expresión matemática del tipo y = f(x), de la ley física que rige el comportamiento de un determinado fenómeno, a partir de una serie de N medidas (xi,yi), de las magnitudes x e y que lo caracterizan. Cuando la representación gráfica del fenómeno estudiado proporciona una distribución de los puntos experimentales en forma

8

prácticamente lineal, es conveniente determinar la ecuación de la recta que será expresión de la ley física que rige el fenómeno estudiado, utilizando para ello el método de mínimos cuadrados. Dicha recta debe cumplir la condición de que los puntos experimentales, queden distribuidos simétricamente a ambas partes de la misma, y además, lo más próximos posible. Esta condición se cumple si se obliga a que la recta de ecuación:

y = a x + b cumpla con que la expresión:

∑=

−−=N

1i

2ii )baxy(c

tenga un valor mínimo. Derivando c respecto a "a" y "b", y anulando ambas derivadas, tras una serie de operaciones se obtiene:

2N

1i

N

1i

i2i

N

1i

i

N

1i

i

N

1i

ii

xxN

yxyxN

a

∑ ∑

∑∑∑

= =

===

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−

= 2N

1i

N

1i

i2i

N

1i

ii

N

1i

i

N

1i

i

N

1i

2i

xxN

yxxyx

b

∑ ∑

∑∑∑∑

= =

====

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−

=

Además de los valores de la pendiente y la ordenada en el origen, es interesante obtener el denominado coeficiente de correlación lineal “r”, que nos da una medida del grado de correlación entre los valores de las variables x e y, es decir, hasta qué‚ punto x e y están relacionadas mediante una función lineal. La expresión de “r” es:

21

2N

1i

N

1i

i2i

2N

1i

N

1i

i2i

N

1i

i

N

1i

i

N

1i

ii

yyNxxN

yxyxN

r

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−

=

∑ ∑∑ ∑

∑∑∑

= == =

===

y varía entre 0 (no existe correlación) y ±1 (correlación completa). Las expresiones correspondientes al cálculo del error de la pendiente y la ordenada en el origen son:

21

N

1i

2i

N

1i

2ii

)xx()2N(

)baxy(

a

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=∆

∑

∑

=

=

9

21

N

1i

2ii

N

1i

2i

2

)2N(

)baxy(

)xx(

xN1b

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

+=∆∑

∑=

=

INTERPOLACIÓN EN TABLAS DE SIMPLE ENTRADA Las tablas de simple entrada nos proporcionan el valor de una variable dada x en función de otra z y viceversa. Cuando se quiere determinar el valor de z que corresponde a uno dado de x no tabulado, o viceversa, se determinan previamente los valores tabulados de x y z entre los que se encuentra los de nuestro problema. Sean

x1 z1

x2 z2

entonces, la relación que liga x con z puede escribirse aproximadamente según la fórmula lineal:

)xx(xxzzzz 1

12

121 −

−−

+=

que permite determinar z en función de x o viceversa. El error de z resulta ser:

xxxzzz

12

12 ∆−−

=∆

INTERPOLACIÓN EN TABLAS DE DOBLE ENTRADA

En las tablas de doble entrada para cada pareja de valores (x,y) se proporciona el valor correspondiente a una tercera variable z relacionada con las dos anteriores. En este caso el trazo de tablas entre cuyos valores se encuentran el z buscado, presenta el aspecto:

y1 y2

x1 z11 z12

x2 z21 z22

la relación aproximada que permite el cálculo de z es:

)yy(yyzz)xx(

xxzzzz 1

12

11121

12

112111 −

−−

+−−−

+=

y puede ser utilizada en la interpolación inversa, es decir, en la determinación de x o y, conocidos los valores de (y,z) o de (x,z). El error de z resulta obtenible análogamente de la expresión:

10

yyyzzx

xxzzz

12

1112

12

1121 ∆−−

+∆−−

=∆

Teoría de errores 1. Determine el error absoluto y relativo de cada una de las medidas del siguiente conjunto

de datos : 1.1, 1.3, 1.0, 1.2, 1.8, 1.6, 0.9. 2. Exprese correctamente los errores siguientes : 0.367875, 3789, 0.001734, 12310,

0.002157, 2.13986, 0.02796, 0.01182, 4.56896, 2.209. 3. Exprese correctamente (cuando sea necesario) las medidas y errores siguientes : a) 3.456 ± 0.2134 b) 2345.56 ± 161.34 c) 0.0001 ± 0.1134 d) 4.5689 ± 2.97854 e) 0.0932 ± 0.0689 f) 16789 ± 1798.87 g) 2.9 ± 12 h) 9 ± 23 i) 12 ± 12 j) 100 ± 0.5 k) 2679 ± 300 l) 0.6789 ± 2.179 m) 0.0003 (leído en una tabla sin indicaciones de error). n) π = 3.1415 (valor del número pi leído en una tabla). ñ) g = 9.81 (valor de la gravedad leído en una tabla). o) 0.56 ± 4 p) 0.003789 ± 0.0000578 q) 2 ± 0.7 r) 15 ± 0.5 s) 17.0 ± 0.5 t) 17.0 ± 2 u) 1000 ± 10 v) 1000.0 ± 10.0 w) 0.000 ± 12 x) 6578 ± 0.21 y) 457.00 ± 0.16 z) 1 ± 1.6723 4. Indique cuántas medidas debe realizar en cada uno de los siguientes casos y determine

(en su caso) el valor verdadero de la medida junto a su error : a) Se han obtenido las siguientes medidas: 0.012, 0.012, 0.013 utilizando un instrumento

de sensibilidad 0.001. b) Se han obtenido las siguientes medidas: 0.012, 0.018 y 0.009 utilizando un instrumento

de sensibilidad 0.001. c) Se han obtenido las siguientes medidas: 0.25, 0.33, 0.20 utilizando un instrumento de

sensibilidad 0.01.

d) Se han obtenido las siguientes medidas: 0.77, 0.75 y 0.79 utilizando un instrumento de sensibilidad 0.01. Posteriormente y previendo la necesidad de tomar más medidas se determinaron, por orden, las siguientes: 0.77, 0.76, 0.76, 0.78, 0.77. 0.75, 0.73. 0.80, 0.77, 0.79, 0.78, 0.78.

e) Se han obtenido las siguientes medidas: 1.23, 1.29, 1.17 utilizando un instrumento de sensibilidad 0.01. Posteriormente y previendo la necesidad de tomar más medidas se determinaron, por orden, las siguientes: 1.24, 1.23, 1.25, 1.24, 1.27, 1.26, 1.23, 1.23, 1.24,1.28, 1.23, 1.24, 1.25, 1.27, 1.23.

5. La magnitud f = f(x,y) viene dada por :

2x4- xy + y2

y se sabe que x=(2.33 ± 0.07) e y=(1.8976 ± 0.0023). Determínese el error en la magnitud f.

6. Se ha medido el volumen de un cilindro con ayuda de una regla (sensibilidad 1 mm)

para medir su altura y un nonius (sensibilidad 0.05 mm) para medir el radio. Las medidas fueron de 15.8 cm y de 45.25 mm. Determine el volumen y su error.

7. Se ha medido la velocidad de un móvil que se mueve con movimiento rectilíneo

uniforme con ayuda de una regla graduada en milímetros y de un reloj que aprecia a las centésimas de segundo. Las medidas obtenidas indican que el móvil recorrió 5 m en 12.45 s. Determine el error en la velocidad obtenida.

8. Se ha medido la aceleración de un móvil a partir de la obtención del tiempo consumido

en recorrer 100 m. Se utiliza un metro graduado en cm y un reloj que aprecia las décimas de segundo. Obtenga el error en la aceleración cuando se observan tiempos de 15.3 s, 15.6 s, 15.4 s.

9. Para determinar el volumen y superficie de una esfera se utiliza un nonius de

sensibilidad 0.05 mm. Se obtiene un valor para el diámetro de 45.30 mm. Calcule la superficie y el volumen de dicha esfera así como su error.

10. Se tienen 18 g (± 0.1 g) de vapor de agua en una botella cuyo volumen ha sido

calculado obteniéndose un valor de 45 cm3 (± 5 cm3). Si se introduce un termómetro graduado en décimas de grado centígrado se mide una temperatura de 125 °C. Suponiendo una aproximación de gas ideal, calcule la presión del gas y su error. (Suponga que el peso molecular del gas no tiene error).

11. En un experimento se han obtenido los siguientes datos en abscisas : 1.02 ± 0.21, 2.0 ±

0.3, 3.5 ± 0.7, 4.1 ± 0.4, 5.6 ± 0.3, 7.0 ± 0.5, 9.1 ± 0.6, 12.4 ± 0.4; los correspondientes datos en ordenadas fueron : 8.9 ± 0.3, 16.15 ± 0.15, 26.2 ± 0.7, 31.1 ± 0.4, 43.0 ± 0.6, 49.6 ± 0.5, 62.6 ± 0.7, 88.0 ± 0.4. Construya una tabla con los datos. Dibuje estos datos en papel milimetrado con su correspondiente rectángulo de error; encuentre el ajuste por mínimos cuadrados con indicación de la pendiente y su error, la ordenada en el origen y su error y el coeficiente de correlación.

12. En una tabla pueden leerse los siguientes datos :

Presión (bar) Temperatura (°C) 0.5 81.35 0.6 85.95 0.7 89.96 0.8 93.51

Obtenga la temperatura para un valor de la presión de 0.55 bar.

13. En la práctica Tensión superficial, se calcula la tensión superficial de un líquido

problema, determinando la diferencia de fuerza ∆F, entre la medida inicial del dinamómetro, con el anillo suspendido en el aire, y la medida obtenida en el momento de desgarre. Sabiendo que la tensión superficial es σ = ∆F/4πr, donde el radio r del anillo es (5.0 ± 0.1) cm. Hallar la tensión superficial de los 3 líquidos problema siguientes con su error, si el número de medidas disponibles es suficiente.

Líquido número 1.

∆F = 1429 dyn, 1432 dyn y 1407 dyn. La sensibilidad del dinamómetro es 1 dyn.

Líquido número 2.

∆F = 2011 dyn, 2021 dyn y 2002 dyn. La sensibilidad del dinamómetro es 1 dyn.

Líquido número 3.

∆F = 1571 dyn, 1582 dyn y 1563 dyn. La sensibilidad del dinamómetro es 1 dyn.