Teoría de Matrices

M.Sc. Rubén Darío Lara Escobar *

Curso de Álgebra Lineal2do semestre de 2013

Índice

I Teoría de Matrices 2

1. Matrices 21.1. Notación Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Operaciones Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

*Docente Instructor Universidad Católica de Manizales

1

2. Matrices y Elimininación 32.1. Matrices Equivalentes Por Filas . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2. Matriz Triangular Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.1. Matriz Aumentada del Sistema . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.2. Uso de las operaciones sobre las filas . . . . . . . . . . . 5

3. Eliminación Gaussiana 63.1. Pasos para la Eliminación Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2. Eliminación de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4. Operaciones con Matrices 84.1. Idea del Producto de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.1.1. Multiplicación de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 94.1.2. Determinación de la Inversa de una Matriz . . . . . . . . 12

Parte I

Teoría de Matrices1. Matrices

1.1. Notación MatricialUna forma usual, por su utilidad, de presentar un sistema de ecuaciones es la

Forma Matricial.El sistema

x1−2x2 =−1

−x1 +3x2 = 3

se puede ver de la forma matricial:∣∣∣∣ 1 −2 −1−1 3 3

∣∣∣∣El sistema puede generar la siguiente matriz equivalente∣∣∣∣ 1 −2 −1

0 1 2

∣∣∣∣2

Esto implica que nuestro sistema inicial se puede expresar de forma eqivalenteasí:

x1−2x2 =−1

x2 = 2

De donde es claro que x1 = 3.

¿ Cómo se paso de la primera matriz a la segunda?

1.2. Operaciones Elementalesa. Reemplazar Se puede reemplazar una fila por un multiplo de otra fila.

b. Intercambio Intercambiar dos filas

c. Escalar Multiplicar todas las entradas en una fila por una constante k 6= 0

2. Matrices y Elimininación

2.1. Matrices Equivalentes Por FilasDefinición 1. Dos matrices, una de las cuales se puede transformar en la otramediante una secuencia de operaciones elementales por filas, se denominan queson: Equivalentes por filas.

Definición 2. Si las matrices aumentadas de dos sistemas lineales son equivalen-tes por filas, entonces los dos sistemas tienen el mismo conjunto solución.

Ejemplo (1) Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones li-neales:

x+2y+ z = 23x+8y+ z = 12

4y+ z = 2

3

Solución 1. El sistema genera la siguiente matriz∣∣∣∣∣∣1 2 13 8 10 4 1

∣∣∣∣∣∣Observese que sólo tenemos en cuenta los coeficientes de las variables.

El sistema genera la siguiente matriz∣∣∣∣∣∣1 2 10 2 −20 4 1

∣∣∣∣∣∣El número que esta encerrado lo llamamos un pivot.La pregunta es ¿qué operacines sobre las filas transformaron en esta matrizequivalente la primera matriz del sistema?

Tenemos la siguiente matriz ∣∣∣∣∣∣1 2 10 2 −20 0 5

∣∣∣∣∣∣El número que esta encerrado es el segundo pivot.

De nuevo ¿qué operaciones sobre las filas transformaron en esta II matriz equi-valente la I matriz equivalente del sistema?

2.2. Matriz Triangular SuperiorFinalmente el sistema genera la siguiente matriz∣∣∣∣∣∣

1 2 10 2 −20 0 5

∣∣∣∣∣∣Definición 3. Esta matriz lleva el nombre de Matriz Triangular Superior, dadoque bajo la diagonal principal todas las entradas son ceros. Esta es la formaideal para reoslver un sistema de ecuaciones lineales.

4

El sistema ahora tiene la forma matricial equivalente

Ux =C

Donde U es una matriz Matriz Triangular Superior, x es el vector de variablesy C es el nuevo vector de constantes. ¿que paso entonces con estas constantes?Para incluirlas generamos la siguiente matriz aumentada:

2.2.1. Matriz Aumentada del Sistema

El sistema genera la siguiente matriz aumentada∣∣∣∣∣∣1 2 1 23 8 1 120 4 1 2

∣∣∣∣∣∣Definición 4. Esta matriz lleva el nombre de Matriz Aumentada ya que incluyelas constantes independientes.

2.2.2. Uso de las operaciones sobre las filas

Ejemplo (2) Resuelva el siguiente Sistema Lineal, usando la eli-minación Gaussiana

x−2y+3z = 9x−3y =−4

2x−5y+5z = 17

Solución 2. Primero tenemos la matriz aumentada asociada al sistema: 1 −2 3 9−1 3 0 −42 −5 5 17

Sumamos la primera fila a la segunda1 −2 3 9

0 1 3 52 −5 5 17

5

Ahora sumamos −2 veces la primera fila a la tercera1 −2 3 90 1 3 50 −1 −1 −1

Sumamos la segunda fila a la tercera1 −2 3 9

0 1 3 50 0 2 4

Finalmente multiplicamos la tercera fila por 1

21 −2 3 90 1 3 50 0 1 2

De donde el sistema original se convierte en

x−2y+3z = 9y+3z = 5

z = 2

El cual le aplicamos la sustitución hacia atrás y tenemos la soluciones.

3. Eliminación Gaussiana

3.1. Pasos para la Eliminación Gaussiana1. Escriba la matriz aumentada del sistema de ecuaciones

2. Aplique las operaciones elementales por filas para reescribir la matriz au-mentada en forma triangular superior.

3. Escriba en forma escalonada por renglones el sistema de ecuaciones linealescorrespondiente a la matriz y aplique sustitucón hacia atrás para hallar lasolución.

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Ejercicio 1. Resuelva el siguiente Sistema Lineal, usando la eliminación Gaus-siana

y+ z−2v =−3x+2y− z = 2

2x+4y+ z−3v =−2x−4y−7z− v =−19

La matriz aumentada genera la siguiente matriz triangular superior:1 2 −1 0 20 1 1 −2 −30 0 1 −1 −20 0 0 1 3

Con la sutitución las soluciones son:x =−1, y = 2, z = 3 y v = 4

Ejercicio 2. Reduzca las siguientes matrices usando la eliminación Gaussiana1 1 21 2 31 3 4

0 3 −6 6 4 5

3 −7 8 −5 8 93 −9 12 −9 6 15

0 −3 −6 4 9−1 −2 −1 3 1−2 −3 0 3 −11 4 5 −9 −7

3.2. Eliminación de Gauss-Jordan

¿Es posible seguir reduciendo esta matriz?

7

1 2 −1 0 20 1 1 −2 −30 0 1 −1 −20 0 0 1 3

Definición 5. Efectivamente, la idea de Jordan es continuar la blueucción hastaque solo quede unos en la diagonal principal de la matriz, de la misma forma quehizo Gauss, ahora con los ceros sobre la diagonal.

La redución de las entradas sobre la diagonal superior nos muestra, a través de unproceso análogo al de Gauss, que se puede reducir a la matriz Identidad.

1 0 0 0 −10 1 0 0 20 0 1 0 10 0 0 1 3

4. Operaciones con MatricesDefinición 6. Matriz Identidad: Una Matriz de tamaño n× n se llama matrizidentidad I, si tiene la forma:

I =

1 0 0 · · · 00 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0...

... · · · 1 0 00 0 · · · 0 1 00 0 · · · 0 0 1

Donde todas las entradas de la diagonal principal son unos y las demás son ceros.

Definición 7. Igualdad de MatricesDos matrices [Aij] y [Bij] son iguales si tienen el mismo orden m×n y

ai j = bi j

para 1≤ i≥ m y 1≤ j ≥ m

8

Definición 8. Suma de Matrices:Si [Aij] y [Bij] son matrices de orden m×n, entonces su suma es la matriz m×ndefinida como:

[Aij +Bij] = [ai j +bi j]

La suma de dos matrices de ordenes diferentes no esta definida.

Definición 9. Multiplicación por un EscalarSi [Aij] es una matriz m× n y c es un escalar, entonces el multiplo escalar de Apor c es la matriz m×n definida por:

c[Aij] = [cai j]

para todo 1≤ i≥ m y 1≤ j ≥ m

4.1. Idea del Producto de MatricesObservemos las siguientes matrices

A =

· · · i

∗B =

...j

= [Cij]

4.1.1. Multiplicación de Matrices

Definición 10. Multiplicaciónsi A = [ai j] es una matriz m× n y B = [bi j] es una matriz n× p, entonces el pro-ducto AB es una matriz m× p

AB = [ci j]

Donde

ci j =n

∑k=1

aikbk j

Ejemplo (3) Ejemplo producto de matrices:halle el producto AB donde:

A =

∣∣∣∣∣∣−1 34 −25 0

∣∣∣∣∣∣, y B =

∣∣∣∣ −3 2−4 1

∣∣∣∣9

Solución 3. Primero observemos que el producto AB está definido porque el or-den de A es 3×2 y el de B es 2×2. Además el producto es de orden 3×2 y es dela forma: −1 3

4 −25 0

[−3 2−4 1

]=

c11 c12c21 c22c31 c32

Para determinar c11 se multiplican los elementos corrrespondientes a la primerafila de A por la primera columna de B, es decir:

c11 = (−1)(−3)+(3)(−4) =−9 -1 34 −25 0

[ -3 2-4 1

]=

−9 c12c21 c22c31 c32

Para determinar c12 se multiplican los elementos corrrespondientes a la primerafila de A por la segunda columna de B, es decir:

c12 = (−1)(2)+(3)(1) = 1 -1 34 −25 0

[−3 2−4 1

]=

−9 1c21 c22c31 c32

Si continuamos con este patron tenemos:

c21 = (4)(−3)+(−2)(−4) =−4c22 = (4)(2)+(−2)(1) = 6c31 = (5)(−3)+(0)(−4) =−15c32 = (5)(2)+(0)(1) = 10

El producto AB es: −1 34 −25 0

[−3 2−4 1

]=

−9 1−4 6−15 10

Teorema 1. Propiedades de la Multiplicación de Matrices

Si A, B y C son matrices cuyos ordenes permiten el producto entre estas, y c es unescalar, enotonces se cumplen las siguientes propiedades:

10

1. A(BC) = (AB)C

2. A(B+C) = AB+AC

3. (A+B)C = AC+BC

4. c(AB) = (cA)B = A(cB)

Ejercicio 3. Compruebe todas las propiedades anteriores para las matrices A, B,C y el escalar c = 3/2 donde

A =

[1 −22 −1

]B =

[1 0 23 −2 1

]C =

−1 03 12 4

Ejercicio 4. Demuestre que en general, la multiplicación de matrices no es con-mutativa.

Definición 11. La multiplicación repetida de matrices cuadradas se usa con lamisma notación exponencial de los números reales. es decir A1 = A, A2 = AA yasí sucesivamentepara un entero positivo k

Ak = AA · · ·A︸ ︷︷ ︸kveces

Ejercicio 5. Halle la matriz A3 si

A =

[2 −13 0

]Definición 12. Transpuesta de una matrizSi

A = [ai j]

entoncesAt = [a ji]

es decir, la matriz transpuesta cambia las columnas por la filas (o viceversa).

Ejercicio 6. Hallar la transpuesta de las siguientes matrices:

A =

0 12 41 −1

B =

1 2 02 1 00 0 1

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Definición 13. Una Matriz A de orden n×n se denomina invertible si existe unamatriz B de orden n×n tal que

AB = BA = In

Donde In es la matriz identidad de orden n×n. La matriz B se denomina inversade A. Una matriz que no tiene inversa se denomina Singular.

Proposición 1. Las matrices que no son cuadradas son todas singulares

Proposición 2. Si A es una matriz invertible, entonces su inversa A−1 es única.

4.1.2. Determinación de la Inversa de una Matriz

La inversa de una matriz se puede hallar utilizando el método de la soluciónde sistemas de ecuaciones lineales.

Ejemplo (4) Determine la inversa de la matriz A, donde

A =

[1 4−1 −3

]Para hallar la inversa es necesario resolver la ecuación matricial AX = I[

1 4−1 −3

][x11 x12x21 x22

]=

[1 00 1

][

x11 +4x21 x12 +4x22−x11−3x21 −x12−3x22

]=

[1 00 1

]de aquí se generan dos sitemas que tienen en común la misma matriz de coeficien-tes, tenemos las matrices aumentadas:[

1 4... 1

−1 −3... 0

]y

[1 4

... 0

−1 −3... 1

]

Estos dos sistemas se pueden resolver simultáneamente. Uniendo la matriz decoeficientes con la identidad. [

1 4... 1 0

−1 −3... 0 1

]

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Si aplicamos el método de Gauss-Jordan a la matriz ampliada se pueden resolverlos dos sistemas al mismo tiempo.Si sumamos la primera fila mas la segunda tenemos:[

1 4... 1 0

0 1... 1 1

]

Y si sumamos −4 veces la segunda fila a la primera obtenemos:[1 0

... −3 −4

0 1... 1 1

]

La matriz que queda al lado derecho es la inversa de A

Ejercicio 7. Halle la inversa de las matrices

a. Compruebe mediante la multiplicación que:[1 4−1 −3

][−3 −41 1

]=

[1 00 1

]b. Muestre que la inversa de

A =

[a bc d

]Es la matriz:

1ad−bc

[d −b−c a

]c. Demuestere que la siguiente matriz no tiene inversa

A =

1 2 03 −1 2−2 3 −2

Teorema 2. Propiedades de La Matriz Inversa

1. (A−1)−1 = A

2. (Ak)−1 = A−1A−1 · · ·A−1

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3. (cA)−1 = 1c A−1 c 6= 0

4. (At)−1 = (A−1)t

5. (AB)−1 = B−1A−1

Donde k es un entero positivo, y At es la transpuesta de A, con A y B invertibles.

Teorema 3. Si A es una matriz invertible, entonces el sistema de ecuaciones li-neales representado por AX = B tiene única solución determinada por

X = A−1B

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Referencias[1] Apostol, Tom. Calculus Vol. II. Reverté, 1980.

[2] Larson, R.; Edwards, B. Introducción al Álgebra Lineal. Limusa, 2009.

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