Teoría de Portfolio Chile Escuela de Ingeniería Comercial K & E Design ® 2000.

Teoría de PortfolioTeoría de Portfolio

Chile

Escuela de Ingeniería Comercial

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Cartera y Cartera Cartera y Cartera EficienteEficiente

CarteraCartera, es la combinación de activos o títulos financieros.

Cartera EficienteCartera Eficiente, es el conjunto de inversiones eficientes que proporcionan el retorno

esperado mas alto posible para cualquier nivel de riesgo o el nivel de riesgo más bajo

posible para cualquier retorno

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Selección de Títulos Bajo Selección de Títulos Bajo Condiciones de RiesgoCondiciones de Riesgo

Se seleccionan las alternativas de inversión en base a:

Retorno Esperado, y

Varianza o Desviación Estándar.

Y se eligen aquellos títulos que no se dominan entre sí.Y se eligen aquellos títulos que no se dominan entre sí.

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Retorno Esperado Retorno Esperado y Riesgo y Riesgo

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n

E(Ri) = Pij * Rij j=1

Retorno Esperado =Retorno Esperado =

2 n _

y = Pij * (Rij – Ri)2 j=1

Varianza =Varianza =

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Rendimiento y Rendimiento Esperado Rendimiento y Rendimiento Esperado de una Cartera de Dos Activosde una Cartera de Dos Activos

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Rp = Rs + (1- )Rc

E(Rp) = Rs))E(Rc)

Donde: Donde: = Porcentaje a invertir en ACTIVO S = Porcentaje a invertir en ACTIVO S

(1 – (1 – ) = Porcentaje a invertir en ACTIVO C) = Porcentaje a invertir en ACTIVO C

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Varianza de Una Cartera de Dos ActivosVarianza de Una Cartera de Dos Activos

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Donde: Donde: = Porcentaje a invertir en ACTIVO S = Porcentaje a invertir en ACTIVO S

(1 – (1 – ) = Porcentaje a invertir en ACTIVO C) = Porcentaje a invertir en ACTIVO C

n

Pij [Ri – E(R) ]2

i=1

VAR(R) = VAR(R) =

2

VAR(Rs) + 2 (1 – ) COV(Rs,Rc) + (1-)2 VAR(Rc)VAR(RVAR(Rpp) = ) =

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Varianza del Portfolio, Varianza del Portfolio, pp22

Es el valor esperado de las desviaciones al cuadrado de los retornos del portfolio respecto a los del retorno medio.

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p2 = E (Rp – Rp)2

p2 = E [X1*R1j + X2*R2j – X1Ri + X2*R2]2

Distintos Retornos del Valor 1

Rp

p2 = E [X1(R1j – Ri) + X2 (R2j – R2)]2

p2 = X1

2 12 + 2X1X2 E [(Rij – Ri) (R2j – R2)] +X2

2 22

E [(Rij – Ri) (R2j – R2)] Es la CovarianzaCovarianza y se designa:1212

p2 = X12 1

2 + X22 2

2 + 2X1X2 12

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Perfecta Correclación Positiva: Perfecta Correclación Positiva: = = ++11

Luego:

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p2 = [X2

2 c2 + (1 –Xc)2 s

2 +2Xc (1 – Xc) * 1 * c * s]1/2

Esto es (XEsto es (Xcccc + (1 – X + (1 – Xcc) ) ss))22

p = Xcc + (1 – Xc)s

_ _ _Rp = XcRc + (1 – Xc) Rs

yy

O sea, cuando = +1 = +1 El Riesgo y RetornoEl Riesgo y Retorno son una Combinación Lineal.Combinación Lineal. En este caso de Perfecta Correlación el R y R y , , de un Portfolio de 2 activos es Promedio Ponderado del Retorno y RiesgoPromedio Ponderado del Retorno y Riesgo de los activos

individuales, o sea, no se Diversifica el Riesgono se Diversifica el Riesgo

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Perfecta Correclación Negativa: Perfecta Correclación Negativa: = = --11

Luego:

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p= [Xc2 c

2 + (1 –Xc)2 s2 -2Xc (1 – Xc)c s]1/2

p = Xcc - (1 – Xc)s

_ _ _p = -Xcc + (1 – Xc) s

óó

El valor de p será siempre menorserá siempre menor que cuando = +1. Es mas, cuando = -1 , se puede encontrar una combinación

con Cero Riesgocon Cero Riesgo

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No Correclación entre Activos: No Correclación entre Activos: = 0= 0

El Retorno no varía, pero:

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p = [Xc2c

2 + (1 – Xc)2s2]1/2

Xcscs cs

_______________________

c + s

– 2cscs

En esta situación hay un punto donde el riesgo es menor. Esto puede obtenerse de:

p = [Xc2c

2 + (1 – Xc)2s2 + 2Xc (1-Xc) cscs]1/2

Sacar la primera derivada e igualar a cero, (dp/dXc=0)

Igualando a cero:

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Proporciones Óptimas a Invertir a Proporciones Óptimas a Invertir a Invertir en una Cartera de 2 ActivosInvertir en una Cartera de 2 Activos

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s = desv.C (desv.C – coef.correl.(c,s) * desv.S)varianza S + varianza C – 2Cov c,s

Donde: Donde: = Porcentaje a invertir en = Porcentaje a invertir en ACTIVO SACTIVO S

(1 – (1 – ss) = Porcentaje a invertir en ) = Porcentaje a invertir en ACTIVO CACTIVO C

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CovarianzaCovarianzaEs una medida de cómo los retornos de los

activos o títulos se mueven juntos.

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N N _ __ _

Cálculo:Cálculo: s,c = (Rsj – Rs)(Rcj – Rc)*Pj

J=1

Donde: Donde: Rs = Retorno título SRs = Retorno título S

Rc = retorno título CRc = retorno título C

Pj = Probabilidad de ocurrencia de los distintos Pj = Probabilidad de ocurrencia de los distintos retornos.retornos.

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Varianza de una Varianza de una Cartera de N ActivosCartera de N Activos

En una cartera de N activos se tienen:

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N 2 N-1 N N 2 N-1 N

VAR( R ) =VAR( R ) = j VARjj i COV(ij) J=1 j=1 I=1

j=/=i

Donde: Donde: y = Proporción de la inversión asignada al valor jy = Proporción de la inversión asignada al valor j

i = Proporción de la inversión asignada al valor ii = Proporción de la inversión asignada al valor i

N = Número de valores de la cartera.N = Número de valores de la cartera.

N varianzasN varianzas

N (N – 1) CovarianzasN (N – 1) Covarianzas

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Si en una cartera de N títulos se invierte en cada título [1/N], la varianza de cartera.

Queda expresada de la siguiente forma:Queda expresada de la siguiente forma:

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N N N N N N

(c)(c) = = jij)

J=1 j=1 I=1

j=/=i

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__ __ __ __

(c)(c) = = [jij)

Al efectuarse factorizaciones por [1/N] en el primer término Al efectuarse factorizaciones por [1/N] en el primer término de la expresión anterior, y por [(N-1)/N] en el segundo término, de la expresión anterior, y por [(N-1)/N] en el segundo término, se llaga a lo siguiente:se llaga a lo siguiente:

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De la anterior fórmula se desprende que:

1. La contribución de la varianza de los activos individuales respecto a la varianza y la cartera tiende a cero en la medida que N sea grande.

2. Sin embargo, la contribución de las covarianzas se aproxima al promedio de las covarianzas cuando N aumenta. Esto implica que una parte del riesgo de la cartera (Riesgo de MercadoRiesgo de Mercado), no se puede eliminar a través de la diversificación.

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Cjto. de Oportunidades de Cartera y Cjto. de Oportunidades de Cartera y Cjto. Eficiente con Muchos Activos RiesgososCjto. Eficiente con Muchos Activos Riesgosos

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ConjuntoConjunto EficienteEficiente

CC

AA

O(RO(Rpp))

E(RE(Rpp))

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Cartera ÓptimaCartera Óptima

Aquella que es tangentetangente a la frontera eficiente con la más

alta curva de iso – utilidad del inversionista

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Retorno Vapores

-5,000,00

11,2515,0020,00

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Retorno Papeles-Cartones

0,00

5,00

8,75

10,00

15,00

Probabilidad

10%

20%

40%

20%

10%

EjemploEjemplo

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Cálculo de los Retornos Cálculo de los Retornos Esperados de cada TítuloEsperados de cada Título

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E(Rv) = 9,0

E(Rv) = -5*0,10 + 11,25*0,40 + 15*0,20 + 20*0,10

E(Rp-c) = 8,0

E(Rp-c) = 5*0,20 + 8,75*0,40 + 10*0,20 + 15*0,10

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Cálculo del Riesgo Cálculo del Riesgo de Cada Títulode Cada Título

v = 7,5581

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(p-c) = 3,7583

¿Los títulos de Vapores y Papeles – Cartones Vapores y Papeles – Cartones

son inversiones eficientes inversiones eficientes para formar una cartera?.

Si puesto que: E(RE(Rvv) > E(R) > E(Rp-cp-c) )

(R(Rvv) > ) > (R(Rp-cp-c))

El Coeficiente de CorrelaciónCoeficiente de Correlación entre los títulos Vapores y Papeles-Vapores y Papeles-CartonesCartones, es de –0,5

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Vapores

10 millones8 millones5 millones3 millones1 millón0 millón

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Papeles-Cartones

0 millón

2 millones

5 millones

7 millones

9 millones

10 millones

EjercicioEjercicio

Calcular el Retorno y el Riesgo de una Cartera, si se invierte:

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Retorno Cartera

a. Rc= 100%*9 + 0%*8

b. Rc= 9

c. Rc= 8,8

d. Rc= 8,5

e. Rc= 8,3

f. Rc= 8,1

g. Rc= 8,0

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EjercicioEjercicio

Riesgo Cartera

a. c= 7,5581

b. c= 5,7079

c. c= 3,2728

d. c= 2,4693

e. c= 3,0751

f. c= 3,7583

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EjercicioEjercicio

¿ Cuáles son las proporciones óptimas a invertir en cada título para que el Riesgo de la cartera sea mínimo?

En Vapores se debe invertir 28,43% y en En Vapores se debe invertir 28,43% y en

Papeles-Cartones un 71,57% del presupuesto.Papeles-Cartones un 71,57% del presupuesto.

Luego:Luego:

E (Rc) = 8,2843E (Rc) = 8,2843

(c) = 2,4637(c) = 2,4637

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Modelo de Fijación de Precios Modelo de Fijación de Precios de Activos de Capital de Activos de Capital

(C.A.P.M.)(C.A.P.M.)

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C.A.P.M.C.A.P.M.

1.1. Supuestos: Supuestos:

Mercado perfecto o eficiente.

2.2. Presencia del Activo de Cero Riesgo. Presencia del Activo de Cero Riesgo. Combinar cualquier cartera de la frontera eficiente formada con activos riesgosos, con un activo sin riesgo. Retorno de activos sin riesgo (RF) con cartera de activos riesgosos (RM)* son independientes. Luego covarianza entre ellos es igual a cero.

* RM = Es la cartera que contiene a todos los activos riesgosos de la economía.* RM = Es la cartera que contiene a todos los activos riesgosos de la economía.

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C.A.P.M.C.A.P.M.

a. Retorno Cartera = E(Rp)= (1-x)RF + x E(RM).b. Riesgo Cartera =2 Rp = [x2 2] E(RM).

Despejando x de bb, se tiene:X= (Rp) S (RM)

Reemplazando la x calculada en el punto anterior, en E(Rp), se tiene la “Línea de Mercado de Capitales”.“Línea de Mercado de Capitales”.

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Ecuación Ecuación Línea de Mercado de Capitales L.M.C. Línea de Mercado de Capitales L.M.C.

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E(RM) - RF

E(Rp) = RF + ----------------- (Rp) (RM)

Donde: E(RDonde: E(Rpp) = Tasa esperada de rendimiento de las carteras a lo largo de la ) = Tasa esperada de rendimiento de las carteras a lo largo de la

CML, es decir, combinaciones de RF y de RM.CML, es decir, combinaciones de RF y de RM.

RRFF = Tasa libre de riesgo, ya sea petición u otorgamiento de = Tasa libre de riesgo, ya sea petición u otorgamiento de

crédito.crédito.

E(RE(RMM) = Tasa esperada de rendimiento sobre la cartera de mercado, M. ) = Tasa esperada de rendimiento sobre la cartera de mercado, M.

(R(RMM) = Desviación estándar del rendimiento sobre la cartera de ) = Desviación estándar del rendimiento sobre la cartera de

mercado.mercado. (R(Rpp) = Desviación estándar de las carteras a lo largo de la CML.) = Desviación estándar de las carteras a lo largo de la CML.

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L.M.C. Y Frontera EficienteL.M.C. Y Frontera Eficiente

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E(RE(Rpp))

o(Ro(Rpp))OOMM

RRFF

E(RE(RMM))

L.M.C.JJ

MM

FRONTERA EFICIENTE

Pendiente= E(RM) – RF =

OM

Precio de Precio de Equilibrio Equilibrio del Riesgo del Riesgo

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Retorno Esperado de Retorno Esperado de un Título Individualun Título Individual

El C.A.P.M. Indica que el retorno esperado de cualquier activo individual se obtiene en el punto

donde se iguala la pendiente de la Frontera Eficiente se iguala la pendiente de la Frontera Eficiente con la pendiente de la L.M.C.con la pendiente de la L.M.C.

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Pendiente L.M.C.Pendiente L.M.C. = = d E(Rd E(Rpp)) = = E(RE(RMM) – R) – RFF

d d (R(Rpp) = ) = (R (RMM) )

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Pendiente dePendiente dela Frontera Eficientela Frontera Eficiente

La pendiente de la Frontera Eficiente se determina de la siguiente manera:

a.a. Se forma una nueva cartera compuesta por dos activos:Se forma una nueva cartera compuesta por dos activos:

Ri = retorno de activo i.

RM= Cartera de mercado.

b. E(Rb. E(Rpp) = x * E(R) = x * E(Rii) + (1-x) E(R) + (1-x) E(RMM).).

2(Rp) = x2 *2(Ri) + (1-x)2 *2(RM) + 2x(1-x) cov (Ri,RM)

x = Porcentaje a Invertir en Ri.

(1-x) = Porcentaje a Invertir en RM.

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c.c. Luego la Pendiente de la Frontera Eficiente esta dada por Luego la Pendiente de la Frontera Eficiente esta dada por la derivada implícita. la derivada implícita.

dE(Rp)dE(Rp)

dE(Rp) = dx = [E(Ri) – E (RM)] * (RM)

d(Rp) = d (Rp) cov (Ri,RM) – 2 (RM)

dx

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Al igualar ambas pendientes:Al igualar ambas pendientes:

[E(R[E(Rii) – E(R) – E(RMM)])](R(RMM)) = = E(RE(RMM) –R) –RFF

Cov (RCov (Rii,R,RMM) – ) – 2(R2(RMM) ) (R(RMM))

Y despejando E(RY despejando E(Rii), se obtiene:), se obtiene:

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E(RE(Rii) = R) = RFF + + E(RE(RMM) – R) – RFF * cov (R * cov (Rii, R, RMM))

22(R(RMM))

La anterior ecuación, indica que existe una La anterior ecuación, indica que existe una relación linealrelación lineal entre entre retorno retorno esperado de un activo individualesperado de un activo individual y su y su covarianza con el mercado.covarianza con el mercado.

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Ecuación Ecuación Línea de Mercado de Valores L.M.V. Línea de Mercado de Valores L.M.V.

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E(Ri) = RF +[ E(RM) – RF] i

Donde: E(Ri) = Rendimiento esperado o ex ante sobre l a i-ésima acción. RF = Tasa de rendimiento sobre un activo libre de riesgo.

(RM) = Rendimiento esperado o ex ante sobre la cartera de mercado.

i = Medida de riesgo sistemático de la i-ésima acción, tal que:

ii = = cov (Rcov (Rii,R,RMM))

22 (R (RMM))

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E(RE(Rii))

PorcentajePorcentaje

ii00

Recta del Mercado de ValoresRecta del Mercado de Valores

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MM=1.0=1.0

RRFF=5=5

E(RE(RMM)=)=1111

L.M.V.L.M.V.

1.51.50.50.5

Pendiente= E(RM) – RF) = 11-5 = 6%

MM – 0 1-0

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Comparación entreComparación entrela L.M.C. y la L.M.V.la L.M.C. y la L.M.V.

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E(Rp)

o(Rp)OM

RF

E(RM)

L.M.C.

MM

E(Rj)

jA

RF

E(RA)

L.M.V.

MME(RM)

M=1

a. Recta del Mercado de Capitales b. Recta del Mercado de Valores

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Riesgo Sistemático o BetaRiesgo Sistemático o Beta

Beta de un activo i, Beta de un activo i, es la medida de volatilidad de los retornos de este, en relación con los retornos de la cartera.

Por lo tanto:

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E(RE(Rii) = R) = RFF + + ii [ E(R [ E(RMM) – R) – RFF]]

Donde Donde ii = = cov (Rcov (Rii ,R ,RMM))

2(RMM)

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Riesgo sistemático o BetaRiesgo sistemático o Beta

Luego el Retorno EsperadoRetorno Esperado de cualquier activo, es igual a la tasa de Cero Riesgo Res igual a la tasa de Cero Riesgo RFF, , más un premio por el riesgo un premio por el riesgo, que esta dado

por el diferencial entre retorno esperado de la cartera menos la tasa de cero riesgo,

multiplicado por el Riesgo Sistemático o Beta

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Aplicación EmpíricaAplicación Empíricadel C.A.P.M.del C.A.P.M.

(Rit – RFt) = i i (RMt – RFt) + eit

Donde:Rit = Retorno de la acción i, en el período t.RFt = tasa libre de riesgo, en el período t.i = Intersección de la Línea CaracterísticaLínea Característica con

el eje vertical.i = pendiente de la Línea Característica.Línea Característica.eit = Error aleatorio, independiente del

comportamiento del mercado.

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Línea CaracterísticaLínea Característica

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Exceso rendimiento Mercado

Exceso rendimiento Empresa A

= 0

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Modelo de Precios Modelo de Precios de Activos de Capitalde Activos de Capital

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Retorno en Exceso del Mercado

Retorno en Exceso de la Acción

Riesgo No Sistemático

debería ser = 0

Entonces Rj – RF = + (RM – RF)

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Ajuste de Ajuste de por Levarage por Levarage Modelo de HamadaModelo de Hamada

Dados:RF = Tasa libre de riesgo.RM = Retorno promedio del mercado. u = En ausencia de Leverage. D/P= Deuda / patrimonio. T = Tasa de Impuestos.R = Tasa Pura + Riesgo Negocio * Riesgo Financiero

= RF + (RM – RF) * u * [ 1 + (D/P) * (1 – T)]O sea:

= u * [ 1 + (D/P) * (1 – T)]Y :

u = / [ 1+ (D/P) * (1 – T)]

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