Teoría de Probabilidad

Teoría de Probabilidad

Análisis combinatorio y probabilidad: Una aplicación a la teoría del muestreo

Problema general: Supóngase que se tiene una urna que contiene M bolas, de las cuales MB son blancas (con MB < M) y MR = M – MB son rojas. Se extrae una muestra de tamaño n, ya sea sin reemplazo (en tal caso n menor o igual a M), o con reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra contenga exactamente k bolas blancas, para k = 0, 1, 2, ..., n?

Traducción a un problema de muestreo: M indica el número de artefactos de un lote de producción. Blanca significa defectuosa, y roja no defectuosa. Se extrae una muestra aleatoria de tamaño n (con reemplazo o sin reemplazo) para el control de calidad. Se pregunta entonces, ¿cuál es la probabilidad de encontrar k defectuosos de los n artículos bajo revisión al azar?


Solución al problema anterior: sin reemplazo

El espacio muestral son n-uplas de la forma

Es claro que la cardinalidad de este espacio muestral es

( 1) ( 1)M M M n

1 2( , , , )nz z z

donde cada zi es un elemento entre 1 y M, y además las componentes son todas distintas (sin reposición)

( )nM

Es adecuado pensar que cualquier selección de muestra es igualmente probable, esto es

1 2

1Pr ( , , , )

( )nn

z z zM



Definamos por Ak el evento de “obtener k bolas blancas” cuando se extrae n bolas, sin reposición, de una urna que contiene M bolas, de las cuales MB son blancas y el resto son rojas.

De tal manera entonces que la probabilidad de Ak adopta la forma

( )Pr( )

( )k

kn

card AA

M

Vamos a caracterizar al suceso Ak, para poder saber cuántos elementos contiene.

Teoría de ProbabilidadSolución al problema anterior: sin reemplazo

Los elementos de Ak son de la forma

1 2( , , , )nz z zDonde hay k elementos de los zi que toman valores en el conjunto {1, 2, ..., MB}. De otra forma

1 21 4 5 1( , , , , , , , , )kj j j n nz z z z z z z z

Valores distintos en 1,2, , BM

de una particular elección de k índices 1 2, , , kj j j

seleccionados entre 1,2, ,n


Para esta particular elección de índices 1 2, , , kj j j existen

( 1) ( 1) ( )( 1) ( ( ) 1)B B B B B BM M M k M M M M M M n k

maneras de formar n-uplas con k componentes con valores entre {1, 2, ... , MB} en los lugares j1, j2, ... , jk y las demás componentes con los valores restantes

1 21 4 5 1( , , , , , , , , )kj j j n nz z z z z z z z

La expresión en rectángulo rojo se denota por ( ) ( )B n B n kM M M


Para esta particular elección de índices 1 2, , , kj j j entonces

hay maneras de seleccionar k bolas blancas( ) ( )B n B n kM M M

Por lo tanto el conjunto Ak tendrá tantos elementos de esta forma, conforme haya tantas elecciones de k elementos entre {1, 2, ..., n}, esto es

( ) ( )B k B n k

nM M M

k

Por lo tanto

( ) ( ) ( )Pr( )

( ) ( )k B n B n k

kn n

ncard A M M MA

kM M

0,1, ,k n



( ) ( )Pr( )

( )

B B

B n B n kk

n

M M M

n k n kM M MA

Mk M

n

0,1, ,k n

Se puede demostrar algebraicamente que

... sin embargo la expresión de la derecha admite una sencilla interpretación



Pr( )

B B

k

M M M

k n kA

M

n

0,1, ,k n

Número de formas de seleccionar n elementos distintos de un total de M

Número de formas distintas de obtener k elementos defectuosos de un total de MB defectuosos

Número de formas distintas de obtener n – k elementos no defectuosos de un total de M - MB

Teoría de ProbabilidadSolución al problema anterior: con reemplazo

Con un razonamiento análogo al caso del muestreo sin reemplazo se concluye que

( ) ( ) ( )Pr( )

( ) ( )

n nk B B

k n n

ncard A M M MA

kM M

0,1, ,k n

Donde el exponente n indica la opción de “con reemplazo”, significando con esto que un valor se puede repetir por la forma de seleccionar el muestreo

Teoría de ProbabilidadOtra aplicación: muestreo por aceptación

Supongamos que tenemos un lote de una producción consistente en 1000 unidades. Las altas exigencias de calidad exigen que el lote se rechace si en el muestreo, es decir dentro de los artículos que efectivamente se van a revisar, no existan más de una unidad defectuosa. Ahora bien, se desconoce la proporción de defectuosos, es decir se desconoce el número de artículos defectuosos que contiene el lote de mil unidades. Está claro que si sabemos que, por ejemplo, D es el número de defectuosos, entonces p = D / 1000 será la proporción de defectuosos. Nuestro interés en saber cuál es la probabilidad de que no se rechace el lote en base a las unidades que se van a revisar. De otra forma esta probabilidad será una función de la proporción de artículos defectuosos.

Por otro lado, vamos a suponer que la muestra a revisar es de 100 unidades seleccionadas aleatoriamente sin reposición


Del resultado obtenido en la transparencia 6, sabemos que la probabilidad de aceptar el lote, es decir la probabilidad de encontrar no más de 1 artículo defectuoso está dada por

0 1Pr( ) Pr( )A A

Esto es, si D es el número de defectuosos entonces la probabilidad de aceptación del lote es de

100 99

100 100

(1000 ) (1000 )100

(1000) (1000)

D D D

hagamos

1000

Dp 100 1000 1000 1000(1 ) 1000D p p q

donde 11000 , 0,1,2, ,1000p m con m


Entonces la probabilidad de aceptación la podemos poner en función de la proporción p, y la denotaremos como

100 99

100 100

(1000 ) 1000 (1000 )Pr( ) 100

(1000) (1000)

q p qp

¡cuidado! que p no es un valor “continuo” entre 0 y 1, como se puede pensar rápidamente, sino que

11000 , 0,1,2, ,1000p m con m

La gráfica de la función Pr(p) se conoce como curva característica de operación, o curva OC del plan de aceptación de muestreo.


Escriba esta función en el DERIVE y calcule el valor de p para aceptar el lote con probabilidad de 0.95

Teoría de Probabilidad

Documents

Transcript of Teoría de Probabilidad