Teoría electromagnética
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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA
GRUPO # 3DAMARA VERDUGO
JESSICA RAMÓNDARWIN VINCENT
𝑝𝑒𝑞=𝑝 𝐽+𝑝𝑒𝑙 é 𝑐+𝑝𝑚𝑎𝑔+𝑑𝑖𝑣 (𝐸× �⃗�)𝑝𝑒𝑞=
1𝜎�⃗� 2+�⃗� ˙⃗𝐷+�⃗� ˙⃗𝐵+𝑑𝑖𝑣(𝐸× �⃗�)
𝑝𝑒𝑙 é 𝑐=�⃗�˙⃗𝐷 ;⃗𝐷=𝜀 �⃗� ; ˙⃗𝐷=𝜀 ˙⃗𝐸
𝑝𝑒𝑙 é 𝑐=𝜀 �⃗�˙⃗𝐸
𝑝𝑒𝑙 é 𝑐=𝜕𝜕𝑡 ( 12 𝜀 �⃗�2);𝑝=
𝜕𝑤𝜕𝑡
𝑊=12𝐶𝑣2𝑤𝑒𝑙 é 𝑐=
12𝜀𝐸2
𝑊=12𝐿𝑖2
𝑝𝑒𝑞=𝑝 𝐽+𝑝𝑒𝑙 é 𝑐+𝑝𝑚𝑎𝑔+𝑑𝑖𝑣 (𝐸× �⃗�)
𝑝𝑒𝑞=1𝜎�⃗� 2+�⃗� ˙⃗𝐷+�⃗� ˙⃗𝐵+𝑑𝑖𝑣 (𝐸× �⃗�)
𝑝𝑚𝑎𝑔= �⃗�˙⃗𝐵 ;⃗𝐵=𝜇 �⃗� ; ˙⃗𝐵=𝜇 ˙⃗𝐻
𝑝𝑚𝑎𝑔=𝜇 �⃗�˙⃗𝐻
𝑝𝑚𝑎𝑔=𝜕𝜕𝑡 ( 12 𝜇 �⃗�2);𝑝=
𝜕𝑤𝜕𝑡
𝑤𝑚𝑎𝑔=12𝜇 �⃗�2
�⃗�
�⃗�
𝑝𝑒𝑞=1𝜎�⃗� 2+�⃗� ˙⃗𝐷+�⃗� ˙⃗𝐵+𝑑𝑖𝑣 (𝐸× �⃗�)
0=0+𝑝𝑒𝑙 é 𝑐+𝑝𝑚𝑎𝑔+𝑑𝑖𝑣 ( �⃗�× �⃗� )𝜕𝜕𝑡 (𝑤𝑒𝑙é 𝑐 )+ 𝜕
𝜕𝑡 (𝑤𝑚𝑎𝑔 )=−𝑑𝑖𝑣 (�⃗�× �⃗� )
𝜕𝜕𝑡 (𝑤𝑒𝑙é 𝑐+𝑤𝑚𝑎𝑔 )=−𝑑𝑖𝑣 (�⃗�× �⃗� )
∫𝑉
❑ 𝜕𝜕𝑡 (𝑤𝑒𝑙é 𝑐+𝑤𝑚𝑎𝑔 )𝑑𝑉=¿−∫
𝑉
❑
𝑑𝑖𝑣 (�⃗�× �⃗� ) 𝑑𝑉 ¿
𝜕𝜕𝑡∫𝑉
❑
(𝑤𝑒𝑙 é 𝑐+𝑤𝑚𝑎𝑔 )𝑑𝑉=¿−∮𝑆
❑
(�⃗�× �⃗� ) 𝑑 �⃗�¿Conservación de la energía
∗
∗
Ejercicio. En esta configuración, determinar:
z
𝐼
�⃗�𝑙
𝑏𝜎
𝐴
a) El vector de Poynting.b) El flujo del vector de Poynting a través de ese volumen.
a) �⃗�=𝜎 �⃗�𝑎𝑧 𝐽 𝑧=𝜎 (𝑎𝑧𝐸𝑧 )𝐽 𝑧=𝜎 𝐸𝑧
𝐸𝑧=𝐽 𝑧𝜎 ;𝐽 𝑧=
𝐼A
=𝐼𝜋 𝑏2
𝐸𝑧=𝐼
𝜎 𝜋𝑏2;⃗𝐸=𝑎𝑧
𝐼𝜎 𝜋𝑏2
∮𝐶
❑
�⃗� ∙𝑑 �⃗�= 𝐼
∫0
2 𝜋
𝐻𝜑𝑏𝑑𝜑=𝐼
�⃗�=𝑎𝜑𝐻𝜑
𝑑�⃗�=𝑎𝜑𝑑𝑙𝑑 �⃗�=𝑎𝜑(𝑏𝑑𝜑)
2𝜋𝑏𝐻𝜑=𝐼
𝐻𝜑=𝐼
2𝜋 𝑏;⃗𝐻=𝑎𝜑
𝐼2𝜋𝑏
𝑆=𝐸× �⃗�
𝑆=−𝑎𝜌𝐼 2
2𝜋 2𝑏3𝜎
b) ∮𝑆
❑
( �⃗�× �⃗� )𝑑 �⃗�=∫𝑉
❑
𝑑𝑖𝑣 ( �⃗� )𝑑𝑉
¿∫𝑉
❑ [ 1𝜌 𝜕𝜕 𝜌
(𝜌𝑆𝜌 )+ 1𝜌𝜕𝑆𝜑𝜕𝜑
+𝜕𝑆𝑧
𝜕 𝑧 ]𝑑𝑉¿∭ [ 1𝜌 𝜕
𝜕 𝜌 (− 𝜌 𝐼 2
2𝜋 2𝑏3𝜎 ) ]𝜌 𝑑𝜌 𝑑𝜑𝑑𝑧¿− 𝐼2
2𝜋 2𝑏3𝜎∫0
𝑏
𝑑𝜌∫0
2𝜋
𝑑𝜑∫0
𝑙
𝑑𝑧
¿− 𝐼2 𝑙𝜋𝑏2𝜎
El flujo entra
𝑃= 𝐼2𝑅 ;
𝑅=𝜌𝑒𝑙 é 𝑐𝑙𝑆
=𝜌𝑒𝑙 é 𝑐𝑙
𝜋 𝑏2
𝐼 2 𝑙𝜋𝑏2𝜎
𝜌𝑒𝑙 é 𝑐=1𝜎
𝑅=𝑙
𝜋𝑏2𝜎
ONDAS ELECTROMAGNETICASONDA PLANA Forma Eléctrica
Partimos de la primera ecuación de Maxwell en forma diferencial
Desarrollamos la parte derecha de la ecuación
Reemplazando en la ecuación
Ecuación 1)𝒅𝒊𝒗 ( �⃗� )=𝑷𝒗 ;𝒅𝒊𝒗 (∈ �⃗� )=𝑷𝒗 ;𝒅𝒊𝒗 �⃗�=
𝑷𝒗∈
Forma Magnética
Partimos de la segunda ecuación de Maxwell en forma diferencial
Desarrollamos la parte derecha de la ecuación
Reemplazando en la ecuación
Ecuación 2)
Las ecuaciones 1) y 2) son las ecuaciones generalizadas de campos u ondas electromagnéticas
De las ecuaciones generalizadas de las ondas electromagnéticas Parte eléctrica Si ρv=0 y σ=0 ∇2𝐸ሬԦ= 𝜇𝜎𝐸ሬԦ+ 𝜇𝜎𝐸ሬԦሷ ∇2𝐸ሬԦ= 𝜇𝜎𝐸ሬԦሷ ∇2𝐸ሬԦ− 𝜇𝜎𝐸ሬԦሷ= 0 Parte eléctrica Si σ=0 ∇2𝐻ሬሬԦ= 𝜇𝜎𝐻ሬሬԦሷ ∇2𝐻ሬሬԦ− 𝜇𝜎𝐸ሬԦሷ= 0
Resolviendo las ecuaciones anteriores en coordenadas cartesianas ∇2𝐸ሬԦ: ∇2𝐸𝑋 ; ∇2𝐸𝑌 ; ∇2𝐸𝑍 ∇2𝐸ሬԦ= 𝑎𝑥ሬሬሬሬԦ∇2𝐸𝑋 + 𝑎𝑦ሬሬሬሬԦ∇2𝑦+ 𝑎𝑧ሬሬሬሬԦ∇2𝐸𝑧 𝜇𝜀𝐸ሬԦ:ሷ 𝜇𝜀𝐸𝑥ሷ; 𝜇𝜀𝐸𝑦ሷ; 𝜇𝜀𝐸𝑧ሷ 𝜇𝜀𝐸ሬԦ:ሷ= 𝑎𝑥ሬሬሬሬԦ𝜇𝜀𝐸𝑥ሷ+ 𝑎𝑦ሬሬሬሬԦ𝜇𝜀𝐸𝑦ሷ + 𝑎𝑧ሬሬሬሬԦ𝜇𝜀𝐸𝑧ሷ Por lo tanto, como ∇2𝐸ሬԦ− 𝜇𝜀𝐸ሬԦሷ= 0 ∗ ∇2𝐸𝑋− 𝜇𝜀𝐸𝑥ሷ= 0 ∗ ∇2𝐸𝑦 − 𝜇𝜀𝐸𝑦ሷ= 0 ∗ ∇2𝐸𝑦 − 𝜇𝜀𝐸𝑦ሷ= 0
∇2𝐻ሬሬԦ− 𝜇𝜀𝐻ሬሬԦሷ= 0 ∗ ∇2𝐻𝑋− 𝜇𝜀𝐻𝑥ሷ= 0 ∗ ∇2𝐻𝑦 − 𝜇𝜀𝐻𝑦ሷ= 0 ∗ ∇2𝐻𝑦 − 𝜇𝜀𝐻𝑦ሷ= 0 Para resolver matemáticamente las 6 ecuaciones son iguales y reemplazo con una componente generalizada 𝜓 = 𝜓ሺ𝑥,𝑥𝑦,𝑧,𝑡ሻ Que se cumple para Ex, Ey, Ez, Hx, Hy, Hz Entonces se tiene: ∇2𝜓− 𝜇𝜀𝜓ሷ= 0
Definición: 𝜐= 1ξ𝜇𝜖 , entonces ∇2𝜓− 1𝜐2 𝜓ሷ= 0 , Ecuación de Onda Consideración Si esta componente generalizada, solo depende de z y t, por lo tanto 𝜓 = 𝜓ሺ𝑧,𝑡ሻ ∇2𝜓= 𝜕2𝜓𝜕𝑥2 + 𝜕2𝜓𝜕𝑦2 + 𝜕2𝜓𝜕𝑧2
De donde: 𝜕2𝜓𝜕𝑧 − 𝜇𝜖𝜕2𝜓𝜕𝑡2 = 0 𝜕2𝜓𝜕𝑧 − 1𝜐2 𝜕2𝜓𝜕𝑡2 = 0 𝜕2𝜓𝜕𝑧 − 𝜕2𝜓𝜕(𝑡𝜐)2 = 0
Solución D’Alambert 𝜓 = 𝑓ሺ𝜂ሻ+ 𝑔(𝛾) ൬𝜕𝜓𝜕𝑧− 𝜕𝜓𝜕𝑡𝜐൰൬𝜕𝜓𝜕𝑧+ 𝜕𝜓𝜕𝑡𝜐൰൨= 0
𝜕𝜓𝜕𝑧 = 𝜕𝜓𝜕𝜂 𝜕𝜂𝜕𝑧+ 𝜕𝜓𝜕𝛾𝜕𝛾𝜕𝑧= 𝜕𝜓𝜕𝛾 − 𝜕𝜓𝜕𝜂 𝜕𝜓𝜕𝑡𝜐= 𝜕𝜓𝜕𝜂 𝜕𝜂𝜕𝑡𝜐+ 𝜕𝜓𝜕𝛾 𝜕𝛾𝜕𝑡𝜐= 𝜕𝜓𝜕𝛾 − 𝜕𝜓𝜕𝜂
Donde
𝜕𝜂𝜕𝑧 = −1; 𝜕𝛾𝜕𝑧 = 1 ; 𝜕𝜂𝜕𝑡𝜐 = 1; 𝜕𝛾𝜕𝑡𝜐 = 1
൬−𝜕𝜓𝜕𝜂 − 𝜕𝜓𝜕𝛾൰−൬𝜕𝜓𝜕𝜂 − 𝜕𝜓𝜕𝛾൰൨൬−𝜕𝜓𝜕𝜂 + 𝜕𝜓𝜕𝛾൰+൬
𝜕𝜓𝜕𝜂 + 𝜕𝜓𝜕𝛾൰൨= 0
൬−2𝜕𝜓𝜕𝜂൰൨൬2𝜕𝜓𝜕𝛾൰൨= 0 𝜕𝜓𝜕𝜂 .𝜕𝜓𝜕𝛾 = 0
𝜕2𝜓𝜕𝜂𝜕𝛾 = 0, analizando en: 𝜓 = 𝑓ሺ𝜂ሻ+ 𝑔(𝛾) si es cero
GRACIAS