Introduccin a los Vectores

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VECTORES

Punto de aplicacin u origen.

Magnitud o mdulo: determina el tamao del vector.

Direccin: determina la recta en el espacio en que se ubica el vector.

Sentido: determina hacia qu lado de la recta de accin apunta el vector.

Vectores

Son magnitudes vectoriales, aquellas que quedan completamente descritas mediante: magnitud, sentido y su direccin.

Un vector fsico es una magnitud fsica caracterizable mediante un punto de aplicacin u origen, un mdulo, una direccin y un sentido, o alternativamente por un nmero de componentes independientes tales que las componentes medidas por diferentes observadores son relacionables de manera sistemtica.

Existe la necesidad de explicar fenmenos fsicos que no pueden ser descritos con un solo valor, es necesario definir las cuatro caractersticas mencionadas anteriormente:

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Ejemplos

La distancia final entre dos coches que parten de un mismo sitio no puede quedar determinada nicamente por sus velocidades. Si stas son 30 y 40 km/h, al transcurrir una hora la distancia entre los mismos podr ser, entre otras posibilidades:

De 10 km, si los dos coches llevan la misma direccin y mismo sentido.

De 70 km, si salen en la misma direccin y sentidos contrarios.

De 50 km, si toman direcciones perpendiculares.

Como se puede ver, la distancia entre los dos coches, depende tambin de otras cualidades, adems de la velocidad de los coches. Es necesario utilizar un vector, que adems de describir su magnitud (en este caso la velocidad) defina su direccin y sentido.

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Elementos de un vector

Representacin grfica de dos vectores deslizantes

Se representa como un segmento con direccin y sentido, dibujado como una "flecha". Su largo representa la magnitud, su pendiente la direccin y la "punta de flecha" indica su sentido.

Elementos de un vector

La direccin del vector es la direccin de la recta que cont iene a l vector o de cualquier recta paralela a e l la .

El sent ido del vector es e l que va desde e l origen A a l extremo B .

E l Mdulo de un vector es e l tamao que se representa por medio de un nmero y una unidad de medida.

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Notacin

En fsica las variables escalares se representan con una letra: a, x, p, etc., y los vectores con una flecha encima: , representndose tambin frecuentemente mediante letras en negrita: .

Adems de estas convenciones los vectores unitarios cuyo mdulo es igual a uno son representados frecuentemente con un circunflejo encima, por ejemplo

Componentes de un vector

Las coordenadas o componentes del vector en un sistema de referencia pueden escribirse entre parntesis y separadas con comas:

.

Si se desea expresar al vector como combinacin de los vectores, se representar como:

Estas representaciones son equivalentes entre s, y los valores ax, ay, az, se llaman componentes o coordenadas del vector, que salvo que se indique lo contrario consideraremos siempre como nmeros reales.

En teora de la relatividad los vectores suelen ser denotados en la notacin abstracta de ndice y los anteriores vectores se representaran mediante:

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Suma de vectores grficamente

Mtodo del paralelogramo

Consiste en disponer grficamente los dos vectores de manera que los orgenes de ambos coincidan, completando el resto del paralelogramo con las paralelas a cada uno. El resultado de la suma se obtiene partiendo del origen de ambos vectores.

Mtodo del tringulo

Consiste en disponer grficamente un vector a continuacin de otro, es decir, el extremo inicial del vector "b" coincide con el extremo final del vector "a". Luego se traza una diagonal que une el inicio del vector "a" con el resto de los extremos.

Resta de vectores

Para restar dos vectores libres U y V se suma U con el opuesto de V, esto es U - V = U + (-V).

Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.

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Tipos de vectores

Segn los criterios que se utilicen para determinar la igualdad de dos vectores, pueden distinguirse distintos tipos de los mismos:

Vectores libres: no tienen su extremo inicial -u origen- fijado en ningn punto en particular.

Vectores fijos: tienen su extremo inicial -u origen- fijado en algn punto en particular.

Vectores equipolentes: son vectores que presentan iguales mdulos, direcciones y sentidos.

Vectores deslizantes: son vectores equipolentes que actan sobre una misma recta.

Vectores concurrentes: comparten el mismo extremo inicial -u origen

Vectores unitarios: vectores de mdulo igual a uno.

Vectores opuestos: vectores de distinto sentido, pero igual magnitud y direccin (tambin vectores anti - paralelos) Operaciones con vectores Suma de vectores.

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ngulo entre dos vectores

Angulo entre 2 vectores en un plano

Coordenadas de un vector

Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:

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Clases de vectores

Vectores equipolentes

Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual mdulo, direccin y sentido.

Vectores libres

El conjunto de todos los vectores equipolentes entre s se llama vector libre. Es decir los vectores libres tienen el mismo mdulo, direccin y sentido.

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Vectores fijos

Un vector fijo es un representante del vector libre. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo mdulo, direccin, sentido y origen.

Vectores ligados

Los vectores ligados son vectores equipolentes que actan en la misma recta. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo mdulo, direccin, sentido y se encuentran en la misma recta.

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Vectores opuestos

Los vectores opuestos tienen el mismo mdulo, direccin, y distinto sentido.

Vectores unitarios

Los vectores unitario tienen de mdulo, la unidad.

Para obtener un vector unitario, de la misma direccin y sentido que el vector dado se divide ste por su mdulo.

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Vectores concurrentes

Los vectores concurrentes tienen el mismo origen.

Vector de posicin

El vector que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector de posicin del punto P.

Vectores linealmente dependientes

Varios vectores libres del plano son linealmente dependientes si existe una combinacin lineal de ellos que sea igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinacin lineal.

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Vectores linealmente independientes

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos se puede expresar como combinacin lineal de los otros.

a1 = a2 = = an

= 0

Vectores Ortogonales

Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si su producto escalar es cero.

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Vectores Ortonormales

Dos vectores son ortonormales si:

1. Su producto escalar es cero.

2. Los dos vectores son unitarios.

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BIBLIOGRAFIA

Serway, Raymond A., Fsica, Tomo 1, Mc. Graw-Hill, Mxico D.F. Mxico, 1988 F. Snchez, Introduccin a la Fsica, Folleto de elaboracin, ed. 2002 A. lvarez E. Huayta, Fsica Mecnica, 2 Edicin, Facultada de Ingeniera, La Paz,

Bolivia, 2002 Paul W. Zitzewitz, fsica 1, principios y problemas, Mc. Graw-Hill, Santaf de Bogot,

Colombia, 1995 Fsica, David Holliday, Robert Resnick; Compaa Editorial Continental, S.A., 1974

Punto de aplicacin u origen.Magnitud o mdulo: determina el tamao del vector.Direccin: determina la recta en el espacio en que se ubica el vector.Sentido: determina hacia qu lado de la recta de accin apunta el vector.VectoresEjemplosLa distancia final entre dos coches que parten de un mismo sitio no puede quedar determinada nicamente por sus 0Tvelocidades0T. Si stas son 30 y 40 km/h, al transcurrir una hora la distancia entre los mismos podr ser, entre otras posibilidades:De 10 km, si los dos coches llevan la misma direccin y mismo sentido.De 70 km, si salen en la misma direccin y sentidos contrarios.De 50 km, si toman direcciones perpendiculares.Representacin grfica de dos vectores deslizantesNotacinEn fsica las variables escalares se representan con una letra: a, x, p, etc., y los vectores con una flecha encima: , representndose tambin frecuentemente mediante letras en negrita: .Adems de estas convenciones los 0Tvectores unitarios0T cuyo 0Tmdulo0T es igual a uno son representados frecuentemente con un circunflejo encima, por ejemploComponentes de un vectorLas coordenadas o componentes del vector en un sistema de referencia pueden escribirse entre parntesis y separadas con comas:.Si se desea expresar al vector como combinacin de los vectores, se representar como:Estas representaciones son equivalentes entre s, y los valores aRxR, aRyR, aRzR, se llaman componentes o coordenadas del vector, que salvo que se indique lo contrario consideraremos siempre como 0Tnmeros reales0T.En 0Tteora de la relatividad0T los vectores suelen ser denotados en la notacin abstracta de ndice y los anteriores vectores se representaran mediante:Suma de vectores grficamenteMtodo del paralelogramoConsiste en disponer grficamente los dos vectores de manera que los orgenes de ambos coincidan, completando el resto del paralelogramo con las paralelas a cada uno. El resultado de la suma se obtiene partiendo del origen de ambos vectores.Mtodo del tringuloConsiste en disponer grficamente un vector a continuacin de otro, es decir, el extremo inicial del vector "b" coincide con el extremo final del vector "a". Luego se traza una diagonal que une el inicio del vector "a" con el resto de los extremos.Resta de vectoresPara restar dos vectores libres U y V se suma U con el opuesto de V, esto es U - V = U + (-V).Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.Tipos de vectoresSegn los criterios que se utilicen para determinar la igualdad de dos vectores, pueden distinguirse distintos tipos de los mismos:Vectores libres: no tienen su extremo inicial -u origen- fijado en ningn punto en particular.Vectores fijos: tienen su extremo inicial -u origen- fijado en algn punto en particular.Vectores equipolentes: son vectores que presentan iguales mdulos, direcciones y sentidos.Vectores deslizantes: son vectores equipolentes que actan sobre una misma recta.Vectores concurrentes: comparten el mismo extremo inicial -u origenVectores unitarios: vectores de mdulo igual a uno.Vectores opuestos: vectores de distinto sentido, pero igual magnitud y direccin (tambin vectores anti - paralelos) Operaciones con vectores Suma de vectores.ngulo entre dos vectoresAngulo entre 2 vectores en un planoCoordenadas de un vectorSi las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:Clases de vectoresVectores equipolentesDos vectores son equipolentes cuando tienen igual mdulo, direccin y sentido.Vectores libresEl conjunto de todos los vectores equipolentes entre s se llama vector libre. Es decir los vectores libres tienen el mismo mdulo, direccin y sentido.Vectores fijosUn vector fijo es un representante del vector libre. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo mdulo, direccin, sentido y origen.Vectores ligadosLos vectores ligados son vectores equipolentes que actan en la misma recta. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo mdulo, direccin, sentido y se encuentran en la misma recta.Vectores opuestosLos vectores opuestos tienen el mismo mdulo, direccin, y distinto sentido.Vectores unitariosLos vectores unitario tienen de mdulo, la unidad.Para obtener un vector unitario, de la misma direccin y sentido que el vector dado se divide ste por su mdulo.Vectores concurrentesLos vectores concurrentes tienen el mismo origen.Vector de posicinEl vector que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector de posicin del punto P.Vectores linealmente dependientesVarios vectores libres del plano son linealmente dependientes si existe una combinacin lineal de ellos que sea igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinacin lineal.Vectores linealmente independientesVarios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos se puede expresar como combinacin lineal de los otros.aR1R = aR2R = = aRnR = 0Vectores OrtogonalesDos vectores son ortogonales o perpendiculares si su producto escalar es cero.Vectores OrtonormalesDos vectores son ortonormales si:1. Su producto escalar es cero.2. Los dos vectores son unitarios.BIBLIOGRAFIA